Решение слау: Решение систем линейных уравнений — как решать СЛАУ методами Гаусса, Крамера, подстановки и почленного сложения

alexxlab / / Разное

Содержание

СЛАУ примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

  • СЛАУ: основные понятия, виды
  • Критерий совместности системы
  • Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
  • Метод / Теорема Крамера
  • Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных
  • Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Методы решения систем линейных уравнений широко используются в задачах математики, экономики, физики, химии и других науках. На практике, они позволяют не делать лишних действий, а записать систему уравнений в более компактной форме и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять основные методы решения и научиться выбирать оптимальный.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по СЛАУ, прочитать все теоремы и методы решения. Список тем находится в правом меню.

Примеры по темам:
  • СЛАУ: основные понятия, виды
  • Критерий совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли
  • Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
  • Решение методом Крамера
  • Решение методом Гаусса
  • Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

СЛАУ: основные понятия, виды

Теоретический материал по теме — СЛАУ: основные понятия, виды.

Пример

Задание. Проверить, является ли набор ${0,3}$ решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$ :

$$3 x-2 y=-6 \Rightarrow 3 \cdot 0-2 \cdot 3=-6 \Rightarrow-6=-6$$ $$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор ${0,3}$ является решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.

$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Систему $\left\{\begin{array}{l} x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end{array}\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A \cdot X=B$ , где матрица системы:

$$A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

вектор-столбец неизвестных:

$$A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

вектор-столбец свободных коэффициентов:

$$B=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$

Пример

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\ x_{1}-x_{2}=5 \end{array}\right.$

Решение. Матрица системы $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde{A}=(A \mid B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end{array}\right)$

Критерий совместности системы

Теоретический материал по теме — критерий совместности системы, теорема Кронекера-Капелли.

Пример

Задание. При каких значениях $\lambda$ система $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4}=2 \\ x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=\lambda \end{array}\right.$ будет совместной?

Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы $\tilde{A}$ (слева от вертикальной черты находится матрица системы $A$ ):

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 7 & -4 & 2 & \lambda \end{array}\right)$$

и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от второй строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrrr|r} 0 & -5 & 3 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -3 & 1 & \lambda-2 \end{array}\right)_{+I} \sim$$

Третью строку складываем с первой:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrrr|r} 0 & -5 & 3 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda-5 \end{array}\right)$$

и меняем первую и вторую строки матрицы местами

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda-5 \end{array}\right)$$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что $rangA=2$ , $\operatorname{rang} \tilde{A}=\left\{\begin{array}{l} 2, \lambda=5 \\ 3, \lambda \neq 5 \end{array}\right. $ . Таким образом, при $\lambda=5$ система совместна, а при $\lambda \neq 5$ — несовместна.

Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

Теоретический материал по теме — матричный метод решения.

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l}5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9\end{array}\right.$ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ и матрицу правых частей $B=\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)$ . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: $|A|=1$ ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы.

{-1} B=\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right)$$

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_{1}=-11$, $x_{2}=31$

Ответ. $x_{1}=-11$, $x_{2}=31$

Пример

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

$AX=B$,

где $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right)$ — матрица системы, $X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)$ — столбец неизвестных, $B=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$ — столбец правых частей. {3+3}\left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-3$

Таким образом,

$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrr} -2 & -2 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right)$

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

А тогда

$$\tilde{A}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)$$

Отсюда искомая матрица

$$X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.

$$ $$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$$

Метод / Теорема Крамера

Теоретический материал по теме — метод Крамера.

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_{1}$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_{2}$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 2 & 9 \end{array}\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

$$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-11}{1}=-11, x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{31}{1}=31$$

Ответ. $x_{-1}=-11$, $x_{2} = 31$

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_{3}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Таким образом,

$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{4}{-4}=-1$    $x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-4}{-4}=1$    $x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-12}{-4}=3$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3\end{array}\right.$

Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных

Теоретический материал по теме — метод Гаусса.

Пример

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{1}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)$$

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right)$$

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right)$$

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Полученной матрице соответствует система

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3 \end{array}\right.$    или    $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Однородные СЛАУ.

Фундаментальная система решений

Теоретический материал по теме — однородные СЛАУ.

Пример

Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-1 \\ x+3 y=7 \end{array}\right.$ ненулевые решения.

Решение. Вычислим определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$$

Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Пример

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\Delta=\left|\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end{array}\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end{array}\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end{array}\right)$$

От четвертой строки отнимем $$\frac{4}{3}$$ третьей и третью строку умножим на $$\frac{1}{3}$$ :

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \\ -2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ 3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right. $$

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Здесь $x_{2}, x_{4}$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1},x_{3},x_{5}$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3-2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что $x_{1}=12,x_{3}=-5,x_{5}=6$ , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right. $    $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Читать первую тему — СЛАУ: основные понятия, виды, раздела системы линейных алгебраических уравнений.

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения СЛАУ:
    Метод Крамера
    Метод обратной матрицы
    Метод Гаусса
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем:
    Метод простой итерации или метод Якоби
    Метод Гаусса – Зейделя

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи ( по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.

Постановка задачи

Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

,

Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:

,

где , , .

A – матрица системы, – вектор правых частей, – вектор неизвестных.

При известных A и требуется найти такие , при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы решения СЛАУ
Метод Крамера

При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:

(i = 1, 2, …, m). Эти формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц Ai, полученных из A заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном столбцом свободных членов. Так А1 получается из матрицы А заменой первого столбца на столбец правых частей f.

Например, для системы двух линейных уравнений

Размерность системы (т.е., число m) является главным фактором, из–за которого формулы Крамера не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При непосредственном раскрытии определителей решение системы с m неизвестными требует порядка m!*m арифметических операций. Таким образом, для решения системы, например, из m = 100 уравнений потребуется совершить 10158 вычислительных операций (процесс займёт примерно 1019 лет), что не под силу даже самым мощным современным ЭВМ

Метод обратной матрицы

Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица . Тогда решение СЛАУ записывается в виде: . Следовательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на и исключим x1 из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим

.

Если , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

.

Из нее в обратном порядке находим все значения xi:

.

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a11 был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1 из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

В первом уравнении коэффициент при =0, во втором = 1 и в третьем = -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент в третьем уравнении. Поэтому переставим третье и первое уравнение:

Исключим из второго и третьего уравнений с помощью первого. Во втором уравнении исключать не надо. Для исключения из третьего уравнения умножим первое на 0.5 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при в третьем. Поэтому поместим его на место второго:

Исключим из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

Обратный ход: .

Проверка: 0.5*8+0=4, -3+8-0=5, -2*(-3)+0=6.

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы которые являются слабо заполненными, т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Например, метод прогонки, который мы рассмотрим позже при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем
Метод простой итерации или метод Якоби

Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

,

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

(1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

(2)

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или

Условие окончания итерационного процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Пример.

Решить систему линейных уравнений с точностью :

 

8

4

2

 

10

 

x1

 

=

3

5

1

=

5

 =

x2

 

 

3

–2

10

 

4

 

x3

 

Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

.

Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: , , .

Приводим систему уравнений к виду (1):

.

Начальное приближение . Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

k

x1

x2

x3

точность

0

0

0

0

 

1

1. 250

1.000

0.400

1.2500

2

0.650

0.170

0.225

0.8300

3

1.109

0. 565

0.239

0.4588

………

4

0.908

0.287

0.180

0. 2781

5

1.061

0.419

0.185

0.1537

6

0.994

0.326

0.165

0.0931

7

1. 046

0.370

0.167

0.0515

8

1.023

0.594

0.160

0.2235

9

0.913

0. 582

0.212

0.1101

10

0.906

0.505

0.242

0.0764

11

0.937

0.495

0. 229

0.0305

12

0.945

0.516

0.218

0.0210

……

13

0. 937

0.523

0.220

0.0077

Здесь

,

И т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что произойдет на 13 – ой итерации.

Следовательно, приближенное решение имеет вид:

Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т. е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

k

x1

x2

x3

точность

0

0

0

0

 

1

1. 250

0.250

0.075

1.2500

2

1.106

0.321

0.132

0.1438

3

1.056

0. 340

0.151

0.0500

4

1.042

0.344

0.156

0.0139

5

1.039

0.346

0. 157

0.0036

Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.


Когда необходимо промывание раны и какой раствор следует использовать?

20 августа 2018 г.

В этой статье объясняется, когда целесообразно очищение раны и как выбрать очищающий раствор. Он поставляется с самооценкой, позволяющей вам проверить свои знания после прочтения

Abstract
Регулярное очищение раны при каждой смене повязки может принести больше вреда, чем пользы, так как протирание гранулирующего раневого ложа марлевыми тампонами может нарушить рост хрупких тканей и повредить новые капилляры. Организм может воспринять это как новую травму и повторно запустить воспалительную реакцию, что только задержит процесс заживления. Таким образом, промывание ран не рекомендуется, за исключением случаев, когда в ране есть признаки инфекции, шелушение или явное загрязнение фекалиями или мусором. В этой статье объясняются обстоятельства, при которых уместно промывать рану, когда уместно использовать водопроводную воду и когда рекомендуется стерильный раствор. В нем также обсуждается повторное появление антисептических растворов, которые становятся все более популярными, особенно для инфицированных или сильно загрязненных ран, и даются рекомендации о том, когда следует рассмотреть возможность их использования для промывания ран.

Образец цитирования: Brown A (2018) Когда необходимо промывание раны и какой раствор следует использовать? Сестринское время [онлайн]; 114: 9, 42-45.

Автор: Аннемари Браун — преподаватель сестринского дела в Университете Эссекса.
Эта статья прошла двойное слепое рецензирование
Прокрутите вниз, чтобы прочитать статью, или загрузите PDF-файл для печати здесь (если PDF-файл не загружается полностью, попробуйте еще раз, используя другой браузер)
Оцените свои знания и получите доказательства непрерывного профессионального развития, пройдя тест самооценки NT