Решение онлайн уравнений с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

• Дифференциальные уравнения, в которых переменные уже разделены
• Дифференциальные уравнения, в которых требуется разделить переменные
• Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения
• Продолжаем решать примеры вместе

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения.

Пример такого уравнения — .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные. Идём к решению:

Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

.

В таком уравнении и — функции только переменной x, а и — функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

.

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение и получим

.

Почленно интегрируем:

,

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то перепишем данное уравнение в виде

.

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

.

Почленно интегрируем:

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,

.

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

.

Пример 5. Найти общее решение диффференциального уравнения

.

Правильное решение и ответ.

Пример 6. Найти общее решение диффференциального уравнения

.

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

или
.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

,

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде и получим

.

Разделяем «игреки» и «иксы»:

.

Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

.

Теперь по свойству логарифма имеем

.

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

или
.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

---

Desertai be cukraus Vilniuje: tortai, pyragaičiai, saldainiai

Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений с разделителями

Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора дифференциальных уравнений с разделителями

. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

0006 D

F

G

M

N

U

V

W

x

Y

Z

.

(◻)

+

—

×

◻/◻

/

÷

◻ ²

◻ ^◻

√◻

√

^◻ √ ◻

^◻ √

∞

e

π

ln

log

log _◻

Lim

D/DX

D ^□ _x

∫

∫ ^◻

| ∫ |

θ

=

>

<

>=

<=

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

асек

акск

Sinh

COSH

TANH

COOTH

SECH

CSCH

ASINH

ACOSH

ATANH

ACOTH

ASECH

ACSCH

667

ASECH

6669

Пример

Решенные проблемы

Сложные задачи

1

Пример решения разделимых дифференциальных уравнений

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$ 92+C_0}$

Проблемы с математикой?

Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!

Дифференциальные уравнения — Разделимые уравнения

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / DE первого порядка / Разделимые уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.2: Разделимые уравнения

Теперь мы собираемся начать рассмотрение нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые мы рассмотрим, — это сепарабельные дифференциальные уравнения.

Разделимое дифференциальное уравнение — это любое дифференциальное уравнение, которое можно записать в следующей форме.

\[\begin{equation}N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}} = M\left( x \right)\label{eq:eq1} \end{equation}\]

Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \(y\) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, а все \(x\) в дифференциальном уравнении должны быть на другой сторона знака равенства.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы сначала проинтегрируем обе части по \(x\), чтобы получить

\[\int{{N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}}\,dx}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}}\ ]

Теперь вспомните, что \(y\) на самом деле \(y\left( x \right)\), поэтому мы можем использовать следующую замену:

\[u = y\left( x \right)\hspace{0.25in}du = y’\left( x \right)\,dx = \frac{{dy}}{{dx}}\,dx\]

Применяя эту замену к интегралу, получаем

\[\begin{equation}\int{{N\left( u \right)\,du}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}} \label{eq:eq2} \ конец {уравнение}\]

Теперь мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем заменить \(u\) на левую сторону. Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может быть невозможно вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что можем сделать, чтобы продолжить использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.

Описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Однако обратите внимание, что если мы также «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение в виде

\[N\влево( у \вправо)dy = M\влево( х \вправо)dx\]

Очевидно, что мы не можем разделить производную таким образом, но давайте представим, что мы можем, и мы увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.

Теперь мы объединяем обе стороны, чтобы получить

\[\begin{equation}\int{{N\left( y \right)dy}} = \int{{M\left( x \right)dx}} \label{eq:eq3} \end{equation} \]

Итак, если мы сравним \(\eqref{eq:eq2}\) и \(\eqref{eq:eq3}\), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница \(\eqref{eq:eq2}\) имеет интеграл в терминах \(u\) и \(\eqref{eq:eq3}\) имеет интеграл в терминах \(y\). В остальном реальной разницы нет. Интеграл слева точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственная разница заключается в букве, используемой в интеграле. Если мы интегрируем \(\eqref{eq:eq2}\), а затем обратно подставим \(u\), мы придем к тому же результату, как если бы мы просто интегрировали \(\eqref{eq:eq3}\) от начала.

Поэтому, чтобы немного облегчить работу, мы просто используем \(\eqref{eq:eq3}\) для нахождения решения дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интегрирования у нас будет неявное решение, которое мы надеемся найти для явного решения \(y(x)\). Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.

Напомним из раздела «Определения», что неявное решение — это решение, которое не имеет формы \(y = y\left( x \right)\), в то время как явное решение было записано в этой форме.

Нам также придется побеспокоиться об интервале действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \(x\), в данном случае, на котором решение действительно. Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексных чисел, логарифмов отрицательных чисел или нуля, и т. д. . Большинство решений, которые мы получим из разделимых дифференциальных уравнений, не будут справедливы для всех значений ).

Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают с этими проблемами. 92}x\hspace{0.25in}\,\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{{25}}\]

Показать решение

Надеюсь, ясно, что это дифференциальное уравнение сепарабельно. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе его части. Как и при линейном первом порядке официально мы подберем постоянную интегрирования в обе стороны от интегралов по обе стороны от знака равенства. Два могут быть перемещены на одну сторону и поглощены друг другом. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \(x\), учитывая, что мы в конечном итоге будем находить \(y\), и поэтому константа в любом случае окажется на этой стороне. 92}}}\end{выравнивание*}\]

Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться об интервалах достоверности.

Напомним, что существуют два условия, определяющие интервал действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов или дыр. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1 .

Итак, в нашем случае мы должны избегать двух значений \(x\). А именно, \(x \ne \pm \sqrt {\frac{{28}}{3}} \приблизительно \pm \,3,05505\), поскольку это даст нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала достоверности.

\[- \ infty < x < - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \ hspace {0,25 дюйма} - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ sqrt { \ frac {{28}} {3}} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ infty \]

Однако только одно из них будет содержать значение \(x\) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что

\[ — \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} < x < \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \]

должен быть интервалом действия для этого решения.

Вот график решения.

Обратите внимание, что это не означает, что ни один из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом достоверности любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любой из них мог бы быть интервалом достоверности.

Мы оставляем вам возможность проверить детали следующих утверждений. Если мы используем начальное условие

\[y\left( { — 4} \right) = — \frac{1}{{20}}\]

мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.

\[ — \ infty < x < - \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \]

Аналогично, если мы используем

\[y\left( 6 \right) = — \frac{1}{{80}}\]

в качестве начального условия мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом достоверности. 2} — 4x — 2} \right)} }}{2}\end{align*}\] 92} — 4x + 2} \end{align*}\]

Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\( \pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле только один из признаков может быть правильным. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать это, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Подстановка \(x\) = 1 в решение дает.

\[3 = y\left( 1 \right) = 2 \pm \sqrt {1 + 2 — 4 + 2} = 2 \pm 1 = 3,\,1\]

В данном случае похоже, что «+» — правильный знак для нашего решения. Обратите внимание, что вполне возможно, что «–» может быть решением ( , т.е. с использованием начального условия \(y\left( 1 \right) = 1\)) поэтому не всегда ожидайте, что это будет один или другой. 2} — 4x + 2 \ge 0\]

Другими словами, нам нужно убедиться, что количество под радикалом остается положительным.

Используя систему компьютерной алгебры, такую ​​как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \(x\) = –3,36523, а также двум комплексным значениям, но мы можем игнорировать комплексные значения для интервала вычислений достоверности. Наконец, график количества под радикалом показан ниже.

Таким образом, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \(x \ge — 3.{\mbox{36523 }}\), потому что это диапазон \(x\), для которых количество положительный. Заметьте также, что этот интервал также содержит значение \(x\), которое находится в начальном состоянии, как и должно быть. 92}\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе части неравенства, поскольку в этом случае обе стороны неравенства гарантированно положительны. Наконец, решая для \(x\), мы видим, что единственный возможный диапазон \(x\), который не дает деления на ноль или квадратных корней из отрицательных чисел, будет

. \[ — \ frac {{\ sqrt 5}} {2} < x < \ frac {{\ sqrt 5}} {2} \]

и, как ни странно, содержит начальное условие \(x=0\). Таким образом, этот интервал является нашим интервалом достоверности. 92} — 4x — 4 > 0\]

Квадратичный будет равен нулю в двух точках \(x = 2 \pm 2\sqrt 2 \). График квадратичного уравнения (показан ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения полинома, и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.

Итак, возможные интервалы действия

\[\begin{array}{c} -\infty < x < 2 - 2\sqrt 2 \\ 2 + 2\sqrt 2 < x < \infty \end{array}\]

Из графика квадратичного мы видим, что второй содержит \(x\) = 5, значение независимой переменной из начального условия. Таким образом, интервал действия для этого решения.

\[2 + 2\sqrt 2 < x < \ infty \]

Вот график решения. 2}}}{\theta}\hspace{0.25in}r\left( 1 \right) = 2\] 92}}}dr}} & = \int{{\frac{1}{\theta}d\theta}}\\ — \frac{1}{r} & = \ln \left| \ тета \ справа | + с\конец{выравнивание*}\]

Теперь применим начальное условие, чтобы найти \(c\).

\[ — \frac{1}{2} = \ln \left( 1 \right) + c\hspace{0.25in}c = — \frac{1}{2}\]

Итак, неявное решение

\[ — \frac{1}{r} = \ln \left| \ тета \ справа | — \фракция{1}{2}\]

Решение для \(r\) дает нам явное решение.

\[r = \frac{1}{{\frac{1}{2} — \ln \left| \тета \право|}}\]

Здесь есть две проблемы для нашего решения. Во-первых, нам нужно избегать \(\theta = 0\) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \(\theta\) нам не нужно беспокоиться о том, что \(\theta\) будет отрицательным.