Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля
ТЕМА
Разработала:
Богданова Ольга Николаевна
учитель математики
МКОУ «Овечкинская средняя
общеобразовательная школа
Завьяловского района»
Алтайского края
Обобщить и систематизировать
знания о модуле, полученные
ранее
Формировать умения решать
уравнения и неравенства,
содержащие переменную под
знаком модуля
Формировать умения строить
графики функций, содержащих
знак модуля
Воспитывать привычку
систематически трудиться и
преодолевать трудности
Определение модуля
Геометрический смысл модуля
Свойства модуля
Основные способы решений уравнений с переменной
под знаком модуля
Основные способы решений неравенств с
переменной под знаком модуля
Способы построения графиков функций,
содержащих переменную под знаком
модуля
Проверь себя
Литература
Глоссарий
Физминутка
Выход
Модуль – это абсолютная
величина
а
a, если a 0
a, если a 0
Модуль числа a – расстояние
(в единичных отрезках) от
начала координат до точки А(a).
5
2
-2
0
5
а 0, а
а а, а
a
a
,b 0
b b
m
а а , а
а a , m Z
аb a b
a b a b , a, b
2
a a
m
a b a b , a, b
Уравнения вида|х|=b
Уравнения вида |f(x)|=a
Уравнения вида |f(x)|=g(x)
Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Прием последовательного раскрытия
модуля
Метод интервалов
x b
x b
x b
b 0
b
-b
Пример
b
0
b
f x а
f x a
f x а
f x a
a 0
Пример
f x g x
f x
f x
f x g x
f
x
f x
Пример
0
g x
0
g x
f x g x
f x g x
f x g x f x g x
g x 0
Пример
f x g x
g x 0
f x g x 2
2
f
x
g
x
Пример
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
Пример
f x g x
f x g x f x g x
2
Пример
2
Метод заключается в
последовательном раскрытии
модуля в задачах , где
внутри одного модуля
находится другой, или
несколько.
Пример
С помощью метода интервалов
(или метода разбиения на
промежутки) решаются
уравнения вида
f1 x f2 x fn x g x
Для этого находим сначала все точки, в которых
f1 x 0, f2 x 0,…, fn x 0
Эти точки делят область допустимых
значений уравнения на промежутки, на
каждом из которых все функции сохраняют
знак (определяем знак каждого модуля на
указанном промежутке). Затем переходим от
уравнения к совокупности систем, не
содержащих знаков модуля.
Пример
Неравенства вида |x|< b и |x|> b
Неравенства вида |f(x)|< a и |f(x)|> a
Неравенства вида |f(x)|< g(x) и |f(x)|> g(x)
Неравенства вида |f(x)|< |g(x)| и |f(x)|> |g(x)|
Прием последовательного раскрытия модуля
Метод интервалов
x
b
x b x b
b 0
x ( -b ; b )
-b
Пример
0
b
x b
x b
b 0
x b
x R
b 0
x ( — ; -b )
-b
Пример
0
x (b; )
b
f x a
f x a
f x a f x a
a
0
Пример
f x a
f x a
f x a
f x a
a 0
x R
a 0
Пример
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
Пример
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
Пример
f x g x
f x g x f x g x
2
Пример
2
f x g x
f x g x f x g x
2
Пример
2
Метод заключается в
последовательном
раскрытии модуля в
задачах, где внутри одного
модуля находится другой,
или несколько.
Пример
С помощью метода
интервалов (или метода
разбиения на промежутки)
решаются неравенства вида
f1 x f2 x fn x g x
Для этого находим сначала все точки, в которых
f1 x 0, f2 x 0,…, fn x 0
Эти точки делят область допустимых
значений неравенства на промежутки, на
каждом из которых все функции сохраняют
знак (определяем знак каждого модуля на
указанном промежутке). Затем переходим от
неравенства к совокупности систем, не
содержащих знаков модуля.
Пример
Функция у =|х|
Функция у=|х|+а
Функция у=а|х|
Функция у=|x+a|
Функция y= -|x|
Функция y=f(|x|)
От теории к практике
Для построения
графика функции y=|x|
достаточно построить
график функции y=x и
отобразить
симметрично
относительно оси Ох ту
часть графика, которая
расположена ниже оси,
оставив верхнюю часть
графика без изменения.
Y=|x|
у
х
Y = х
График функции у=|х|+а
получается из графика
функции у=|х| с
помощью
параллельного переноса
вдоль оси Оу на |а|
единиц вверх ,, если
а>0, и вниз на |а|, если
а<0.
y
Y=|x|+а
Y=|x|
a
Y=|x|+а
0
-a
x
График функции
у=а|х| получается
растяжением
графика у=|х| вдоль
оси Оу в а раз при
а>1 и сжатием
вдоль этой оси в
1/а раз при 0<a<1.
Y=a|x|
y
Y=|x|
У=a|x|
0
x
График функции у=|x+a|
получается из графика
функции y=|x| с
помощью параллельного
переноса в
отрицательном
направлении от оси Ох
на |а| единиц, если
а>0,и в положительном
направлении на |a|,
если a<0.
-a
у
о
Y=|x+a|
Y=|x|
Y=|x+a|
a
х
График функции
y= -|x|
получается из
графика функции
y=|x| с помощью
симметрии
относительно оси
Ох .
y
Y=|x|
0
x
Y= -|x|
Для построения графика
функции y=f(|x|)
достаточно построить
график функции y=f(x)
при при х>0 или х =0,
а затем отобразить
построенную часть
симметрично оси Оy.
y
Y=f(|x|)
Y=f(x)
0
x
Рассмотрим построение более сложных
графиков.
Задание. Построить график функции
у=||x|-2|.
Построение.
1) Строим график функции y=|x|.
2) Смещаем его вдоль оси Оу вниз на 2
единицы.
3) Отображаем часть графика,
расположенного ниже оси Ох,
симметрично этой оси, в верхнюю
полуплоскость.
Y=|x|
y
Y=||x|-2|
0
x
Y=|x|-2
Коржуев А.В. Построение графиков некоторых
функций //Математика в школе.-1995, №3.
Кочарова К.С. Об уравнениях с модулем
//Математика в школе.-1995, №2.
Севрюков П.Ф. Уравнения и неравенства с модулями.М., 2004 г.
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н .
Уравнения и неравенства с модулями
и методика их решения .-М., 2005.
Параллельный перенос – преобразование, при котором
точки смещаются в одном и том же направлении
на одно и то же расстояние.
Две точки А и В называются симметричными
относительно прямой с, если эта прямая проходит
через середину отрезка АВ и перпендикулярна к
нему.
График функции – множество всех точек координатной
плоскости, абсциссы которых равны значениям
аргумента, а ординаты – соответствующим
значениям функции.
Выход
Решите уравнение:
х 6
1) х 6 х 6
Ответ: 6, 6
2) х 17 решений
нет, так как 17 0
Ответ:
Решите уравнение:
2х 3 5
2х 3 5
2х 3 5
х 4
х 1
Ответ: 4, 1
Решите уравнение:
x2 7 x 6 x 1
x2 7 x 6 x 1 x2 8x 5 0
x 4 11
x 1, x 6
x 1, x 6
x2 7 x 6 0
x2 7 x 6 x 1 2
2
x 6x 7 0 x 3 2
x 7 x 6 x 1
1 x 6
1 x 6
x2 7 x 6 0
Ответ: 4 11, 3 2
Решите уравнение:
x2 7 x 6 x 1
x 2 7 x 6 x 1
2
2
x 7 x 6 x 1 x 7 x 6 x 1
x 1 0
x2 8x 5 0 x 4 11
2
x 6x 7 0 x 3 2
x 1 0
x 1
Ответ: 4 11, 3 2
Решите уравнение:
х 3 2х 3
2x 3 0
х 1,5
x 3 2x 3
2
2
2
2
x 3 2x 3 х 3 2х 3 0
х 1,5
х 1,5
х 3 2х 3 0 х 6
х 3 2х 3 0 х 0
Ответ: х 0
Решите уравнение:
х 7 х 9
х 7 х 9
х 7 х 9
х 7 9 х
0х 2 решений нет
х 8
2х 16
Ответ: 8
Решите уравнение:
х 7 х 9
х 7 х 9 х 7 х 9
х 7 х 9 0
2
2
х 7 х 9 0 х 7 х 9 0
0х 2 решений нет
2х 16
х 8
Ответ: 8
2
2
Решите уравнение:
x2 3x 5 x 1
Ответ:
2 10 , 1
5,2
Решите уравнение:
x 7 x 2x 2 4
x
7 x
x 2
_
+
_
+
0
+
_
+
2
+
+
7
+
_
+
x 0
x
0
,
1
x 7 x 2 x 2 4 x 7 ;
4
0 x 2,
0
x
2
,
2
x 7 x 2 x 2 4 x 7 ;
2
2 x 7,
2 x 7,
3
x 7 x 2 x 2 4 x 1 ;
2
x 7
x 7
15
4
x
7
x
2
x
2
4
x
;
4
Ответ: корней нет
нет решений
нет решений
нет решений.
нет решений
Решите неравенство:
x 7
x 7
x 7
x 7
Ответ: 7 ;7
Решите неравенство:
х 16
х 16 х R
Ответ: x R
Решите неравенство:
2х 5 1
2x 5 1
2x 5 1
2x 5 1
2x 6
x 3
x 2
2x 4
Ответ:
2;3
Решите неравенство:
7 2х 3
7 2х 3
7 2х 3
7 2x 3
x 2
2x 4
x 5
2x 10
Ответ: ; 5 2;
Решите неравенство:
4x 5 2x 7
4x 5 2x 7
4x 5 2x 7
4x 5 2x 7
x 6
2x 12
1
6x 2
x 3
1
Ответ: ; 6;
3
Решите неравенство:
3x 8 7x 4
3x 8 7 x 4
3x 8 7 x 4
3x 8 4 7 x
x 3
4x 12
x 3
x 0,4
10x 4
Ответ: 3;
Решите неравенство:
x 4 3x 1
x 4 3x 1 x 4 3x 1
2
2
х 4 3х 1 0
х 0,75
2х 5 4х 3 0
х 2,5
2
Ответ: 0,75;2,5
2
Решите неравенство:
x 3 3x 2
x 3 3x 2 x 3 3x 2
2
2
x 6x 9 9x 12x 4
1
x
2
4
8x 18x 5 0
5
x
2
5 1
Ответ: ;
2
2 4
2
Решите неравенство:
x2 3x 2 1 x 2
2
2
x
3
x
2
1
x
2
x
3x 2 x 1
2
x 3x 2 1 x 2 2
2
x 3x 2 1 2 x x 3x 2 3 x
x2 3x 2 x 1
x 1, x 3
x2 3x 2 1 x
нет решений
2
x 3x 2 3 x 1 2 x 1 2
x2 3x 2 x 3 x ;
Ответ: ;1 2 3;
Решите неравенство:
4х 1 1 2х x
4х 1
2х 1
_
_
-1/4
+
_
+
1/2 +
1
1
2 1
x
x
1)
4
4 x 3 ; 4
3x 2
4x 1 2x 1 x
1
1
1
1
1
x
x
2) 4
4
2
2 x 4 ;0
5x 0
4x 1 2x 1 x
1
1
x
x
3)
2
2 решений нет
x 2
4x 1 2x 1 x
2
Ответ: 3 ;0
Найдите наименьшее целое решение
неравенства:
x 10,5 2
А.
10
Б. 12
В. 9
Г. 8
Решите уравнение:
x 7 x 12 x 4
2
А.–4
Б. 4
В. 2; 4
Г. 2
Найдите наименьший корень уравнения:
x 1 x 2 3
А.-2
Б. 12
В.–3
Г. 1
Найдите сумму целых решений неравенства:
x 3 3x 2
А. 0
Б. -2
В. -3
Г. 7
Найдите наименьшее целое решение
неравенства:
x 10,5 2
x 10,5 2
x 12,5
x 10,5 2 x 10,5 2 x 8,5
Ответ: 9
Решите уравнение:
x 7 x 12 x 4
2
x2 7 x 12 x 4
2
2
x 7 x 12 x 4 x 7 x 12 x 4
x 4 0
2
x
4
0
x2 8x 16 0
x 2
x 2
x2 6x 8 0
x 4
x 4
x 4
x 4
x 4
Ответ: 4
Найдите наименьший корень уравнения:
x 1 x 2 3
х 1
х 2
_
_
_
-2
+
1
+
+
x 2,
x 2
1 x 1 x 2 3 x 2; нет решений
2 x 3,
2 x 3,
2 x 1 x 2 3 0 x 0; x — 2;3
x 3
x 3
x 3
3 x 1 x 2 3 2x 2; x 1; нет решений
Ответ: 2
Найдите сумму целых решений неравенства:
x 3 3x 2
x — 3 3x 2 x 3 3x 2
2
2
x 6x 9 9x 12x 4
5
x
2
8×2 18x 5 0
1
x
4
2
Ответ: 3
2
Решение
Решение
Решение
Решение
Комплекс упражнений
гимнастики для глаз
1.
Быстро поморгать, закрыть глаза и
посидеть спокойно, медленно
считая до пяти.
2.Крепко зажмурить глаза, открыть
их и посмотреть вдаль.
3.Вытянуть правую руку вперед.
Следить глазами за медленными
движениями указательного пальца.
Тест с ответами: “Неравенства”
1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то … неравенства не изменится:
а) знак +
б) левая часть
в) правая часть
2. Отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков:
а) равенство
б) неравенство +
в) рациональность
3. Найдите объединение промежутков: (-3; 2] и (-5; 1]:
а) (-5; -3)
б) (-3; 1]
в) (-5; 2] +
4. Укажите наименьшее целое решение неравенства: 3х – 7 > 2х – 5:
а) 3 +
б) 5
в) 7
5. Если неравенства записываются с помощью знаков < или >, то их называют … неравенствами:
а) сложными
б) числовыми
в) строгими +
6.
Верно ли, что если a > b, c > b, следует, что a > c:
а) да
б) нет +
в) зависит от условий задачи
7. Оценить выражение x-y, если 6 < x < 10; -5 < y < -2:
б) 11 < x-y < 12
в) 8 < x-y < 15 +
8. Найдите количество целых решений неравенства –Зх> 1,1, принадлежащих промежутку [–5; 5]:
а) 5 +
б) 3
в) 7
9. Оценить периметр квадрата со стороной а см, если 0,9 < a < 1,2:
а) 2,7 < P < 3,6
б) 1,8 < P < 2,4
в) 3,6 < P < 4,8 +
10. Решите неравенство 6х + 3(-5 – 8х) > 2х + 4:
а) х > -1
б) х < 1
в) х < -1 +
11. Решите неравенство 9x−4(2x+1)− 8:
а) (− 4; +∞) +
б) (− ∞; −4)
в) (− 12; +∞)
12. Решите неравенство 6 -7х > 3х – 7:
а) (0,1; +∞)
б) (-∞; 1,3) +
в) (1,3; +∞)
13. Решите неравенство: |x2-7x+6|>x2+x-2:
а) (-∞;1)∪(1;2) +
б) (-∞;1)∩(1;2)
в) (1;2)
14. Решите неравенство -2 (x+5) ≥0:
а) (- ∞ ; 5)
б) [5 ; ∞)
в) (- ∞ ; 5] +
15.
а) (-2;2)∪(2;8) +
б) (-2;-2)∪(2;8)
в) (-2;0)∩(2;8)
16. Решите неравенство 2x > 10:
а) (5 ; ∞) +
б) (- ∞ ; 5)
в) [5 ; -∞)
17. Решите неравенство 2(х-1)>5x-(3x + 2):
а) х > 0
б) x > 1
в) x – любое число +
18. Какое из чисел НЕ является решением неравенства 4,5 + 3у >0:
а) 4,5
б) -1,5 +
в) -1,5
19. Решите неравенство: -x2+10x-21<0:
а) x∈ (−∞;+∞)
б) x∈ (3;7)
в) x∈(−∞;3)∪(7;+∞) +
20. Какое из чисел НЕ является решением неравенства 2,6 + 2у < 0:
а) – 2
б) -1,3 +
в) 4,5
21. Решитe неравенство: х(х-3)(х+4)(х-7)≤0:
а) [-4; 0]U[3; 7] +
б) (-∞; -4]U[0; 3]
в) [-4; 7]
22. Решите неравенство 2х – 4 ≥ 7х – 1:
а) (0,1; +∞)
б) (-∞; -0,6] +
в) [-0,6; +∞]
23. Решите двойное неравенство -4 < 2x -1 < 2:
а) -2 < x < 1
б) -3 < x < 3
в) -1,5 < x < 1,5 +
24. Решите неравенство 3х + 4(-7 + 6х) ≤ -7х + 6:
б) < 1 +
в) < -1
25.