Онлайн калькулятор: Метод Рунге — Кутты
УчебаМатематика
Этот онлайн калькулятор реализует классический метод Рунге — Кутты (встречается также название метод Рунге — Кутта) четвертого порядка точности. Метод используется для решения дифференциальных уравнений первой степени с заданным начальным значением
Калькулятор ниже находит численное решение дифференциального уравнения первой степени методом Рунге-Кутты (иногда встречается название метод Рунге-Кутта, а в поисковиках бывает ищут «метод рунге кута», «метод рунги кутта» и даже «метод рунги кута»), который также известен как классический метод Рунге — Кутты (потому что есть на самом деле семейство методов Рунге-Кутты) или метод Рунге — Кутты четвертого порядка.
Для того, чтобы использовать калькулятор, вам надо привести дифференциальное уравнение к форме
и ввести правую часть уравнения f(x,y) в поле y’ калькулятора.
Также вам понадобится ввести начальное значение
и указать точку в которой вы хотите получить численное решение уравнения .
Последнее параметр калькулятора — размер шага с которым вычисляется следующее приближение по графику функции.
Описание метода можно найти под калькулятором.
Метод Рунге — Кутты
Начальное значение x
Начальное значение y
Точка вычисления приближенного значения
Размер шага
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Дифференциальное уравнение
Приближенное значение y
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Метод Рунге — Кутта
Также как метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера, метод Рунге — Кутта является численным методом, который начинает с некоторой точки и затем продигается вперед по шагам, на каждом шаге вычисляя следующее значение решения.
Формула для расчета следующей точки:
где h — размер шага,
Ошибка метода на одном шаге имеет порядок , а суммарная ошибка на конечном интервале имеет порядок — метод имеет четвертый порядок точности.
Ссылка скопирована в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- • Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом
- • Решение квадратного уравнения
- • Метод Крамера с подробным решением
- • Решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
- • Раздел: Математика ( 269 калькуляторов )
#Дифуры #математика дифференциальные уравнения Математика Рунге-Кутта Рунге-Кутты численное решение
PLANETCALC, Метод Рунге — Кутты
Timur2020-11-03 14:19:39
Типовой пример Решить задачу Коши.
,,,
►Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
,
,,,.
Общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Находим:
.
Используем начальные условия:
Решаем систему:
,,,.
Решение задачи Коши имеет вид
. ◄
Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора
частного решения
ТЕОРЕМА (об общем решении ЛНДУ n-го порядка)
, где – ФСР.
Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Его
решение представляет собой сумму общего
решения соответствующего однородного
уравнения и частного решения неоднородного
уравнения.
При некоторых специальных
видах неоднородности это частное решение
можно подобрать по известной схеме.
1) Если гдеРп (х) – многочлен степени п, то частное решение уравнения (19)
,
если число k не является корнем характеристического уравнения, или,
если k – корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А0, А1,…, Ап можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив уч и его производные нужных порядков в уравнение.
2) При , если числаa±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид
,
где
многочлены с неопределенными коэффициентами
одной и той же степениl = max(m, n).
Если же a
.
Типовой пример
Найти общее решение уравнения
►Найдем общее решение однородного уравнения Характеристическое уравнениеимеет корни 0 (кратности 1) и 1 (кратности 2). Следовательно,Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число 1 – коэффициент прих в показателе степени правой части уравнения – является корнем характеристического уравнения кратности 2, ищем уч в виде (21) при s = 2, n = 0:
yч=Ax2ex.
Тогда
Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение:
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид◄
3) Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение:
то частное решение такого уравнения является суммой частных решений уравнений и
Типовой пример
Найти общее решение уравнения
►Характеристическое
уравнение:
Общее решение однородного уравнения:.
Найдем частное решение, соответствующее
неоднородностиf1(x)
= 3x.
Так как λ = 0 – корень характеристического
уравнения, частное решение имеет вид
(21)
yч1 =
Поскольку при подстановке в уравнение получаем 2A – 2Ax – B = 3x, откуда 2A – B = 0, — 2A = 3. Решая полученную систему, находим:
Для f2(x) = sin 2x yч2 задаем по формуле (22) при a = 0, b = 2, l = 0:
yч2=Asin2x+Bcos2x,
Подставим в уравнение:
Отсюда В = 0,1, А = — 0,2,
уч2 = — 0,2 sin2x + 0,1 cos2x.
Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения:
◄
Типовой пример
Найти общее решение .
►Находим корни характеристического уравнения:
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
(;– фундаментальная система решений):.
Правая часть уравнения представляет собой сумму функций и. Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям, составляем:
для
S=1 (кратность числа среди корней характеристического уравнения);
для
(кратность числа среди корней характеристического уравнения).
т.е. – частное решение нелинейного уравнения с неизвестными коэффициентами. Подставляемв исходное уравнение:
.
Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:
Поэтому Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
,
а его общее решение –
◄
Пример
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены зависит от величины запаса. Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть, где –константы, .
В случае непрерывного анализа запасы подобно переменным непрерывно изменяются во времени. По определению, если запасы в момент временисоставляют, то , и .
Пусть в каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания пропорциональна разности запасов по сравнению с заданным уровнем :,
где есть постоянная
положительная величина.
Дифференцируя
это равенство, получим
,
то есть ускорение возрастания цены пропорционально скорости уменьшения запасов.
Подставляя
Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
.
Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид
.
.
Частное
решение неоднородного уравнения (правая
часть которого равна константе ) также ищем
в виде константы . Подставляя
в уравнение,
получим .
Таким
образом, общее решение уравнения имеет
вид
+ .
Первые два слагаемых можно преобразовать как , где – вспомогательный аргумент (), , а третье слагаемое имеет смысл цены равновесия .Следовательно, получен закон изменения цены во времени:
.Цена колеблется относительно уровня равновесия . Амплитуда и фаза колебаний устанавливаются начальными условиями.
Калькулятор дифференциальных уравнений для частных решений Step › Исчисление
Бесплатный калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) шаг за шагом.
Неоднородный · Разделяемый дифференциальный… · Дифференциальный Бернулли… · Однородный
Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор — MathDF
mathdf.
com › dif
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений. С удобным вводом и шаг за шагом!
Калькулятор дифференциальных уравнений — eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › дифференциально-уравнени…
Калькулятор попытается найти решение заданного ОДУ: первого порядка, второго порядка, n-го порядок, сепарабельный, линейный, точный, бернуллиевский, однородный или.
Дифференциальные уравнения — Wolfram|Alpha Examples
www.wolframalpha.com › примеры › математика
Ответы на задачи дифференциальных уравнений. Решайте ОДУ, линейные, нелинейные, обыкновенные и численные дифференциальные уравнения, функции Бесселя, …
Другой код
Есть ли калькулятор для решения дифференциальных уравнений?
Как решить частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка?
Как найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка?
Решить дифференциальные уравнения онлайн
mathforyou.
net › онлайн › исчисление › ода
Наш онлайн-калькулятор может найти как общее решение дифференциального уравнения, так и частное. Чтобы найти конкретное решение, …
Общий калькулятор решений + онлайн-решатель с бесплатными шагами
www.storyofmathematics.com › математические калькуляторы
Bewertung 5,0
(5)
A Калькулятор общего решения онлайн-калькулятор, который поможет вам решить сложные дифференциальные уравнения. Калькулятору общего решения требуется один вход, …
Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений — SnapXam
www.snapxam.com › калькуляторы › дифференциальное уравнение…
Калькулятор дифференциальных уравнений онлайн с решением и шагами. Подробные пошаговые решения ваших задач дифференциальных уравнений с помощью нашей математики …
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений — Math34.pro
math34.