Решение уравнения корней: Решение уравнений онлайн

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Математика

Областное государственное бюджетное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Курский институт развития образования»

ОГБУ ДПО КИРО

                                         

ТЕМА: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений.

           Работу выполнили:

Сколодова Л.В.

Новиков В. В.

Холодова Н. И.

18.12 2017год

Г. Курск

Решение тригонометрических уравнений — важный раздел в математике. Успешное её изучение невозможно без умения решать тригонометрические уравнения. Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать не только формулы и методы решения этих уравнений, но и правильно отбирать корни на заданном промежутке или при других дополнительных условиях.

Но основной мотив углублённого изучения данной темы – это то, что одно из заданий, а именно №13,  экзаменационной работы ЕГЭ «Решить тригонометрическое уравнение и выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию».

Цель работы: Изучить различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Задачи:

$1üрассмотреть различные типы заданий, содержащие тригонометрические  уравнения, где необходимо выполнить отбор корней, классифицировать их;

$1üопределить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;

$1üрассмотреть примеры решения уравнений и систем уравнений, где необходимо выполнить отбор корней;

           При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

          Арифметический способ. Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней приходиться в случаях, когда требуется отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку или некоторому условию.

           Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными. Для этого решают неравенство относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней.

            Геометрический способ. В последние годы в учебниках используются разные модели к иллюстрации решения простейших тригонометрических уравнений с применением тригонометрического круга, графика тригонометрической функции или числовой прямой.

а) Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 , или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

б) При изображении решении простейших тригонометрических уравнений иногда используют графики простейших тригонометрических функций. Для нахождения решения тригонометрического уравнения при этом подходе требуется построение «кусочка» графика.

в) Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого превосходит 2 .

       Процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, следует обсудить разные способы выполнения этого действия, а также выяснить случаи, когда тот или иной способ может оказать наиболее удобным или наоборот непригодным.

       Рассмотрим один конкретный пример с использованием всех вышеуказанных способов:

а) Решить  уравнение:

 б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используя формулу косинуса двойного угла и формулу приведения, запишем уравнение в виде:

Решаем квадратное уравнение относительно ,

Отсюда  

Уравнение так как                                 

Из уравнения  х = .

Отметим, что решение уравнения

х=  или    х= .

б) отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

1. Арифметический способ.

Пусть .   Подставляя k =…  , получаем 

 . Отрезку  принадлежит корень .

Пусть  . Подставляя k =…  , получаем   . Отрезку  принадлежит корень .

 Отрезку  принадлежат корни

Ответ: а) ;

           в)

2. Алгебраический способ.

Отберем корни, принадлежащие отрезку . Решаем двойное неравенство.

Пусть .

Тогда  

 

.   

  Пусть .

Тогда  

 

.   

Отрезку  принадлежат корни

3. Геометрический способ.

1. Корни уравнения  изображаются точками А и В, отрезок изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном отрезке содержаться два корня уравнения:  

                                     у

                             А

                                                                             

                -П                                                        х

               -3П

               

                               В              

2.

Корни, принадлежащие отрезку , отберем по графику у= . Прямая   пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку , Так как период функции y =  равен , то эти абсциссы равны ; .

                                                                                                  

                                                                                                    у

$13.     Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

      у= .                      ////////////////                    /////////////////           

                                                      

Отрезку  принадлежат корни                                                                       

Ответ:   а)   х = . 

               б)                                                

                     

      А теперь рассмотрим более сложные уравнения, которые решаются здесь различными способами.

№1. а) Решите уравнение     .

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку    .

Решение:

а) ОДЗ : sinx > 0 ( )

  ;

;

4sinxcosx = 2 sinx;

   4sinxcosx — 2 sinx = 0;

   2sinx(2cosx — ) =0;

Решая последнее уравнение получаем корни:

sinx = 0 или .

Учитывая ОДЗ, получаем корни уравнения:

б) С помощью числовой окружности отберём корни на указанном отрезке:

Получим число   .

Ответ: ; б) .      

№2. Дано уравнение log_{– cosx} (1 – 0,5 sinx) = 2.

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [14π; 16π].

Решение:

$1a)     ОДЗ:     — 1

log _{– cos x} ( 1 – 0,5 sin x) = log _{– cos x} cos² x,

1 – 0,5 sin x = cos ² x,

1 – 0,5 sin x – cos ² x = 0,

sin ² x – 0,5 sin x = 0,

sin x ( sin x – 0,5) = 0,

sin x = 0               или       sin x = 0,5

х=πn, nÎZ,                       x =  + 2πn, n ÎZ, x =  + 2πn, nÎ Z.

учитывая ОДЗ, получаем, что  х=πn, nÎZ, и x = , nÎZ  не   являются корнями уравнения ( cosx =  1, и — 1

 б) Найдем корни уравнения на заданном промежутке геометрическим способом:

х =         

Ответ: а) х = nÎZ, б) .

№ 3. Дано уравнение 

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:

а) Ограничения на x:

Для таких x:

б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) nÎZб)  .

№ 4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Перейдём к системе:

Решаем уравнение системы

Получаем:

С учётом всех ограничений

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие указанному отрезку  Получим число 

Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

Ответ: а)     б)  .

№ 5. Дано уравнение 

а) Решите уравнение.

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 

Решение.

а) Найдем ограничения на:

Для таких 

б) Отбор корней сделаем путем перебора подходящих значений n

Из серии корней  

Заметим, что отрицательные значения   здесь не подойдут. Значение n=0 тоже не подходит, так как

При    n = 1:  . Докажем, что 

Для этого достаточно доказать: 

Действительно, 

При n = 2:

При n = 3:

Этот корень уже не подходит. Дальнейшие поиски корней из этой серии смысла не имеют.

Из серии корней 

При отрицательных значениях   несложно понять, искомых корней не будет.

При n = 1:

Корень не подходит.

При n = 2:

При n = 3: 

Но 

Корень не подходит, дальнейшие поиски просто излишни.

Ответ: а)   б) 

№ 6. Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку 

Решение:

а) Последовательно получаем:

Покажем, что ,    k,  nÎZ при k = 6n — 2 .

Действительно,

Итак, решениями заданного уравнения являются числа вида:  .                        

Эти же числа можно представить также в виде             

б) Отбор корней:

Ответ: а)   б) 

№ 7. а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения,

принадлежащие отрезку [ ]

Решение:

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к единице, поэтому исследовать ОДЗ не требуется.

Для решения полученного тригонометрического уравнения используем формулу косинуса двойного угла

откуда получаем

Обозначая   t = cosx,        имеем:

Откуда    или       .

 Вернемся к исходной переменной.

Уравнение        корней не имеет, поскольку косинус не больше 1.

Из уравнения            находим:   или  ,

nÎZ.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 

Получим числа:     .            

Ответ: а)  ,  nÎZ;   б)   .

№ 8. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни на промежутке 

Решение:

а) Обратим внимание на то, что правая часть заданного уравнения есть ограниченная функция. В частности,

Следовательно, такие же ограничения следует наложить и на левую его часть. То есть

Из-за ограниченности функции косинус будем иметь: 

а последнее неравенство истинно только при выполнении условия

Решим его:

Таким образом, мы установили, что ,  и это равенство выполняется при .        

 Теперь оценим сверху и снизу выражение:

Тогда левая часть уравнения будет иметь вид: 

Таким образом, левая часть уравнения может принять единственное значение, равное 1. Поскольку это так, то и правая часть уравнения обязана быть равной 1 хотя бы при некоторых значениях переменной  , являющихся решениями уравнения   .      Если такие числа найдутся, то уравнение будет иметь решение. Если же их не будет, то у уравнения решений не будет.

Нами были найдены корни уравнения 

 

 Ими являются числа вида  .              

Теперь мы ищем решения уравнения .  Последнее равенство имеет место, если

Найдем значения  , при которых серии решений    и    совпадут. Для этого найдем их значения, принадлежащие промежутку     

Из серии      

При n = 0    x₁=

При n = 1   x₂ =

При  n = 2  x₃ =

При n = 3   x = >2p.

 Из серии   :

При n = 0  x_{4 =}

При n = 1  x₅ =

При n = 2  x₆ =

При n = 3 x = >2p

Как видим, общие решения двух уравнений, указанных выше, имеются, они равны числам вида  .

б) При отборе корней уравнения решим двойное неравенство  , решая далее, получаем   , где m = — 1, m = 0, mÎZ.           При найденных целых m получим:

Ответ: а)  ;   б) 

Задания для самостоятельного решения:

$11)    а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку 

$12)    Дано уравнение 

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни на промежутке 

$13)   
а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни на промежутке 

$14)    а) Решите уравнение 

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку 

$15)    ) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

$16)    Дано уравнение 

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие интервалу (−5; 1).

Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто  найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то  уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

Если

   

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

   

   

   

   

   

   

   

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

   

   

   

   

   

   

   

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

   

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

   

Функция

   

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

Ответ: 1.

   

ОДЗ: x∈(-∞;0)U(0:∞).

На промежутке (-∞;0) функция

   

возрастает, функция

   

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

   

возрастает, 

   

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

Ответ: ±1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

Рубрика: Применение свойств функций к решению уравнений | Комментарии Предварительное исчисление алгебры

— Почему нули / корни (действительные) решения уравнения полинома n-степени?

Я попытаюсь интерпретировать ваш вопрос на основе данных, которые Питеру удалось экстраполировать от вас. Мне кажется, что ваша путаница связана с различием между переменной и неизвестной, как это упоминается в одном из комментариев. Почему нас интересует именно $x$, при котором $f(x)$ достигает $0$, вам должно стать ясно, когда вы прочитаете этот ответ. Прошу прощения, если слишком упрощаю, я не могу сделать вывод о ваших знаниях.

Линейная интерпретация

Давайте спустимся на один уровень от ваших примеров к простому линейному уравнению, где $x$ (неизвестное) связано с некоторым значением $b$ коэффициентом $a$, где $a\not= 0$ . Выразить это в виде уравнения просто:

$$ax = b$$

Мы хотим знать значение x, для которого справедливо уравнение (истинно) или, немного иначе, $x$, умноженное на $a$ равно $b$. Это можно легко решить с помощью простой алгебры и логического мышления, потому что $b$ в $a$ раз больше или меньше, чем $x$ (помните, что $a$ может быть любым, кроме $0$, включая числа больше $0$ и меньше $1$). что указывало бы на то, что $b$ меньше, чем $x$, потому что это лишь часть его значения). Следовательно, если мы разделим обе части на одинаковую величину ($a$), мы сможем узнать, чему равно $x$:

$$x = \frac{b}{a}$$

А вот и $x$. Но это то, где вещи получают удовольствие. Я полагаю, вы знакомы с понятием функций, которые принимают определенные входные данные в определенном диапазоне и возвращают выходные данные, вычисленные на основе этих входных данных, таким образом формируя упорядоченную пару, которую можно изобразить в виде графика. Магия в том, что выход (зависимое значение) зависит от входа (независимого значения) и мы можем изучать их взаимосвязь визуально или чисто алгебраически.

В наших прежних отношениях у нас есть два коэффициента/ограничения ( известных значений , которые переводят наш $x$ ( неизвестный ) в очень конкретное значение (решение нашей проблемы, ответ на наш вопрос, что такое x? ). Вы можете ясно видеть, что это можно интерпретировать в такой форме:

$$f(x) = ax$$

$$f(x) = b$$

Теперь мы хотим знать, при каком $x$ будет ли функция $f(x)$ выводить значение $b$. Теперь, если вы можете обратить ваше внимание на это, $b$ также является функцией $x$. Правильно, для каждого x, который вы можете себе представить, просто выскочит $b$. Он постоянен для всех значений $x$. Ну, как мы можем этого добиться? Возьми $x$, брось $x$:

$$g(x) = b$$

Вы знаете $b$, поэтому для любого $x$ он просто выводит $b$, что вы можете представить себе в голове или на листе бумаги как простое линия, параллельная оси $x$. Теперь нарисуйте график функции $f(x)=ax$ на этом мысленном или бумажном изображении. Вы заметите, что они пересекаются в очень определенной точке. В этот момент они имеют одинаковые значения $x$ и $y$. Поскольку мы знаем, что $g(x) = b$, их общая координата $y$ равна $b$. В этом весь смысл $g(x)$, мы хотели узнать значение $x$, при котором две линии пересекаются в точке $y=b$. Итак, если в этой волшебной точке у них общие координаты $x$ и $y$, то общая точка, как вы знаете:

$$f(x) = g(x)$$

Таким образом, делая такое утверждение, мы заключаем, что должен существовать $x$, для которого эти две функции давали бы одно и то же значение. Хотя мы предполагаем, что такое значение существует, мы можем обнаружить, что они параллельны (что решения нет). Доказательство от противного, если хотите. Подставив, узнаем, что:

$$ax = b$$ $$x = \frac{b}{a}$$

Именно этого мы и достигли с помощью простой алгебры. Итак, графически точка пересечения является решением этого уравнения. Они то же , $g(x)$ и $f(x)$ совпадают в этом конкретном $x$ тогда и только тогда, когда:

$$f(x) — g(x) = 0$$ или $$ax — b = 0$$

Это визуальный способ увидеть, откуда взялся $0$. Если две функции одинаковые или РАВНЫ , вычитание одного из другого ДОЛЖНО дать $0$, что вполне логично. Просто наблюдая уравнение $ax = b$, они равны только в том случае, если вычитание одного из другого дает $0$. По сути, на самом деле происходит то, что вы вычитаете из обеих сторон одну из сторон. Выполняя одни и те же операции с обеих сторон, мы не нарушаем уравнение. В повседневной жизни мы упрощаем, говоря: вычтем одну сторону из другой, перейдем знак равенства, как границу страны, изменим знак, как паспорт. 92 + bx + c = 0$

Я надеюсь, что теперь вы начинаете замечать разницу между неизвестными и переменными . Переменные выдают свою природу своим именем, они могут изменяться и оцениваться в разные значения, которые все соответствуют отношениям, налагаемым функцией. Поскольку функция работает со всем диапазоном значений, которые может принимать $x$, $x$ является переменной. А с $x$, независимым значением, приходит значение, которое является функцией этих $x$, $f(x)$ или $y$.

В тот момент, когда вы вводите определенный $x$ (вход) или определенный $f(x)=y$ (выход), другой может принимать только одно очень конкретное значение, которое образует с ним упорядоченную пару. А другой — неизвестный , который можно рассчитать по соотношению, описанному в уравнении (константы/коэффициенты/ограничения определяют значение).

Не бить дохлую лошадь (по крайней мере, слишком сильно), рассмотрим квадратичную функцию, график которой представляет собой параболу. Просто используя уже упомянутое здесь (и понимая форму параболы), вы можете сделать вывод, почему есть два решения. $g(x)$ или наложенный $y$ по-прежнему является горизонтальной линией. И эта линия пересекает параболу в двух точках, обе точки равноправны. Простой аргумент в пользу составления квадратного уравнения заключается в решении таких задач, как значение нашего дорогого $\sqrt{2}$, которое является иррациональным числом, а это означает, что его невозможно представить в виде отношения двух значений. Но, к счастью, оно не трансцендентно, поэтому его можно выразить так: 92 — 2 = 0$$

Помните, мы пытаемся найти $x$, которое при возведении в квадрат дает значение $2$. Теперь, что это за $2$? Это ограничение, которое заставляет $x$ оцениваться как $\sqrt{2}$. Звонит в колокол? Да, это та же форма, что и $f(x) — g(x) = 0$. Пересечение. Или несколько в этом случае (две точки/упорядоченные пары имеют одно и то же значение $y$), как вы уже видели визуально на своей бумаге. Теперь давайте немного разберемся, выведя фактическое уравнение, которое выдает нам значение $x$. 92 — 4ac}}{2a}$$

Помните, как мы решили, что будет лучше, если умножение двух отрицательных чисел даст положительное число, потому что это диктуют логика и повседневные проблемы. Что ж, теперь мы должны взять один для команды. Квадратный корень числа — это число, умноженное само на себя. Следовательно, это число может быть как положительным, так и отрицательным. Поскольку у нас нет способа узнать, у нас должны быть два разных значения и, следовательно, два совершенно правильных решения, которые можно отобрать только путем дальнейшего применения логики (если это простой случай, например, длина, ну, она не может быть отрицательной). ). Но это не всегда так, поэтому оставляем это: 92 + bx + c = 403045$$

После всего вышесказанного очевидно, что это совсем другое уравнение. Теперь вы оцениваете совершенно другую упорядоченную пару, не так ли? Надеюсь, вы видите, что ищете $x$ (или $x$s), которые соответствуют $y = 403045$. Это совсем другое пересечение. Вы уже сказали, что что-то равно $0$, что они пересекаются, и вы перебарщиваете со вторым поднятием стоимости.

Если вы ищете значение, описываемое некоторой функцией $f(x)$, это вполне допустимо и имеет собственное решение, которое дает истинное уравнение (знак равенства, суть всего). Но это не имеет ничего общего с решением конкретной проблемы, это просто попытка оценить функцию наоборот, найдя $x$ по ее значению $y$ (выход).

Надеюсь, это поможет! К сожалению, это немного долго. Нужно работать над этим.

Квадратное уравнение

Стандартная форма квадратного уравнения:

ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0

Переменная. Степень уравнения 2 (показатель степени x) делает уравнение квадратичным. Квадратные уравнения этой формы можно решить для x, чтобы найти корни уравнения, которые являются точками, в которых уравнение равно 0. Корни также могут называться нулями.

Существует несколько различных методов решения квадратного уравнения. Ниже приведены некоторые из них.

Квадратные уравнения вида ax

² + c = 0

Квадратное уравнение без члена x ¹ решить относительно просто. Нам не нужно учитывать или использовать квадратичную формулу (обсуждается позже). Все, что нам нужно сделать, это выделить x, как если бы мы пытались найти x в любом уравнении, а затем извлечь квадратный корень из константы.

Пример

Дано x ² — 4 = 0, найти x:

x ² = 4

x = ± = ± 2

Одна из ключевых вещей, которую нам нужно помнить при решении квадратных уравнений, заключается в том, что x может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поскольку и -2 × -2, и 2 &times 2 = 4. Это также означает, что если bot a и c положительное или отрицательное, действительных решений нет, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа без использования мнимых чисел.

Использование факторинга

Решение уравнений с использованием факторинга основано на использовании одного из свойств 0. Если произведение двух чисел или выражений равно 0, то по крайней мере одно из выражений должно равняться 0. Это позволяет нам разделить факторы и установите их равными 0 по отдельности, чтобы найти решение(я) уравнения.

Примеры

1. Решить 2x ² — 8x = 0:

2x(x — 4) = 0

Мы можем разделить это и решить для 2x = 0 и x — 4 = 0:

2x = 0

x = 0

и

x — 4 = 0

x = 4

Уравнение имеет два решения, x = 0 и x = 4.

2 0 909 x02 9011 Решить — 4x + 4 = 0:

x ² — 4x + 4 = (x — 2) ² = 0

x — 2 = ± 0

x = 2

В этом случае, даже если мы извлекаем квадратный корень, 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому есть только одно решение. Это всегда будет иметь место в уравнениях, которые можно представить в форме (x — c) ² , поэтому, как только вы начнете распознавать эти уравнения в их расширенной форме, x ² — 2cx + c ² , вы сможете решать их относительно быстро.

3. Решите x ² — x — 6 = 0:

x ² — x — 6 = (x — 3)(x + 2) = 0

x — 3 = 0

x = 3

и

x + 2 = 0

x = -2

Два решения уравнения: x = 3 и x = -2.

Используя квадратичную формулу

Термины «квадратная формула» и «квадратное уравнение» иногда используются взаимозаменяемо, но их не следует путать. Квадратная формула относится конкретно к формуле, используемой для решения квадратных уравнений:

Квадратную формулу можно рассматривать как метод «грубой силы» для решения квадратных уравнений, поскольку ее можно использовать для решения любого квадратного уравнения в стандартной форме, как и все примеры выше. Однако в зависимости от конкретного квадратного уравнения часто бывает проще использовать такой метод, как разложение на множители, завершение квадрата или какой-либо другой метод, если это возможно, перед использованием квадратной формулы. При этом сама квадратичная формула относительно проста в использовании, если уравнение имеет стандартную форму.