Карта сайта
- Главная
|
|
Профессионально-общественная аккредитация
Педагогический (научно-педагогический) составРешение системы по правилу Крамера — Мегаобучалка
Ранее мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы.
Далее разберём правило Крамера и решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод).
Для того, чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите раздел Вычисление определителей.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Во-первых, пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.
Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
.
На первом шаге вычислим определитель, который называют главным определителем системы.
.
Если , то система имеет бесконечно много решений или не имеет решений (несовместна). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения двух неизвестных мы должны вычислить еще два определителя:
и .
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой D с соответствующими индексами. Корни уравнения находим по формулам:
, .
Пример 7:
Решить систему линейных уравнений
.
Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть ужасно.
Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. Прежде всего, вычислим определитель системы:
,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим ещё два определителя:
;
; Ответ: ,
Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс.
Когда используете данный метод, обязательнымфрагментом оформления задания является следующий: «Δ ≠ 0 , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения и в левую часть каждого уравнения системы.
В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8:
Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы: . Если D = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: , , .
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два».
Здесь столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу.
Пример 9:
Решить систему по формулам Крамера.
.
Решение: Вычислим определитель системы
, — значит, система имеет единственное решение.
Ответ: .
Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель, в данном случае он имеет вид:
.
Здесь на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Примечание: Определители рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой есть ноль, или максимальное число нулей, так как вычислений получается меньше.
Пример 10:
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Решите следующую систему уравнений. (a) Используя правило Крамера и метод обращения матриц, когда матрица коэффициентов отлична от объявления ке
Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!
Обновлено: 27-06-2022
Текстовое решение
Ответ
Правильный ответ x=3, y=4, z=6
Ответить
Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.
Видео по теме
В каждой из следующих систем уравнений определите, является ли система имеет единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечно много решений. В случае есть единственное решение, найдите его. 2х+3у=7 6x+5y = 11
समीकरणों का आव्यूह विधि से हल कीजिए कीजिए:
2x+y+6z = 46,5x — 6y+4Z = 15,7x+4y — 3z = 19
118910252
С помощью матричного метода проверьте, является ли следующая система уравнений последовательной или противоречивой или имеет бесконечное число решений:
121709915
Используя решение Крамера, решить 5x−6y+4z=15,7z+4y−3z=19,2x+y+6z=46.
135916323
Найдите обратную неособую матрицу A = [05−16] методом Гаусса-Жордана.
201228459
Классифицируйте следующую систему уравнений как непротиворечивую или непротиворечивую:
5x−6y+4z=157x+4y−3z=192x+y+z=46
412646247
Решите следующее система уравнений матричным методом: 5x+3y+z=16, 2x+y+3z=19, x+2y+4z=25
642579617
Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом: 5x + y — z = — 6, 2x — 3y + 4z = 3, 7x + y — 3z = — 12.
642759865
Проверьте непротиворечивость системы
следующих уравнений:
5x−6y+4z=15
7x+y−3z=19
642808078
Решить следующую систему уравнений методом обращения матриц
5x−6y+4z=15,7x+4y−3z=19,3x+y+6z=46
642917918
Текстовое решение
Решить следующую систему уравнений уравнения.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов невырожденная.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
2x−y+3z=9
x+y+z=6
x−y+z−2
642918056
Решите следующую систему уравнений.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов невырожденная.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
x+y+z=9
2x+5y+7z=52
2x+y−z=0
642918057
Решите следующую систему уравнений.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов несингулярна.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
2x+6y+11=0
6x+20y−6z+3=0
6y−18z+1=0
642918058
Решите следующую систему уравнений.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов невырожденная.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
5x−6y+4z=15
7x+4y−3z=19
2x+y+6z=46
642918059
Решите следующую систему уравнений.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов невырожденная.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
x+y+z=1
2x+2y+3z=6
x+4y+8z=3
642918061
Текст Решение
Решите следующую систему уравнений.
(a) С помощью правила Крамера и метода обращения матриц, когда матрица коэффициентов невырожденная.
(b) Используя метод Гаусса-Жордана, также определите, имеет ли система единственное решение или бесконечное число решений или решений, и найдите решение, если оно существует.
x+y+2z=1
2x+y+z=2
x+2y+2z=1
642918062
Операции со строками и метод Гаусса
В первом чтении много новых идей: линейная система, операции со строками, метод Гаусса, ступенчатая форма, матрица, расширенная матрица, вектор, ведущая переменная, свободная переменная, множество решений. Детали могут быть ошеломляющими, если вы позволите им. Смысл этого руководства по чтению состоит в том, чтобы вытащить наиболее важные идеи, выражайте их как можно проще и приведите основные примеры. Иногда я буду добавлять свою точку зрения или дополнительную информацию. руководства по чтению для курса не заменяют полные задания по чтению, но они должны помочь вам сосредоточиться при чтении на том, что является наиболее важным для курса.
Первое чтение курса – Глава 1, разделы I.1 и I.2. Эти разделы
охватывают общую технику, метод Гаусса, для решения систем
линейные уравнения. Хотя метод Гуасса можно применить непосредственно к уравнениям, он
обычно применяется к расширенной матрице, которая содержит коэффициенты
и постоянные члены из уравнений.
Например, вот линейная система уравнений:
$$\begin{матрица}
х &+ 3у &- 2з &= &1\\
& y &- z &= &-1\\
х &- у &+ г &= &2
\end{матрица}$$
а вот расширенная матрица, соответствующая этой системе:
$$\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 и 3 и -2 и 1\\
0 и 1 и -1 и -1\\
1 и -1 и 1 и 2
\end{массив}\right)$$
Обратите внимание, что для получения матрицы переменные в уравнениях должны быть перечислены в каждом
уравнение в том же порядке, и когда переменная отсутствует в данном уравнении,
соответствующее значение в матрице равно нулю. Постоянные члены отделены от
коэффициенты вертикальной чертой. (Позже мы увидим, что когда все
постоянные члены равны нулю, они часто не учитываются в матрице.)
Метод Гуасса использует три типа операций со строками: поменять местами две строки, умножить строку на ненулевую константу и добавить кратное один ряд в другой ряд. (Применительно к линейной системе эти операции со строками манипулируют уравнениями, составляющими систему.) В учебнике для этих операций используются специальные обозначения, которые следует использовать и вам:
- $\rho_i \leftrightarrow \rho_j$ — поменять местами $i$-ю строку с $j$-й строкой;
- $k\rho_i$ — умножить строку $i$ на константу $k$, где $k$ не может быть нулевым;
- $\rho_i+k\rho_j$ — добавить $k$, умноженное на $j$-ю строку, к строке $i$, где $k$ — константа.
Дело в том, что применение любой последовательности операций над строками к линейной системе дает
новая линейная система, имеющая точно такой же набор решений, как и исходная система.
Метод Гаусса использует операции со строками для преобразования матрицы (или системы уравнений)
в эшелонированную форму. Вот метод Гаусса, примененный к вышеупомянутой системе:
$$\begin{выравнивание*}
\begin{матрица}
х &+ 3у &- 2з &= &1\\
& y &- z &= &-1\\
х &- у &+ г &= &2
\end{матрица}
&\rowop{-\rho_1 + \rho_3}
\begin{матрица}
х &+ 3у &- 2з &= &1\\
& y &- z &= &-1\\
&- 4г &+ 3г &= &1
\end{матрица}
\\[20pt]
&\rowop{4\rho_2 + \rho_3}
\begin{матрица}
х &+ 3у &- 2з &= &1\\
& y &- z &= &-1\\
&&- г &= &-3
\end{матрица}
\end{выравнивание*}$$
а здесь он применяется к матрице, представляющей ту же систему уравнений:
$$\begin{выравнивание*}
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 и 3 &-2 и 1\\
0 и 1 &-1 &-1\\
1 и-1 и 1 и 2
\конец{массив}\справа)
&\rowop{-\rho_1 + \rho_3}
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 и 3 &-2& 1\\
0 и 1 &-1&-1\\
0 &-4 & 3& 1
\конец{массив}\справа)
\\[20pt]
&\rowop{4\rho_2 + \rho_3}
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 и 3 &-2 и 1\\
0 и 1 &-1 &-1\\
0 и 0 &-1 &-3
\конец{массив}\справа)
\end{выравнивание*}$$
В ступенчатой форме каждая строка, содержащая ненулевые коэффициенты, содержит по крайней мере на один начальный нуль больше, чем
предыдущая строка, а все строки, содержащие только нули, находятся внизу.
В системе, которая
приведен к ступенчатому виду, переменные из уравнений разбиты на
ведущие переменные и свободные переменные. Любая строка в
у которого не все коэффициенты равны нулю, имеет ведущую переменную, а именно переменную
коэффициент которого является первым ненулевым коэффициентом в этой строке. Свободная переменная
переменная, которая не является старшим коэффициентом ни в одной строке. В приведенном выше примере
все переменные являются ведущими переменными, и свободных переменных нет. Здесь
представляет собой ступенчатую систему, в которой $x_1$, $x_3$ и $x_4$ являются ведущими переменными, оставляя
$x_2$ и $x_5$ в качестве свободных переменных:
$$\begin{матрица}
x_1 & +3x_2 & -2x_3 & +x_4 & -x_5 & = & -2\\
& & x_3 & -x_4 & +4x_5 & = & 1\\
& & & 2x_4 & +4x_5 & = & 4
\end{матрица}$$
Легко решить систему, приведенную к ступенчатой форме. Во-первых, любая строка,
содержит только нули, можно игнорировать. Если есть строка, в которой все коэффициенты
ноль, но постоянный член отличен от нуля, то нет решения .
В противном случае,
если свободных переменных нет, то на решении ровно , а если есть
хотя бы одна свободная свободная переменная, существует бесконечно много решений . Решения
можно найти, работая в обратном порядке от последнего (ненулевого) уравнения к первому.
В первом примере последнее уравнение $-z=-3$ означает, что $z=3$. Замена этого в уравнение $y-z=-1$ дает $y-3=-1$, что означает, что $y=2$. И подставив значений для $y$ и $z$ в $x+3y-2z=1$ дает $x+3\cdot 2-2\cdot 3=1$, что сводится к $х=1$. Решение можно записать в виде вектор-столбца $$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$$
Во втором примере свободные переменные могут присваивать произвольные значения, которые
Я буду писать здесь как $a$ и $b$, а остальные переменные мы можем найти в терминах
значения свободных переменных:
$$\begin{выравнивание*}
х_5 &= а\\
x_4 &= \mbox{$\frac12$}(4-4x_5)= 2-2a\\
x_3 &= 1+x_4-4x_5 = 1 + (2-2а)-4а = 3-6а\\
х_2 &= б\\
x_1 &= -2-3x_2+2x_3-x_4+x_5 = -2 -3b +2(3-6a) -(2-2a) + a = 2-9а-3б
\end{выравнивание*}$$
Обратите внимание, что в книге могут использоваться имена переменных $x_5$ и $x_2$ вместо
$a$ и $b$ в этих формулах.