Теорема о подобных треугольниках: Признаки подобия треугольников. Средняя линия.

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Теорема 1:

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство:

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\). Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\).

Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Значит, по первому признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство:

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

 

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т. д.

 

Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

 

Теорема 2.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.

 

Доказательство:

Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то \(\dfrac{AB}{A_1B}=\dfrac{CB}{C_1B}=2\).

 

Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (\(\angle B\) — общий) \(\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC\).

 

Теорема 3.

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

 

Доказательство:

Т.к. \(AD\parallel BC \Rightarrow \angle OBC=\angle ODA\). \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC\sim \triangle AOD\).

 

Теорема 4.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника. \circ-\angle BA_1B_1=\angle BAB_1\).

 

Таким образом, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle OAB\sim \triangle OA_1B_1\).

 

Теорема 7.

Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:

 

Доказательство:

Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle OKA=\frac12 \buildrel\smile\over{KA}=\angle KBA\).

 

Следовательно, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle OKA\sim \triangle OKB\).

 

Теорема 8.

Если в окружности две хорды пересекаются, то:

 

Доказательство:

\(\angle A_1AB_1=\angle A_1BB_1\), т.к. опираются на одну и ту же дугу. \(\angle A_1CB=\angle B_1CA\), т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle A_1BC\sim \triangle B_1C\).

 

Аналогично \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C\).

 

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Содержание

• Определение подобных треугольников
• Коэффициент подобия треугольников
• Перый признак подобия треугольников
• Второй признак подобия треугольников
• Третий признак подобия треугольников
• Отношение площадей подобных треугольников

Определение подобных треугольников

Определение 1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Определение 2. Сходственными называются стороны подобных треугольников, лежащих напротив равных углов.

На рисунке 1 углы треугольников \( \small ABC \) и \( \small A_1B_1C_1 \) соответственно равны:

Тогда стороны \( \small AB \) и \( \small A_1B_1 \), \( \small BC \) и \( \small B_1C_1 \), \( \small AC \) и \( \small A_1C_1 \) называются сходственными.

Определение 1 можно понимать так: два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения и (Рис.1) так, что

Если два треугольника и подобны, то это обозначают так:

Коэффициент подобия треугольников

Коэффициентом подобия треугольников k − это число, равное отношению сходственных сторон (см. формулу (2)).

Перый признак подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.2).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то можно записать:

и, так как , , получим:

Таким образом углы треугольника соответственно равны углам треугольника . Покажем, теперь, что стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т. е. выполнено равенство (2).

Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними можно вычислить формулами:

Из (3) и (4), и из следует:

С другой стороны:

Из (6) и (7), и из следует:

Левые части уравнения (5) и (8) равны. Следовательно равны и правые части:

Умножая левую и правую части уравнения (9) на , получим:

Продолжая аналогичные рассуждения, получим:

Сравнивая (8) и (11), получим:

Умножая левую и правую части уравнения (12) на , получим:

Из (10) и (13), получим:

То есть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Что и требовалось доказать.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.3).

Рассмотрим треугольник у которого

Из условия (15) следует, что треугольники и подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно:

Но по условию теоремы . Поэтому . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AB общая, , (поскольку и )). Следовательно и поскольку , то .

Получили, что и . Тогда по первому признаку подобия треугольников .

Третий признак подобия треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть стороны треугольников пропорциональны:

Докажем, что . Рассотрим треугольник у которого , (Рис.3). Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда выполнено следующее равенство:

Сравнивая равенства (16) и (17) получаем: , .

Из этих рассуждений следует, что треугольники и равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда , а поскольку , то . Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники и подобны: .

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Пусть треугольники и подобны. Тогда

и

где -коэффициент подобия.

Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними равны:

Тогда

Теоремы о подобных треугольниках

1. Теорема о делителях сторон

Если треугольник ADE и BC параллельны DE, то AB BD = AC CE

Чтобы показать, что это так, проведите прямую BF параллельно AE, чтобы составить параллелограмм BCEF:

Треугольники ABC и BDF имеют одинаковые углы и поэтому подобны (Почему? См. раздел под названием AA на странице Как Чтобы определить, подобны ли треугольники. )

• Сторона AB соответствует стороне BD, а сторона AC соответствует стороне BF.
• Итак, AB/BD = AC/BF
• Но BF = CE
• Итак, AB/BD = AC/CE

Теорема о биссектрисе угла

Если треугольник ABC делит (делит пополам) угол BAC, то AB BD = AC DC

Чтобы показать, что это верно, мы можем обозначить треугольник следующим образом: 9000 5

• Угол BAD = Угол DAC = x°
• Угол ADB = y°
• Угол ADC = (180−y)°

По закону синусов в треугольнике ABD: sin(x) BD = sin(y) AB

Умножить обе стороны на AB: sin(x)AB БД = sin(y) 1

Разделите обе части на sin(x): AB BD = sin(y) sin(x) 90 005

 

По закону синусов в треугольник ACD: sin(x) DC = sin(180−y) AC

Умножить обе стороны на AC: sin(x)AC DC = sin(1 80−у)

1

Разделите обе части на sin(x): AC DC = sin(180−y) sin(x)

Но sin(180−y) = sin(y) ) : AC DC = sin(y) sin(x)

Оба AB BD и AC DC равны sin(y) sin(x) , поэтому:

AB BD = AC 90 008 DC

В частности, если треугольник ABC равнобедренный, то треугольники ABD и ACD равны:

И тот же результат верен:

AB BD = AC DC 900 05

3.

Площадь и подобие

Если два подобных треугольника имеют сторон в отношении x:y,

, то их площади относятся друг к другу x ² :y ²

Пример:

Эти два треугольника подобны, стороны которых относятся как 2:1 (сторона одного вдвое длиннее другого) :

Что можно сказать об их районах?

Ответ прост, если мы просто нарисуем еще три линии:

Мы можем видеть, что маленький треугольник вписывается в большой треугольник четыре раза .

Итак, когда длины равны в два раза больше , площадь в четыре раза больше

Таким образом, отношение их площадей равно 4:1

Мы также можем записать 4:1 как 2 ² :1

Общий случай:

Треугольники ABC и PQR подобны и имеют отношение сторон x:y

Площади можно найти по этой формуле из площади треугольника:

Площадь ABC = 1 2 грех (A)

Площадь PQR = 1 2 qr sin(P)

И мы знаем, что длины треугольников находятся в соотношении x:y

q/b = y/x, поэтому: q = by/x

и r /c = y/x, поэтому r = cy/x

Кроме того, поскольку треугольники подобны, углы A и P одинаковы:

A = P

Теперь мы можем сделать некоторые вычисления :

Площадь треугольника PQR : 1 2 qr sin(P)

Введите «q = by/x», «r = cy/x» и «P=A»: 1 2 (by)(cy) sin(A) (x)(x)

Упрощение: 1 2 до н. э. ² sin(A) x ²

Задний диапазон: г ² x ² × 1 2 bc sin(A)

Что равно: y ² x ² × Площадь треугольника ABC

Таким образом, мы получим это соотношение:

Площадь треугольника ABC: Площадь треугольника PQR = x ² : Y ²

Каковы теорема сходства треугольника?

Обновлено 14 мая 2018 г.

Автор Bert Markgraf

Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Когда треугольники подобны, они имеют много одинаковых свойств и характеристик. Теоремы подобия треугольников определяют условия, при которых два треугольника подобны, и они имеют дело со сторонами и углами каждого треугольника. Как только конкретная комбинация углов и сторон удовлетворяет теоремам, вы можете считать треугольники подобными.

TL;DR (слишком длинный; не читал)

Существуют три теоремы о подобия треугольников, которые определяют, при каких условиях треугольники подобны:

• Если два угла одинаковы, то и третий угол тоже треугольники подобны.
  
• Если три стороны находятся в одинаковых пропорциях, треугольники подобны.
• Если две стороны имеют одинаковые пропорции и угол между ними одинаков, треугольники подобны.

Теоремы AA, AAA и угол-угол

Если два угла двух треугольников одинаковы, треугольники подобны. Это становится ясным из наблюдения, что сумма трех углов треугольника должна составлять 180 градусов. Если два угла известны, третий можно найти, вычитая два известных угла из 180. Если три угла двух треугольников одинаковы, треугольники имеют одинаковую форму и подобны.

Теорема SSS или Side-Side-Side

Если все три стороны двух треугольников одинаковы, треугольники не только подобны, они конгруэнтны или идентичны. Для подобных треугольников три стороны двух треугольников должны быть пропорциональны. Например, если один треугольник имеет стороны 3, 5 и 6 дюймов, а второй треугольник имеет стороны 9, 15 и 18 дюймов, каждая из сторон большего треугольника в три раза длиннее одной из сторон меньшего треугольника. Стороны пропорциональны друг другу, а треугольники подобны.

Теорема SAS или сторона-угол-сторона

Два треугольника подобны, если две стороны двух треугольников пропорциональны и угол между ними одинаков. Например, если две стороны треугольника равны 2 и 3 дюймам, а стороны другого треугольника равны 4 и 6 дюймам, стороны пропорциональны, но треугольники могут быть не подобны, поскольку две третьи стороны могут быть любой длины. Если углы между ними одинаковы, то все три стороны треугольников пропорциональны и треугольники подобны.

Другие возможные комбинации углов и сторон

Если для двух треугольников выполняется одна из трех теорем о подобии треугольников, треугольники подобны. Но есть и другие возможные комбинации боковых углов, которые могут гарантировать или не гарантировать сходство.

Для конфигураций, известных как угол-угол-сторона (AAS), угол-бок-угол (ASA) или сторона-угол-угол (SAA), не имеет значения, насколько велики стороны; треугольники всегда будут подобны. Эти конфигурации сводятся к теореме AA «угол-угол», которая означает, что все три угла одинаковы, а треугольники подобны.

Однако конфигурации бок-бок-бок или угол-бок-бок не обеспечивают сходства. (Не путайте сторона-бок-угол с стороной-угол-сторона; «стороны» и «углы» в каждом имени относятся к порядку, в котором вы встречаете стороны и углы.) В некоторых случаях, например, для прямого -угольные треугольники, если две стороны пропорциональны и углы, которые не входят в них, равны, треугольники подобны. Во всех остальных случаях треугольники могут быть, а могут и не быть.

Подобные треугольники вписываются друг в друга, могут иметь параллельные стороны и масштабироваться от одного к другому.

No related posts.