Решение систем уравнений метод крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА
1
Определение 1.
Линейным уравнением называется
уравнение вида
a1 x1 a2 x2 … an xn b,
где а и b – числа, х- неизвестные.
2
Определение 2.
Системой линейных уравнений (линейной
системой) называется система вида
3
МАТРИЧНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
a11 a12

a
a22
21
.

.. …
a
n1 an 2
… a1n x1 b1
… a2 n x2 b2
… … … …
… ann xn bn
4
Определение 3.
Решением линейной системы
называется набор чисел
x01 , x02 ,…, x0 n ,
которые при подстановке вместо
неизвестных обращают каждое
уравнение системы в верное
равенство.
5
В школьном курсе рассматриваются
способ подстановки и способ сложения. В
курсе высшей математике решают
методом Крамера, методом Гаусса и с
помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных
уравнений методом Крамера
Сведения из истории.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его работ является «Введение в
анализ алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и решает её с помощью
алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704
года в Женеве (Швейцария) в семье врача.

Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии
и демонстрировал завидные способности
в области математики.
В 18 лет он успешно защитил
диссертацию. Через 2 года Крамер
выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете.
Юноша так понравился магистрату, что
специально для него и ещё одного одного
кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра
математики, где Крамер и работал в
последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе,
перенимая опыт у знаменитых математиков
своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в
Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи
и Клеро в Париже и других. Со многими из них
он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет
преподавательскую работу в Женевском
университете. В это время он участвует в
конкурсе Парижской Академии и занимает
второе место.
Талантливый учёный написал множество
статей на самые разные темы: геометрия,
история, математика, философия.

В 1730
году он опубликовал труд по небесной
механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру
подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году
Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он
выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли
(брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник
переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы
вызвали большой интерес со стороны учёных всего
мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во
Франции
Теорема Крамера
Если определитель системы отличен от нуля, то

система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное
равно
отношению
определителей.
В
знаменателе – определитель системы, а в
числителе – определитель, полученный из
определителя
системы
путём
замены
коэффициентов
при
этом
неизвестном
свободными членами. Эта теорема имеет место
для системы линейных уравнений любого
порядка.

Дана система
Формулы Крамера
.
………….
Заменяя столбец с коэффициентами
соответствующей переменнойсвободным членом
Решение систем уравнений с тремя переменными
a1 x b1 y c1 z d1
a2 x b2 y c2 z d 2
a x b y c z d
3
3
3
3
z
z
x
y
x
y
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
c2
z a2
b2
d2
c3
a3
b3
d3
d1
b1
c1
a1
d1
c1
x d2
b2
c2
y a2
d2
d3
b3
c3
a3
d3
Пример:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
РЕШЕНИЕ
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
8
2
4
x 11
4
5 38
1
3
2
x
x
19
y
y
x 38
x
2
19
z
z
Решение систем уравнений с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
4
y 2 11 5 3
4
1
2
y
x 2
y
z
z
19
11 5
1
2
8
2 5
4
2
4
3 27 8 24 4 42 81 192 168 57
2 11
4
1
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
x 2
y
19
4
y 2 11 5 57
4
1
2
y
57
y
3
19
y
z
z
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11

4 x 3 y 2 z 1
3
z 2
2
z 1
19
8
4
11 3
3
4 3 1
4
y 3
x 2
11
1
3
2 11
4
z 19
z
1
19
1
8
2
4
4 3
19
Задание1:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
5 х 8 у z 7,
3 х 4 у 2 z 8,
2
x
3
y
2
z
9
,
2)
2
x
4
y
3
z
1
,
1)
x 2 y 3z 1
x 5y z 0
2 х у 5 z 1,
3) x 3 y 4 z 1,
2x y z 1

English Русский Правила

Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решите систему уравнений с помощью методов Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Метод Крамера или так называемое правило Крамера — это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть основная матрица, образованная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определитель должен не быть нулем.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, и она имеет уникальное решение. Решение такой системы вычисляется по так называемым формулам Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующим образом:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, прежде всего вычислим главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении методом Крамера оказался равным нулю, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное число решений. В этом случае для нахождения общего или какого-то базового ответа для системы рекомендуется применять метод Гаусса.

Затем необходимо заменить последний столбец основной матрицы на столбец свободных членов и вычислить определитель $D_1$.
Повторите то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер самого правого столбца.
После того, как все определители $D_1$…$D_n$ найдены, можно вычислить неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Методика вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы размерностью более 2 на 2 можно использовать несколько методов:

Правило треугольников, или правило Сарруса, напоминающее то же правило. Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединенных на рисунке красной чертой справа, они записываются со знаком плюс, а все числа, соединенные аналогичным образом на рисунке на слева со знаком минус.
Оба правила подходят для матриц 3×3. В случае правила Сарруса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней снова переписываются ее первый и второй столбцы. Через матрицу проводят диагонали и эти дополнительные столбцы, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком минус.

Рис. 1. Правило треугольников для вычисления определителя по методу Крамера

При использовании метода, известного как метод Гаусса, этот метод также иногда называют редукцией определителя. При этом матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя умножать или делить строки или столбцы на числа, не вынося их в качестве множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитание и сложение строк и столбцов друг к другу, предварительно умножив вычитаемую строку на ненулевой коэффициент. Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы следует помнить о необходимости смены конечного знака матрицы.
При решении СЛАУ Крамера с 4 неизвестными лучше всего использовать метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или определить определитель через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера к системе из 2 уравнений и двух искомых величин:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end(cases)$

Для удобства отобразим в развернутом виде:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Найти определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если основной определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо вычислить еще пару определителей из двух матриц с заменой столбцов основной матрицы строкой свободных членов:

$D_1 = \begin(массив)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(массив) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(массив )(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдем неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$ x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3-го порядка (3 x 3) и тремя желаемые.

Решите систему уравнений:

$\begin(cases) 3x_1 — 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 — x_2 — x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Вычисляем главный определитель матрицы по приведенному выше правилу под номером 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) — 4 \cdot 4 \ cdot 2 — 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 — 8 -12 -32 — 6 + 6 = — $64

А теперь еще три определителя:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 — 4 \cdot 4 \cdot 10 — 9 \cdot (-2) \cdot (-1 ) — (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = — 84 — 40 — 36 — 160 — 18 + 42 = — $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 — 4 \cdot 9\cdot 2 — 21 \cdot 3 \cdot (-1) — 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(массив)(|ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + ( -2) \cdot 9 \cdot 2 — 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 — 63 — 36 — 168 + 60 + 27 = — $ 60

Найдем искомые значения:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = — 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \ frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Методы Kramer и Gaussian одно из самых популярных решений SLAU . Кроме того, в ряде случаев целесообразно использовать специфические методы. Сессия подошла к концу, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня мы займемся решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений по методу Крамера — очень полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений представляет собой систему уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и б — действительные коэффициенты. Простую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме или выразить одну переменную через другую. Но переменных (x) в СЛАУ может быть гораздо больше, чем две, и здесь не обойтись без простых школьных манипуляций. Что делать?

Например, решить СЛАУ методом Крамера!

Пусть система будет n уравнений с n неизвестно.

Такую систему можно переписать в матричной форме

Здесь A — основная матрица системы, X и В соответственно, матрицы столбцов неизвестных переменных и свободных членов.

Раствор СЛАЭ по Крамеру

Если определитель основной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), система может быть решена методом Крамера.

По методу Крамера решение находится по формулам:

Здесь дельта — определитель основной матрицы, а

дельта х n-й — определитель, полученный из определителя основной матрицы заменой n-го столбца на столбец свободных членов.

В этом весь смысл метода Крамера. Подставляя найденные значения по приведенным выше формулам х в нужную систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы помочь вам быстро вникнуть в суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного потренировавшись, вы начнете щелкать SLOW, как орехи. Более того, теперь совершенно не нужно корпеть над тетрадью, решая громоздкие вычисления и записывая на стержне. СЛАУ методом Крамера легко решить онлайн, просто подставив коэффициенты в готовую форму. Вы можете попробовать онлайн-калькулятор решения метода Крамера, например, на этом сайте.

А если система оказалась упрямой и не сдается, вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, купить синопсис. Если в системе будет хотя бы 100 неизвестных, мы обязательно решим ее правильно и точно в срок!

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. Знаменатель – определитель системы, а числитель – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов при неизвестных свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1 Решить систему линейных уравнений:

Согласно Теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2,

9000 онлайн калькулятор): .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если она не имеет решений, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой столбца коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

Следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Раствор. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам нахождения общих свойств каких-либо явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных стоят буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Нахождение определителей при неизвестных

Рассмотрим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители третьего порядка, решение такой системы можно записать в том же виде а для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение . Нахождение определителя главной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислить еще три определителя:

Экспертиза:

Следовательно, решение найдено верно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, позволяют предположить, что одни и те же правила можно сформулировать для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель главной матрицы ,  и – определитель матрицы , производная от основной, замена i й столбец свободные элементы столбца .

Обратите внимание, что если =0, то правило Крамера неприменимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. детерминанты n-го порядка

Дополнительный минор M ij Элемент a ij называется определителем, полученным из заданного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Алгебраическое сложение A ij Элемент a ij называется минором этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. А иж = (–1) i + j M ij .

. n -й порядок по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) и их алгебраических дополнений:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления детерминанты, так наз. метод сокращения заказа . В результате разложения определителя n -го порядка в любой строке или столбце получим n определителей ( n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать строку или столбец, в которых больше всего нулей. На практике формула разложения определителя обычно записывается как:

т. е. алгебраические дополнения записываются явно в терминах миноров.

Примеры 2.4. Вычислите определители, разложив их сначала в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будут отмечены стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель по любой строке или столбцу, получим n определителей ( п –1)-й приказ. Тогда каждый из этих определителей ( n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей ( n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно добраться до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка — сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка — 24 слагаемых. Количество членов будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, не под силу даже компьютеру. Однако определители можно вычислить и другим способом, используя свойства определителей.

Недвижимость 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк, и наоборот.

Собственность 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Последствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Собственность 3 . Общий делитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя .

Например,

Последствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Собственность 4 . Определитель не изменится, если элементы одной строки (столбца) прибавить к элементам другой строки (столбца), умноженным на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Используйте правило Крамера, чтобы решить следующую систему линейных уравнений. Найдите Dx, Dy, Dz и определитель. Дайте значение у.

Предварительный расчет

Руди О.

спросил 26.03.20

4x — 3y + z = 29

6x + 9y — 2z = 6

3x — 2y + 4z = 31

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

ЖАК Д. ответил 26.03.20

Репетитор

4,8 (72)

Физика, Химия, Математика — Без проблем!

Об этом репетиторе ›

Правило Крамера довольно крутое, но вам нужно уметь находить определитель матрицы 3×3. D – определитель матрицы коэффициентов. Dx, Dy и Dz являются определителями матриц с i-м столбцом (i = x, y или z), замененным столбцом вектора решения. Если у вас есть это, то

x = Dx/D, y = Dy/D и z = Dz/D

определитель матрицы коэффициентов равен |4 -3 1|

|6 9 -2| = 4*9*4 +(-3*-2*3) + 1*6*-2 -3*9*1-(-2*-2*4)-4*-3*6 =

| 3 -2 4| 179

определитель, Dy равен |4 29 1|

|6 6 -2| = 4*6*4+29*-2*3+1*6*31-1*6*3-4*-2*31-4*29*6=

|3 31 4| -358

Следовательно, y = (-358/179) = -2

Кстати, вектор решения (x y z) = (5 -2 3)

Остальное я оставлю вам.

Голосовать за 1 Понизить

Подробнее

Отчет

Омкар А. ответил 26.03.20

Репетитор

Новое в Византе

NCSU Engineering ’23

Смотрите таких репетиторов

Составьте матрицу, используя коэффициенты уравнений

D=[4,-3,1] Определитель = 179

[6,9,-2]

[3,-2,4]

Далее составьте матрица, заменяющая первый столбец числами в правой части каждого уравнения

[29,-3, 1] Dx = 895

[6, 9,-2]

[31,-2, 4]

Составьте матрицу, заменив второй столбец числами справа для Dy

[4,29,1] Dy= -358

[6,6,-2]

[3,31,4]

В последнюю очередь составьте матрицу для Dz и замените третий столбец числами справа

[4,-3,29] Dz = 537

[6, 9, 6]

[3,-2,31]

Теперь, когда у вас есть определители для каждой матрицы, вы уже ответили на большую часть вопроса.