Утверждение 2. Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end{cases}\).
Утверждение 3. Уравнение \(\log_{\varphi (x)} f(x) = \log_{\varphi (x)} g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \).
При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.
При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.
Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.
Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.
Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.
Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнение: \(\log_{0,1}x=3\).
Решение: ОДЗ: \(x>0\).
Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: \(x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001\).
2-4x+3=0 \\ \end{cases} \Rightarrow x_1=1, x_2=3\).
Находим соответствующие значения у: \(y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1\).
Все найденные решения входят в ОДЗ.
Ответ: \((1; 3), (3; 1)\).
Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений
При решении системы, которая содержит показательные и логарифмические уравнения, используют приёмы решения систем (способ подстановки, способ сложения, замену переменных) и методы решения показательных и логарифмических уравнений.
ПРИМЕР:
Решите систему уравнений:
Из первого уравнения системы
у = 1 – х.
Тогда из второго уравнения получим
4х + 41-х = 5,
то есть
Замена 4х = t даст уравнение
из которого получим уравнение
t2 – 5t + 4 = 0,
которое имеет корни:
t1 =
1, t2 = 4.
Обратная замена даст 4х = 1,
тогда x1 = 0 или 4х = 4, откуда x2 = 1.
Находим соответствующие значения
у = 1 – х:
если x1 = 0, то у1 = 1;
если x2 = 1, то у2 = 0.
ОТВЕТ:
(0; 1), (1; 0)
ПРИМЕР:
Решите систему уравнений:
Замена
даст систему
Из второго уравнения этой системы имеем
u = 2 + v.
Тогда из первого уравнения получим
(2 + v)2 – v2 = 16.
Откуда v = 3, тогда
Обратная замена даёт
откуда, у = 2;
откуда, х = 2;
ОТВЕТ:
(2; 2).
ПРИМЕР:
Решите систему уравнений:
По определению логарифма имеем:
Из второго уравнения последней системы получим
у = х + 3
и вставляем его в первое уравнение:
х(х + 3) = 4,
х2 + 3х – 4 = 0,
х1 =
1, х2 = –4.
Тогда
у1 = 4, у2 = –1.
– решение данной системы.
ПРОВЕРКА:
– неправильное решение (под знаком логарифма получим отрицательные числа).
ОТВЕТ:
(1; 4).
ПРИМЕР:
Решите систему уравнений:
ОДЗ:
Тогда из первого уравнения имеем:
Замена t = logхy даст уравнение
t2 – 2t + 1 = 0, t = 1.
Обратная замена даст
то есть у = х.
Тогда из второго уравнения системы имеем:
х2 – х – 20 = 0,
х1 = –4 (не входит до ОДЗ),
х2 = 5 (входит до ОДЗ).
Поэтому, решение заданной системы:
х = 5, у = 5.
ОТВЕТ:
(5; 5).
Задания к уроку 9
Раздел 4. Уравнения и системы уравнений
11 октября, 201911 октября, 2019 |
Нет комментариев | 7:50 ппМатериалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн-Справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16).
Уравнения с одной переменной. Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
Раздел IV. Уравнения и системы уравнений
§ 14. Уравнения с одной переменной.
138. Определение уравнения. Корни уравнения.
139. Равносильность уравнений.
140. Линейные уравнения.
141. Квадратные уравнения.
142. Неполные квадратные уравнения.
143. Теорема Виета.
144. Системы и совокупности уравнений.
145. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.
147. Уравнения с переменной в знаменателе.
148. Область определения уравнения.
149. Рациональные уравнения.
150. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.
151. Решение уравнений методом введения новой переменной.
152. Биквадратные уравнения.
153. Уравнения высших степеней.
154. Решение задач с помощью уравнений.
155. Иррациональные уравнения.
156. Показательные уравнения.
157. Логарифмические уравнения.
158. Показательно-логарифмические уравнения.
159. Простейшие тригонометрические уравнения.
160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
162.
Однородные тригонометрические уравнения.
163. Универсальная подстановка.
164. Метод введения вспомогательного аргумента.
165. Графическое решение уравнений.
166. Уравнения с параметром.
§ 15. Уравнения с двумя переменными.
167. Решение уравнения с двумя переменными.
168. График уравнения с двумя переменными.
169. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
§ 16. Системы уравнений.
170. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.
171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
172. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.
174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
175. Симметрические системы.
176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
177. Системы трех уравнений с тремя переменными.
178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными.
179. Системы показательных и логарифмических уравнений.
180. Системы тригонометрических уравнений.
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
§ 14. Уравнения с одной переменной.
138. Определение уравнения. Корни уравнения.
139. Равносильность уравнений.
140. Линейные уравнения.
141.
Квадратные уравнения.142. Неполные квадратные уравнения.
143. Теорема Виета.
144. Системы и совокупности уравнений.
145. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.
147. Уравнения с переменной в знаменателе.
148. Область определения уравнения.
149. Рациональные уравнения.
150. Решение уравнения
р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.151. Решение уравнений методом введения новой переменной.
152. Биквадратные уравнения.
153. Уравнения высших степеней.
154. Решение задач с помощью уравнений.
155. Иррациональные уравнения.
156. Показательные уравнения.
157. Логарифмические уравнения.
158. Показательно-логарифмические уравнения.
159. Простейшие тригонометрические уравнения.
160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
162. Однородные тригонометрические уравнения.
163. Универсальная подстановка.
164. Метод введения вспомогательного аргумента.
165. Графическое решение уравнений.
166. Уравнения с параметром.
§ 15. Уравнения с двумя переменными.
167. Решение уравнения с двумя переменными.
168. График уравнения с двумя переменными.
169. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
§ 16. Системы уравнений.
170. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.
171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
172. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.
174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
175. Симметрические системы.
176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
177. Системы трех уравнений с тремя переменными.
178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными.
179. Системы показательных и логарифмических уравнений.
180. Системы тригонометрических уравнений.
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
Материалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16). Уравнения с одной переменной.
Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.
Просмотров: 2 859
Метки: Справочники
Логарифмические системы уравнений ‹ OpenCurriculum
Цели статьи
Введение
Точно так же, как логарифмические уравнения с одной переменной, системы уравнений, включающие логарифмы, требуют той же комбинации методов: логарифмических тождеств и показателей степени, которые помогают переписать логарифмы таким образом, чтобы упростить решение для переменных. Алгебраические манипуляции, такие как замена и исключение, могут помочь получить уравнение с одной переменной, которое можно легко решить. Тогда любые оставшиеся переменные могут быть найдены более легко. 92 = 25 \стрелка вправо$$ $$y = \pm 5$$
Наконец, обратите внимание, что использование \(x = -5\) не делает отдельные выражения в исходных уравнениях неопределенными.
Часто использование отрицательных значений переменных в качестве решений логарифмических уравнений создает здесь проблему, но в данном случае это не так, потому что каждый экземпляр \(x\) в исходных уравнениях включает четный показатель степени, удаляя отрицательные знаки.
Преобразования в линейные системы
В этом разделе подробно описывается, как некоторые логарифмические системы уравнений могут быть записаны в виде линейных систем с двумя переменными, что значительно упрощает их решение. Обычно здесь требуется замена. 94)\):
$$2a + 4b = 7$$ $$a + 2b = 4$$
Чтобы доказать, что эта система не имеет решений, разделите первое уравнение на \(2\):
$$a + 2b = \frac{7}{2}$$
Таким образом, система утверждает, что \(\frac{7}{2} = 4\), что неверно, поэтому система не имеет решений.
Подобно экспоненциальным системам уравнений, логарифмическими системами уравнений можно манипулировать, используя основные принципы экспонент и логарифмов, в частности, тождества, для создания уравнений, которые легко решить, будь то простое логарифмическое или экспоненциальное уравнение с одной переменной или уравнение система линейных уравнений.
Часто тестирование различных манипуляций с системой (например, применение трех разных тождеств к уравнению) может дать представление о том, какой метод использовать. Более сложные системы обычно требуют нескольких идентификаторов и, возможно, более одной замены.
Справочник, любезно предоставленный
«Искусство решения задач на среднем уровне алгебры» Ручик, Ричард и Кроуфорд, Мэтью
Системы логарифмических уравнений
В системе двух логарифмических уравнений с двумя неизвестными наиболее полезным методом поиска решения часто является редукция или исключение, оба из которых используются при решении систем линейных уравнений.
$$$\left .\begin{array}{rcl} \log x+\log y &=& 3\\ \log x — \log y &=& 1 \end{array} \right \}$$ $ Мы можем сложить оба уравнения, чтобы исключить одну из переменных ($$\log y$$), так что у нас получится уравнение, в котором $$x$$ является единственной переменной. 91=10 $$$ Итак, решение системы: $$x=100$$ и $$y=10$$.
В системах логарифмических уравнений нам также нужно проверить, что решения возможны, хотя в этом случае мы сразу видим, что они являются правильными решениями.
Существует еще один тип системы логарифмических уравнений, в которой только одно из уравнений является логарифмическим, а другое является нормальным уравнением с теми же двумя неизвестными.
В таких ситуациях лучше всего попытаться избавиться от логарифмов и применить любой из методов, которые нам нравятся, для решения системы.
Следующая система состоит из логарифмического уравнения и линейного уравнения: $$$\слева. \begin{array}{rcl} \log x — \log y &=& 1 \\ x+ 2y &=& 24 \end{array}\right \}$$$ Первое, что необходимо сделать, это избавиться от логарифмов. Для этого мы можем применить свойство, согласно которому разность логарифмов является логарифмом их деления, чтобы мы могли получить: $$$\log x- \log y = 1 \Rightarrow \displaystyle \log \frac{x}{y}=1 \Rightarrow \frac{x}{y}=10$$$
Тогда у нас есть следующее уравнение, которое мы можем довольно легко решить: $$$\слева. \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x}{y}=10 \\ x+2y=24 \end{array}\right \}$$$
Это система двух линейных уравнений с два неизвестных.
2 \стрелка вправо xy=100 $$$ 92-4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}=\frac{-21 \pm \sqrt{441+400}}{2}=\frac{-21 \pm \sqrt{ 841}}{2}=\frac{-21 \pm 29}{2}$$$
Таким образом, возможные значения для $$y$$: $$$\begin{array}{rcl} y&=& \displaystyle \frac{-21+29}{2}={8}{2}=4 \\ y&=& \frac{-21-29}{ 2}=\frac{-50}{2}=-25\end{array}$$$
Нам все еще нужно проверить, являются ли эти решения допустимыми, поскольку логарифм не может принимать отрицательных значений. Теперь, если $$y=-25$$, мы знаем, что первое уравнение должно быть: $$$\лог х +\лог (-25)=2$$$ И $$\log(-25)$$ не существует.
С другой стороны, если мы возьмем $$y=4$$, мы получим верное решение. Мы можем использовать это значение, чтобы получить значение $$x$$, подставив его во второе уравнение системы: $$$x=21+y \Rightarrow x=21+4=25$$$
Нам еще нужно проверить, является ли это допустимым значением для $$x$$. Но поскольку это положительное значение, проблем нет, и мы видим, что решение системы равно $$x=25$$ и $$y=4$$.
Похожие темы
- Логарифмические уравнения второй степени
- Логарифмические уравнения первой степени
Решенные задачи систем логарифмических уравнений
Посмотреть проблемыКак решать логарифмические уравнения в алгебре
Уравнения, содержащие переменные в логарифмических выражениях, называются логарифмическими уравнениями (иногда их называют «логарифмическими уравнениями»). Решение логарифмических уравнений может быть легким и интересным, если вы знаете основные методы и различные сценарии. Здесь мы предоставим исчерпывающее руководство по наиболее эффективным методам решения логарифмических уравнений.
a
92 + 1 = 10
Оба корня этого алгебраического уравнения являются решениями исходного логарифмического уравнения:
x_1 = 3 , \quad x_2 = -, 3
Пример 3
Этот метод также работает, если f(x) сама по себе является логарифмической функцией. Например, рассмотрим уравнение
ln(log x) = 0
Как обычно, мы можем ввести новую переменную t в соответствии со следующим уравнением:
t = log x
Тогда t является решением простого логарифмического уравнения 91 = 10
Логарифмические уравнения типа 3
Далее мы рассмотрим, как решать логарифмические уравнения вида
log_b f ( x ) = log_b h ( x )
, где f(x) и h(x) — некоторые элементарные алгебраические функции, а b — положительное число, b ≠ 1. Это логарифмическое уравнение эквивалентно алгебраическому уравнению
f (x) = h (x)
Мы также должны помнить, что область определения любой логарифмической функции — неотрицательные, действительные числа.
Таким образом, среди всех решений уравнения f(x) = h(x) следует выбирать только решения, удовлетворяющие одному из следующих условий: 93 = 2 х
Среди всех корней этого уравнения, которые можно определить как
x_1 = 0 , \quad \quad x_2 = — , \sqrt{ 2 } , \quad \quad x_3 = \sqrt{ 2 }
Только те, которые удовлетворяют условию
\quad \quad x > 0
могут быть решениями исходного логарифмического уравнения. Следовательно, корни x 1 и x 2 следует отбросить, и единственным решением будет
x = \sqrt{ 2 }
Пример 2
2 = 0Это имеет единственное решение:
x = 1
Очевидно, что это решение удовлетворяет условию x > 0.
Пример 3
Метод, который мы сейчас исследуем, требует лишь небольшой модификации, если логарифмические выражения в обеих частях логарифмического уравнения имеют разные основания:
log_a ж ( х ) = log_b ч ( х )
, где a и b — положительные числа, a ≠ 1 и b ≠ 1.
Мы можем переписать левую часть этого уравнения в виде 9{ log_b }
Обратите внимание на то, что в этом случае должны выполняться оба следующих условия:
f ( x ) > 0 \quad \quad \text{ и} \quad \quad h ( x ) > 0
Для иллюстрации рассмотрим уравнение журнала
log_2 x = log_4 ( x + 2 )
Используя изменение базовой формулы, мы имеем
log_4 ( x + 2 ) = \dfrac{ log_2 ( x + 2 ) }{ log_2 4 } = \dfrac{ 1 }{ 2 } log_2 ( x + 2 )
Таким образом, мы можем написать
92 = х + 2Далее, помните, что обе начальные логарифмические функции определены только в области
x > 0
Таким образом, между двумя корнями квадратного уравнения
x_1 = -,1 , \quad \quad x_2 = 2
только x = 2 является решением исходного логарифмического уравнения.
Логарифмические уравнения типа 4
Более сложным классом логарифмических уравнений являются уравнения вида + log_b h_2(x) + \ldots + log_b h_m(x)
, где b — положительное число, b ≠ 1, и
f_i ( x ), \quad i = 1, 2, \ldots , n
h_j ( x ), \quad j = 1, 2, \ldots , m
Это некоторые алгебраические функции (некоторые из них могут быть постоянными числами).
Решение логарифмических уравнений этого типа эквивалентно решению следующей системы алгебраических уравнений:
f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x) = h_1(x) h_2(x) \ldots h_m(x)
f_i ( x ) > 0, \quad i = 1, 2, \ldots , n
h_j ( x ) > 0, \quad j = 1, 2, \ldots , m
Пример 1
Например, рассмотрим следующее логарифмическое уравнение:
ln 2 x + ln ( x — 1) = ln 4
Как мы только что обсуждали, чтобы решить это логарифмическое уравнение, мы должны решить
2 x ( x — 1 ) = 4
x > 0 , \quad \quad x > 1
Среди двух корней квадратного уравнения
x_1 = -, 1 , \quad \quad x_2 = 2
только второй удовлетворяет приведенным выше неравенствам. Таким образом, единственным решением данного логарифмического уравнения является 92 + х — 1 = 0
Это два корня:
x_1 = — ,1 , \quad \quad x_2 = \dfrac{ 1 }{ 2 }
Легко проверить, что первый корень, x 1 = – 1, не удовлетворяет неравенству 2 x + 1 > 0, а второй корень, x 2 = 1/2, удовлетворяет обоим неравенствам.
Таким образом,
x = \dfrac{ 1 }{ 2 }
Это единственное решение рассматриваемого логарифмического уравнения.
Пример 4
Если мы столкнемся с проблемой с дробями логарифмов, скорее всего, уравнение логарифма можно будет преобразовать в ту же стандартную форму. Например, если нам нужно решить 92
Это легко решить:
x_1 = 0 , \quad \quad x_2 = \dfrac{ 3 }{ 5 }
Наконец, единственным корнем, удовлетворяющим условию x > 0, является
x = \dfrac{ 3 }{ 5 }
Логарифмические уравнения типа 5
Наконец, мы научимся решать логарифмические уравнения вида
F[ h ( x ) ] = 0
Здесь h(x) — некоторая логарифмическая функция, а F(u) — элементарная алгебраическая функция. В этом случае мы можем ввести новую переменную t = h(x) и решить:
F ( т ) = 0
Пусть
t = t_1 , t_2 , \ldots , t_n
— n действительных чисел, являющихся решениями алгебраического уравнения F(t) = 0.
Тогда, чтобы решить исходное логарифмическое уравнение, мы должны найти решения следующей системы n алгебраических уравнений:
h ( x ) = т_1
ч ( х ) = t_2
точек
ч ( х ) = t_n
Пример 1
log \sqrt{x} = \sqrt{logx}
Используя тот факт, что
log \sqrt{ x } = \dfrac{ 1 }{ 2 }, log x
мы можем записать это логарифмическое уравнение в следующей форме:
\dfrac{ 1 }{ 2 }, log x = \sqrt{ log x }
Для вспомогательной переменной
t = log x
получаем простое алгебраическое уравнение:
\dfrac{ t }{ 2 } = \sqrt{ t }
Имеет следующие корни:
t_1 = 0 , \quad \quad t_2 = 4
Таким образом, мы должны решить два логарифмических уравнения: 93 = 1000
Пример 3
log_x 3 log_{ 3x } 3 = log_{9x } 3
Хотя это логарифмическое уравнение кажется совершенно отличным от тех, которые мы рассматривали до сих пор, сейчас мы покажем, как его можно решить, используя те же методы.
Во-первых, поскольку основанием логарифма может быть только положительное число, не равное единице, область применимости переменной x может быть выражена как
x > 0 , \quad \quad x \neq 1, \dfrac{ 1 }{ 3 }, \dfrac{ 1 }{ 9}
Теперь мы можем использовать формулу изменения основания для логарифмов, чтобы выразить log x 3 через log 3 x:
log_x 3 = \dfrac{ log_3 3 }{ log_3 x } = \dfrac{ 1 }{ log_3 х }
Аналогично можно написать
log_{ 3 x } 3 = \dfrac{ 1 }{ log_3 3 x } = \dfrac{ 1 }{ 1 + log_3 x }
log_{ 9 x } 3 = \dfrac{ 1 }{ log_3 9 x } = \dfrac{ 1 }{ 2 + log_3 x }
Исходное логарифмическое уравнение теперь преобразуется в уравнение стандартной формы:
log_3 x ,( 1 + log_3 x ) = 2 + log_3 x
Это можно решить с помощью следующей замены:
t = log_3 x
Уравнение относительно переменной t принимает вид:
t ,( 1 + t ) = 2 + t
Мы можем легко найти соответствующие корни:
t_1 = \sqrt{ 2 }, \quad \quad t_2 = -,\sqrt{ 2 }
Таким образом, у нас есть два логарифмических уравнения:
log_3 x = \sqrt{ 2 }
log_3 x = -,\sqrt{ 2 }
{ \sqrt{ 2 } } } Оба решения находятся в допустимом диапазоне для переменной x.