Показательное неравенство определение. Показательные неравенства
Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a x = a c .
Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.
Представим 25 как 5 2 , получим:
5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .
Или что равносильно:
x 2 — 2*x — 1 = 2.
Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.
Ответ: 3;-1.
Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:
t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4
Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.
Ответ: 0;2.
Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции.
Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)
Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)
Получим: 7 — 3*x>-2.
Отсюда: х
Ответ: х
Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.
Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:
Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .
Обоснуем рассмотренное утверждение.
Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .
Рассмотрим несколько задач.
Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.
Решение.
Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.
Ответ. х = -2.
Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.
Решение.
Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .
Отсюда получаем х = 2.
Ответ. х = 2.
Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х — 2 = 25.
Решение.
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х — 2 ∙ 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.
Ответ. х = 2.
Решить уравнение 3 х = 7 х.
Решение.
Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.
Ответ. х = 0.
Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.
Решение.
Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.
Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ. х = 2.
Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х
Рассмотрим некоторые задачи.
Решить неравенство 3 х
Решение.
Запишем неравенство в виде 3 х 1, то функция у = 3 х является возрастающей.
Следовательно, при х
Таким образом, при х 3 х
Ответ.
х
Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.
Решение.
Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.
Это неравенство выполняется при t 1.
Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х 1.
Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.
Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.
Ответ. х > 0.
Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.
Решение.
1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.
2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что
х = 1 – корень данного уравнения:
(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.
Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.
3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая.
Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х 1 и х
Ответ. х = 1.
Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х 1.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Сырники с зеленью, сыром и чесноком жареные
Сырники с зеленью, сыром и чесноком жареные
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Вы можете ознакомиться и скачать
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ .
Презентация содержит 29 слайдов.
Презентации для любого
класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Вам
понравились
–
поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в
своем
браузере.
Слайды и текст этой презентации
Описание слайда:
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Слайд 2
Описание слайда:
СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УРОКА Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся Повторение и анализ основных фактов Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний Подведение итогов урока
Слайд 3
Описание слайда:
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ УРОКА
Отобрать, теоретически обосновать и экспериментально проверить ключевые понятия темы «Показательная функция»
Создать условия для закрепления полученных знаний по темам: «Показательная функция», «Показательные уравнения и неравенства», «Системы показательных уравнений».
Слайд 4
Описание слайда:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛОМБАРД
Слайд 5
Описание слайда:
ЛОМБАРД
ЛОМБАРД (от названия итальянской области Ломбардии) — специализированное кредитное учреждение, выдающее ссуды под залог движимого имущества. Деятельность Л. в РФ осуществляется на основании лицензии. Договор о залоге вещей в Л. оформляется выдачей Л. залогового билета. Помимо краткосрочного кредитования Л. оказывают услуги по хранению вещей. Согласно ст. 919 ГК РФ договор хранения в Л. вещей, принадлежащих гражданину, является публичным договором.
Слайд 6
Описание слайда:
Повторение и анализ основных фактов На этом этапе каждая из четырёх групп должна представить историческую ценность своей закладываемой «вещи» Показательная функция – 1 группа Показательные уравнения – 2 группа Показательные неравенства – 3 группа Системы показательных уравнений – 4 группа
Слайд 7
Описание слайда:
На этом этапе недоверчивый ломбардист, чтобы полностью убедиться в подлинности ценных вещей, предлагает группам провести «экспертизу».
Построить график функции:
Решить показательное уравнение:
Решите неравенство:
Решите систему показательных уравнений:
Слайд 8
Описание слайда:
Слайд 9
Описание слайда:
Показательная функция
Слайд 10
Описание слайда:
Показательная функция Какое заключение можно сделать относительно показателя , если:
Слайд 11
Описание слайда:
Показательная функция Какая из данных функций является возрастающей:
Слайд 12
Описание слайда:
Показательная функция Найдите область значений функции
Слайд 13
Описание слайда:
Показательная функция Верно ли, что показательная функция
Слайд 14
Описание слайда:
Показательные уравнения Какое уравнение называется показательным? Какие виды показательных уравнений вы знаете?
Слайд 15
Описание слайда:
Показательные уравнения Решите уравнение:
Слайд 16
Описание слайда:
Показательные уравнения Решите уравнение
Слайд 17
Описание слайда:
Показательные уравнения Решите уравнение
Слайд 18
Описание слайда:
Показательные уравнения Решите уравнение
Слайд 19
Описание слайда:
Показательные неравенства
Сформулируйте определение показательного неравенства.
На каком свойстве показательной функции основано решение показательных неравенств?
Слайд 20
Описание слайда:
Показательные неравенства Решите неравенство
Слайд 21
Описание слайда:
Показательные неравенства Решите неравенство
Слайд 22
Описание слайда:
Показательные неравенства Решите графически неравенство
Слайд 23
Описание слайда:
Показательные неравенства Решите неравенство
Слайд 24
Описание слайда:
Системы показательных уравнений Что такое система уравнений? Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
Слайд 25
Описание слайда:
Системы показательных уравнений Что значит решить систему уравнений? Что является решением системы уравнений?
Слайд 26
Описание слайда:
Системы показательных уравнений Решите систему уравнений
Слайд 27
Описание слайда:
Системы показательных уравнений Решите систему уравнений
Слайд 28
Описание слайда:
Системы показательных уравнений Решите систему уравнений
Слайд 29
Описание слайда:
логарифмов — Решение экспоненциального неравенства
спросил
Изменено 7 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 149 раз
$\begingroup$
Я хотел бы знать диапазон $n$, в котором выполняется это условие.
Может ли кто-нибудь помочь мне с этим. Уравнение выглядит следующим образом 9{х(-\ln 2)/50}=-\frac{\ln 2}{50}$$
$$x\frac{-\ln 2}{50}=W\left(-\frac{\ln 2}{50}\right)$$
, где $W$ — W-функция Ламберта.
$$x=-\frac{50}{\ln 2}W\left(-\frac{\ln 2}{50}\right)$$ $$n=\pm\sqrt{-\frac{50}{\ln 2}W\left(-\frac{\ln 2}{50}\right)}$$
Так как $-\frac 1e< -\frac{\ln 2}{50}<0$, здесь два значения функции $W$. Мы получаем четыре значения для $n$:
$n\приблизительно \pm 1,00705$ или $n\приблизительно \pm 20,9496$
Если мы предположим, что $n$ является целым числом, множество решений равно
$|n|\le 1$ или $|n|\ge 21$
Если $n$ действительное, но не обязательно целое число, замените $1$ и $21$ приблизительными значениями, указанными выше.
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Подсказка
Логарифмируем обе части, знак неравенства должен остаться прежним.