Методы решения уравнений | Методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме:
Цели:
1. Развитие интереса к математике.
2. Знакомство с основными методами решения уравнений с одной переменной.
План
- Целое уравнение. Степень уравнения.
- Методы решения уравнений.
— уравнение 1 степени:
— уравнение 2 степени:
Методы решения уравнений:
а) метод разложения на множители;
б) метод введения новой переменной;
в) рассмотри уравнение как квадратное;
г) графический метод.
Под степенью уравнения Р(х) = 0 мы будем понимать степень многочлена стандартного вида Р(х), т.е. наибольший показатель степени входящей в него переменной.
- Рассмотрим решение уравнений разных степеней.
- Любое уравнение первой степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, причем .
Значит .
Уравнение имеет 1 корень.
- Любое уравнение 2 степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, .
Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни этого уравнения можно вычислить по формуле
Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни этого уравнения можно вычислить по формуле, где .
Т.о. уравнения 1 и 2-й степени мы можем решать с помощью формул.
- Любое уравнение 3-й степени мы можем привести к виду:
4. Уравнение 4-й степени – к виду: .
Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они очень сложные, а вот для уравнений 5 и 6 степени таких формул вообще не существует. Поэтому встает вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул корней.
Попытаемся найти эти “ключики” к решению.
а) Рассмотрим уравнение
Как бы вы начали решать это уравнение?
Разложить многочлен в левой части на множители
Произведение = 0, если хотя бы один из множителей = 0, т.е.
Значит уравнение имеет 3 корня: -6; 0; 6.
А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение: .
В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.
Ответ: –1; 1; 8.
Как же можно назвать метод решения этих уравнений?
(Метод разложения на множители)
б) Дано уравнение:
Ваши предложения по его решению?
(Предлагают раскрыть скобки).
Найти решение такого уравнения довольно сложно.
Каковы особенности данного уравнения?
(выражение встречается в уравнении дважды: во 2-й и 1-й степени, т.е. уравнение похоже на квадратное).
Обозначим .
Получим новое уравнение:
Значит, выражение может принимать значения 36 или –6.
Значит, исходное уравнение имеет четыре корня: – 4; 2; 3; 9.
(Что мы сделали для решения?)
(Ввели новую переменную).
Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.
Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.
Например:
Найдем корни этого уравнения, а дальше решение аналогично предыдущему.
Введение новой переменной позволяет решать и такие трехчленные уравнения:
На какое известное уравнение похоже данное? (на квадратное, относительно )
Такие уравнения называются биквадратными.
Обозначим . Получаем уравнение
Например:
Значит:
Ответ: –1; 1; ;
Вообще, многие уравнения можно свести к квадратным, даже если они на квадратные совсем не похожи.
Например:
– уравнение корней не имеет.
в) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.
И тогда на помощь приходят графики.
Рассмотрим уравнение
В правой части хорошо знакомая квадратичная функция; слева – функция вида , графики которой умеем строить.
Решить уравнение значит найти такие значения x, при которых значения этих функций будут равны, т.е. нужно найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций.
х | 0 | 1 | –1 | –2 |
| – ветви вверх f(0)=f(6)=9 f(2)=f(4)=4–12+9=1 |
у | 0 | 0,5 | –0,5 | –4 |
| |
| ||||||
| ||||||
| ||||||
|
Графики имеют одну точку пересечения, значит уравнение имеет один корень.
Графический способ позволяет найти приближенные значения корней.
Конечно же, мы рассмотрели далеко не все методы решения уравнений, а их существует множество.
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
Главная » 11 класс. Алгебра. » Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
11 класс. Алгебра.
На чтение 3 мин. Просмотров 3.7k.
Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax2+bx+c=0.
Содержание
Уравнение 1
Решить уравнение:
1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.
(22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
(2x)2+2∙2x-3=0;
вводим новую переменную: пусть 2x=y;
y2+2y-3=0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).
2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2x=20;
x=0.
Ответ: 0.
Уравнение 2
2) 0,252x-5∙0,52x+4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,252x— в виде степени с основанием 0,5.
(0,52)2x-5∙0,52x+4=0;
(0,52x)2-5∙0,52x+4=0.
0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y2—5y+4=0;
Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,52x=0,50;
2x=0;
x=0.
2) 0,52x=4; приведем степень 0,52x к основанию 2, применив формулу: (1/a)x =а-х
(1/2)2x=22;
2-2x=22; приравниваем показатели:
— 2x=2 |:(-2)
x=-1.
Ответ: -1; 0.
Уравнение 3
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а-х=1/ax и ax∙ay=ax+y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
показательные уравнения
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
2+5x=10$ выглядит так: Обратите внимание, что эта структура сопротивляется любой попытке решить ее путем «раскручивания» именно из-за развилки на диаграмме. $x$ проходит более чем по одному пути, что делает невозможным отслеживание результата в обратном направлении до его источника.
Некоторые уравнения представлены в форме, которая на первый взгляд кажется многовариантной (например, $3x + 5x = 16$), но мы можем преобразовать их в одноконтурную структуру (например, с помощью распределительного свойства / комбинирования, подобного условия). Но полиномиальные уравнения более высоких степеней обычно имеют члены, которые нельзя комбинировать с , и именно это делает их устойчивыми к интуитивному решению, о котором вы спрашиваете.
Обновление: В комментариях ниже ОП спрашивает:
Это имеет смысл, но как тогда общие решения для уравнений более высокого порядка, таких как квадратичная формула, выводятся алгебраически/символически? Я знаком с геометрическим доказательством путем завершения квадрата, но разве уравнения более высокого порядка вдруг требуют преимущества геометрии для решения? Или существует чистый/прямой алгебраический вывод, который, как можно подумать, простирается от основы «раскручивания» или тому подобного? 92 = \frac{65}{4}$.
На первый взгляд это не лучше исходного уравнения; в нем есть вилка, и он кажется устойчивым к разматыванию. Но! Существует такое свойство действительных чисел, «свойство нулевого произведения», которое гласит, что если два числа умножить на ноль, то одно из них должно быть равно нулю. И это позволяет разделить диаграмму на два отдельных схематических случая:
И каждый из них можно решить с помощью очень простого метода раскручивания.
Короче говоря, большинство методов, которые преподаются (по крайней мере, на уровне средней школы) для решения полиномиальных уравнений, можно понимать как «методы реструктуризации уравнений, чтобы можно было использовать методы раскручивания». (Я не утверждаю, что они учат в этих терминах, или что они должны быть , а просто то, что они могут восприниматься таким образом.
)К сожалению, это только заводит вас так далеко. Как только вы доберетесь до полиномов 5-й степени, это известный результат, что могут быть решения, которые не могут быть выражены комбинацией «простых» операций (см. здесь). Это означает, среди прочего, что нет способа реструктурировать общий многочлен 5-й степени, чтобы разрешить решение с помощью методов раскручивания.
Решение уравнений с помощью факторинга
Решение квадратных уравнений с помощью факторинга
Научиться решать уравнения — одна из наших основных целей в алгебре. До сих пор мы решали линейные уравнения степени 1. В этом разделе мы изучим технику, которую можно использовать для решения некоторых уравнений степени 2. Квадратное уравнение Полиномиальное уравнение с одной переменной степени 2. любое уравнение, которое может быть записано в стандартной форме. Квадратное уравнение, записанное в виде ax2+bx+c=0.
, где a , b и c — действительные числа и a≠0.
Решение квадратного уравнения в стандартной форме называется корнем. Решение квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных числа. решения, одно реальное решение или отсутствие реального решения. Квадратное уравнение x2+x−6=0 имеет два решения, а именно, x=−3 и x=2.
Пример 1: Убедитесь, что x=−3 и x=2 являются решениями x2+x−6=0.
Решение: Чтобы проверить решения, замените значения x , а затем упростите, чтобы увидеть, верно ли получается утверждение.
Ответ: Оба значения дают верные утверждения. Следовательно, они оба являются решениями уравнения.
Наша цель — разработать алгебраические методы для нахождения решений квадратных уравнений. Первый метод требует свойства нулевого продукта. Любой продукт равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Другими словами, если какое-либо произведение равно нулю, то один или оба переменных множителя должны быть равны нулю.
Пример 2: Решите: (x−8)(x+7)=0.
Решение: Это уравнение состоит из произведения двух величин, равных нулю; поэтому применяется свойство нулевого продукта. Одна или обе величины должны быть равны нулю.
Чтобы убедиться, что это решения, замените ими переменную x .
Обратите внимание, что каждое решение дает коэффициент, равный нулю.
Ответ: Решения равны 8 и −7.
Квадратное уравнение не может быть приведено в факторизованной форме.
Пример 3: Решите: x2+3x−10=0.
Решение: Цель состоит в том, чтобы произвести продукт, равный нулю. Мы можем сделать это, разложив трехчлен в левой части уравнения.
Затем примените свойство нулевого произведения и установите каждый фактор равным нулю.
Это оставляет нам два линейных уравнения, каждое из которых может быть решено относительно x.
Проверьте решения, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что мы получаем верные утверждения.
Ответ: Решения равны −5 и 2.
Использование свойства нулевого произведения после факторизации квадратного уравнения в стандартной форме является ключом к этой технике. Однако квадратное уравнение не может быть задано в стандартной форме, поэтому перед разложением на множители могут потребоваться некоторые предварительные шаги. Шаги, необходимые для решения с помощью разложения на множители Процесс решения уравнения, равного нулю, путем его разложения на множители, а затем приравнивания каждого переменного фактора к нулю. изложены в следующем примере.
Пример 4: Решите: 2×2+10x+20=−3x+5.
Решение:
Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.
В этом примере прибавьте 3x и вычтите 5 с обеих сторон.
Шаг 2: Фактор квадратного выражения.
Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный фактор равным нулю.
Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.
Ответ: решения равны −5 и −3/2. Проверка необязательна.
Пример 5: Решите: 9×2+1=6x.
Решение: Запишите это в стандартной форме, вычитая 6x с обеих сторон.
После того, как уравнение в стандартной форме, равен нулю, фактор.
Это совершенный квадратный трехчлен. Следовательно, установка каждого фактора равным нулю приводит к повторному решению.
Повторяющееся решение называется двойным корнемКорень, который повторяется дважды.
Ответ: Решение 1/3.
Попробуйте! Решите: x2−3x=28.
Ответ: x=−4 или x=7
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Не все квадратные уравнения в стандартной форме являются трехчленами. Мы часто сталкиваемся с биномами.
Пример 6: Решите: x2−9=0.
Решение: Это квадратное уравнение задано в стандартной форме, где бином в левой части представляет собой разность квадратов. Фактор выглядит следующим образом:
Затем приравняйте каждый множитель к нулю и решите.
Ответ: Решения равны 3 и −3, что также можно записать как ±3.
Пример 7: Решите: 5×2=15x.
Решение: При осмотре мы видим, что x=0 является решением этого квадратного уравнения. Поскольку деление на ноль не определено, мы хотим избежать деления обеих частей этого уравнения на 9.
Затем разложите выражение на множители. Обратите внимание, что бином слева имеет GCF 5x.
Установить каждый коэффициент равным нулю.
Ответ: Решения равны 0 и 3.
Пример 8: Решите: (2x+1)(x+5)=11.
Решение: Это квадратное уравнение выглядит факторизованным; следовательно, может возникнуть соблазн установить каждый фактор равным 11. Однако это приведет к неправильным результатам. Мы должны переписать уравнение в стандартной форме, равной нулю, чтобы мы могли применить свойство нулевого произведения.
Приняв стандартную форму, мы можем разложить на множители, а затем установить каждый множитель равным нулю.
Ответ: Решения равны 1/2 и −6.
Пример 9: Решите: 15×2−25x+10=0.
Решение: Начнем с вынесения НОД числа 5 на множители. Затем факторизуем полученный трехчлен.
Затем мы устанавливаем каждый переменный коэффициент равным нулю и находим x .
Обратите внимание, что коэффициент 5 не является переменным фактором и, следовательно, не вносит вклад в набор решений.
Ответ: решения 2/3 и 1.
Пример 10:
Коэффициент: 52×2+76x−13=0.Решение: Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖКИ, что равно 6.
На данный момент у нас есть эквивалентное уравнение с целыми коэффициентами, и мы можем раскладывать его как обычно. Начните с множителей 15 и 2.
Коэффициент среднего члена равен 7=3(−1)+5(2). Фактор следующим образом:
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите.
Ответ: решения равны −2/3 и 1/5.
Попробуйте! Решите: 4×2−9=0.
Ответ: −3/2 и 3/2
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Нахождение уравнений с заданными решениями
Свойство нулевого произведения утверждает,
И, на самом деле, верно и обратное:
В этом случае мы можем написать следующее:
Мы используем это свойство находить уравнения по данным решениям. Для этого шаги решения факторингом выполняются в обратном порядке.
Пример 11: Найдите квадратное уравнение с решениями −7 и 2.
Решение: Имея решения, мы можем определить два линейных фактора.
Произведение этих линейных множителей равно нулю, когда x=−7 или x=2:
Умножьте биномы и представьте уравнение в стандартной форме.
Ответ: x2+5x−14=0. Мы можем проверить наше уравнение, подставив данные ответы, чтобы увидеть, получаем ли мы истинное утверждение. Кроме того, уравнение, найденное выше, не является уникальным, и поэтому проверка становится необходимой, когда наше уравнение выглядит иначе, чем чье-то еще.
Пример 12: Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, учитывая решения 1/2 и −3/4.
Решение: Чтобы избежать дробных коэффициентов, мы сначала очищаем дроби, умножая обе части на знаменатель.
Применить свойство нулевого произведения и умножить.
Ответ: 8×2+2x−3=0
Попробуйте! Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, зная решения −1 и 2/3.
Ответ: 3×2+x−2=0
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Решение полиномиальных уравнений методом факторизации
Свойство нулевого произведения верно для любого числа факторов, составляющих уравнение. Если выражение равно нулю и может быть разложено на линейные множители, то мы сможем установить каждый множитель равным нулю и решить для каждого уравнения.
Пример 13: Решите: 3x(x−5)(3x−2)=0.
Решение: Приравняйте каждый переменный коэффициент к нулю и решите.
Ответ: Решения равны 0, 5 и 2/3.
Конечно, мы не можем ожидать, что уравнение будет представлено в факторизованной форме.
Пример 14: Решите: x3+2×2-9x-18=0.
Решение: Начните с полного разложения левой стороны на множители.
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите.
Ответ: решения равны −2, −3 и 3.
Обратите внимание, что степень многочлена равна 3, и мы получили три решения. В общем, для любого полиномиального уравнения с одной переменной степени n основная теорема алгебры гарантирует, что будет столько (или меньше) действительных решений многочлена с одной переменной, сколько его степени. гарантирует n реальных решений или меньше. Мы видели, что многие многочлены не имеют множителей. Это не означает, что уравнения, содержащие эти нефакторизуемые многочлены, не имеют действительных решений.
На самом деле, многие полиномиальные уравнения, не учитывающие фактор, имеют действительные решения. Мы научимся решать эти типы уравнений, продолжая изучение алгебры.
Попробуйте! Решите: −10×3−18×2+4x=0.
Ответ: −2, 0, 1/5
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Ключевые выводы
- Многочлен может иметь не более чем число решений, равное его степени. Следовательно, квадратные уравнения могут иметь до двух действительных решений.
- Чтобы решить квадратное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Как только квадратное выражение станет равным нулю, разложите его на множители, а затем установите каждый переменный фактор равным нулю. Решения полученных линейных уравнений являются решениями квадратного уравнения.
- Не все квадратные уравнения можно решить с помощью факторизации. Позже в курсе мы научимся решать квадратные уравнения, которые не учитывают факторы.
- Чтобы найти квадратное уравнение с заданными решениями, выполните процесс решения путем разложения на множители в обратном порядке.
- Если любой многочлен разложить на линейные множители и приравнять к нулю, то мы можем определить решения, приравняв каждый переменный множитель к нулю и решив каждый по отдельности.
Упражнения по теме
Часть A: Решения квадратных уравнений
Определите, является ли данный набор значений решениями квадратного уравнения.
1. {−3, 5}; x2−2x−15=0
2. {7, −1}; х2-6х-7=0
3. {-1/2, 1/2}; x2−14=0
4. {−3/4, 3/4}; x2−916=0
5. {−3, 2}; х2-х-6=0
6. {-5, 1}; x2−4x−5=0
Решить.
7. (x−3)(x+2)=0
8. (x+5)(x+1)=0
9. (2x−1)(x−4)=0
10. (3x+1)(3x−1)=0
11. (x−2)2=0
12. (5x +3)2=0
13. 7x(x−5)=0
14. −2x(2x−3)=0
15. (x−12)(x+34)=0
16 , (x+58)(x−38)=0
17.
18. (15x−3)2=0
19. −5(x+ 1)(x−2)=0
20. 12(x−7)(x−6)=0
21. (x+5)(x−1)=0
22. (x+5 )(x+1)=0
23. −2(3x−2)(2x+5)=0
24. 5(7x−8)2=0
Часть B: Решение с помощью факторинга
Решить.
25. x2-x-6=0
26. x2+3x-10=0
27. y2-10y+24=0
28. y2+6y-27=0
29. x −14x+40=0
30. x2+14x+49=0
31. x2−10x+25=0
32. 3×2+2x−1=0
33. 5×2−9x−2=0
34. 7y2+20y−3=0
35. 9×2−42x+49=0
36. 25×2+30x+9=0
37. 2y2+y−3=0
−x2 38. 11x−6=039. 2×2=−15x+8
40. 8x−5=3×2
41. x2−36=0
42. x2-100 = 0
43. 4×2–81 = 0
44. 49×2–4 = 0
45. x2 = 4
46. 9y2 = 1
47. 16y2 = 25
. 48. 36×2=25
49. 4×2−36=0
50. 2×2−18=0
51. 10×2+20x=0
54. x2=0
55. (x+1)2−25=0
56. (x−2)2−36=0
57.
58. (x−1)(x−10)=22
59. (x−3)(x−5)=24
60. −2x(x−9)=x+21
61. (x+1)(6x+1)=2x
62. (x−2)(x+12)=15x
63. (x+1)(x+2 )=2(x+16)
64. (x−9)(2x+3)=2(x−9)
Очистите дроби, сначала умножив обе части на ЖК-дисплее, а затем решите.
65. 115×2+13x+25 = 0
66. 114×2–12x+37 = 0
67. 32×2–23 = 0
68. 52×2–110 = 0
69. 314×2-212 = 0
70. 13×2−15x=0
71. 132×2−12x+2=0
72. 13×2+56x−12=0
73. Стороны квадрата х + 3 шт. Если площадь 25 квадратных единиц, то найдите х .
74. Высота треугольника на 2 единицы больше его основания. Если площадь равна 40 квадратных единиц, то найдите длину основания.
75. Стороны прямоугольного треугольника имеют меры, которые являются последовательными целыми числами. Найдите длину гипотенузы. (Подсказка: гипотенуза — самая длинная сторона. Примените теорему Пифагора.)
76.
Предполагая условия сухой дороги и среднее время реакции, безопасный тормозной путь d в футах среднего автомобиля определяется по формуле d=120v2 +v , где v представляет скорость автомобиля в милях в час. Для каждой проблемы ниже, учитывая тормозной путь, определите безопасную скорость.
77. 15 футов
78. 40 футов
79. 75 футов
80. 120 футов
.
81. −3, 1
82. −5, 3
83. −10, −3
84. −7, −4
85. −1, 0
, 36 /5
87. −2, 2
88. −1/2, 1/2
89. −4, 1/3
90. 2/3, 2/5
91. −1/5, −2/3
92. −3/2, 3/4
93, 3, двойной корень
94.
Часть D: Решение полиномиальных уравнений
Решить.
95. 7x(x+5)(x−9)=0
96. (x−1)(x−2)(x−3)=0
97. −2x(x−10) (x−1)=0
98. 8x(x−4)2=0
99. 4(x+3)(x−2)(x+1)=0
100. −2(3x +1)(3x−1)(x−1)(x+1)=0
101. x3−x2−2x=0
102. 2×3+5×2−3x=0
103. 5×3−15×2+ 10x=0
104. -2×3+2×2+12x=0
105. 3×3-27x=0
106. -2×3+8x=0
107. x3+x2-x-1=0
x+108.02 2×2−16x−32=0109. 8×3−4×2−18x+9=0
110. 12×3=27x
5)=0 имеет два решения, а 2x(x+5)(x−5)=0 имеет три решения.
112. Составьте собственное квадратное уравнение и разместите его вместе с решениями на доске обсуждений.
113. Объясните своими словами, как решить квадратное уравнение в стандартной форме.
Ответы
1: Да
3: Да
5: NO
7: −2, 3
9: 1/2, 4
11: 2
13: 0, 5
15 : −3/4, 1/2
17: −2, 4
19: −1, 2
21: −5, 1
23: −5/2, 2/3
25: − 2, 3
27: 4, 6
29: 4, 10
31: 5
33: −1/5, 2
35: 7/3
27: −3
39: −8, ½
41: −6, 6
43: −9/2, 9/2
45: −2, 2
47: −5/4, 5/4
49: −3, 3
51: −2, 0
53: 0, 2
55: −6, 4
57: 1/5, 4
59: −1, 9
61: −1/2, −1/3
63: −6, 5
65: − 3, −2
67: −2/3, 2/3
69: ±7
71: 8
73: 2 шт.
2 + 5x — 24 = 0$ и факторизуем LHS, мы получим $(x-3)(x+8)=0$. Это уравнение можно изобразить следующим образом:
Ниже приведены некоторые примеры квадратных уравнений, все из которых будут решены в этом разделе:
:
Для применения свойства нулевого произведения квадратное выражение должно быть равно нулю. Используйте свойства равенства сложения и вычитания, чтобы объединить противоположные члены и получить ноль на одной стороне уравнения.
и не нужно писать дважды.
0015 х . В общем, мы хотим избежать деления обеих частей любого уравнения на переменную или выражение, содержащее переменную. Мы обсудим это более подробно позже. Первый шаг — переписать это уравнение в стандартной форме с нулем на одной стороне.
Это оставлено в качестве упражнения.
(14x+12)(16x−23)=0
5x(x−4)=−4+x
Прибыль в долларах, полученная от производства и продажи x пользовательских ламп определяется функцией P(x)=−10×2+800x−12000. Сколько ламп необходимо продать и произвести, чтобы обеспечить безубыточность? (Подсказка: мы безубыточны, когда прибыль равна нулю.)
−5, двойной корень