Решить дроби: Онлайн сервис для вычислений обыкновенной и десятичной дробями, сложение, вычитание, умножение и деление десятичной и обыкновенной дробей.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Равенство дробей.

Равенство дробей.

Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.

Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.

На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь \(\frac{4}{8}\)

На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь \(\frac{1}{2}\)

Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), то есть это одно и тоже число.

Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.

\(\frac{4}{8} = \frac{1  \cdot  \color{red} {4}}{2  \cdot  \color{red} {4}} = \frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}} =\frac{1}{2} \cdot \color{red}{1} = \frac{1}{2}\)

 

Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители \(\frac{1  \cdot  \color{red} {4}}{2  \cdot  \color{red} {4}}\), а потом разделили дроби \(\frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}}\). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей.

Посмотрим еще один пример и сократим дробь.

\(\frac{6}{10} = \frac{3 \cdot \color{red} {2}}{5 \cdot \color{red} {2}} = \frac{3}{5} \cdot \color{red} {\frac{2}{2}} =\frac{3}{5} \cdot \color{red}{1} = \frac{3}{5}\)

 

Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.

Основное свойство дроби.

Отсюда следует основное свойство дроби:

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.

\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}\)

 

Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:

\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div \color{red} {2}}{8 \div \color{red} {2}} = \frac{3}{4}\)

 

Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.

\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}\)

 

Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями.

Пример сократимой дроби: \(\frac{2}{4}, \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{10}{5}, …\)

Так же есть и несократимые дроби.

Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.

Пример несократимой дроби: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{13}{5}, …\)

Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:

\(7 = \frac{7}{1}\)

Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.

Проверьте справедливо ли равенство:  \(\frac{7}{11} = \frac{14}{22}\)?
Ответ: распишем дробь \(\frac{14}{22} = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{7}{11}\)

, да справедливо.

Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби \(\frac{2}{3}\).
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби \(\frac{1}{5}\).

Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{2}{3}\) на 5.

\(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\)

б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{1}{5}\) на 8.

Получим:

\(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}\)

Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)\(\frac{16}{36}\), б) \(\frac{10}{25}\).

Решение:
а) \(\frac{16}{36} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{9}\)

б) \(\frac{10}{25} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5}\)

Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123

Решение:
а) \(13 = \frac{13} {1}\)

б) \(123 = \frac{123} {1}\)

Презентация к уроку «Дроби. Решение задач с дробями». | Презентация к уроку по математике (4 класс):

Слайд 1

Дроби всякие нужны, Дроби всякие важны. Дробь учи, тогда сверкнет тебе удача. Если будешь дроби знать, Точно смысл их понимать, Станет легкой даже трудная задача. О.Севастьянова Урок математики 4 класс Тема: Дроби. Решение задач. Составила: Сиукаева Фатима Борисовна Учитель МБОУ СОШ № 3

Слайд 2

Организационный момент Ровно встали, тихо сели, Головами повертели. Очень сладко потянулись И друг другу улыбнулись. Прозвенел сейчас звонок, Начинаем наш урок.

Слайд 3

Цели урока: Обучающие цели: повторение теоретического материала по данному разделу, способствовать формированию знаний по пройденной теме, формировать навыки сравнения дробей. Развивающие цели: способствование развитию интереса к математике, активации мыслительной деятельности, развитие творческого мышления, математической речи учащихся; Воспитательные цели: создание условия для воспитания навыков самостоятельной деятельности учащихся.

Слайд 4

Из истории дробей С древних времен людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби. В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части, в первых учебниках математики (в XVII веке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Слайд 5

Из истории дробей Впервые дроби стали встречаться в египетских папирусах ( около 2000 лет до нашей эры)

Слайд 6

У египтян и вавилонян были специальные обозначения дробей

Слайд 7

В Древнем Китае вместо черты использовали точку:

Слайд 8

Первым дробную черту ввёл итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 году

Слайд 9

В старых записях найдены такие названия дробей: Половина, полтина Четь Треть Полчеть Полтреть

Слайд 10

Какую часть фигуры составляет закрашенная часть?

Слайд 11

1. Прочитать дроби: 2. Сократите дробь: 3. Сравните дроби

Слайд 12

Найдите лишнюю дробь: Объясните, почему вы так думаете?

Слайд 13

1.Какую часть метра составляют 50см? 2.Какую часть года составляют 3 месяца? 3.Как иначе называют дроби ? 1/2, 1/3, 1/4. 4.Что означают слова: «полпути»,«полукруг», «полтонны», «четверть часа», «полчаса», «полкило»?

Слайд 14

Режим дня для попрыгуньи Стрекозы: Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета она прыгала, третью часть времени -пела, шестую часть — спала. Остальное время она решила посвятить себя подготовке к зиме. Сколько времени Стрекозе понадобилось подготовиться к зиме?

Слайд 15

Работа в тетради: Решите геометрическую задачу: Площадь квадрата 36 кв. см. Начертите прямоугольник, площадь которого равна 2/3 площади квадрата. Назовите, чему равны стороны вашего прямоугольника. 3 см 3 см

Слайд 16

Физкультминутка Ветер тихо клен качает, Вправо, влево наклоняет. Раз – наклон и два – наклон, Зашумел листвою клен! Мы становимся все выше, Достаем руками крыши. На два счета подтянись, Три, четыре – руки вниз!

Слайд 17

Работа в учебнике: Открыли учебники на странице 82. (решение задачи несколькими способами).

Слайд 18

Миша, Сеня и Дима прошли 22 км. Они поочерёдно несли палатку. Миша нёс её ½, а Сеня 3/11 всего пути. Сколько км нёс палатку Дима?

Слайд 19

I способ Решаем задачу в четыре действия: 1)22х1/2=11 (км) нёс Миша 2). 22х3/11=6 (км) нёс Сеня 3). 11+6=17 (км) несли Миша и Сеня вместе 4). 22-17=5 (км) нёс Дима

Слайд 20

Попробуй решить другим способом. 1/2 3/11 ? Миша Сеня Дима 22 км = 1

Слайд 21

III способ Реши задачу с помощью уравнения: 1/2+3/11+х=22

Слайд 22

Домашнее задание: 1. 2. 3. 5. 7. 4. 8. 6. 9.

Слайд 23

Разгадай кроссворд: По горизонтали: 2. Часть целого. 3. 1/1000 часть километра. 4. Название дроби, у которой числитель больше или равен знаменателю. 8. Какую часть периметра квадрата составляет длина одной стороны? 6. Одна двадцать четвёртая часть суток. 9. Какую долю составляют сутки от недели. По вертикали: 1. Тысячная часть числа. 5. 1/60 минуты. 7. Делитель дроби.

Слайд 24

А закончить урок я хотела бы словами великого писателя Л.Н.Толстого. «Человек подобен дроби: в знаменателе – то, что он о себе думает, в числителе – то, что он есть на самом деле. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь».

Слайд 25

Спасибо за урок!

Слайд 26

Посчитай на досуге Однажды, прогуливаясь осенним утром, ежик прошел 600м, причем 7 / 20 своего пути, он прошел уже после того, как туман рассеялся. Какое расстояние прошел еж в тумане?

Слайд 27

Посчитай на досуге Камень Астерикса весит 240кг, вес самого Астерикса составляет 5 / 8 от веса камня. Сколько весит Астерикс вместе со камнем?

Помогите решить / разобраться (М)

Fiend	Соседние дроби 26.05.2020, 01:12
16/04/20 17	Всем доброго времени суток! Задача #42 из книжки И. М. Гельфанда, А.Х. Шеня «Алгебра». дроби и называются соседними, если Если , то дробь не находится между и . Я видел на этом форуме указания к доказательству, но увидел их я позже того, как дал собственное. Оно отличается идеей и я не уверен, что оно верно. Прошу знающих проверить и указать на ошибки. Второй пункт этого же задания: Если дроби соседние, то дробь является соседней к обеим дробям , а также лежит между ними. Док-во. Без ограничения общности предположим, что . Из второго пункта, который считается доказанным, имеем: где является соседней к граничным дробям. Ясно, что должна находиться либо между и , либо между и . Не умаляя общности, будем считать выполненной первую возможность. Тогда можно, точно также рассуждая, получить, что должна находиться либо между и , либо между и (смотря, что выбрали в прошлый раз). Продолжая такие рассуждения до бесконечности, получим, что стремится к , т.е. не может лежать между дробями . Получили противоречие, а значит доказали.

novichok2018	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 08:15
Заблокирован 16/04/18 ∞ 1129	Второй пункт: переоткрываете дроби Фарея, для этой средней дроби есть какое-то специальное название, типа медианта двух дробей, не помню.

Null	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 08:28
Заслуженный участник 12/08/10 1342	Что если находиться между и ?

Fiend	Re: Соседние дроби 26. 05.2020, 13:26
16/04/20 17	Null в сообщении #1465118 писал(а): Что если находиться между и ? Аналогично тому рассуждению, только на этот раз будет стремится к , и знаменатель станет, грубо говоря, неотличим от , т.е. не меньше. — 26.05.2020, 12:29 — novichok2018 в сообщении #1465116 писал(а): Второй пункт: переоткрываете дроби Фарея, для этой средней дроби есть какое-то специальное название, типа медианта двух дробей, не помню. Да, спасибо за информацию о том, что потом почитать. Только мне сначала нужно выполнить это задание правильно, без дополнительных знаний. Изобретать велосипед при обучении крайне полезно. — 26.05.2020, 12:53 — Решил более строго обосновать. Продолжая тот процесс деления интервала, получим, что По теореме о предельном переходе в неравенстве и получим, что . А это и есть противоречие.

slavav	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 15:13
Заслуженный участник 26/05/14 967	Fiend , вы, к сожалению, ничего не доказали. В частности, ваше доказательство работает для .

Fiend	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 15:59
16/04/20 17	slavav в сообщении #1465196 писал(а): В частности, ваше доказательство работает для . Вроде нет. Если равенство, то априори лежит между. Если же больше, то, условно говоря, можно выйти из ограничивающего интервала, меньшего и предельный переход не поможет приравнять к одной из границ. slavav в сообщении #1465196 писал(а): Fiend, вы, к сожалению, ничего не доказали. Вот за этим я и здесь. Никак не могу понять, почему доказательство не работает.

slavav	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 17:51
Заслуженный участник 26/05/14 967	Вы нигде не воспользовались фактом что . А без этого ограничения можно предъявить дробь «попадающую» в коридор. — 26.05.2020, 17:56 — Fiend в сообщении #1465214 писал(а): Вроде нет. Если равенство, то априори лежит между. Если же больше, то, условно говоря, можно выйти из ограничивающего интервала Всё это рассуждение неверно. Можно предъявить дробь с большим знаменателем, которая попадает в интервал. Возможно, вы забыли что можно менять и числитель тоже. Это могло бы сбить вас с толку.

Null	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 20:26
Заслуженный участник 12/08/10 1342	Fiend в сообщении #1465214 писал(а): Вот за этим я и здесь. Никак не могу понять, почему доказательство не работает. Рассмотрите случай когда дробь попадает то налево, то направо при вашем разбиении.

Fiend	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 20:44
16/04/20 17	slavav, спасибо за разъяснения, попробую доказать правильно.

Утундрий	Re: Соседние дроби 26.05.2020, 22:11
Заслуженный участник 15/10/08 10064	Когда мне говорят, что нечто не находится там-то, я первым делом помещаю его туда.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 10 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Пошаговое руководство по решению дробей с примерами

Учебники

MotoCMS Editorial 27 марта 2022 г.

Это правда, что дроби не так просто выучить. Многие ученики не воспринимают серьезно эту математическую концепцию в своих детских классах, что, в конце концов, вызывает много проблем. Вот почему очень важно научиться быстро и точно решать простые и сложные дробные задачи. Кроме того, вы также можете воспользоваться онлайн-калькулятором дробей в случае возникновения каких-либо проблем во время расчетов. Да, мы очень благодарны сайту calculate-online.net, который предложил этот бесплатный калькулятор умножения дробей, чтобы решать задачи с дробями достаточно быстро. В любом случае, давайте теперь перейдем к делу. В этом чтении мы сосредоточимся на пошаговом руководстве по быстрому решению задач на дроби. Оставайтесь с нами!

Что такое дробь?

В контексте математики: Дробь — это математическое соотношение числителя и знаменателя. Вы можете использовать онлайн-калькулятор кратных дробей для эффективного и за считанные секунды перечисления различных простых и сложных математических запросов дробей. Как это звучит для вас?

Части дробей

Ниже приведены части дробей, которые вы должны сначала понять, прежде чем двигаться дальше.

Числитель

Верхняя часть дроби называется числителем.

Знаменатель

Меньшее число под чертой называется знаменателем.

Vinculum

Это линия, которая делит числитель и знаменатель.

Как решать дроби. Действия над дробями

Дроби больше не являются сложным предметом для детей. С помощью бесплатного калькулятора умножения дробей теперь вы можете упростить дроби. Ручные вычисления, с другой стороны, имеют решающее значение для понимания и изучения. Итак, давайте пройдем к ним.

Сложение дробей

Сложение дробей также можно выполнить с помощью бесплатного калькулятора умножения дробей. Однако давайте также пройдемся по ручным расчетам концепций.

• Сначала запишите все дроби со знаком сложения среди них
• После этого перейдите к вычислению наименьшего общего знаменателя всех знаменателей
• После того, как вы сделали и этот шаг, теперь пришло время напиши числители
• Разделите наименьший общий знаменатель со знаменателями всех дробей один на один
• И затем умножьте полученное число с числителями соответственно
• Затем сложите все числители, чтобы написать окончательную дробь
• Посмотрите, есть ли возможность уменьшить это фракция больше

Калькулятор свободных фракций также выполняет все эти шаги, но через пару секунд отображает окончательные результаты.

Пример

2/3 + 5/9 + 7/2

= 12 + 10 + 63/ 18

= 85/18

= 4,72

Калькулятор умножения дробей также показывает десятичное преобразование дроби на вашем устройстве экран сразу.

Вычитание дробей

• Для начала составьте список всех дробей, среди которых есть знак вычитания.
• После этого найдите знаменатель с наименьшим общим знаменателем всех знаменателей.
• После того, как вы завершили этот шаг, пришло время записать числители.
• Разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели всех дробей по одному, затем умножьте результат на числители.
• Затем, чтобы записать окончательную дробь, вычтите все числители вместе.
• Проверьте, есть ли способ еще больше уменьшить эту долю.

В случае возникновения проблем во время вычислений, пусть бесплатный калькулятор дробей решит их за вас.

Пример

3/5 – 2/6

= 18 –  10/30

= 8/30

= 4/15

= 0,266

Умножение дробей

Эта операция очень интересна и проста в освоении. Да, вам просто нужно пройти через следующие ключевые моменты, чтобы умножить различные дроби:

• Запишите в очередь все дроби, среди которых есть знак умножения
• После этого умножьте все числители и знаменатели отдельно
• Вот как выполняется умножение, и вы получаете новую результирующую дробь
• Теперь, наконец, вам нужно проверить, можно ли еще уменьшить эту дробь, чтобы сделать ее достаточно малой = 64/210

  = 0,304

  Интересный факт заключается в том, что бесплатный калькулятор умножения дробей также дает те же результаты, но экономит вам много времени.

  Деление дробей

  Деление — это обратная операция умножения. Отличается только один первый шаг, остальные вычисления совпадают с теми, что мы обсуждали для умножения дробей. Давай тоже побыстрее разберёмся!

  • Записать все дроби, среди которых есть знак деления
  • Затем, кроме первой дроби, поменять местами числители и знаменатели всех остальных дробей
  • Повторить действия, как для произведения дроби

  Пример

  20002 /5 / 3/5

  = 2/5 * 5/3

  = 10/15

  = 2/3

  Уловка для быстрого решения дробей

  Давайте обсудим прием, позволяющий упростить числовые задачи, связанные с доли за пару секунд. Здесь возможны две ситуации, а именно:

  Числитель и знаменатель имеют одинаковую разницу

  Если у вас есть дроби с одинаковой разницей между числителем и знаменателем, вы должны решить их, используя ключевое правило: дроби с большим числителем будут самыми большими, тогда как дроби с маленьким числитель будет наименьшим.

  И числитель, и знаменатель увеличиваются на фиксированную величину

  Если у вас есть дроби с числителями и знаменателями, которые продолжают увеличиваться на некоторое значение по умолчанию, при их решении придерживайтесь следующей стратегии: быть наименьшими дробями в этой ситуации, и наоборот.

  Как решать дроби – Последние слова

  Конечно, дроби кажутся менее сложной задачей, но когда дело доходит до практических вычислений, это может вызвать много проблем. Это происходит из-за отсутствия вашего понимания и мыслительного подхода. В этом путеводителе для вас создан специальный контекст, чтобы вы могли понять, как легко и достоверно решать дроби. Кроме того, остальные расчеты были упрощены калькулятором смешанных дробей от calculate-online.net. Мы надеемся, что этот путеводитель поможет вам в подготовке к предстоящим экзаменам.

  Теги: лучшее решение для веб-сайтов

  Автор: MotoCMS Editorial

  Здесь представлены официальные новости, выпуски и статьи MotoCMS. Узнайте последнюю информацию о продукте, распродажах и обновлениях.

  Вам понравилась эта статья?

  Подпишитесь, чтобы узнавать новости и получать выгодные скидки!

  Пожалуйста, заполните это поле.

  Спасибо за подписку на блог MotoCMS!

  Этот адрес электронной почты уже используется.

  Что-то пошло не так. Мы исправляем это. Попробуйте чуть позже.

  9.5: Решение уравнений с дробями или десятичными знаками

  1. Последнее обновление

  2. Сохранить как PDF

• Идентификатор страницы

  46255

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решать уравнения с дробными коэффициентами
• Решение уравнений с десятичными коэффициентами

Примечание

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Умножить: \(8\cdot 38\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 1.6.16.
2. Найдите на ЖК-дисплее \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{1}{4}\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 1.7.16.
3. Умножьте 4,78 на 100.
   Если вы пропустили эту задачу, просмотрите упражнение 1.8.22.

Решение уравнений с дробными коэффициентами

Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, представленной ранее, для решения уравнения \(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1} {4}\).

Another line down on the left, the instructions say: “Simplify the left side.” To the right of this sentence is the equation one-eighth x equals one fourth minus one half. Another line down on the left, the instructions say: “Change the constants to equivalent fractions with the LCD.” To the right of this sentence is the equation one-eighth x equals one fourth minus two fourths. The next line down on the left, the instructions say: “Subtract.” To the right of this word is the equation one-eighth x equals negative ¼. Another line down on the left, the instructions say: “Multiply both sides by the reciprocal of 1/8.” To the right of this instructions is the same equation with both sides multiplied by 8 over 1: 8 over1 times one-eighth x equals 8 over 1 times negative one fourth, with “times 8/1” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: x equals negative 2. «>

Таблица \(\PageIndex{1}\)

Чтобы изолировать член x, вычтите \(\frac{1}{2}\) с обеих сторон.
Упростите левую сторону.
Измените константы на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Вычесть.
Умножьте обе части на обратную величину \(\frac{1}{8}\).
Упрощение.

Этот метод работал нормально, но многие учащиеся не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется «очищением» уравнения дробей.

Давайте решим похожее уравнение, но на этот раз воспользуемся методом исключения дробей.

Упражнение \(\PageIndex{1}\): как решать уравнения с дробными коэффициентами

Решите: \(\frac{1}{6}y — \frac{1}{3} = \frac{5} {6}\)

Ответить

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решить: \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)

Ответить

\(х= \фракция{1}{2}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решить: \(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Ответить

\(х = -2\)

Обратите внимание, что в упражнении \(\PageIndex{1}\) после того, как мы очистили уравнение дробей, оно стало таким же, как те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили задачу на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДРОБЕЙ.

1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решите: \(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v — \frac{3}{4}v\ )

Ответ

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на LCD всех дробей в уравнении.

One line down to the left, the instructions say: “The LCD is 20.” Another line down on the left, the instructions say: “Multiply both sides of the equation by 20.” To the right of this sentence is the original equation with both sides multiplied by 20: 20 times 6 equals 20 times one-half v plus two-fifths v minus three-fourths v, with one-half v plus two-fifths v minus three-fourths v in brackets. Another line down on the left, the instructions say: “Distribute.” To the right of this instruction is the same equation with the 20 distributed through all the terms in the brackets on the right side of the equation: 20 times 6 equals 20 times one-half v plus 20 times two-fifths v minus 20 times three-fourths v. Another line down to the left, the instructions say: “Simplify—notice, no more fractions!” To the right of this instruction is the equation 120 equals 10 v plus 8 v minus 15 v. The next line down on the left, the instructions say: Combine like terms. ” To the right of this sentence is the equation 120 equals 3 v. Another line down to the left, the instructions say: “Divide by 3.” To the right of this instruction is the same equation divided by 3 on both sides: 120 over 3 equals 3 v over 3, with “divided by 3” written in red on both sides. Another line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: 40 equals v. The next line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this instruction is the original equation again: 6 equals one-half v plus two-fifths v minus three-fourths v. Another line down to the left, the instructions say: “Let v equal 40.” To the right of this sentence is the original equation with 40 substituted in for v: 6 might equal ½ times 40 plus 2/5 times 40 minus three fourths times 40. Below this is the equation 6 might equal 20 plus 16 minus 30. Below this is the equation 6 equals 6, with a check mark next to it.»>

Найдите ЖК всех дробей в уравнении.
ЖК-дисплей 20.
Умножьте обе части уравнения на 20.
Распространение.
Упростите — обратите внимание, больше никаких дробей!
Объедините похожие термины.
Разделить на 3.
Упрощение.
Чек:
Пусть v=40.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Решите: \(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x — \frac{2}{3}x\ )

Ответить

\(х = 12\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Решите: \(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u — \frac{2}{3}u \)

Ответить

\(и = -12\)

В следующем примере у нас снова есть переменные с обеих сторон уравнения.

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Решить: \(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a — \frac{1}{2}\)

Ответить

At the top of the table on the right is the equation a plus three fourths equals three-eighths a minus one half. One line down to the left, the instructions say: “Find the LCD of all the fractions in the equation. The LCD is 8.” Another line down to the left, the instructions say: “Multiply both sides by the LCD.” To the right of this instruction is the original equation multiplied by 8 on both sides: 8 times a plus three fourths, with a plus three fourths in brackets, equals 8 times three-eighths a minus one half, with three-eighths a minus one half in brackets. Another line down on the left, the instructions say: “Distribute.” To the right of this instruction is the equation with the 8 distributed through the brackets on both sides of the equation: 8 times a plus 8 times three fourths equals 8 times three-eighths a minus 8 times one half. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify—no more fractions.” To the right of this instruction is the equation 8 a plus 6 equals 3 a minus 4. Another line down on the left, the instructions say: “Subtract 3 a from both sides.” To the right of this sentence is the same equation with 3a subtracted from both sides: 8 a minus 3 a plus 6 equals 3 a minus 3 a minus 4, with “minus 3 a” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the equation 5 a plus 6 equals negative 4. The next line down on the left, the instructions say: “Subtract 6 from both sides,” and to the right of this instruction is the same equation with 6 subtracted from both sides: 5 a plus 6 minus 6 equals negative 4 minus 6, with “minus 6” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the equation 5a equals negative 10. Another line down on the left, the instructions say: “Divide by 5.” To the right of this instruction is the same equation divided by 5 on both sides: 5 a over 5 equals negative 10 over 5, with “divided by 5” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: a equals negative 2. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this word is the original equation again: a plus three fourths equals three-eighths a minus one half. Another line down on the left, the instructions say: “Let a equal negative 2,” and to the right of this instruction is the original equation with negative 2 substituted in for a: negative 2 plus three fourths might equal three eighths times negative 2 minus one half. Below this is the equation negative eight fourths plus three fourths might equal sixteen eighths minus four eighths. Below this is the equation negative five fourths might equal negative ten eighths. Below this is the equation negative five fourths equals negative five fourths, with a check mark next to it.»>

Найдите ЖК всех дробей в уравнении. ЖК-дисплей 8.
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей.
Распределить.
Упрощение — без дробей.
Вычтите 3a3a с обеих сторон.
Упрощение.
Вычтите 6 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 5.
Упрощение.
Чек:
Пусть a=−2.

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Решить: \(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x — \frac{1}{2}\)

Ответить

\(х = -1\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Решить: \(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c — \frac{1}{4}\)

Ответить

\(с = -2\)

В следующем примере мы начнем с использования свойства Distribution. Этот шаг очищает дроби сразу.

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Решить: \(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)

Ответ

At the top of the table on the right is the equation negative 5 equals ¼ times 8x plus 4, with 8x plus 4 in parentheses. One line down to the left, the instructions say: “Distribute,” and to the right of this word is the original equation with the ¼ distributed through the parentheses: negative 5 equals ¼ times 8x plus ¼ times 4. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation negative 5 equals 2x plus 1. Another line down on the left, the instructions say: “Now there are no fractions. Subtract 1 from both sides.” To the right of these sentences is the equation with 1 subtracted from both sides: negative 5 minus 1 equals 2 x plus 1 minus 1, with “minus 1” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation negative 6 equals 2 x. Another line down on the left, the instructions say: “Divide by 2,” and to the right of this instruction is the same equation divided by 2 on both sides: negative 6 over 2 equals 2 x over 2, with “divided by 2” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: negative 3 equals x. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this instruction is the original equation again: negative 5 equals ¼ times 8x plus 4, with 8 x plus 4 in parentheses. Another line down on the left, the instructions say: “Let x equal negative 3.” To the right of this sentence is the original equation with negative 3 substituted in for x: negative 5 might equal ½ times 4 times negative 3 plus 2, with 4 times negative 3 plus 2 in parentheses. Below this is the equation negative 5 might equal ½ times negative 12 plus 2, with negative 12 plus 2 in parentheses. Below this is the equation negative 5 might equal ½ times negative 10. Below this is the equation negative 5 equals negative 5, with a check mark next to it.»>

Распределить.
Упростить. Теперь дробей нет.
Вычтите 1 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 2.
Упрощение.
Чек:
Пусть x=−3.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Решить: \(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)

Ответ

\(р = -4\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Решить: \(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)

Ответ

\(д = 2\)

В следующем примере, даже после распределения, нам все еще нужно очистить дроби.

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Решите: \(\frac{1}{2}(y — 5) = \frac{1}{4}(y — 1)\)

Ответ

Another line down to the left, the instructions say: Multiply by the LCD, 4.” To the right of this instruction is the same equation multiplied by 4 on both sides: 4 times one-half y minus 5/2, with one-half y minus 5/2 in brackets, equals 4 times one-fourth y minus one fourth, with one-fourth y minus one fourth in brackets, with “4 times” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Distribute.” To the right of this word is the equation with the 4 distributed through the brackets on both sides of the equation: 4 times one-half y minus 4 times 5/2 equals 4 times one-fourth y minus 4 times one fourth. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation 2 y minus 10 equals y minus 1. Another line down on the left, the instructions say: “Collect the variables to the left.” To the right of this sentence is the equation 2y minus y minus 10 equals y minus y minus 1, with “minus y” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this sentence is the equation y minus 10 equal negative 1. Another line down to the left, the instructions say: “Collect the constants to the right.” To the right of this instruction is the same equation with 10 added to both sides: y minus 10 plus 10 equals negative 1 plus 10, with “plus 10” written in red on both sides. Another line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: y equals 9. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this word is the original equation again: one half times y minus 5, with y minus 5 in parentheses, equals one fourth times y minus 1, with y minus 1 in parentheses. Another line down on the left, the instructions say: “Let y equal 9.” To the left of this sentence is the original equation with 9 substituted in for y: ½ times 9 minus 5, with 9 minus 5 in parentheses, might equal one fourth times 9 minus 1, with 9 minus 1 in parentheses. «>

Распределить.
Упрощение.
Умножение на LCD, 4.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные слева.
Упрощение.
Соберите константы справа.
Упрощение.
Проверка:
Пусть у=9.
Завершите проверку самостоятельно.

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Решить: \(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)

Ответить

\(n = 2\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Решить: \(\frac{1}{2}(m — 3) = \frac{1}{4}(m — 7)\)

Ответить

\(м = -1\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Решить: \(\frac{5x — 3}{4} = \frac{x}{2}\)

Ответ

” To the right of this instruction is the original equation multiplied by 4 on both sides: 4 times the difference 5 x minus 3 over 4, with the difference 5 x minus 3 over 4 in brackets, equals 4 times x over 2, with x over 2 in brackets. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this word is the equation 5 x minus 3 equals 2 x. Another line down to the left, the instructions say: “Collect the variables to the right.” To the right of this sentence is the same equation with 5x subtracted from both sides: 5x minus 5x minus 3 equals 2 x minus 5 x, with “minus 5 x” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation negative 3 equals negative 3 x. The next line down on the left, the instructions say: “Divide.” To the right of this instruction is the same equation divided by negative 3 on both sides: negative 3 over negative 3 equals negative 3x over negative 3, with “divided by negative 3” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: 1 equals x. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this instruction is the original equation again: the difference 5 x minus 3 over 4 equals x over 2. Another line down to the left, the instructions say: “Let x equal 1.” To the right of this sentence is the original equation with 1 substituted in for x: the difference 5 times 1 minus 3, all over 4 might equal ½. Below this is the equation 2/4 might equal ½. Below this is the equation ½ equals ½, with a check mark next to it.»>

Умножение на LCD, 4.
Упрощение.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Разделить.
Упрощение.
Чек:
Пусть х=1.

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Решить: \(\frac{4y — 7}{3} = \frac{y}{6}\)

Ответить

\(у = 2\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Решить: \(\frac{-2z — 5}{4} = \frac{z}{8}\)

Ответ

\(г = -2\)

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Решить: \(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)

Ответ

At the top of the table on the right is the equation a over 6 plus 2 equals a over 4 plus 3. One line down to the left, the instructions say: “Multiply by the LCD, 12.” To the right of this instruction is the original equation multiplied by 12 on both sides: 12 times a over 6 plus 2, with a over 6 plus 2 in brackets, equals 12 times a over 4 plus 3, with a over 4 plus 3 in brackets. Another line down on the left, the instructions say: “Distribute,” and to the right of this instruction is the equation with 12 distributed through the brackets on both sides: 12 times a over 6 plus 12 times 2 equals 12 times a over 4 plus 12 times 3. Another line down to the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation 2 a plus 24 equals 3a plus 36. The next line down to the left, the instructions say: “Collect the variables to the right.” To the right of this sentence is the same equation with 2 a subtracted from both sides: 2 a minus 2 a plus 24 equals 3 a minus 2 a plus 36, with “minus 2 a” written in red on both sides. Another line down to the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this word is the equation 24 equals a plus 36. Another line down to the left, the instructions say: “Collect the constants to the left.” To the right of this is the same equation with 36 subtracted from both sides: 24 minus 36 equals a plus 36 minus 36, with “minus 36” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this instruction is the answer to the equation: a equals negative 12. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this instruction is the original equation again: a over 6 plus 2 equals a over 4 plus 3. One more line down on the left, the instructions say: “Let a equal negative 12.” To the right of this sentence is the original equation with negative 12 substituted in for a: negative 12 over 6 plus 2 might equal negative 12 over 4 plus 3. Below this is the equation negative 2 plus 2 might equal negative 3 plus 3. Below this is the equation 0 equals 0, with a check mark next to it.»>

Умножение на LCD, 12.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Соберите константы слева.
Упрощение.
Чек:
Пусть a=−12.

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Решить: \(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)

Ответ

\(b = -20\)

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Решить: \(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)

Ответ

\(с= -6\)

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Решите: \(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)

Ответ

One line down to the left, the instructions say: “Multiply by the LCD, 4.” To the right of this sentence is the original equation with both sides multiplied by 4: 4 times the sum 4 q plus 3 over 2, with the sum 4 q plus 2 over 2 written as a fraction, plus 6, with the sum 4 q plus 2 over 2, plus 6 in brackets, equals 4 times the sum 3q plus 5 over 4, with the sum 3 q plus 5 over 4 in brackets. Another line down to the left, the instructions say: “Distribute.” To the right of this instruction is the equation with the 4 distributed through the brackets on both sides: 4 times the sum 4 q plus 3 over 2, with the sum 4 q plus 2 over 2 in brackets, plus 4 times 6 equals 4 times the sum 3q plus 5 over 5, with the sum 3 q plus 5 over 4 in brackets. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this sentence is the equation 2 times 4 q plus 3, with 4q plus 3 in parentheses, plus 24 equals 3 q plus 5. Below this is the equation 8 q plus 6 plus 24 equals 3 q plus 5. Below this is the equation 8q plus 30 equals 3q plus 5. Another line down on the left, the instructions say: “Collect the variables to the left.” To the right of this sentence is the same equation with 3q subtracted from both sides: 8 q minus 3 q plus 30 equals 3 q minus 3 q plus 5, with “minus 3 q” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation 5 q plus 30 equals 5. Another line down on the left, the instructions say: “Collect the constants to the right.” To the right of this instruction is the equation with 30 subtracted from both sides: 5 q plus 30 minus 30 equals 5 minus 30, with “minus 30” written in red on both sides. One more line down to the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this word is the equation 5q equals negative 25. One more line down to the left, the instructions say: “Divide by 5,” and to the right is the same equation divided by 5 on both sides: 5q over 5 equals negative 25 over 5. One more line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: q equals negative 5. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check,” and to the right of this word is the original equation again: the sum 4 q plus 3 over 2, with the sum 4 q plus 2 over 2 written as a fraction, plus 6 equals the sum 3 q plus 5 over 4. One more line down on the left, the instructions say: “Let q equal negative 5.” To the right of this sentence is the original equation with negative 5 substituted in for q: the sum 4 times negative 5 plus 3 over 2, with the sum over 2 written as a fraction, plus 6 might equal the sum 3 times negative 5 plus 5 over 4.»>

Умножение на LCD, 4.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные слева.
Упрощение.
Соберите константы справа.
Упрощение.
Разделить на 5.
Упрощение.
Проверка:
Пусть q=−5.
Завершите проверку самостоятельно.

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Решить: \(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)

Ответ

\(г = 1\)

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Решите: \(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)

Ответ

\(с = -8\)

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби. Уравнение такого рода возникает, когда мы решаем задачи, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть представлены дробями. Например, \(0,3 = \frac{3}{10}\) и \(0,17 = \frac{17}{100}\). Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Упражнение \(\PageIndex{25}\)

Решить: \(0,06x + 0,02 = 0,25x — 1,5\)

Ответ

Посмотрите на десятичные дроби и придумайте эквивалентные дроби.

\(0,06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0,02 = \ frac { 2 } { 100 } \quad 0,25 = \ frac { 25 } { 100 } \quad 1,5 = 1 \ frac { 5 } { 10 } \)

Обратите внимание, на ЖК-дисплее 100.

Умножая на ЖКИ, мы удалим десятичные дроби из уравнения.

At the top of the table on the right is the equation 0.06 x plus 0.02 equals 0.25 x minus 1.5. One line down to the left, the instructions say: “Multiply both sides by 100.” To the right of this instruction is the original equation multiplied by 100 on both sides: 100 times 0.06 x plus 0.02, with 0.06 x plus 0.02 in parentheses, equals 100 times 0.25 x minus 1.5, with 0.25 x minus 1.5 in parentheses, with “100 times” written in red on both sides. Another line down to the left, the instructions say: “Distribute,” and to the right of this instruction is the same equation with the 100 distributed through the parentheses on both sides of the equation: 100 times 0.06 x plus 100 times 0.02 equals 100 times 0.25 x minus 100 times 1.5. Another line down to the left, the instructions say: “Multiply, and now we have no more decimals.” To the right of this sentence is the equation 6 x plus 2 equals 25 x minus 150. Another line down to the left, the instructions say: “Collect the variables to the right. ” To the right of this sentence is the equation with 6x subtracted from both sides: 6 x minus 6 x plus 2 equals 25 x minus 6 x minus 150, with “minus 6 x” written in red on both sides. The next line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the equation 2 equals 19 x minus 150. The next line down to the left, the instructions say: “Collect the constants to the left.” To the right of this sentence is the equation with 150 added to both sides: 2 plus 150 equals 19 x minus 150 plus 150, with “plus 150” written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the equation 152 equals 19 x. Another line down on the left, the instructions say: “Divide by 19,” and to the right is the equation with both sides divided by 19: 152 over 19 equals 19 x over 19, with “divided by 19” written in red on both sides. One more line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this word is the answer to the equation: 8 equals x. One more line down, the two columns merge into one. The instructions say: “Check: Let x equal 8.” Below this is the original equation with 8 substituted in for x: 0.06 times 8 plus 0.02 might equal 0.25 times 8 minus 1.5 Below this is the equation 0.48 plus 0.02 might equal 2.00 minus 1.5. Below this is the equation 0.50 equals 0.50, with a check mark next to it.»>

Умножьте обе стороны на 100.
Распределить.
Умножьте, и теперь у нас больше нет десятичных знаков.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Разделить на 19.
Упрощение.
Проверка: Пусть x=8

Упражнение \(\PageIndex{26}\) ​​

Решить: \(0,14ч + 0,12 = 0,35ч — 2,4\)

Ответ

\(ч = 12\)

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Решить: \(0,65k — 0,1 = 0,4k — 0,35\)

Ответ

\(к = -1\)

В следующем примере используется уравнение, типичное для денежных приложений в следующей главе. Обратите внимание, что мы распределяем десятичные дроби до того, как очищаем все десятичные дроби.

Упражнение \(\PageIndex{28}\)

Решить: \(0,25x + 0,05(x + 3) = 2,85\)

Ответ

30 x plus 0.15, with 0.30x plus 0.15 in parentheses, equals 100 times 2.85. Another line down on the left, the instructions say: “Distribute.” To the right of this instruction is the same equation with the 100 distributed through the equation: 30 x plus 15 equals 285. Another line down on the left, the instructions say: “Subtract 15 from both sides.” To the right of this sentence is the equation with 15 subtracted from both sides: 30x plus 15 minus 15 equals 285 minus 15, with “minus 15” written in red on both sides. The next line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this word is the equation 30 x equals 270. Another line down on the left, the instructions say: “Divide by 30,” and to the right of this sentence is the equation divided by 30 on both sides: 30 x over 30 equals 270 over 30. One last line down to the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right is the answer to the equation: x equals 9. «>

Сначала раздайте.
Объедините похожие термины.
Чтобы убрать десятичные дроби, умножьте на 100.
Распределить.
Вычтите 15 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 30.
Упрощение.
Проверьте сами, подставив x=9в исходное уравнение.

Упражнение \(\PageIndex{29}\)

Решить: \(0,25n + 0,05(n + 5) = 2,95\)

Ответ

\(n = 9\)

Упражнение \(\PageIndex{30}\)

Решить: \(0,10d + 0,05(d -5) = 2,15\)

Ответ

\(д = 16\)

Ключевые понятия

• Стратегия решения уравнения с дробными коэффициентами
  1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
  2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
  3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

---

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Включено

   да

2. Теги

   1. источник[1]-math-15132

2.

5 Решение уравнений с дробями или десятичными знаками — Элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решение уравнений с дробными коэффициентами
• Решение уравнений с десятичными коэффициентами

Приготовься 2.13

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Умножить: 8·38,8·38.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.69.

Приготовься 2.14

Найдите ЖК-дисплей 5656 и 1414.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.82.

Приготовься 2,15

Умножьте 4,78 на 100.
Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 1.98.

Решение уравнений с дробными коэффициентами

Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, представленной ранее, для решения уравнения: 18x+12=1418x+12=14.

Чтобы изолировать член xx, вычтите 1212 с обеих сторон.
Упростите левую сторону.
Измените константы на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Вычесть.
Умножьте обе части на обратное число 1818.
Упрощение.

Этот метод работал хорошо, но многие ученики не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется «очищением» уравнения дробей.

Давайте решим похожее уравнение, но на этот раз воспользуемся методом исключения дробей.

Пример 2,48

Как решать уравнения с дробными коэффициентами

Решите: 16y−13=5616y−13=56.

Решение

Попытайся 2,95

Решите: 14x+12=5814x+12=58.

Попытайся 2,96

Решите: 18x+12=1418x+12=14.

Обратите внимание, что в примере 2.48 после того, как мы очистили уравнение дробей, оно стало таким же, как те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили задачу на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

Как

Стратегия решения уравнений с дробными коэффициентами.

1. Шаг 1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Шаг 2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
3. Шаг 3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Пример 2,49

Решить: 6=12v+25v−34v6=12v+25v−34v.

Решение

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на LCD всех дробей в уравнении.

Найдите ЖК всех дробей в уравнении.
ЖК-дисплей 20.
Умножьте обе части уравнения на 20.
Распределить.
Упростите — обратите внимание, больше никаких дробей!
Объедините похожие термины.
Разделить на 3.
Упрощение.
Чек:
Пусть v=40v=40.

Попытайся 2,97

Решите: 7=12x+34x−23×7=12x+34x−23x.

Попытайся 2,98

Решите: −1=12u+14u−23u−1=12u+14u−23u.

В следующем примере у нас снова есть переменные с обеих сторон уравнения.

Пример 2,50

Решите: a+34=38a−12a+34=38a−12.

Решение

Найдите ЖК всех дробей в уравнении. ЖК-дисплей 8.
Умножьте обе стороны на LCD.
Распределить.
Упрощение — без дробей.
Вычтите 3a3a с обеих сторон.
Упрощение.
Вычтите 6 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 5.
Упрощение.
Чек:
Пусть a=−2a=−2.

Попытайся 2,99

Решите: x+13=16x−12x+13=16x−12.

Попытайся 2.100

Решите: c+34=12c−14c+34=12c−14.

В следующем примере мы начнем с использования свойства Distribution. Этот шаг очищает дроби сразу.

Пример 2,51

Решите: −5=14(8x+4)−5=14(8x+4).

Решение

Распределить.
Упрощение. Теперь дробей нет.
Вычтите 1 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 2.
Упрощение.
Чек:
Пусть x=−3x=−3.

Попытайся 2.101

Решите: −11=12(6p+2)−11=12(6p+2).

Попытайся 2.102

Решите: 8=13(9q+6)8=13(9q+6).

В следующем примере, даже после распределения, нам все еще нужно очистить дроби.

Пример 2,52

Решите: 12(y−5)=14(y−1)12(y−5)=14(y−1).

Решение

Распределить.
Упрощение.
Умножение на LCD, 4.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные слева.
Упрощение.
Соберите константы справа.
Упрощение.
Чек:
Пусть у=9у=9.
Завершите проверку самостоятельно.

Попытайся 2.103

Решите: 15(n+3)=14(n+2)15(n+3)=14(n+2).

Попытайся 2.104

Решите: 12(м-3)=14(м-7)12(м-3)=14(м-7).

Пример 2,53

Решите: 5x−34=x25x−34=x2.

Решение

Умножение на LCD, 4.
Упрощение.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Разделить.
Упрощение.
Чек:
Пусть х=1х=1.

Попытайся 2.105

Решите: 4y−73=y64y−73=y6.

Попытайся 2.106

Решите: −2z−54=z8−2z−54=z8.

Пример 2,54

Решите: a6+2=a4+3a6+2=a4+3.

Решение

Умножение на LCD, 12.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Соберите константы слева.
Упрощение.
Чек:
Пусть a=−12a=−12.

Попытайся 2.107

Решите: b10+2=b4+5b10+2=b4+5.

Попытайся 2.108

Решите: c6+3=c3+4c6+3=c3+4.

Пример 2,55

Решите: 4q+32+6=3q+544q+32+6=3q+54.

Решение

Умножение на LCD, 4.
Распределить.
Упрощение.
Соберите переменные слева.
Упрощение.
Соберите константы справа.
Упрощение.
Разделить на 5.
Упрощение.
Чек:
Пусть q=−5q=−5.
Завершите проверку самостоятельно.

Попытайся 2.109

Решите: 3r+56+1=4r+333r+56+1=4r+33.

Попытайся 2.110

Решите: 2s+32+1=3s+242s+32+1=3s+24.

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби. Уравнение такого рода возникает, когда мы решаем задачи, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть представлены дробями. Например, 0,3=3100,3=310 и 0,17=171000,17=17100. Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Пример 2,56

Решите: 0,06x+0,02=0,25x−1,50,06x+0,02=0,25x−1,5.

Решение

Посмотрите на десятичные дроби и придумайте эквивалентные дроби.

0,06=61000,02=21000,25=251001,5=15100,06=61000,02=21000,25=251001,5=1510

» data-label=»»>

Умножьте обе стороны на 100.
Распределить.
Умножьте, и теперь у нас больше нет десятичных знаков.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Соберите константы слева.
Упрощение.
Разделить на 19.
Упрощение.
Чек:	Пусть х=8х=8.

Попытайся 2.111

Решите: 0,14ч+0,12=0,35ч-2,40,14ч+0,12=0,35ч-2,4.

Попытайся 2.112

Решите: 0,65k−0,1=0,4k−0,350,65k−0,1=0,4k−0,35.

В следующем примере используется уравнение, типичное для денежных приложений в следующей главе. Обратите внимание, что мы распределяем десятичные дроби до того, как очищаем все десятичные дроби.

Пример 2,57

Решите: 0,25x+0,05(x+3)=2,850,25x+0,05(x+3)=2,85.

Решение

Сначала раздайте.
Объедините похожие термины.
Чтобы убрать десятичные дроби, умножьте на 100.
Распределить.
Вычтите 15 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 30.
Упрощение.
Проверьте сами, подставив x=9x=9 в исходное уравнение.

Попытайся 2.113

Решите: 0,25n+0,05(n+5)=2,950,25n+0,05(n+5)=2,95.

Попытайся 2.114

Решите: 0,10d+0,05(d−5)=2,150,10d+0,05(d−5)=2,15.

Раздел 2.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с дробными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с дробными коэффициентами.

318.

14x−12=−3414x−12=−34

319.

34x−12=1434x−12=14

320.

56y−23=−3256y−23=−32

321.

56y−13=−7656y−13=−76

322.

12а+38=3412а+38=34

323.

58b+12=-3458b+12=-34

324.

2=13x−12x+23×2=13x−12x+23x

325.

2=35x−13x+25×2=35x−13x+25x

326.

14м-45м+12м=-114м-45м+12м=-1

327.

56n-14n-12n=-256n-14n-12n=-2

328.

х+12=23х-12х+12=23х-12

329.

х+34=12х-54х+34=12х-54

330.

13w+54=w−1413w+54=w−14

331.

32z+13=z−2332z+13=z−23

332.

12x−14=112x+1612x−14=112x+16

333.

12а-14=16а+11212а-14=16а+112

334.

13б+15=25б-3513б+15=25б-35

335.

13x+25=15x−2513x+25=15x−25

336.

1=16(12x−6)1=16(12x−6)

337.

1=15(15x−10)1=15(15x−10)

338.

14(р-7)=13(р+5)14(р-7)=13(р+5)

339.

15(q+3)=12(q−3)15(q+3)=12(q−3)

340.

12(х+4)=3412(х+4)=34

341.

13(х+5)=5613(х+5)=56

342.

5q−85=2q105q−85=2q10

343.

4м+26=м34м+26=м3

344.

4n+84=n34n+84=n3

345.

3p+63=p23p+63=p2

346.

и3-4=и2-3и3-4=и2-3

347.

v10+1=v4-2v10+1=v4-2

348.

с15+1=с10-1с15+1=с10-1

349.

d6+3=d8+2d6+3=d8+2

350.

3x+42+1=5x+1083x+42+1=5x+108

351.

10г-23+3=10г+1910г-23+3=10г+19

352.

7u−14−1=4u+857u−14−1=4u+85

353.

3v−62+5=11v−453v−62+5=11v−45

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с десятичными коэффициентами.

354.

0,6г+3=90,6г+3=9

355.

0,4y−4=20,4y−4=2

356.

3,6j−2=5,23,6j−2=5,2

357.

2,1к+3=7,22,1к+3=7,2

358.

0,4х+0,6=0,5х-1,20,4х+0,6=0,5х-1,2

359.

0,7х+0,4=0,6х+2,40,7х+0,4=0,6х+2,4

360.

0,23х+1,47=0,37х-1,050,23х+1,47=0,37х-1,05

361.

0,48х+1,56=0,58х-0,640,48х+1,56=0,58х-0,64

362.

0,9x−1,25=0,75x+1,750,9x−1,25=0,75x+1,75

363.

1,2x−0,91=0,8x+2,291,2x−0,91=0,8x+2,29

364.

0,05n+0,10(n+8)=2,150,05n+0,10(n+8)=2,15

365.

0,05n+0,10(n+7)=3,550,05n+0,10(n+7)=3,55

366.

0,10d+0,25(d+5)=4,050,10d+0,25(d+5)=4,05·

367.

0,10d+0,25(d+7)=5,250,10d+0,25(d+7)=5,25

368.

0,05(q-5)+0,25q=3,050,05(q-5)+0,25q=3,05

369.

0,05(q-8)+0,25q=4,100,05(q-8)+0,25q=4,10

Математика на каждый день

370.

Монеты У Тейлора есть 2 доллара в десятицентовиках и пенни. Количество копеек на 2 больше, чем количество десятицентовиков. Решите уравнение 0,10d+0,01(d+2)=20,10d+0,01(d+2)=2 для dd, количества десятицентовиков.

371.

Марки Паула купила марок номиналом 49 и 21 цент на сумму 22,82 доллара. Количество марок номиналом 21 цент было на 8 меньше, чем количество марок номиналом 49 центов. Решите уравнение 0,49s+0,21(s−8)=22,820,49s+0,21(s−8)=22,82 для s , чтобы найти количество 49-центовых марок, купленных Паулой.

Письменные упражнения

372.

Объясните, как найти наименьший общий знаменатель чисел 3838, 1616 и 2323.

373.

Если в уравнении несколько дробей, как умножение обеих частей на ЖКИ облегчает решение?

374.

Если в уравнении есть дроби только с одной стороны, зачем нужно умножать обе части уравнения на LCD?

375.

No related posts.