Решение тригонометрических примеров: Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

   Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

   Данное уравнение равносильно уравнению

                                  3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x.

                                     (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда  или  Получаем  (корней нет, поскольку ) или  Отсюда  Тогда

Ответ:

   З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b.

Аналогично для  используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

   Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение 

         Оценим область значений функции 

         Поскольку  то есть 

         Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1.

Поэтому данное уравнение равносильно системе

         Приравнивая правые части этих равенств, получаем

         Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение 

Комментарий

         Преобразуем левую часть по формуле  и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

         Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

        

 

Обозначим: . Поскольку 

         Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

         Из первого уравнения системы имеем , откуда 

         Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому 

Ответ:

   Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

   В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу 

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение ,  и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в                уравнение (1).
   При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

   Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

1. Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

2. Если , получаем:

(2)

 

        Замена tg x = t приводит к уравнению  которое при  и  равносильно уравнению . Тогда 

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

   Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, исполь­зуя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Решение тригонометрических уравнений графически

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Рассмотрим графический способ решения.

Пусть, например, нужно решить уравнение

sin х = 1 — х.

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1 — х

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

х ≈ 0,5.

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. При х = 0,5

sin x ≈ 0,4794,
1 — х = 0,5;

следовательно, sin х < 1 — х. Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения sin х = 1 — х будет больше, чем 0,5. Проверим значение х = 0,6. Имеем (при х = 0,6):

sin х ≈ 0,5446,
1 — х = 0,4;

следовательно, sin х > 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x₀ должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

x₀ ≈0,5 (с недостатком),
x₀ ≈ 0,6 (с избытком).

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (x = 0,55) этого интервала

sin х ≈ 0,5227,
1 — х = 0,45.

Опять получаем, что sin х > 1 — х. Следовательно, x₀ < 0,55.

Проверим точку х = 0,52 (она близка к средней точке х = 0,525 интервала [0,50; 0,55], в котором заключен корень x₀). При х = 0,52

sin х ≈ 0,4969,
1 — х = 0,48.

Снова sin x > 1 — х; поэтому x₀ < 0,52. Итак, 0,50 < x₀ < 0,52. Поэтому с точностью до 0,01

x₀ ≈ 0,51.

Для примера рассмотрим уравнение

tg ^x/₂ = 2 — x.

Графики функций у = tg ^x/₂и у = 2 — х пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса (или рассчитаем соответствующие значения в программе «Kалькулятор» или «Excel»). Выпишем значения функций у = tg ^x/₂ и у = 2 — х в окрестности точки х = 1,2.

x	1,2	1,3
y=tg x/2	0,6841	0,7602
y=2-x	0,8000	0,7000
tg x/2-(2-x)	-0,1159	0,0602

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х = 1,2 к значению х = 1,3 разность tg ^x/₂ — (2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х₀ ≈ 1,2 (с недостатком) или х₀ ≈ 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное значение этого корня
с точностью до 0,01. Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х = 1,25

tg ^x/₂ ≈ 0,7215,

2 — х = 0,7500.

Поскольку tg ^x/₂ < 2- х, то х₀ >1,25. Итак,

1,25< х₀ < 1,30.

Теперь испытаем значение х = 1,28, которое близко к среднему значению чисел 1,25 и 1,30. При х = 1,28

tg ^x/₂ ≈ 0,7445,

2 — х = 0,7200.

Теперь уже tg ^x/₂ >2 — х Значит , х₀ < 1,28.

Аналогично, рассматривая значение х = 1,26, мы получили бы tg ^x/₂ < 2 — х и потому х₀ > 1,26. Значит,

1,26 <х₀< 1,28.

Поэтому с точностью до 0,01

х₀ ≈ 1,27

Если бы нужно было определить, какое это приближенное значение (с недостатком или с избытком), то пришлось бы сравнить значения tg ^x/₂ и 2 — х в точке х = 1,27.

6.1: Решение тригонометрических уравнений — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

3342

• Майкл Коррал
• Schoolcraft College 9\circ k \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \]

  Это наиболее общее решение уравнения. Часто часть, которая говорит «for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)» опускается, так как обычно понял, что \(k \) варьируется для всех целых чисел.Общее решение в радианах будет:

  \[ А ~=~ 0,6435 \;+\; \pi k \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \]

  Пример 6.

  1 92 \;\theta ~=~ \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \cos\;\theta ~=~ \pm\,\frac{1}{\sqrt{2}}
  \quad \Rightarrow\quad \theta ~=~ \frac{\pi}{4}\;,~\frac{3\pi}{4}\;,~\frac{5\pi}{4}\;,~
  \frac{7\pi}{4}~,
  \nonumber \]

  и, поскольку период косинуса равен \(2\pi \), мы должны добавить \(2\pi k \) к каждому из этих углы, чтобы получить общее решение. Но обратите внимание, что приведенные выше углы отличаются кратно \(\frac{\pi}{2} \). Итак, поскольку каждое кратное \(2\pi \) также кратно \(\frac{\pi}{2} \), мы можем объединить эти четыре отдельных ответа в один:

  \[ \boxed{\theta ~=~ \frac{\pi}{4} \;+\; \frac{\pi}{2}\,k}
  \qquad\text{для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \( …\)}
  \номер \]

  Пример 6.3

  Решите уравнение \(\;2\,\сек\;\тета ~=~ 1 \).

  Решение:

  Изоляция \(\;\sec\;\theta \) дает нам

  \[ \sec\;\theta ~=~ \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \cos\;\theta ~=~ \frac{1}{\sec\;\theta} ~=~ 2~,
  \nonumber \]

  что невозможно. Таким образом, существует \(\fbox{нет решения}\). 92 \;+\; Икс \;-\; 1 ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad x ~=~ \frac{-1 \;\pm\; \sqrt{1 — (4)\,(-1)}}{
  2\,(1)} ~=~ \frac{-1 \;\pm\; \sqrt{5}}{2} ~=~ -1,618\;,~0,618
  \nonumber \]

  по квадратичной формуле элементарной алгебры. Но \(-1,618 < -1 \), поэтому невозможно, чтобы \(\;\sin\theta = x = -1,618 \). Таким образом, мы должны иметь \(\;\sin\;\theta = x = 0,618 \). Следовательно, возможны два решения: \(\theta = 0,666\) рад в QI и его отражение \(\pi - \theta = 2,475\) рад вокруг оси \(y\) в QII. Добавление к ним кратных \(2\pi \) дает нам общее решение:

  \[ \boxed{\theta ~=~ 0,666 \;+\; 2\pi k \quad\text{and}\quad 2,475 \;+\; 2\pi k}
  \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \ nonumber \]

  Пример 6.5

  Решите уравнение \(\;\sin\;\theta ~=~ \tan\;\theta \).

  Решение:

  Попробовав тот же метод, что и в предыдущем примере, мы получим

  \[\nonumber \begin{align*}
  \sin\;\theta ~&=~ \tan\;\theta\ \\nonumber
  \sin\;\theta ~&=~ \frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\\ \nonumber
  \sin\;\theta~\cos\;\theta ~&=~ \sin\;\theta\\ \nonumber
  \sin\;\theta~\cos\;\theta \;-\; \sin\;\theta ~&=~ 0\\ \nonumber
  \sin\;\theta~(\cos\;\theta \;-\; 1) ~&=~ 0\\ \nonumber
  &\Rightarrow \quad \sin\;\theta ~=~ 0 \quad\text{or}\quad \cos\;\theta ~=~ 1\\ \nonumber
  &\Стрелка вправо\quad \theta ~=~ 0\;, ~\pi \quad\text{or}\quad \theta ~=~ 0\\ \nonumber
  &\Стрелка вправо\quad \theta ~=~ 0\;,~\pi~,
  \end{align*} \ нечисло \]

  плюс кратные \(2\pi \). Итак, поскольку приведенные выше углы кратны \(\pi \), а каждое кратное \(2\pi \) кратно \(\pi \), мы можем объединить два ответа в один для общего решения: 9{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), есть два возможных решения для \(3\theta\): \(3\theta = \frac{\pi {3} \) в QI и его отражение \(-3\theta = -\frac{\pi}{3} \) вокруг оси \(x\) в QIV. Добавление к ним кратных \(2\pi \) дает нам:

  \[ 3\theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{3} \;+\; 2\pi k \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \ ]

  Итак, разделив все на \(3 \), мы получим общее решение для \(\theta\):

  \[ \boxed{\theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{9} \;+\; \frac{2\pi}{3} k}
  \qquad\text{для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(. ..\)}
  \nonumber \]

  Пример 6.7

  Решите уравнение \(\;\sin\;2\theta ~=~ \sin\;\theta \).

  Решение:

  Здесь мы используем формулу двойного угла для синуса:

  \[\nonumber \begin{align*}
  \sin\;2\theta ~&=~ \sin\;\theta\ \\nonumber
  2\,\sin\theta~\cos\;\theta ~&=~ \sin\;\theta\\ \nonumber
  \sin\;\theta~(2\,\cos\;\theta \;-\;1) ~&=~ 0\\ \номер
  &\Rightarrow\quad \sin\;\theta ~=~ 0 \quad\text{or}\quad \cos\;\theta ~=~ \frac{1}{2}\\ \nonumber
  &\Rightarrow \quad \theta ~=~ 0\;,~\pi \quad\text{or}\quad \theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{3}\\ \nonumber
  &\Rightarrow\ quad \ boxed {\ theta ~ = ~ \ pi k \ quad \ text {and} \ quad \ pm \, \ frac {\ pi} {3} \; + \; 2\pi k}
  \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(. ..\)}
  \ end{align*}
  \nonumber \]

  Пример 6.8

  Решить уравнение \(\;2\,\sin\;\theta \;-\; 3\,\cos\;\theta ~=~ 1 \).

  Рисунок 6.1.1: Скопируйте и вставьте сюда заголовок. (Авторское право; автор через источник)

  Решение

  Мы будем использовать технику, которую обсуждали в главе 5, для нахождения амплитуды комбинации функций синуса и косинуса. Возьмите коэффициенты \(2\) и \(3\) при \(\;\sin\;\theta\) и \(\;-\cos\;\theta\) соответственно в приведенном выше уравнении и сделайте на них стороны прямоугольного треугольника, как на рис. 6.1.1. Пусть \(\phi \) будет углом, показанным в прямоугольном треугольнике. Участок длины \(3 >

  0 \) означает, что угол \(\phi \) находится над осью \(x\), а участок длины \(2>0 \) означает, что \(\phi \) находится справа от оси \(y\). Следовательно, \(\phi \) должен быть в QI. Гипотенуза имеет длину \(\sqrt{13} \) по теореме Пифагора, и, следовательно, \(\;\cos\;\phi = \frac{2}{\sqrt{13}} \) и \(\; \sin\;\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \). Мы можем использовать это, чтобы преобразовать уравнение, чтобы решить его следующим образом:

  \[\nonumber \begin{align*}
  2\,\sin\;\theta \;-\; 3\,\cos\;\theta ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,\left( \tfrac{2}{\sqrt{13}}\,\sin\;\theta \ ;-\; \tfrac{3}{\sqrt{13}}\,\cos\;\theta
  \right) ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,( \cos\; \phi\;\sin\;\theta \;-\;\sin\;\phi\;\cos\;\theta ) ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,\sin\ ;(\theta — \phi) ~&=~ 1\quad\text{(по формуле вычитания синусов)}\\ \nonumber
  \sin\;(\theta — \phi) ~&=~ \tfrac{1 }{\sqrt{13}}\\ \номер
  &\Rightarrow\quad \theta — \phi ~=~ 0,281 \quad\text{or}\quad \theta — \phi ~=~ \pi — 0,281 = 2,861\\ \nonumber
  &\Rightarrow\quad \theta ~=~ \фи \;+\; 0,281 \quad\text{or}\quad \theta ~=~ \phi \;+\; 2.861
  \end{align*} \nonumber \]

  Теперь, поскольку \(\;\cos\;\phi = \frac{2}{\sqrt{13}} \) и \(\phi \) равно в QI наиболее общим решением для \(\phi\) является \(\phi = 0,983 + 2\pi k \) для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\ ч\,2 \), \(. .. \). Итак, поскольку нам нужно было добавить кратные \(2\pi \) к решениям \(0,281 \) и \(2,861 \) в любом случае, наиболее общее решение для \(\theta \):

  \[\begin{align*}
  \тета ~&=~ 0,983 \;+\; 0,281 \;+\; 2\pi k\quad\text{and}\quad 0,983 \;+\; 2,861 \;+\; 2\pi k\\
  &\Стрелка вправо\четверка \boxed{\theta ~=~ 1,264 \;+\; 2\pi k\quad\text{and}\quad 3.844 \;+\; 2\pi k}
  \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \ end{align*} \nonumber \]

  Примечание: в примере 6.8, если уравнение было \(\;2\,\sin\;\theta \;+\; 3\,\cos\;\theta ~= ~ 1 \), то мы все равно использовали бы прямоугольный треугольник с длинами сторон \(2\) и \(3\), но вместо формулы вычитания использовали бы формулу сложения синусов.

  ---

  Эта страница под названием 6.1: Решение тригонометрических уравнений распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1.3 и была создана, изменена и/или курирована Майклом Корралом посредством исходного контента, отредактированного в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Майкл Коррал

     Лицензия

     ГНУ ФДЛ

     Версия лицензии

     1,3

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. источник@http://www.mecmath.net/trig/index.html
     2. тригонометрическое уравнение

  Решение триггерных уравнений не так уж плохо, как кажется!

  Purplemath

  При решении тригонометрических уравнений используются как опорные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры. Будьте готовы к необходимости подумай , чтобы решить эти уравнения.

  В дальнейшем предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях тригонометрического отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, взаимосвязь между радианами и градусами и как выглядят кривые различных тригонометрических функций, по крайней мере в первый период. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

  ---

  Содержание продолжается ниже

  MathHelp.com

  Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

  sin( x ) + 2 = 3

  sin( x ) = 1

  Теперь я воспользуюсь опорными углами, которые запомнил, чтобы получить окончательный ответ.

  Примечание: В инструкции я указал интервал в градусах, а это значит, что я должен дать ответ в градусах. Да, синус на первом периоде принимает значение 1 при π/2 радианах, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к тому, что я, по крайней мере, потеряю мало моментов по этому вопросу.

  Итак, в градусах мой ответ таков:

  x = 90°

  ---

  Возникает соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60° включает квадратный корень из 3, и дать ответ, но это уравнение не на самом деле нет решения. Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

  тангенс ² (θ) = −3

  Может ли любой квадрат (тангенса или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Так что мой ответ:

  нет решения

  ---

  Левая часть этого уравнения делится на множители. Я привык делать простой факторинг, например:

  2 y ² + 3 y = 0

  y (2 y + 3) = 0

  …а затем решить каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с разложения на множители:

  Я сделал алгебру; то есть я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами. Это создало два триггерных уравнения. Так что теперь я могу сделать триггер; а именно, решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о волне косинуса. Из первого уравнения я получаю:

  cos( x ) = 0:

  x = 90°, 270°

  Из второго уравнения я получаю:

  2 cos( x 90 033 ) = sqrt[3]:

  x = 30°, 330°

  Объединяя эти два набора решений, я получаю решение исходного уравнения:

  x = 30°, 90°, 270°, 330° 5

  Во-первых, я перенесу все на одну сторону знака «равно»:

  sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

  Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

  a X ² + b X + c = 0

  В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил , X = sin(θ), a  = 1, b  = -1 и c  = -2.

  Так как это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить квадратное число на множители:

  sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

  (sin(θ) − 2)(sin(θ) + 1) = 0

  Первый множитель дает мне соответствующее уравнение триггера:

  sin(θ) = 2

  Но синус никогда не больше 1, так что это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

  Другой фактор дает мне второе родственное уравнение триггера:

  sin(θ) + 1 = 0

  sin(θ) = −1

  θ = (3/2)π

  Тогда мой ответ: :

  θ = (3/2)π

  (Если вы решаете только градусы в своем классе, значение решения выше равно «270 °».)

  ---

  Я могу использовать тождество триггера, чтобы получить квадратное выражение в косинусе:

  cos ² (α) + cos(α) = sin ² (α)

  cos ² (α) + cos(α) = 1 − cos ² (α)

  2cos ^{2 903 41 (α) + cos(α) − 1 = 0}

  (2cos(α) − 1)(cos(α) + 1) = 0

  cos(α) = 1/2, cos(α) = −1

  Первое уравнение триггера, cos(α) = 1/2, дает мне α = 60° и α = 300°. Второе уравнение дает мне α = 180°. Итак, мое полное решение:

  α = 60°, 180°, 300°

  ---

  Я могу использовать тождество двойного угла в правой части, переставить и упростить; тогда я факторизую:

  sin(β) = 2sin(β)cos(β)

  sin(β) − 2sin(β) cos(β) = 0

  sin(β)(1 − 2cos(β) )) = 0

  sin(β) = 0,cos(β) = 1/2

  Синусоида (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0°, 180° и 360°. Но в исходном упражнении 360° не учитываются, так что это последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

  Косинус (из второго уравнения триггера) равен 1/2 при 60°, а значит, и при 360° − 60° = 300°. Таким образом, полное решение:

  β = 0°, 60°, 180°, 300°

  ---

  Хм… Я действительно ничего не вижу здесь. Конечно, было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат…

  Почему бы мне не возвести в квадрат обе стороны и посмотреть, что получится?

  (sin( x ) + cos( x )) ² = (1) ²

  sin ² ( x ) + 2sin( x )cos( x ) + cos ² ( x ) = 1

  [sin ^{2 90 341 ( x + cos 2 ( x )] + 2sin( x )cos( x ) = 1}

  1 + 2sin( x )cos( x ) = 1

  2s in( x )cos( x ) = 0

  sin( x )cos( x ) = 0

  Ага, поди посчитай: я возвел в квадрат и получил то, что мог работать с. Хороший!

  Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит так:

  x = 0°, 90°, 180°, 270° !), я возводил в квадрат, чтобы получить это решение, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

  (Почему? Если вы возводите что-то в квадрат, вы не можете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего вы начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

  Итак, чтобы быть уверенным в моих результатах , мне нужно проверить свои ответы в оригинальное уравнение , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключив обратно, я вижу:

  sin(0°) + cos(0°) = 0 + 1 = 1

  … так что решение « x = 0°» работает

  sin(90°) + cos(90°) = 1 + 0 = 1

  …поэтому решение « x = 90°» тоже работает

  sin(180°) + cos(180°) = 0 + (-1 ) = −1

  …о, хорошо, значит, « x = 180°» НЕ работает

  sin(270°) + cos(270°) = (−1) + 0 = −1

  . ..поэтому « x = 270°» тоже не работает

  Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают. Они были созданы в процессе возведения в квадрат.

  Мое фактическое решение :

  x = 0°, 90°

  ---

  033 )потому( х ) = 0

  … и использовал тождество двойного угла для синуса в обратном порядке вместо деления 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учитывать интервал решения:

  2sin( x )cos( x ) = sin(2 x ) = 0

  Тогда 2 x = 0°, 180°, 360°, 540°, д., и разделив 2 из x даст мне x = 0°, 90°, 180°, 270°, что почти такое же решение, как и раньше. После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

  Трюк с возведением в квадрат в последнем приведенном выше примере встречается нечасто, но если ничего не работает, возможно, стоит попробовать.

  No related posts.