Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель (3) — \(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}{a_{1}-\lambda} & {b_{1}} \\ {a_{2}} & {b_{2}-\lambda}\end{array}\right|=\left(a_{1}-\lambda\right)\left(b_{2}-\lambda\right)-a_{2} b_{1} \)
равен нулю: (4) — \(\ \left(a_{1}-\lambda\right)\left(b_{2}-\lambda\right)-a_{2} b_{1}=0 \)
Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.
Возможны следующие случаи.
1. Корни \(\
\lambda_{1}
\), \(\
\lambda_{2}
\) характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо \(\
\lambda
\) число \(\
\lambda_{1}
\) и тем самым получить решение этой системы \(\
k_{1}^{1}
\) и \(\
k_{2}^{1}
\) .
{3 i t}}\end{array}\right.
\) ,можно было бы сразу записать общее решение исходной системы, пользуясь формулами
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_{1} \cdot \operatorname{Re}\left(x_{1}(t)\right)+C_{2} \cdot \operatorname{Im}\left(x_{1}(t)\right)} \\ {y(t)=C_{1} \cdot \operatorname{Re}\left(y_{1}(t)\right)+C_{2} \cdot \operatorname{Im}\left(y_{1}(t)\right)}\end{array}\right.
\)
Где \(\ \operatorname{Re}(z) \), \(\ \operatorname{Im}(z) \) – действительная и мнимая части комплексного числа z соответственно.
3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.
ПРИМЕР
Найти решение однородной системы дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=2 x+y} \\ {\frac{d y}{d t}=4 y-x}\end{array}\right. \)
Составляем характеристическое уравнение заданной системы: \(\ \left|\begin{array}{cc}{2-\lambda} & {1} \\ {-1} & {4-\lambda}\end{array}\right|=0 \Rightarrow(2-\lambda)(4-\lambda)+1=0 \Rightarrow 8-6 \lambda+\lambda^{2}+1=0 \Rightarrow\lambda^{2}-6 \lambda+9=0 \Rightarrow(\lambda-3)^{2}=0 \)
Таким образом, получаем, что корнями характеристического уравнения есть \(\ \lambda_{1,2}=3 \)
Тогда решение следует искать в виде
(5) — \(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_{1}+C_{2} t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_{3}+C_{4} t\right) e^{3 t}}\end{array}\right.
{3 t}}\end{array}\right.
\)
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Обыкновенные дифференциальные уравнения Виды дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругоеПодпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях
Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных онлайн.
ОДУ. Метод вариации произвольной постоянной. Социальные преобразования. Государство и церковьМетод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:
1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.
2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).
3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).
Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).
y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:
2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда
Полученные выражения подставляем в условие (I):
Интегрируем обе части уравнения:
здесь С — уже некоторая новая константа.
3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x.
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.
1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:
Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:
Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.
2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии
Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:
Умножим обе части уравнения на
Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:
Здесь С уже не функция, а обычная константа.
3) В общее решение однородного уравнения
подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .
y’x+y=-xy².
Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:
Подставляем полученные выражения в условие (II):
Упрощаем:
Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:
Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.
3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.
Примеры для самопроверки:
1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.
1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:
Отсюда находим y:
Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C»(x)):
Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:
Теперь подставляем u, du и v в формулу:
Здесь С =const.
3) Теперь подставляем в решение однородного
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
.
(7) Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Пример №1
. Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x .
Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
Окончательно получим
Пример №2
. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4
Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Поскольку y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x
Лекция 44.
Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. (специальная правая часть).
Социальные преобразования. Государство и церковь.
Социальная политика большевиков во многом диктовалась их классовым подходом. Декретом от 10 ноября 1917 г. уничтожена сословная система, отменены дореволюционные чины, титулы и награды. Установлена выборность судей; проведена секуляризация гражданских состояний. Установлено бесплатное образование и медицинское обслуживание (декрет от 31 октября 1918 г.). Женщины уравнивались в правах с мужчинами (декреты от 16 и 18 декабря 1917 г.). Декрет о браке вводил институт гражданского брака.
Декретом СНК от 20 января 1918 года церковь отделена от государства и от системы образования. Большая часть церковного имущества конфискована. Патриарх Московский и всея Руси Тихон (избран 5 ноября 1917 года) 19 января 1918 года предал анафеме Советскую власть и призвал к борьбе против большевиков.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка
Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:
Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения
Доказательство . Нужно доказать, что сумма
есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1).
Подставляя сумму в уравнение (1) вместо у , будем иметь
Так как есть решение уравнение (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) . Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем второе утверждение: выражение (3) есть общее решение уравнения (1). Мы должны доказать, что входящие в это выражение произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
каковы бы ни были числа х 0 , y 0 и (лишь бы х 0 было взято из той области, где функции а 1 , а 2 и f(x) непрерывны).
Заметив, что можно представить в форме . Тогда на основании условий (5) будем иметь
Решим эту систему и определим С 1 и С 2 . Перепишем систему в виде:
Заметим, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций у 1 и у 2 в точке х=х 0 . Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно система (6) имеет определенное решение С 1 и С 2 , т.е. существуют такие значения С 1 и С 2 , при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Что и требовалось доказать.
Перейдем к общему методу нахождения частных решений неоднородного уравнения.
Напишем общее решение однородного уравнения (2)
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая С 1 и С 2 как некоторые пока неизвестные функции от х.
Продифференцируем равенство (7):
Подберем искомые функции С 1 и С 2 так, чтобы выполнялось равенство
Если учесть это дополнительное условие, то первая производная примет вид
Дифференцируя теперь это выражение, найдем :
Подставляя в уравнение (1), получим
Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как y 1 и y 2 – решения однородного уравнения.
Следовательно, последнее равенство принимает вид
Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции С 1 и С 2 удовлетворяют уравнениям (8) и (9). Составим систему уравнений из уравнений (8) и (9).
Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему, мы найдем как определенные функции от х :
Решая эту систему, найдем , откуда в результате интегрирования получаем . Далее подставим найденные функции в формулу , получаем общее решение неоднородного уравнения , где — произвольные постоянные.
Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + .
.. + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )
состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении
z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )
соответствующего однородного уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0
на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z (t ) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме.
Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.
В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?
1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.
2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).
Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем.
Поэтому сразу примемся за первый параграф.
Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)
Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.
Пример 1
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы.
Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Приведем уравнение к виду :
Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Общее решение вспомогательного уравнения:
В неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в исходное неоднородное уравнение :
Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:
Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:
Теперь вспоминаем проведённую замену:
Ответ: общее решение:
И один пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Выполним подстановку:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.
Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто.
А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.
Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает.
Используем метод вариации произвольных постоянных.
Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.
Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Где – пока ещё неизвестные функции.
Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.
В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.
Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист.
Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:
Найдем производные:
С левыми частями разобрались. Что справа?
– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:
Коэффициент – это коэффициент при второй производной:
На практике почти всегда , и наш пример не исключение.
Всё прояснилось, теперь можно составить систему:
Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.
Найдем главный определитель системы:
Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)
Итак: , значит, система имеет единственное решение.
Находим производную:
Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:
Разбираемся со второй функцией:
Здесь добавляем «нормальную» константу
На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:
Нужные функции только что найдены!
Осталось выполнить подстановку и записать ответ:
Ответ: общее решение:
В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.
Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных
Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.
Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.
Рассмотрим два примера с задачей Коши .
Пример 6
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
,
Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.
Составим систему:
В данном случае:
,
Находим производные:
,
Таким образом:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Восстанавливаем функцию интегрированием:
Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .
Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:
Такой интеграл решается методом замены переменной :
Из самой замены выражаем:
Таким образом:
Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :
Обе функции найдены:
В результате, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .
Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:
Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :
Подставим найденные значения констант в общее решение:
В ответе логарифмы можно немного запаковать.
Ответ: частное решение:
Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!
Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Решить задачу Коши
,
Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),
В результате общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .
Подставим найденные значения констант в общее решение:
Ответ: частное решение:
Дифференциальные уравнения I-го порядка
Как я и обещал в своей предыдущей статье, сегодня продолжим более детально изучать Дифференциальные уравнения.
§3. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка
Функцию f(x, y) называют однородной функцией порядка mотносительно своих аргументовxиy, если она выполняется тождество
f(tx, ty)= tmf(x, y) (3.1), где t – любой множитель.
Так, например, функции x2y– xy2, 2x2 – 3xy однородные: первая – третьего порядка, вторая – первого.
Определение 3.1. Дифференциальное уравнение y’ = f(x, y) (3.
2) называется однородным, если его правая часть функция f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов x и y.
Интегрирование однородного уравнения с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с отделяемыми переменными.
Действительно, учитывая нулевой порядок однородности функции f(x, y), для любого t имеем f(tx, ty)= f(x, y).
В частности, если t = 1/x, получим:
Уравнение (3.2) запишется в виде
Введем вспомогательную неизвестную функцию с помощью подстановки: y = x· u, y’ = u + x· u’.
Уравнение (3.2) записывается в виде u + x· u’ = φ(u),
в котором переменные разделяются:
Отсюда находим общий интеграл уравнения:
где C=const.
Наконец, после вычисления интегралов и замены вспомогательной функции u ее выражением через x и y, найдем решение однородного уравнения.
Пример 3.1. Решить “дифур”
Решения. Это однородное Дифференциальное уравнение I-го порядка. Применим подстановку y = x· u, y’ = u + x· u’.
Тогда получим уравнение с переменными, которые можно разделить, относительно вспомогательной функции u.
u +xu’ = u(ln u + 1)
xu’ = uln u
Решая его, получим
Это ОР уравнения.
Замечания. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (3.4), в котором функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные, относительно своих аргументов x и y функции одного и того же измерения, является однородным и заменой y = ux сводится к уравнению с разделяемыми переменными.
Пример 3.2. Решить “дифур”
Решение. Это однородное уравнение, так как коэффициенты при dxи dy являются однородными функциями I-го порядка. Сделаем замену
y = ux, dy = xdu + udx
Получим “дифур” с переменными, которые можно разделить:
Заменив вспомогательную функцию u = y/x получаем, после преобразований, общий интеграл уравнения:
Пример 3.3. Решить “дифур”
Решения. Произведем следующюю замену
Получим
§4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернулли
Определение 4.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если и сама неизвестная функция и ее производная входят в это уравнение только в первой степени и не содержит их произведения.
В общем виде линейное дифференциальное уравнения I-го порядка:
y’ + P(x)y = Q(x) (4.1)
Используют несколько приемов решения дифференциального уравнений (4.1). Мы рассмотрим здесь метод Бернулли, согласно которому решение в следующем виде y(x) = u(x) · v(x) (4.3).
Тем самым искомыми становятся функции u(x) и v(x), одну из которых можно выбрать произвольно, а вторая – должна определяться уравнением.
Дифференцируем обе части равенства (4.3)
Подставим выражения для y(x) и y‘(x) в уравнение (4.1). Имеем
Подберем функцию v так, чтобы выполнялось равенство
Тогда функция u должна удовлетворять уравнению
Уравнение (4.4) является уравнением с переменными, которые можно разделить,
В результате интегрирования получим.
Если C = 0, получим
Подставляя значение v(x) в уравнение (4.
5), получим относительно u(x) дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными, которые можно разделить,
Окончательно по формуле (4.3) получим ОР уравнения (4.1) в виде
При решении конкретных линейных дифференциальных уравнений I-го порядка можно пользоваться готовыми формулами (4.6) или использовать прием Бернулли.
Пример 4.1. Решить “дифур”
Решения. Это линейное неоднородное уравнение I-го порядка, решаем методом Бернулли. Сведем его к виду (4.1.) (хотя это необязательно). Для чего обе части уравнения умножим на х. Получим:
y’ – 2xy = (x – x3)· ex2.
Произведем замену
y= u· v.
Дифференцируем это выражение по x:
Заменим в уравнении y’ и y выражениями через u и v, получим
Сгруппируем члены, содержащие функцию u, и вынесем эту функцию за скобки.
Получим:
Найдем теперь такую функцию u, чтобы
При этом условии функция u(x) должна удовлетворять уравнению
Решим уравнение (1), разделив переменные:
По определению логарифма
Подставив найденное значение в уравнение ,получим следующий результат:
Это “дифур” с переменными, которые можно разделить,. Проинтегрировав его, получим следующее
ОР уравнения получим в виде
Пример 4.2. К линейному уравнению заменой z = y1-α сводят уравнения
y’ + P(x) · y = Q(x) · yα, α≠ 0, α≠ 1 (4.7), которое называется уравнением Бернулли.
Пример 4.3. Решить “дифур” со следующим начальным условием.
Имеем уравнение Бернулли. Разделив наш “дифур” на √y, получим
Сделаем замену
Получим линейное уравнение
Из предыдущего следует
Тогда, искомое ОР “дифура” имеет такой вид
Перейдем к поиску частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(0)= 4, отсюда
Тогда частное решение первоначального “дифура” имеет такой вид
Уважаемые студенты, записывайтесь на мои занятия и я помогу Вам разобраться с «Дифурами» раз и навсегда!
Онлайн репетитор Андрей Зварыч.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
2$) равна нулюНайдите производную от $N(x,y)$ по $x$
$\frac{d}{dx}\left(4y\right)$
Производная постоянной функции ($4y$) равна нулю
4
Используя тест на точность, мы проверяем, что дифференциальное уравнение является точным интеграл от функции 9{3}}{3}$ относительно $y$ для получения
$0+g'(y)$
Промежуточные шаги
Упростить и изолировать $g'(y)$
$4y=0+ g$
$x+0=x$, где $x$ — любое выражение
$4y=g$
Переформулировать уравнение
$g=4y$
7
Приравняем $4y$ и $0+g'(y)$ и изолируем $g'(y)$
$g'(y)=4y$
Промежуточные шаги
Интегрируем обе стороны с относительно $y$ 9{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$
Дифференциальные уравнения Онлайн-курс — Расчет расстояний
Дифференциальные уравнения лучше всего можно описать как «теорию интеграции более высокого уровня».
Простейшие дифференциальные уравнения
иметь решения, которые являются простыми интегралами, как вы узнали в исчислении II. Но очень быстро дифференциальные уравнения
усложняются, а вместе с ними и решения. Физики думают о дифференциальных уравнениях как об уравнениях
которые выплевываются из их анализа различных физических ситуаций, и, таким образом, должны быть решены, чтобы понять
физика. К сожалению, большинство дифференциальных уравнений не могут быть решены алгебраически, но основное внимание в классе/учебнике уделяется
обычно состоит в том, чтобы просто попытаться исчерпать все дифференциальные уравнения, которые можно решить вручную.
В нашем онлайн-курсе «Дифференциальные уравнения» с помощью исчисления расстояний в Университете Роджера Уильямса используется другой подход: что делают эти дифференциальные уравнения?
уравнения означают? Что означают их решения? Что означают их графические или численные решения? Используя мощный инструмент, такой как Mathematica,
мы не связаны только теми дифференциальными уравнениями, которые имеют решения, вычисленные вручную, а все дифференциальные уравнения являются честной игрой,
и мы исследуем концепции дифференциальных уравнений с лабораторно-научной точки зрения.
Первый курс изучения дифференциальных уравнений часто называют Обыкновенные дифференциальные уравнения ; другие названия этого курса включают:
- Введение в дифференциальные уравнения
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Первый курс дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения с одной переменной
Завершение курса «Математика 317 — Дифференциальные уравнения» дает 3 часа академических кредитов за семестр с официальной академической справкой из Университета Роджера Уильямса, в Провиденсе, штат Род-Айленд, США, что составляет регионально аккредитован Новой Англией Комиссия по высшему образованию (NECHE), содействующая переводу кредитов по всей стране в другие колледжи и университеты.
Вводные видеоролики онлайн-курса «Дифференциальные уравнения»
Введение в онлайн-курс «Дифференциальные уравнения»
Дифференциальные уравнения можно рассматривать как «задачу интегрирования с (все большими и большими) осложнениями».
Простое алгебраическое интегрирование функции f(x) можно переинтерпретировать в терминах этого интеграла являющееся решением дифференциального уравнения y’ = f(x) , и наша задача состоит в том, чтобы решить для y — как интегрирование — «обратная» операция дифференцирования, мы видим, что y — алгебраический интеграл из f(x) .
Уравнение y’ = f(x) является самым основным возможным дифференциальным уравнением . Нас быстро ведут к
исследовать более сложные формы уравнений с участием дифференциация , например: y’ = y + f(x) , который спрашивает: найти функцию y = y(x) , которая обладает тем свойством, что ее производная y’ равна самой себе y , добавленной к функции f(x) .
Нелегкий вопрос перед началом курса Дифференциальные уравнения , но после завершения этого курса,
на такие вопросы — и экспоненциально более сложные и сложные уравнения — отвечают умело и
понимание.
Тема Дифференциальные уравнения больше, чем просто «алгебраическая игра с интегралами». только алгебраические решения таких уравнений (когда это возможно!), но и качественное понимание свойств и решений этих уравнений.
Традиционные курсы по дифференциальным уравнениям часто посвящены изучению этих «расширенных методы интегрирования» для изучения решений этих уравнений исключительно с алгебраической точки зрения. Хотя у этого подхода есть свои достоинства, типы дифференциальных уравнений, встречающиеся «в реальном мире», (например, физика, химия, инженерия и т. д.) требуют решения и методов анализа, выходящих за рамки возможного только через алгебру.
Учебная программа нашего онлайн-курса «Дифференциальные уравнения» основана на «Дифференциальные уравнения и математика » Карпентера/Дэвиса/Ула,
и использует мощную компьютерную алгебру и графическую систему Mathematica™ от Wolfram Research.
Привлечение к алгебраическим исследованиям изучаемых классов дифференциальных уравнений
Короче говоря, учебная программа быстро переходит к изучению гораздо более сложных понятий.
доступ через Mathematica™ и его числовой и графический дифференциал
решатели уравнений, открывающие вводное изучение дифференциальных уравнений за пределами
традиционный учебник по этому предмету.
Листинг каталога курсов Университета Роджера Уильямса: Математика 317 — Дифференциальные уравнения
МАТЕМАТИКА 317: Дифференциальные уравнения [3 кредитных часа]
Описание курса : Изучает методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с применения в науке и технике. Широко используются средства метод преобразований Лапласа.
Пререквизит : Исчисление II
Подробная программа курса в формате PDF
Материалы курса для онлайн-курса по дифференциальным уравнениям
Темы учебного плана по дифференциальным уравнениям включают:
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Темы включают :- Непринужденные уравнения (однородные)
- Вынужденные уравнения (неоднородные)
- Стационарные решения
- Приложения к личным финансам
- Ступенчатая функция и дельта-функция Дирака
- Касательные векторы
- Начальные условия
- Факторы интеграции
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Темы включают :- Генераторы с избыточным и недостаточным демпфированием
- Линейные принудительные и невынужденные осцилляторы
- Однородные уравнения
- Неоднородные уравнения — изменение параметров
- Характеристические уравнения
- Формула Эйлера
- Импульсная форсировка
- Методы интегралов свертки
- Пружины и электрические заряды
- Резонанс
- Уравнения высшего порядка
- Преобразования Лапласа
Темы включают :- Вычисление преобразований Лапласа
- Преобразование дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа
- Обратные преобразования Лапласа
- Вводный анализ Фурье
- Быстрые преобразования Фурье для приближенных периодических функций
- Преобразования Лапласа и быстрые подгонки Фурье
- Графический анализ дифференциальных уравнений
Темы включают :- Метод Эйлера
- Графики течения и траектории
- Фазовые линии
- Модель «Хищник-жертва»
- Логистический сбор урожая
- Точки бифуркации
- Чувствительность к начальным условиям
- Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка
Темы включают :- Автономные уравнения
- Неавтономные и другие типы уравнений
- Многофазные линии
- Участки бифуркации
- Метод разделения переменных
- Линейные системы дифференциальных уравнений
Темы включают :- Потоки, траектории и векторные поля
- Преобразование между ОДУ высшего порядка и линейными системами
- Собственные значения, собственные векторы и классификация решений
- Дифференциальные уравнения Онлайн-курс Кредиты: 3 кредитных часа семестра
Учащиеся старших классов — курс дифференциальных уравнений
Многие продвинутые учащиеся старших классов, закончившие курсы AP Calculus AB и BC, которые эквивалентны исчислению I и исчислению II соответственно,
часто оказываются в старшем классе средней школы, и у них нет дополнительных курсов по математике, которые можно было бы пройти в старшей школе.
Помимо курса AP Calculus BC (Исчисление II) других курсов AP не существует.
Отличным следующим академическим шагом для этих продвинутых учащихся средней школы по математике является прохождение одного или нескольких из следующих курсов по исчислению расстояний:
- Математика 351 — Многомерное исчисление
- Математика 317 — Дифференциальные уравнения
- Математика 331 — Линейная алгебра
- Математика 315 — Теория вероятностей (статистика на основе вычислений)
В отличие от программы AP Calculus, на этих курсах не нужно сдавать «стандартизированный экзамен на решающий фактор», а вместо этого зарабатываются настоящие университетские академические кредиты. через Университет Роджера Уильямса для этих продвинутых старшеклассников.
Вот видео, в котором обсуждаются некоторые варианты для этих продвинутых старшеклассников.
Углубленный план математики средней школы для старших классов
После AP Calculus
Дифференциальные уравнения Онлайн-курс Кредиты: 3 семестра кредитных часа университетского уровня
Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения?
«Обычный» означает, что изучаемые нами функции являются функциями одной переменной.
Обычно: у = f(x)
Исторически этот курс назывался «Обыкновенные дифференциальные уравнения», часто сокращенно ОДУ , и вы увидите ODE используется взаимозаменяемо с DE для сокращения термина «дифференциальные уравнения».
Что такое необыкновенное дифференциальное уравнение? Их называют Уравнения с частными производными , и они предполагают рассмотрение уравнения, включающие частные производные функций двух или более переменных, например: z = f(x,y).
Дифференциальные уравнения в частных производных обычно представляют собой курс математики для младших школьников, который изучается всеми специальностями по математике, а также многими специальностями по физике и технике. предпримет, чтобы узнать о следующих шагах в изучении дифференциальных уравнений.
Термин «обычный» в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» помогает вам определить уровень курса «Дифференциальные уравнения», который вы изучаете.
может потребоваться взять.
Этот онлайн-курс по дифференциальным уравнениям — Math 317 — является первым курсом на обыкновенных дифференциальных уравнений.
В разговорной речи вы можете услышать, как другие студенты называют этот курс «Diff-E-Q» или «DiffyQ».
Существует также курс более высокого уровня для младших классов по дифференциальным уравнениям, который обычно называется «Расширенные дифференциальные уравнения» или «Промежуточные дифференциальные уравнения». который продолжает изучение обыкновенных дифференциальных уравнений, но на более продвинутом уровне и совершенно отличном от курсов уравнений в частных производных. Наш курс «Математика 317 — Дифференциальные уравнения» не считается одним из этих высших курсов для юниоров и выше.
Дифференциальные уравнения Примеры учебной программы
Ниже приведены некоторые PDF-распечатки нескольких
блокнотов Mathematica™ из Differential Equations&Mathematica Карпентер/Дэвис/Ул. В комплект также входит пример тетради с домашним заданием, выполненной учащимся.
в курсе, демонстрирующем, как тетради для домашних заданий становятся «общей доской»
которые студенты и преподаватель пишут в своем «разговоре» о тетради.
- Образец учебной программы PDF DE.01.B3 — Основы — Решения для установившихся состояний
- Скринкаст Справочное видео
- Пример тетради для домашних заданий PDF DE.02.G1 — Использование интеграла свертки
Похоже на программный код!
Да, Mathematica™ — это основанная на синтаксисе система компьютерной алгебры, т. е. инструкции по созданию графиков и вычислений выглядят как код языка программирования (что это такое).
Этот курс не является курсом по программированию. Мы не обучаем программированию и не ожидать, что студенты будут изучать программирование или даже что-то знать о программировании. В этом курсе важна математика , а не код.
Помня об этом принципе, авторы дифференциальных уравнений и математики Учебные программы разработали блокноты с объяснениями (основы и учебные пособия) и
блокноты для домашних заданий (попробуйте) таким образом, чтобы их было легко копировать/вставлять из
пояснения в тетради с домашними заданиями и внести незначительные изменения (очевидные)
для получения желаемого аналогичного (но другого) результата.
Таким образом, мы можем
строго придерживайтесь математики и работайте с программным кодом как
минимально возможно.
Дифференциальные уравнения Онлайн-курс Кредиты: 3 семестра кредитных часа университетского уровня
Исчисление расстояний — Отзывы студентов
Дата публикации: 30 апреля 2020 г.
Отзыв: Ханна Дж.
Пройденные курсы: Теория вероятностей
Обзор: Теория вероятностей была отличным курсом. Очень очень тщательно. Я думал, что это никогда не закончится :). Я очень хорошо подготовился к курсовой по экономике. Отличный справочник производных и интегралов — действительно заставил меня вспомнить этот материал из первокурсника Калифорнийского университета.
Кредиты переведены в: Бостонский университет
Дата публикации: 8 декабря 2020 г.
Отзыв: Эйлин С.
Пройденные курсы: Дифференциальные уравнения лучше готовит вас к использованию этих навыков в вашей степени.
Самообучение действительно усложняет изучение некоторых концепций, но вы получаете помощь, необходимую для понимания этих концепций.
Кредиты переведены в: Университет Джонса Хопкинса
Дата публикации: 8 декабря 2020 г.
Отзыв: Aileen C.
Пройденные курсы: Дифференциальные уравнения
Обзор: Этот курс может быть более сложным, чем ваш средний курс дифференциальных уравнений, который лучше подготовит вас к использованию этих навыков в вашей степени. Самообучение действительно усложняет изучение некоторых концепций, но вы получаете помощь, необходимую для понимания этих концепций.
Кредиты переведены в: Университет Джонса Хопкинса
Калькулятор линейных дифференциальных уравнений второго порядка
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Часть II
Как вы, ребята, так легко делаете калькулятор линейных дифференциальных уравнений второго порядка? Мне просто кажется, что я никогда не смогу решить проблему, не ошибившись пару раз. Пожалуйста, не говорите мне брать дополнительные уроки. Они дорогие, и я не могу их себе позволить. Любое другое предложение будет более чем приветствоваться.
Хотя я много лет хорошо разбирался в математике, когда я начал изучать Алгебру 2, многие математические темы казались такими сложными. Помню, я получил очень низкую оценку, когда сдавал тест по калькулятору линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Теперь у меня больше нет этой проблемы, я могу довольно легко решить что угодно, даже абсолютные значения и формулы алгебры. Я был умен, что не тратил деньги на учителя, потому что услышал об алгебраике от коллеги. С тех пор я использую его всякий раз, когда мне нужно решить что-то сложное.
Я никогда до сих пор не занимался ни по какой программе, я даже не знал, что они существуют. Но звучит конечно здорово! Где вы нашли программу? Я хочу купить его сразу, чтобы у меня было время подготовиться к экзамену.
Даже я столкнулся с подобными трудностями при решении соотношений, тригонометрических функций и графических уравнений. Просто введите задачу из домашней работы и нажмите «Решить» — и пошаговое решение моей домашней работы по математике будет готово. Я использовал ее на нескольких математических занятиях — алгебре среднего уровня, алгебре 2 и алгебре 2. Я очень рекомендую эту программу.