Решить уравнения дробные: Дробные рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Как решать дробные уравнения? | О математике понятно

Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

2. Тождественные преобразования уравнений.

3. Решение линейных и квадратных уравнений.

Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т. д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

Например, вот такое уравнение:

Или такое:

Или вот такое:

И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

Например:

Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

Или такое уравнение:

Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

Умножаем:

Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

2∙3 = х+3

А его (надеюсь) уже решит каждый:

х = 3

Решаем следующий примерчик:

И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».

Вперёд!

А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

(9 — х)∙х = 20

Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

9х — х² = 20

Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

х₁ = 4

х₂ = 5

И все дела.)

Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3. Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

Решаем третье уравнение по списку:

А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

x(x²+2x)(x+2)

и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х²+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

х²+2х = х(х+2)

Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

Вот на х(х+2) и умножаем:

И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

С удовольствием сокращаем все дроби:

(x-3)(x+2) + 3 = x

Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

x² + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

x² — 2x — 3 = 0

И снова получили квадратное уравнение. ) Решаем и получаем два корня:

x₁ = -1

x₂ = 3

Вот и всё. Это и есть ответ.)

Из этого примера можно сделать важный вывод:

Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

Ну что, порешаем?)

Решить уравнения:

Ответы (как обычно, вразброс):

x = 3

x₁ = 0,5; x₂ = 3

x = 2

х = 6

x = 2,6

x₁ = 2; x₂ = 5

Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

Но об этом — дальше.)

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45

x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

1.26: Решение дробных уравнений — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 48329

Уравнение дробей — это уравнение, содержащее дроби, в знаменателе одного или нескольких членов которого есть неизвестное.

Пример 24.1

Ниже приведены примеры дробных уравнений:

a) \(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)

b) \(\frac{x-2 }{x+2}=\frac{3}{5}\)

c) \(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)

d) \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)

e) \(\frac{x}{6}-\frac{2}{3 x}=\ frac{2}{3}\)

Свойство перекрестного произведения можно использовать для решения дробных уравнений.

Свойство перекрестного произведения

Если \(\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\), то \(A \cdot D=B \cdot C\).

Используя это свойство, мы можем преобразовать дробные уравнения в не дробные. Мы должны соблюдать осторожность при применении этого свойства и использовать его только тогда, когда в каждой части уравнения есть одна дробь. Итак, дробные уравнения можно разделить на две категории.

I. Отдельные дроби с каждой стороны уравнения

Уравнения a), b) и c) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.

а) Решите \(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 20=9 \cdot x \\ \text{Линейное уравнение} & 60=9 x \\ \text{Разделить на 9 обе стороны} & \frac{60}{9}=x \end{массив}\nonumber\]

Решение: \(x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}\ ).

b) \(\frac{x-2}{x+2}=\frac{3}{5}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 5 \cdot(x-2)=3 \cdot(x+2) \\ \text{Удалить скобки} & 5 x-10=3 x+6 \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 5 x- 3 x=10+6 \\ & 2 x=16 \\ \text{Разделить на 2 с обеих сторон} & \frac{2 x}{2}=\frac{16}{2}\end{array}\nonumber \]

решение \(x=8\).

c) \(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot(x-5)=4 \cdot(x-3) \\ \text{Удалить скобки} & 3 x-15=4 x-12 \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3 x- 4 x=15-12 \\ & -x=3 \\ \text{Разделить на 2 обе стороны} & \frac{-x}{-1}=\frac{3}{-1}\end{array} \nonumber\]

Решение: \(x=-3\)

Примечание: знаменатель. Например:

Решить

\[\frac{3}{x}=15\nonnumber\]

Перепишем уравнение так, чтобы все члены были дробями.

\[\frac{3}{x}=\frac{15}{1}\nonumber\]

\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 1= 15 \cdot x \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3=15 x \\ \text{Разделить на 15 обе стороны} & \frac{3}{15}=\frac{15 x}{15 } \end{array}\nonumber\]

Решение: \(x=\frac{3}{15}=\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}=\frac{1}{5 }\).

II. Множественные дроби по обе стороны уравнения

Уравнения d) и e) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.

Мы используем метод объединения рациональных выражений, который мы изучили в главе 23, чтобы свести нашу задачу к задаче с одной дробью в каждой части уравнения.

d) Решите \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)

Сначала мы понимаем, что в левой части уравнения есть две дроби, и поэтому мы не можем использовать свойство Cross-Product немедленно. Чтобы объединить LHS в одну фракцию, мы делаем следующее:

\[\begin{array}{ll} \text{Найдите НОК знаменателей} & 8 x \\ \text{Перепишите каждую дробь, используя НОК} & \frac{3 \cdot 2 x}{8 x }-\frac{1}{8 x}=0 \\ \text{Объедините в одну дробь} & \frac{6 x-1}{8 x}=0 \\ \text{Перепишите уравнение так, чтобы все термины дробные} & \frac{6 x-1}{8 x}=\frac{0}{1} \\ \text{Cross-Product} & (6 x-1) \cdot 1=8 x \ cdot 0 \\ \text{Удалить скобки} & 6 x-1=0 \\\text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 6 x=1 \\ \text{Разделить на 6 обе стороны} & \frac{6 x}{6}=\frac{1}{6} \end{массив}\nonumber\] 9{2}-4 x+4\right)=0 \\ & 3(x-2)(x-2)=0 \\ \text{Разделить на 3 обе стороны} & \frac{3(x-2) (x-2)}{3}=\frac{0}{3} \\ & (x-2)(x-2)=0 \\ \text{Квадратное уравнение: свойство нулевого произведения} & (x- 2)=0 \text { или }(x-2)=0 \end{array}\nonumber\]

Поскольку оба множителя одинаковы, то \(x-2=0\) дает \(x=2 \). Решение: \(x=2\)

Примечание: Существует еще один метод решения уравнений, в каждой из сторон которых есть несколько дробей. Он использует НОК всех знаменателей в уравнении. Мы демонстрируем это здесь, чтобы решить следующее уравнение: \(\frac{3}{2}-\frac{9}{2 x}=\frac{3}{5}\)

\[\begin{array} \text{Найдите НОК всех знаменателей в уравнении} & 10x \\ \text{Умножьте каждую дробь (оба LHS и RHS) по LCM} & 10 x \cdot \frac{3}{2}-10 x \cdot \frac{9}{2 x}=10 x \cdot \frac{3}{5} \\ & \frac{10 x \cdot 3}{2}-\frac{10 x \cdot 9}{2 x}=\frac{10 x \cdot 3}{5} \\ \text{Упростить каждую дробь} & \frac{5 x \cdot 3}{1}-\frac{5 \cdot 9}{1}=\frac{2 x \cdot 3}{1} \\ \text{Посмотрите, все знаменатели теперь равны 1, поэтому им можно пренебречь} & 5 x \cdot 3-5 \cdot 9=2 x \cdot 3 \\ \text{Решите, как любое другое уравнение} & 15 x-45=6 x \\ \text{Линейное уравнение: выделение переменной} & 15 x-6 x=45 \\ & 9 x=45 \\ & x=\frac{45}{9} \\ & x=5 \end{array} \nonumber\]

Решение \(x=5\)

Выход из задачи

Решите: \(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Теги

Как решать уравнения с дробями — Криста Кинг Математика

Что такое дробное уравнение?

В этом уроке мы рассмотрим, как решать уравнения с числовыми дробями в качестве коэффициентов и слагаемых.

Помните, что умножение дроби на обратную всегда даст вам значение ???1???.

Например ???4/5??? имеет обратное значение ???5/4??? потому что

???\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}=1???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Чтобы удалить дробь из уравнения, умножьте все члены в обеих частях уравнения на знаменатель дроби.

Например, чтобы очистить ???2??? из дроби в ???5x+1/2=12???, умножьте уравнение на ???2??? с обеих сторон.

???2\влево(5x+\frac{1}{2}=12\вправо)???

???2(5x)+2\влево(\frac{1}{2}\вправо)=2(12)???

???10x+1=24???

Как решать уравнения, если где-то в уравнении есть дробь

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Узнать больше

Удаление дроби из уравнения для решения переменной

Пример

Найдите переменную.

???\frac{4}{5}n=20???

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, мы должны умножить обе части на его обратную, потому что это сделает дробь ???1???.

???\frac{4}{5}n=20???

???\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}n=\frac{5}{4}\cdot20???

???\frac{20}{20}n=\frac{100}{4}???

???1n=25???

???n=25???

Если у вас есть дробный коэффициент и другой член, вы можете изолировать член с помощью переменной, а затем умножить обе части на обратную дробному коэффициенту.