Решить методом гаусса системы уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

Решение СЛАУ методом Гаусса — онлайн калькулятор, бесплатный сервис

Компания Zaochnik предлагает воспользоваться нашим сервисом для решения уравнений. Это сэкономит ваше время на расчеты, поможет избежать ошибки в преобразованиях и получить точный результат. Многоступенчатые вычисления основаны на математических формулах. Поэтому промежуточные ответы не теряются, а используются в следующих действиях.

В автоматизации процесса последовательно выполняются необходимые действия. Записывается расширенная матрица системы, происходят элементарные преобразования, в процессе удаляются нулевые строки. После этого матрица имеет ступенчатый вид и подвергается обратному ходу метода Гаусса.

Рассмотрим несколько примеров решений СЛАУ с помощью онлайн-калькулятора

Онлайн-калькулятор позволяет находить решение СЛАУ, когда свободные члены, переменные и коэффициенты при них являются вещественными числами. Максимальное количество неизвестных – 6.

Важно: калькулятор не работает с комплексными числами!

Пример 1.

Возьмем простую систему уравнений с двумя неизвестными:

x1+2×2=113×1-x2=12

Для того, чтобы решить ее методом Гаусса с помощью онлайн-калькулятора:

Укажем количество неизвестных в системе:
Впишите коэффициенты при переменных в соответствующие поля:
Нажмите «Рассчитать»
Калькулятор сам произведет все вычисления, а вы сможете не только получить ответ, но и ознакомиться подробным решением:

Пример 2.

Рассмотрим более сложную систему с большим количеством неизвестных:
2×1+10×2-3×3=38-3×1-24×2+5×3=-86×1+x2-5×3=27

По аналогии с первым примером, укажем количество неизвестных, введем в поля соответствующие коэффициенты, и нажмем «Рассчитать»:

Калькулятор выдаст ответ с ходом решения и промежуточными выкладками:

Заметьте, если вы вдруг введете неверные коэффициенты или запишите такую систему, которая не имеет решения, калькулятор выдаст соответствующее сообщение:

Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
Уравнение и его корни: определения, примеры
Теорема Виета, формулы Виета
Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
Квадратные неравенства, примеры, решения
Решение квадратных неравенств методом интервалов

Ответ:

Решение

Ответ:

list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>

Похожие калькуляторы:

Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений матричным методом
Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Решение биквадратных уравнений

Калькулятор с решением систем линейных уравнений методом Гаусса

В наш раздел с калькуляторами часто заходят учащиеся школ и университетов при подготовке к занятиям и во время контрольных работ. Также производят вычисления преподаватели для экономии времени при проверке большого количества заданий.

Применяйте метод Гаусса в решении систем линейных уравнений онлайн. Для этого следуйте инструкции:

задайте число неизвестных в системе;
введите условие в соответствующие поля;
воспользуйтесь кнопкой «Рассчитать».

После отправки задачи на расчет вы мгновенно получаете ответ. При этом вам видны все действия. Глядя на готовые вычисления легче разбирать используемый математический метод. Для следующего аналогичного примера вы можете применить известный алгоритм и самостоятельно найти ответ к задаче.

Если процесс решения на калькуляторе вам непонятен, обратитесь за индивидуальной помощью. Специалист компании решит ваши задания с подробным введением в тему. Напишите консультанту или оформите заказ.

Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

Решение системы уравнений методом Гаусса на Python – Code Recipes

20. 03.202320.03.2023

Решение системы уравнений методом Гаусса является одним из фундаментальных заданий линейной алгебры. Этот метод основан на элементарных преобразованиях строк матрицы системы уравнений и позволяет свести ее к эквивалентной треугольной форме. В этой статье мы покажем Вам, как реализовать алгоритм метода Гаусса на Python.

Алгоритм метода Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном применении трех типов элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы уравнений, где в последнем столбце записаны свободные члены уравнений.

Эти преобразования включают в себя:

Перестановка двух строк матрицы местами;
Умножение строки на ненулевое число;
Прибавление к одной строке другой строке, умноженной на число.

Цель алгоритма Гаусса – привести матрицу системы к ступенчатому виду, то есть к матрице, в которой первый ненулевой элемент каждой строки находится правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.

Затем полученную матрицу можно привести к диагональному виду методом обратных ходов.

Когда матрица системы находится в диагональном виде, можно легко найти решение системы линейных уравнений, обратившись к коэффициентам при неизвестных, записанным на главной диагонали матрицы.

Решение СЛАУ методом Гаусса на Python

Для решения СЛАУ методом Гаусса мы будем использовать библиотеку numpy, которая позволит сделать код чище и читаемее за счёт вынесения некоторой логики на уровень абстракции.

import numpy as np

Далее мы зададим начальные значения для матрицы системы уравнений и столбца свободных членов. Далее, мы вынесем это в функцию с принимаемыми аргументами.

A = np.array([[2.7, 3.3, 1.3], [3.5, -1.7, 2.8], [4.1, 5.8, -1.7]])
B = np.array([2.1, 1.7, 0.8])

Согласно формуле метода Гаусса, по нему необходимо пройтись циклом. Длина цикла будет равна длине массива свободных членов (B).

n = len(B)
  for i in range(n):

В цикле в первую очередь нам нужно найти максимальный элемент в каждом столбце. Т.е. при каждой итерации цикла мы будем искать в i-том столбце.

    maxEl = abs(A[i][i])
    maxRow = i
    for k in range(i + 1, n):
        if abs(A[k][i]) > maxEl:
            maxEl = abs(A[k][i])
            maxRow = k

Далее мы производим обмен строками, всё также согласно методу Гаусса.

    for k in range(i, n):
        tmp = A[maxRow][k]
        A[maxRow][k] = A[i][k]
        A[i][k] = tmp
    tmp = B[maxRow]
    B[maxRow] = B[i]
    B[i] = tmp

После того, как мы поставили строки в нужном порядке, нам необходимо привести систему линейных уравнений к треугольному виду. Т.е., сделать так, чтобы все нули образовывали треугольник, а значения были вторым треугольником.

    for k in range(i + 1, n):
        c = -A[k][i] / A[i][i]
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                A[k][j] = 0
            else:
                A[k][j] += c * A[i][j]
        B[k] += c * B[i]

Далее мы делаем обратный ход, который является последней операцией над СЛАУ для решения её методом Гаусса.

x = np.zeros(n)
for i in range(n - 1, -1, -1):
    x[i] = B[i]
    for j in range(i + 1, n):
        x[i] -= A[i][j] * x[j]
    x[i] /= A[i][i]

Полный код решения СЛАУ методом Гаусса на Python

import numpy as np
# Определяем матрицу системы уравнений
A = np.array([[2.7, 3.3, 1.3], [3.5, -1.7, 2.8], [4.1, 5.8, -1.7]])
# Определяем столбец свободных членов
B = np.array([2.1, 1.7, 0.8])
# Прямой ход метода Гаусса
n = len(B)
for i in range(n):
    # Поиск максимального элемента в столбце i
    maxEl = abs(A[i][i])
    maxRow = i
    for k in range(i + 1, n):
        if abs(A[k][i]) > maxEl:
            maxEl = abs(A[k][i])
            maxRow = k
    # Обмен строками
    for k in range(i, n):
        tmp = A[maxRow][k]
        A[maxRow][k] = A[i][k]
        A[i][k] = tmp
    tmp = B[maxRow]
    B[maxRow] = B[i]
    B[i] = tmp
    # Приведение к верхнетреугольному виду
    for k in range(i + 1, n):
        c = -A[k][i] / A[i][i]
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                A[k][j] = 0
            else:
                A[k][j] += c * A[i][j]
        B[k] += c * B[i]
# Обратный ход метода Гаусса
x = np.
  zeros(n)
for i in range(n - 1, -1, -1):
    x[i] = B[i]
    for j in range(i + 1, n):
        x[i] -= A[i][j] * x[j]
    x[i] /= A[i][i]
# Вывод результата
print("Result:")
print(x)

Результат выполнения кода:

Выделим код в отдельную функцию

Для того, чтобы алгоритм был более универсальным и вы могли его скопировать к себе в проект, я выделю функцию, которая будет принимать на вход все нужные аргументы и выводить конечный результат. Всё, что вам останется, это скопировать функцию и передать ей правильные аргументы. Итак, готовый код:

import numpy as np
def gauss(A, B):
    # Прямой ход метода Гаусса
    n = len(B)
    for i in range(n):
        # Поиск максимального элемента в столбце i
        maxEl = abs(A[i][i])
        maxRow = i
        for k in range(i + 1, n):
            if abs(A[k][i]) > maxEl:
                maxEl = abs(A[k][i])
                maxRow = k
        # Обмен строками
        for k in range(i, n):
            tmp = A[maxRow][k]
            A[maxRow][k] = A[i][k]
            A[i][k] = tmp
        tmp = B[maxRow]
        B[maxRow] = B[i]
        B[i] = tmp
        # Приведение к верхнетреугольному виду
        for k in range(i + 1, n):
            c = -A[k][i] / A[i][i]
            for j in range(i, n):
                if i == j:
                    A[k][j] = 0
                else:
                    A[k][j] += c * A[i][j]
            B[k] += c * B[i]
    # Обратный ход метода Гаусса
    x = np. zeros(n)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        x[i] = B[i]
        for j in range(i + 1, n):
            x[i] -= A[i][j] * x[j]
        x[i] /= A[i][i]
    return x
# Определяем матрицу системы уравнений
A = np.array([[2.7, 3.3, 1.3], [3.5, -1.7, 2.8], [4.1, 5.8, -1.7]])
# Определяем столбец свободных членов
B = np.array([2.1, 1.7, 0.8])
x = gauss(A, B)
# Вывод результата
print("Result:")
print(x)

Рубрики Численные методы, Python Метки СЛАУ

Система линейных уравнений с использованием алгоритма исключения Гаусса | Программа инженерного образования (EngEd)

Система линейных уравнений представляет собой набор одного или нескольких линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных. Линейные системы встречаются при построении регрессионных моделей в машинном обучении.

Существуют различные способы решения этой проблемы. Некоторые методы сложны, другие просты для понимания и реализации. Метод исключения Гаусса является одним из лучших решений для этих систем.

В этой статье мы рассмотрим интуицию, лежащую в основе метода исключения Гаусса, проведем удобное вычисление и, наконец, проиллюстрируем, как мы можем реализовать этот метод в R.

Предварительные условия

Читатель должен иметь: понимание элементарной линейной алгебры.

R навыки программирования.

R установлен на их компьютер.

Понимание алгоритма исключения Гаусса

Эти шаги необходимы для решения системы линейных уравнений с использованием алгоритма исключения Гаусса.

Предположим, нам дана система линейных уравнений, показанная ниже.

Шаг 1:

Представить приведенную выше систему линейных уравнений в матричной форме, т. е.

Присвоить A, X и b матрице коэффициентов, вектору переменных и вектору решений соответственно.

То есть:

Шаг 2:

Используя матрицы A и b, мы создаем расширенную матрицу, т.е. присоединяем b к матрице A как последний столбец.

Теперь, чтобы привести приведенную выше матрицу ${C}$ к форме, которую можно легко решить для неизвестных, нам нужно выполнить некоторые операции. Эти операции не должны изменять решения линейной системы.

Некоторые из разрешенных операций:

Изменение порядка строк.
Увеличение строки, т. е. умножение на константу.
Чтобы исключить определенные значения, вы можете умножить одну строку на константу и добавить вывод в другую строку. 9{rd}$ описанной выше операции, мы делаем все значения ниже опорного значения нулями. Это показано в матрице ниже.
Шаг 4:
Мы сохраняем первое значение после нуля во второй строке во второй итерации. Затем, как и в первой итерации, сделайте все значения ниже этого значения нулями.
Это показано ниже:
Шаг 5:
Повторяйте описанные выше операции, пока не получите верхнюю треугольную матрицу. Матрица, которую мы получили на предыдущем шаге, уже имеет верхнетреугольную форму.
Следующим шагом будет поиск решения нашей исходной системы с использованием этой уменьшенной матрицы. Из нашей сокращенной матрицы мы можем записать следующую систему линейных уравнений.
Эту новую систему уравнений решить намного проще, чем исходную. Чтобы найти решение нашей исходной системы, мы решим эти уравнения, которые мы только что вывели из верхней треугольной матрицы. Это очень просто и быстро по сравнению с вычислительным решением исходной системы.
Теперь в приведенной выше системе все, что нам нужно сделать, это выполнить обратную замену. Обратная замена выполняется в порядке, указанном ниже:
Обратите внимание: сначала мы нашли последнюю переменную $(x_3)$, а затем включили ее решение в решение предыдущей переменной, пока не получили $x_1$. Как мы все знаем, системы линейных уравнений в реальных данных могут состоять из миллионов уравнений. Решать эти системы вручную нецелесообразно. Это требует от нас использования вычислительного программного обеспечения. В последнем разделе этой статьи мы увидим, как мы можем реализовать этот метод.
R Реализация алгоритма исключения Гаусса
Здесь нам нужно создать матрицу, ту, которую мы использовали для объяснения этой концепции, которую мы затем напишем, чтобы преобразовать ее в верхнюю треугольную матрицу. Ниже приведен процесс реализации этого метода.
```
 # создать матрицу
A <- матрица (c (-3,2,-1,6,-6,7,3,-4,4),byrow = T,nrow=3,ncol=3)
A # напечатать матрицу
b <- матрица (c (-1,-7,-6),nrow=3,ncol=1)
b # матрица печати b
# размерность матрицы A
nrow <- nrow(A)
сейчас
# соедините матрицу A и вектор b
Ugmt.mtx <- cbind(A,b)
Ugmt.mtx
Ugmt.mtx[1,] <- Ugmt.mtx[1,]/Ugmt.mtx[1,1]
for (i in 2:nrow){ # цикл по строкам
  for (j in i:nrow) { # цикл по столбцам
    Ugmt.mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i-1, ] * Ugmt.mtx[j, i-1] # заменить значения строки в j-й позиции левыми вычислениями
  }
  Ugmt.mtx[i,] <- Ugmt.mtx[i,]/Ugmt.mtx[i,i]
}
# вывод на печать
Ugmt. mtx
 
```
Выполнив код получаем:
```
 [1] [2] [3] [4]
[1,] 1 -0,6666667 0,3333333 0,3333333
[2,] 0 1,0000000 -2,5000000 4,5000000
[3,] 0 0,0000000 1,0000000 -1,0000000
 
```
Примечание, чтобы найти значения наших переменных; нам нужно выполнить обратную замену, используя этот вывод. Однако для дальнейшего упрощения мы можем взять приведенную выше матрицу и сделать элементы верхнего треугольника равными нулям. Это гарантирует, что нам не нужно выполнять обратную замену в конечном выводе, что может потребовать значительных вычислительных ресурсов. Вместо создания матрицы идентичности по отношению к выходным переменным.
Этот метод уменьшения матрицы называется методом исключения Гаусса-Жордана. Чтобы лучше понять, как работает этот метод, я рекомендую посетить этот блог.
Этот метод реализован в R следующим образом:
```
 A <- matrix(c(-3,2,-1,6,-6,7,3,-4,4),byrow = T,nrow=3 ,nкол=3)
А
b <- матрица (c (-1,-7,-6),nrow=3,ncol=1)
б
# размерность матрицы A
nrow <- nrow(A)
сейчас
# соедините матрицу A и вектор b
Ugmt. mtx <- cbind(A,b)
Ugmt.mtx
Ugmt.mtx[1,] <- Ugmt.mtx[1,]/Ugmt.mtx[1,1]
для (я в 2: nrow) {
  для (j в i:nrow) {
    Ugmt.mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i-1, ] * Ugmt.mtx[j, i-1]
  }
  Ugmt.mtx[i,] <- Ugmt.mtx[i,]/Ugmt.mtx[i,i]
}
для (я в р: 2) {
  для (j в i: 2-1) {
    Ugmt.mtx[j, ] <- Ugmt.mtx[j, ] - Ugmt.mtx[i, ] * Ugmt.mtx[j, i]
  }
}
Ugmt.mtx
 
```
Этот код возвращается.
```
 [1] [2] [3] [4]
[1,] 1 0 0 2
[2,] 0 1 0 2
[3,] 0 0 1 -1
 
```
Как мы видим, возвращаемый результат содержит точные значения переменных, которые мы решаем.
Заключение
В данной статье введена концепция решения систем линейных уравнений методом исключения Гаусса. Используя редуцированную матрицу, мы определили решение для наших переменных, используя концепцию обратной подстановки. Наконец, мы реализовали этот процесс в R.9.0003
Поскольку окончательный результат по-прежнему требовал от нас поиска неизвестных, мы пошли еще дальше, используя обратную замену, и продемонстрировали обновленную версию нашего предыдущего подхода, метода исключения Джордана-Гаусса. Мы продемонстрировали, как реализовать этот метод, когда он возвращает точные значения неизвестных переменных.
Автор: Стейси Джелагат
Рецензирование: Пол Одиамбо
Решающие системы с исключением Гаусса · Алгебра и тригонометрия
Решающие системы с исключением Гаусса · Алгебра и тригонометрия
В этом разделе вы:
- Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
- Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
- Выполнение операций со строками над матрицей.
- Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-начале 19 векаго века, но он до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.
Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.
Написание расширенной матрицы системы уравнений
Матрица может служить устройством для представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей .
Например, рассмотрим следующее 2 × 2
система уравнений.
3x+4y=74x−2y=5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2  \| 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов .
[344−2]
Три на три система уравнений , такая как
3x−y−z=0        x+y=5     2x−3z=2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3]
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3  \| 052]
Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные располагаются в своих столбцах: x -термы идут в первом столбце, y -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax+by+cz=d
, чтобы переменные совпали. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0,9.0003
Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу.
1. Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
2. Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
3. Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.
Запись расширенной матрицы для системы уравнений
Запись расширенной матрицы для заданной системы уравнений.
   x+2y-z=3 2x-y+2z=6 x-3y+3z=4
Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33  \| 364]
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x−3y=113x+2y=4
[4−33 2\|11 4]
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы написать систему уравнений в стандартной форме.
Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1-3-52-5-4-354  \| −256]
Когда столбцы представляют переменные x,
y,
и z,
[1−3−52−5−4−354 \| −256]→ x−3y−5z=−2 2x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−1 12−1 30 1 1 \| 5 1−9]
x − y + z=52x − y + 3z=1 y + z=−9
Выполнение операций со строками над матрицей
Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.
Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строк-ступенчатую форму , в котором есть единицы по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали, как показано.
Строко-эшелонная форма[1ab01d001]
Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную по строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.
1. В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1. Оно называется ведущий 1.
2. Все строки со всеми нулями размещаются внизу матрицы.
3. Любой интерлиньяж 1 находится ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
4. Любой столбец, содержащий ведущую единицу, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.
Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ступенчатой строки и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.
1. Поменять местами строки. (Обозначение: Ри ↔ Rj
  )
2. Умножить строку на константу. (Обозначение: CRi
  )
3. Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение: Ri+cRj)
Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.
Исключение по Гауссу
Метод исключения по Гауссу относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу A
с числом 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.
A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]→После исключения ГауссаA=[1 b12 b130 1 b230 0 1]
Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк. ниже.
При заданной расширенной матрице выполните операции со строками, чтобы получить эшелонированную форму.
1. В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, ниже записи 1.
5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не будут только нули.
7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.
Решение 2×2 Система методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
2x+3y=6    x−y=12
Сначала запишем это как расширенную матрицу.
[231−1  \| 612]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
R1↔R2→[1−123\|126]
первая запись в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Этого можно добиться, умножив строку 1 на −2,
, а затем прибавив результат к строке 2.
−2R1+R2 =R2→[1−105\|125]
Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15.
15R2=R2→[1−101\|121]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y=1.
Подставьте обратно y=1
в первое уравнение.
x−(1)=12         x=32
Решением является точка (32,1).
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
4x+3y=11 x−3y=−1
(2, 1)
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
Использование исключения Гаусса для решения заданного 2 × 2
система уравнений .
  2x+y=14x+2y=6
Запишите систему в виде расширенной матрицы .
[2142  \| 16]
Получите 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на 12.
12R1=R1→[11242  \| 126]
Затем нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на −4
и добавьте строку 1 к строке 2.
−4R1+R2=R2→[11200  \| 124]
Вторая строка представляет уравнение 0=4.
Следовательно, система несовместна и не имеет решения.
Решение зависимой системы
Решение системы уравнений.
3x+4y=126x+8y=24
Выполните операций со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк .
A=[3468\|1224]
−12R2+R1=R1→[0068\| 024]R1↔R2→[6800\|24 0]
В последней строке матрицы заканчиваются все нули: 0y=0.
Таким образом, существует бесконечное число решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите y.
3x+4y=12         4y=12−3x           y=3−34x
Таким образом, решение этой системы (x,3−34x).
Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов
Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов.
[1−342−56−334  \| 366]
В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом является умножение строки 1 на −2
и прибавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.
−2R1+R2=R2→[1−3401−2−334\|306]
Далее получаем ноль в строке 3 столбца 1.
3R1+R3=R3→[1−3401−20− 616\|3015]
Далее получаем ноль в строке 3, столбце 2.
6R2+R3=R3→[1−3401−2004\|3015]
Последний шаг – получение единицы в строке 3 , столбец 3.
14R3=R3→[1−3401−2001  \| 3−6154]
Запишите систему уравнений в строчно-кулисной форме.
  x−2y+3z=9     −x+3y=−42x−5y+5z=172]
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку для получения ступенчатой формы . Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц.
x − y + z= 82x + 3y − z=−23x − 2y −9z= 9
Сначала запишем расширенную матрицу.
[1−1123−13−2−9   \| 8−29]
Далее выполняем операции над строками, чтобы получить строчно-эшелонную форму.
−2R1+R2=R2→[1−1105−33−2−9\|8−189]−3R1+R3=R3→[1−1105−301−12\|8−18−15]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами R2
и R3.
Развязка R2 и R3→[1−11801−12−1505−3−18]
Затем
−5R2+R3=R3→[1−1101−120057\|8−1557]−157R3=R3→[ 1−1101−12001\|8−151]
Последняя матрица представляет эквивалентную систему.
x−y+z=8   y−12z=−15             z=1
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4,−3,1).
Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц
Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.
−x−2y+z=−1 2x+3y=2 y−2z=0
Запишите расширенную матрицу.
[−1−2123001−2  \| −120]
Сначала умножьте строку 1 на −1
, чтобы получить 1 в строке 1 столбца 1. Затем выполните 90 150 операций со строками 90 151, чтобы получить форму строки-эшелона.
−R1→[12−123001−2  \| 120]
R2↔R3→[12−101−2230  \|102]
−2R1+R3=R3→[12−101−20−12\|100]
R2+R3=R3→[12− 101−2000\|210]
Последняя матрица представляет следующую систему.
x+2y−z=1        y−2z=0               0=0
Из тождества 0=0
мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим общее решение. Решая второе уравнение для y
и подставляя его в первое уравнение, мы можем решить для z
через x.
     x+2y−z=1                   y=2zx+2(2z)−z=1            x+3z=1                              z=1−x3
Сейчас подставим выражение для z
во второе уравнение, чтобы найти y
через x.
           y−2z=0                z=1−x3 y−2(1−x3)=0                   y=2−2x3
Общее решение: (x,2−2x3,1−x3).
Решите систему с помощью матриц.
x+4y−z=42x+5y+8z=15x+3y−3z=1
(1, 1, 1)
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Дана система уравнений. Решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.
1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [А], [Б], [С], ….
2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
5x+3y+9z=−1−2x+3y−z=−2−x−4y+5z=1
Запишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[539-23-1-1-45  \| −1−2−1]
На странице матрицы калькулятора введите указанную выше расширенную матрицу в качестве переменной матрицы [A].
[A]=[539−1−23−1−2−1−451]
Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывающую матричную переменную [A].
ref([A] )
Оценка. −47                 z=−24187
Используя обратную замену, решение ( 61187,−92187,−24187).
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролин инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x=
сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и y=
сумма, инвестированная под 12% годовых.
               x+y=12 0000,105x+0,12y=1 335
В качестве матрицы имеем
[110.1050.12  \| 12 0001 335]
Умножьте строку 1 на −0,105
и прибавьте результат к строке 2.
[1100,015  \| 12,00075]
Тогда
0,015y=75         y=5,000
Итак 12,000−5,000=7,000.
Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%.
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, один из которых приносит 5% годовых, другой — 8% годовых, а третий — 9% интерес. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть x
будет суммой, инвестированной под 5% годовых, пусть y
будет суммой, инвестированной под 8% годовых, и пусть z
будет суммой, инвестированной под 9% годовых. Таким образом,
                     x+y+z=10 0000,05x+0,08y+0,09z=770                       2x−z=0
В качестве матрицы мы имеем
[1110.050.080.0920−1  \| 10,0007700]
Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.
−0,05R1+R2=R2→[11100,030,0420−1\|10,0002700] −2R1+R3=R3→[11100,030,040−2−3\|10 000270−20 000] 10,03R2=R2→ [01101430−2−3\|10 0009 000−20 000] 2R2+R3=R3→[111014300−13\|10 0009 000−2 000]
90 002 Третья строка говорит нам −13z=−2000;
таким образом z=6000.
Вторая строка говорит нам y+43z=9000.
Подставляя z=6000,
получаем
y+43(6000)=9000y+8000=9000y=1000
Первая строка говорит нам x+y+z=10000 .
Подставляя y=1,000
и z=6,000,
получаем
x+1,000+6,000=10,000                              x=3 000
Ответ: 3 000 долларов США под 5% годовых, 1 000 долларов США под 8 % и 6 000 долларов США. под 9% годовых.
Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.
150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений с использованием исключения Гаусса.
- Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
- Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
- Расширенные матрицы на калькуляторе
Ключевые понятия
- Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. [ссылка].
- Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена в виде исходной системы уравнений. См. [ссылка].
- Операции со строками включают умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и перестановку строк.
- Мы можем использовать исключение Гаусса для решения системы уравнений. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
- Операции со строками выполняются над матрицами для получения ступенчатой формы. См. [ссылка].
- Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в расширенной матричной форме. Выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Обратно заменить, чтобы найти решения. См. [ссылка] и [ссылка].
- Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. [ссылка].
- Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. [ссылка] и [ссылка].
Раздел Упражнения
Устный
Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.
Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты.
Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.
Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы[931−2  \| 06].
Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций над матрицей. Возможны следующие два пути: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Тогда R2=R2−9R1.
(2) R2=R1-9R2.
Затем разделите строку 1 на 9.
Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.
Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.
Алгебраический
Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.
8x−37y=82x+12y=3
   16y=49x−y=2
[0169−1\|42]
3x+2y+10z=3−6x+2y+5z=13             4x+z=18
  x+5y+8z=19     12x+3y=43x+4y+9z=−7
[1581230349\|164−7]
6x+12y+16z=4  19x−5y+3z=−9             x+2y=−8
Для следующих упражнений напишите линейную систему из расширенной матрицы.
[−256−18  \| 526]
−2x+5y=56x−18y=26
[341017  \| 10439]
[320−1−94857  \| 3−18]
3x+2y=13−x−9y+4z=538x+5y+7z=80
[8291−175003  \| 433810]
[45−2015887−3  \| 122−5]
4x+5y−2z=12        y+58z=28x+7y−3z=−5
Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.
[1000  \| 30]
[1010  \| 12]
Нет решений
[1245  \| 36]
[−124−5  \| −36]
(−1,−2)
[−2002  \| 1−1]
  2x−3y=−95x+4y=58
(6,7)
6x+2y=-43x+4y=-17
2x+3y=12 4x+y=14
(3,2)
−4x−3y=−2 3x−5y=−13
−5x+8y=3 10x+6y=5
(15,12)
  3x+4y=12−6x−8y=−24
−60x+45y=12  20x−15y=−4
(x,415(5x+1))
11x+10y=4315x+20y=65
2x−y=23x+2y=17
(3,4)
−1,06x−2,25y=5,51−5,03x−1,08y=5,40
34x−35y=414x+23y=1
(19639,−513)
14x−23y=−112x+13y=3
[100011001  \| 314587]
(31,−42,87)
[101110011  \| 5020−90]
[123056008  \| 479]
(2140,120,98)
[−0. 10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7  \| 0,20,8−0,8]
−2x+3y−2z=3      4x+2y−z=9     4x−8y+2z=−6
(1813,1513,−1513)
      x+y-4z=-4  5x-3y-2z=0  2x+6y+7z=30
      2x+3y+2z=1  −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5
(x,y,12(1−2x−3y))
    x+2y−z=1−x−2y+2z=−23x+6y−3z=5
    x+2y−z=1−x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3
(x,−x2,−1)
   x+y=2   x+z=1−y−z=−3
x+y+z=100    x+2z=125−y+2z=25
(125,−25,0)
14x−23z=−1215x+13y=4715y−13z=29
−12x+12y+17z=−5314   12x−12y+14z=3    14x+15y+13z=2315
(8,1,−2)
−12x−13y+14z=−296   15x+16y−17z=431210−18x+19y+110z=−4945
Удлинители
В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы.
x-17+y-28+z-34=0                    x+y+z=6     x+23+2y+z-33=5
(1,2,3)
x−14−y+14+3z=−1  x+52+y+74−z=4         x+y-z−22=1
      x−34−y−13+2z=−1x+52+y+52+z+52=8                     x+y+z=1
(x,3128−3x4,128(−7x−3))
x−310+y+32−2z=3 x+54−y−18+z=32x−14+y+42+3z=32
     x−34−y−13+2z=−1x+52+y+52+z+52=7                             x+y+z=1
Решений не существует.
Реальные приложения
Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.
Каждый день в магазине кексов продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день?
В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?
860 красный бархат, 1340 шоколадный
Вы вложили 10 000 долларов США в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?
Вы вложили 2300 долларов США на счет 1 и 2700 долларов США на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара США, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.
4% на счет 1, 6% на счет 2
Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?
Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?
$126
Три самых популярных вкуса мороженого — шоколадное, клубничное и ванильное — составляют 83 % вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?
В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три мороженого составили 16,9% от продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент меньше продаж, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.
Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2%
Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.
Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.
100 миндаля, 200 кешью, 600 фисташек
Глоссарий
расширенная матрица
матрица коэффициентов, соединенная с постоянным столбцом, разделенным вертикальной чертой в скобках матрицы
матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение Гаусса
использование элементарных операций со строками для получения матрицы в виде эшелона строк
главная диагональ
записи из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядно-эшелонная форма
после выполнения операций со строками, форма матрицы, которая содержит единицы вниз по главной диагонали и нули на каждом месте ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы А
и
B
эквивалентны по строкам, если одно может быть получено из другого путем выполнения основных операций со строками
рядные операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т.
No related posts.