Математика по полочкам: 13. Системы неравенств
13. Системы неравенств
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Если ставится задача найти множество общих решений двух или более неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда системы неравенств записывают в виде двойного неравенства:
-5<x<12 или
Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство.
Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти пересечение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.
Пример:
Решить систему неравенств:
Решим каждое неравенство в отдельности
1) 5x-x2≥0,
5x-x2=0,
x(5-x)=0,
x=0 или 5-x=0,
-x=-5,
x=5.
Находим решение с помощью метода интервалов:
2) 6-2x<-2,
-2x<-2-6,
-2x<-8,
x>-8:(-2),
x>4.
Объединим оба решения:
Ответ: (4; 5].
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.
Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.
Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти объединение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это объединение и является решением совокупности неравенств.
Пример:
Решить совокупность неравенств:
Решим каждое неравенство в отдельности
1) 5х+6≤1,
5х≤ -5,
х≤ -1.
2) 2х+1≥3,
2х≥2,
х≥1.
Объединим оба решения:
Ответ: (-∞; -1]U[1;+∞).
УПРАЖНЕНИЯ
Решение:
а)
Ответ: (5; 7]
2. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (1; 10].
3. Найдите целые решения системы неравенств:
Решение:
а)
Ответом являются все целые числа, которые принадлежат промежутку (-15; 5).
Ответ: -14; -13; -12; -11; -10; -9; -8; -7; -6.
4. Решите систему неравенств:
Решение:Ответ: (-1; 3).
5. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (-1;2).
6. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: нет решений.
7. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (0; +∞).
8. Решите неравенство:
а) -2<3x+5≤10; б) 2<4x+6≤12.
а) -2 < 3x+5 ≤ 10;
-2-5 < 3x ≤ 10-5;
-7 < 3x ≤ 5;
-7:3 < x ≤ 5:3;
-7/3 < x ≤ 5/3.
Ответ: (-2 1/3; 1 2/3].
9. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: [0,4; 0,5).
10.
Решите систему неравенств (№ 3.4.52 [7]):
Решение:
Ответ: (-1; 2).
11. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: [-9; 3)U(3; 9].
12. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (-7; -6)U(1;7).
13. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (2; 4).
14. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (-7; -2)U(0; 2).