Решить определитель третьего порядка онлайн: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

alexxlab / / Разное

Определители третьего порядка с примерами | Математика

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

(1.7)

Помощь с решением задач

Определитель третьего порядка обозначается символом

(1.8)

где числа называются его элементами.

Индексы у элемента показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.

Например, элемент расположен на пересечении второй строки и третьего столбца .

Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы побочную диагональ.

Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила.

Так, согласно правилу треугольников необходимо:

  1. вычислить с собственными знаками произведения элементов , лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ;
  2. найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками ;
  3. найти общую сумму всех произведений.

ПРИМЕР 1.1.7

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7).

Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

Аналогично проверяется справедливость и других свойств.

Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9: Минором элемента , где определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием й строки и го столбца. Так, например, минор элемента есть определитель

а минор элемента есть

С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде

(1.9)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10: Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком . По определению 4.3 имеем

где /(1.10)

Например,

и т.д.

ТЕОРЕМА 1.1 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

(1.11)

Проверим, например, справедливость равенства

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

ТЕОРЕМА 1. 2 Сумма произведений элементов какой- либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.

Для определенности выберем элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений и покажем, что эта сумма равна нулю.

Действительно,

Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.

В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.

ПРИМЕР 1.1.8

Вычислить определитель

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

ПРИМЕР 1.1.9

Вычислить определитель

Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на — 8,

получим Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем

  • Определители n-го порядка с примерами
  • Курс математики

Сохранить или поделиться с друзьями


Вы находитесь тут:


На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.


Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Скачать рамки A4


Скачать миллиметровки


Скачать шрифты ГОСТ

Сохранить или поделиться с друзьями

Заказать решение


Поиск математических формул

Определители третьего порядка

Высшая математика / Практикум по аналитической геометрии


Выражение вида

называется определителем третьего порядка.
Определитель третьего порядка имеет девять элементов, три строки, три столбца, две диагонали — главную и побочную.

Рис.1

Формула (1) показывает, что в раскрытом виде определитель содержит шесть членов. Для их определения существуют простые способы. Рассмотрим два из них.
Способ I. Выписываем все элементы определителя в том же порядке, как они расположены в определителе, и приписываем справа первые два столбца определителя:

Способ II. Возьмем со знаком плюс произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллельных к ней линиях, содержащих по три элемента.
Произведения же элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллельных к ней линиях, содержащих по три элемента, возьмем со знаком минус.
Алгебраическая сумма этих шести произведений дает значение определителя третьего порядка.

Пример. Вычислить определитель:

Решение.


Способ III. Способ разложения определителя по элементам какой-либо строки или столбца.
Если в определителе третьего порядка вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых стоит некоторый элемент, то оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который называется минором определителя Δ, соответствующим этому элементу. Например, минором определителя

соответствующим элементу будет определитель второго порядка

Чтобы вычислить определитель третьего порядка, нужно каждый элемент строки или столбца, по которым разлагается определитель, умножить на его минор, взятый со знаком плюс или минус в зависимости от того, будет ли сумма номеров зачеркнутых строки и столбца четным или нечетным числом. Например,

— разложение определителя Δ по первому столбцу.
Пример. Вычислить определитель

Решение.

Основные свойства определителей третьего порядка.
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если за¬писать столбцы вместо строк, а строки вместо столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух столбцов или строк определитель меняет знак.
Свойство 3. Чтобы умножить определитель на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число все элементы какой-нибудь одной строки или какого-нибудь одного столбца.
Свойство 4. Если в определителе имеются две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.
Свойство 5. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умножив их на постоянный множитель.

Тегивычисление определителей третьего порядкавычислить определитель третьего порядкавычислить определитель третьего порядка онлайнопределитель матрицы третьего порядкаопределитель третьего порядкаопределитель третьего порядка онлайнопределитель третьего порядка определениеопределитель третьего порядка формулаКалькулятор определителя

— примеры, Калькулятор определителя онлайн

Калькулятор определителя

— это онлайн-инструмент, который помогает найти определитель квадратной матрицы 3 x 3, используя формулу определителя. Найти определитель можно только квадратных матриц.

Что такое определительный калькулятор?

Калькулятор определителя помогает вычислить определитель квадратной матрицы 3 x 3. Когда мы находим сумму произведений элементов квадратной матрицы по какому-то заданному правилу, полученная таким образом величина называется определителем. Чтобы использовать Калькулятор определителя , введите значения в поля ввода.

Калькулятор определителя

ПРИМЕЧАНИЕ: Вводите значения не более 3 цифр.

Как пользоваться калькулятором определителя?

Выполните следующие действия, чтобы найти определитель матрицы 3 x 3 с помощью онлайн-калькулятора определителя.

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору определителя Cuemath.
  • Шаг 2: Введите элементы матрицы в указанные поля ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы найти определитель.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор определителя?

Определитель можно рассматривать как функцию, которая принимает элементы квадратной матрицы в качестве входных данных и выводит единственное значение. Детерминанты являются скалярными величинами. Определитель квадратной матрицы используется для нахождения обратной этой матрицы. Кроме того, нам потребуются определители, если мы решаем линейные уравнения, используя метод обращения матриц. Шаги для нахождения определителей матриц приведены ниже:

1. Матрица 2 x 2

Пусть \(A_{2\times 2}\) = \(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\)

Формула для вычислить определитель следующим образом:

\(\begin{vmatrix}A_{2\times 2} \end{vmatrix}\) = (a x d) — (b x c)

2. 3 x 3 Матрица

Пусть \ (A_{3\times 3}\) = \(\begin{bmatrix} a & b & c\\ d& e& f\\ g& h & i \end{bmatrix}\)

Шаг 1: Умножаем номера привязок с соответствующей квадратной подматрицей.

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = a . \(\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}\) — b . \(\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}\) + c . \(\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}\)

Шаг 2: Используя формулу определителя матрицы 2 x 2, мы решаем выражение на шаге 1, как указано ниже.

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = a(ei — fh) — b(di — fg) + c(dh — eg).

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры с определителями

Пример 1: Найти определитель следующей матрицы \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 0 & 9 \ end{bmatrix}\) и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора определителей.

Решение:

Дано: \(A_{3\times 3}\) = \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 0 & 9 \end{bmatrix}\ )

По формуле

\(A_{3\times 3}\) = \(\begin{bmatrix} a & b & c\\ d& e& f\\ g& h & i \end{bmatrix} \)

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = a(ei — fh) — b(di — fg) + c(dh — eg)

Подставляя эти значений получаем

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = 3 (2 x 9- 0 x 3) — 4 (1 x 9 — 0 x 3) + 5 (1 x 0 — 2 x 2)

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = 22

Пример 2: Найдите определитель следующей матрицы \(\begin{bmatrix} -1 & 2 & -4\\ 7. 2& 6& 2.3\\ -5& 1.3 & 3 \end{bmatrix}\) и проверьте это с помощью онлайн-калькулятора определителя.

Решение:

Дано: \(A_{3\times 3}\) = \(\begin{bmatrix} -1 & 2 & -4\\ 7.2& 6& 2.3\\ -5& 1.3 & 3 \ конец{bmatrix}\)

По формуле

\(A_{3\times 3}\) = \(\begin{bmatrix} a & b & c\\ d& e& f\\ g& h & i \end{bmatrix}\ )

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = a(ei — fh) — b(di — fg) + c(dh — eg)

Подстановка этих значений получаем

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = -1 (6 x 3 — 2,3 x 1,3) — 2 (7,2 x 3 — 2,3 x (-5) ) — 4(7,2 x 1,3 — 6 x (-5))

\(\begin{vmatrix}A_{3\times 3} \end{vmatrix}\) = -238,65

Точно так же вы можете попробовать калькулятор определителей, чтобы найти определители для следующего:

  • \(\begin{bmatrix} 3.2 & -2 & 3\\ 1& 0& 4\\ -1& -7 & 4.7 \end{ бматрица}\)
  • \(\begin{bmatrix} 8.2 & -3 & 5\\ 1.9& 2.8& -3\\ 9& 1 & 1 \end{bmatrix}\)

☛ Математические калькуляторы:

Если все элементы на двух диагоналях определителя третьего порядка равны нулю, то каково значение определителя.

  • Курс
    • NCERT
      • Класс 12
      • Класс 11
      • Класс 10
      • Класс 9
      • Класс 8
        • 9
      • Класс 7 024
    • ИИТ ЕГЭ
  • Экзамен
    • JEE MAINS
    • JEE ADVANCED
    • X BOARDS
    • XII BOARDS
    • NEET
      • Neet Предыдущий год (по годам)
      • Физика Предыдущий год
      • Химия0024
      • Биология Предыдущий год
      • Нет Все образцы работ
      • Образцы работ по биологии
      • Образцы работ по физике
      • Образцы работ по химии
  • 0
  • Класс 12
  • Класс 11
  • Класс 10
  • Класс 9
  • Класс 8
  • Класс 7
  • Класс 6
    • Экзаменационный уголок
    • Онлайн-класс
    • Викторина
    • Задать вопрос в Whatsapp
    • Поиск Doubtnut
    • Английский словарь

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *