Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера — Мегаобучалка
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .
Решение.
Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .
Вычисляем эти определители:
Находим неизвестные переменные x1 и x2 по формулам :
Выполним проверку. Подставим полученные значения x1 и x2 в исходную систему уравнений:
Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.
Пример.
Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .
Решение.
Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле
Имеем
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :
Таким образом,
Ответ:
.
Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера.
Пример.
Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .
Решение.
В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместоx1, x2 и x3). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
Осталось найти неизвестные переменные по формулам :
Выполним проверку.
Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):
В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Решите методом Крамера систему линейных уравнений , гдеa и b – некоторые действительные числа.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
Находим неизвестные переменные
Рекомендуем проверить полученные результаты.
Ответ:
.
Пример.
Найдите решение системы уравнений методом Крамера, — некоторое действительное число.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы: . Область значений выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях .
Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :
Таким образом, .
Выполним проверку:
Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Пример.
Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера .
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений:
Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для решения такой системы уравнений.
Пример.
Методом Крамера найдите решение СЛАУ .
Решение.
Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля , поэтому ее единственным решением является x1 = 0, x2 = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали вышев замечании.
Ответ:
x1 = 0, x2 = 0.