Решите систему уравнений методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Крамера, пример № 1

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

---

Условие

2x 1  + x 2  + 2x 3   =   1  3x 1  — x 2  + 2x 3   =   1  4x 1  — x 2  + 5x 3   =   -3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Систему уравнений можно представить в матричной форме: Ax = B, где А — основная матрица (квадратная матрица), В — матрица свободных членов.

Теперь необходимо найти 4 определителя: определитель основной матрицы (определитель системы) и 3 определителя дополнительных матриц. Перед нахождением определителей советуем ознакомиться с теорией определителей матриц, а для нахождения определителей советуем использовать нашу программу — нахождение определителя матрицы.

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Найдем определитель основной матрицы:

Δ =

=

— 2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 — 2 · 3 · 1 + 2 · 1 · 4 + 2 · 1 · 2 — 5 · 1 · 3 = -11

Определитель основной матрицы не равен нуля, значит система невырожденная.

Найдем определители 3 дополнительных матриц:

Дополнительная матрица получается из основной путем замены элементов одного из трех столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов.

Δ 1 =

=

— 1 · 1 · 5 — 1 · 2 · 3 — 2 · 1 · 1 — 2 · 1 · 3 + 2 · 1 · 1 — 5 · 1 · 1 = -22

Δ 2 =

=

2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 — 2 · 3 · 3 — 2 · 1 · 4 + 2 · 3 · 2 — 5 · 1 · 3 = -11

Δ 3 =

=

2 · 1 · 3 + 1 · 1 · 4 — 1 · 3 · 1 + 1 · 1 · 4 + 1 · 1 · 2 + 3 · 1 · 3 = 22

Найдем решения системы алгебраических уравнений

:

х₁ = Δ₁/Δ = 2
х₂ = Δ₂/Δ = 1
х₃ = Δ₃/Δ = -2

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Высшая математика » Системы линейных алгебраических уравнений » Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right. $ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы:

$$\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

$$ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. $$

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

$$\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

$$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

$$ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

$$ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$

Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

$$ \begin{aligned} & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right| =-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right) =13x_3-9;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right| =-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right) =-x_3+121. \end{aligned} $$ $$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}. $$

Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

$$\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$$

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.$$ $$ \begin{aligned} & \Delta =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right| =19;\\ \\ & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right| =-17x_4+144x_5;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right| =-15x_4+41x_5;\\ \\ & \Delta_{x_3} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right| =20x_4-4x_5. \end{aligned} $$

Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

9.8: Решение систем с правилом Крамера

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1390

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Оценить определители 2 × 2.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Оценить 3 × 3 определителя.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2,

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

равен определяется как

Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе \(\det(A)\) и замена скобок в матрице прямыми, \(| A |\).

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение определителя матрицы \(2 × 2\)

Найдите определитель данной матрицы.

\(A=\begin{bmatrix}5&2\\−6&3\end{bmatrix}\)

Решение

\[\begin{align*} \det(A)&= \begin{vmatrix} 5&2\\-6&3\end{vmatrix}\\ &= 5(3)-(-6)(2)\\ &= 27 \end{align*}\]

Использование правила Крамера для решения системы двойки Уравнения с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) \label{eq1}\\ a_2x+b_2y&= c_2 (2) \label{eq2}\\ \end{align}\]

Исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решить для другой. Скажем, что мы хотим найти \(x\). Если уравнение \ref{eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \(y\) в уравнении \ref{eq1}, уравнение \ref{eq1} умножается на коэффициент \(y\) в уравнении \ref {eq2}, и мы добавим два уравнения, переменная \(y\) будет исключена.

\[\begin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & \text{Умножить }R_1 \text{ на }b_2 \\ -&\underline{b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2} & \text{Умножить }R_2 \ text{ by }−b_1 \\ & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 \end{align*}\]

Теперь найдите \(x\).

\[\begin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x &= \dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{b_2a_1−b_1a_2}=\ dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Аналогично, чтобы найти \(y\), мы исключим \(x\).

\[\begin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & \text{Multiply }R_1 \text{ by }a_2 \\ -& \underline{a_1a_2x-a_1b_2y=-a_1c_2} & \text{Multiply }R_2 \text{ by }-a_1 \\ & a_2b_1y-a_1b_2y =a_2c_1-a_1c_2 \end{align*}\]

Решение для \(y\) дает

\[ \begin{align*} a_2b_1y-a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y &= \dfrac{a_2c_1−a_1c_2}{a_2b_1−a_1b_2}=\dfrac{a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=\dfrac{ \begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Обратите внимание, что знаменатель для \(x\) и \(y\) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения \(x\) и \(y\), но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты. Тогда мы можем выразить \(x\) и \(y\) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \(2×2\)

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align*} a_1x+b_1y&= c_1\\ a_2x+b_2y&= c_2 \end{align*}\]

Решение с использованием правила Крамера дается как

\[\begin{align} x& = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\; , D\neq 0\\ y&= \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix }}\; , D\neq 0 \end{align}\]

Если мы находим \(x\), столбец \(x\) заменяется столбцом констант. Если мы ищем \(y\), столбец \(y\) заменяется постоянным столбцом.

Пример \(\PageIndex{2}\): использование правила Крамера для решения системы \(2 × 2\)

Решите следующую систему \(2 × 2\), используя правило Крамера.

\[\begin{align*} 12x+3y&= 15\\ 2x-3y&= 13 \end{align*}\]

Решение

Найдите \(x\).

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}15&3\\13&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 12&3\\2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{-45-39}{-36-6}\\ &= \dfrac{-84}{-42}\\ &= 2 \end{align*}\]

Найдите \(y\).

\[\begin{align*} y&= \dfrac{D_y}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}12&15\\2&13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&3\ \2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{156-30}{-36-6}\\ &= -\dfrac{126}{42}\\ &= -3 \end{align *}\]

Решение: \((2,−3)\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используйте правило Крамера для решения системы \(2 × 2\) уравнений.

\[\begin{align*} x+2y&= -11\\ -2x+y&= -13 \end{align*}\]

Ответ

\((3,−7)\)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

\(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)

1. Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

   \(\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|\)

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1\)

Пример определения {3} × 3 Matrix

Найдите определитель матрицы \(3 × 3\) по данным

\(A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}\)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

\[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите определитель Матрица 3 × 3.

\(\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}\)

Ответ

\(−10\)

Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \(3 × 3\), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц \(2 × 2\). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \(3 × 3\) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \(3 × 3\).

\[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]

\(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), \(z=\dfrac{ D_z}{D}\), \(D≠0\)

где

\[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]

Если мы записываем определитель \(D_x\), мы заменяем столбец \(x\) постоянным столбцом. Если мы записываем определитель \(D_y\), мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель \(D_z\), мы заменяем столбец \(z\) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \(\PageIndex{4}\): решение системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера.

\[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]

Решение

Используйте правило Крамера.

\(D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}\), \(D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}\), \(D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}\)

Затем

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]

Решение: \((1,3,−2)\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте правило Крамера для решения матрицы \(3 × 3\).

\[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]

Ответ

\(\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)\)

Пример \(\PageIndex{5A}\): использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

\[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]

Решение

Начнем с нахождения определители \(D\), \(D_x\) и \(D_y\).

\(D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0\)

Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение \ref{eq3} на \(−2\).
2. Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.

\[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]

Получаем уравнение \(0=−8\), которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Пример \(\PageIndex{5B}\): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

\[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\(\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|\)

Затем

\(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0\)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на \(−2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:

\[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]

2. Получение ответа \(0=0\), утверждение, которое всегда истинно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Понимание свойств определителей

У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \(\PageIndex{6}\): Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.

\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\)

Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

\(A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]\)

Затем

\[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]

Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]

Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение заданной системы \(3 × 3\).

\[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]

Решение

Используя правило Крамера, мы имеем

\(D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}\)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на \(–2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.

\[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]

Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решений.

Медиа

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.

• Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
• Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера

Основные понятия

• Определитель для \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) равен \(ad-bc\). См. пример \(\PageIndex{1}\).
• Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\). См. пример \(\PageIndex{2}\).
• Чтобы найти определитель матрицы \(3×3\), увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример \(\PageIndex{3}\).
• Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{ D_y}{D}\), \(z=\dfrac{D_z}{D}\). См. пример \(\PageIndex{4}\).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
• Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
• Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).

---

Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Правило Крамера
   2. Детерминанты
   3. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

Калькулятор правила Крамера — Система уравнений 2 и 3

Сегодня мы поделимся еще одним простым, но мощным методом анализа цепей, известным как « Правило Крамера ».

• Анализ цепи SUPERMESH | Шаг за шагом с решенным примером

Обновление: Мы добавили онлайн-калькулятор правила Крамера, где вы можете решить систему двух уравнений, а также систему трех уравнений. Проверьте оба калькулятора правил Крамера в обоих разделах поста. Спасибо

 

Ниже приведено пошаговое руководство с примерами решения, в котором подробно рассказывается, как решить сложную электрическую цепь и сеть по правилу Крамера.

Калькулятор правила Крамера для 2×2 (система двух уравнений)

Калькулятор правила Крамера 2 x 2 (система 2 уравнений):

х + у =

х + у =

х =

у =

Нахождение двух переменных по правилу Крамера:

Пример 1:

(В нашем случае неизвестными значениями являются два тока: i ₁ и i ₂ ) по правилу Крамера. Теперь давайте начнем.

 

Как показано ниже, это простая электрическая цепь, и мы собираемся решить ее по правилу Крамера.

Правило Крамера для анализа линейных цепей | 2 переменные (2×2) Пример решения.

Решение:

Во-первых, переставьте схему с соответствующими метками (поскольку два резистора по 5 Ом включены последовательно, поэтому мы заменим его на 10 Ом).

Примените анализ сетки и упростите по правилу Крамера, чтобы найти неизвестные значения токов я ₁ и я ₂ .

Теперь напишем уравнения КВЛ неизвестных для данной схемы

Применить KVL на сетке (1).

6 = 14 i ₁ + 10( i ₁ – i ₂ )

               6 = 24 i ₁ – 10 i ₂ ….. → Уравнение (1)

Также примените KVL к сетке (2).

-5 = 10 i ₂ + 10( и ₂ – и ₁ )

                  -5 = – 10 i ₁ + 20 i ₂ …. . → уравнение (2)

Здесь мы получили два уравнения, т.е.

     24 i ₁ – 10 i ₂   =   6

  – 10 и ₁ + 20 и ₂ = -5

 

Теперь решим эти два уравнения по правилу Крамера, чтобы найти неизвестные значения (токов), которые равны i ₁ и i ₂ .

 

Решение по правилу Крамера:

Шаг 1:

Прежде всего, запишите приведенные выше уравнения в матричной форме. то есть

Шаг 2:

Теперь напишите матрицу коэффициентов приведенных выше уравнений и назовите ее ∆. Убедитесь, что он квадратный, т.е. количество строк x количество столбцов. В приведенном выше случае он имеет 2 строки и 2 столбца.

 

Шаг 3:

Теперь найдите определитель |∆| матрицы коэффициентов ∆ следующим методом. (Приведенный ниже рисунок поможет вам в этом.)

Нажмите на картинку, чтобы увеличить

Нахождение матрицы коэффициентов ∆ по правилу Крамера. Простое объяснение.

В соответствии с приведенным выше рис. последний шаг будет таким.

Шаг 4:

Теперь найдите определитель коэффициента Δ ₁ тем же способом, что указан выше, но замените первый столбец Δ на «Столбец ответов» (Если вы не уловили смысл столбца ответов, см. рис. на шаге 2 выше или проверьте инфографику на конец примера просто обратитесь ко второму примеру ниже, где мы сделали то же самое, чтобы найти Δ ₁ ), то есть

Шаг 5:

Теперь найдите определитель коэффициента Δ ₂ , просто замените второй столбец на «Столбец ответов», то есть

.

Шаг 6:

As Cramer’s rule tells that i ₁ = Δ ₁ / Δ and i ₂ = Δ ₂ / Δ .

Сейчас найди i ₁ и i ₂ по правилу Крамера.

i ₁ = 0,184,2 А или 184,2 мА

 

А,

i ₂ = 0,157,9 А или 157,9 мА

 

Ниже представлена ​​сводка инфографики по правилу Крамера для определения двух переменных или неизвестных значений.

Правило Крамера: простые шаги, инфографика, диаграмма

Хорошо, это было легко… Теперь, как насчет 3 переменных…. Попробуем решить линейные уравнения с тремя переменными с помощью правила Крамера.

Нахождение трех переменных по правилу Крамера:

(In our case, these unknown values ​​are three currents which are i ₁ , i ₂ and i ₃ ) by Правило Крамера. Теперь давайте начнем.

Калькулятор правила Крамера для 3×3 (система трех уравнений)

Калькулятор правила Крамера 3 x 3 (3 системы уравнений):

х + у + z =

х + у + z =

х + у + z =

х =

у =

з =

 

Пример 2:

Используйте анализ сетки для определения трех токов сетки в схеме ниже. Используйте правило Крамера для упрощения.

Найдите три неизвестных значения токов по правилу Крамера.

Прежде всего, примените KVL к каждому мешу один за другим и напишите его уравнения.

-7+1 ( I ₁ — I ₂ )+6+2 ( I ₁ — I ₃ ) = 09567 1.

.9007.

7 1.

.

(

7 19567 1.

(

7 1.

7 1.9007 (

7 1.

(

1

7 ( 1

7 ( I ₃ ). 2 — I ₁ ) + 2 I ₂ + 3 ( I ₂ — I ₃ ) = 0

9 2928 2 (9005 2 (9005 2928 2 (9005 2928 2 (9005 2 (9005 2928 2 (9005 2928 2 (9005 2928 2928 2 (9005 2928 2 (9005 2928 2 ( 2928 2928 2 ( 2928 2928 2 ( 2928 2 ( 2928 2 ( 2 9005 2 ( 2 ) ₁ ) – 6+3( и ₃ – и ₂ ) + 1 I ₃ = 0

,

3 I ₁ — I ₂ — 2 4 I I ₂ — 2 4 I I . 1)

  – i ₁ + 6 i ₂ – 3 i ₃ = 0                    … Eq….. (2)

 -2 i ₁ – 3 i ₂ + 6 i ₃ = 6                           … Уравнение….. (3)

 

Теперь запишите приведенные выше уравнения в матричной форме.

     3 i ₁ – i ₂ – 2 i ₃ = 1

   – i ₁ + 6 i ₂ – 3 i ₃ = 0

-2 I ₁ -3 I ₂ + 6 I ₃ = 6

. Как мы это сделаем? Просто проверьте рисунок ниже для лучшего объяснения.

Щелкните изображение, чтобы увеличить его.

 Итак, полный шаг показан ниже.

∆ = +3 (6 x 6) – (- 3 x –3) – (-1 (-1 x 6)-(-2 x –3) + (-2 (-1 x –3) – ( -2 x 6)

∆ = 81 -12 -30 = 39

 

Теперь найдите ∆ ₁ так же, как описано выше, но просто замените первый столбец матрицы на «Столбец ответов». Подробности см. на рис., показанном ниже.

Итак, вот полный шаг, чтобы найти ∆ ₁ . Здесь мы заменили «Синих парней» в первом столбце на «Черных парней» 🙂

= +1(36-9) – (–1[0+18]) –2(0-36)

= 27 + 18 + 72

∆ ₁ = 117

 

Снова найти ∆ ₂ тем же методом, который описан ранее. Просто замените второй столбец матрицы на «Столбец ответов», т.е. замените «Красных парней» в центральном столбце на «Черных парней», как показано ниже.

= +3 (0 +18) -1[(-6)-(+6)] –2(-6-0)

= 54+12+12 = 78

∆ ₂ = 78

 

Наконец, найдите последний ∆ ₃ . Просто замените третий столбец на «Столбец ответов», то есть замените «Зеленых парней в третьем столбце» на «Черных парней», как показано ниже.

= +3 (6 х 6) – (-3 х 0) – [-1(-1 х 6) – (-2 х 0)] + [1(-1) х (-3) – (- 2) x (6)]

= 108 + 6 + 15

∆ ₃ = 117

Сейчас, решайте и найдите неизвестные значения, т.е. I ₁ , 41557777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777 ₁ ,

7777777 ₁ . 2 и и ₃ .

As, Cramer’s rule says that, variables i.e. i ₁ = ∆1/∆ ₁ , i ₂ = ∆/∆ ₂ and i ₃ = ∆/∆ ₃ .

Therefore,

 

i ₁ = ∆1/∆ ₁

= 117/39

i ₁ = 3A

 

And i ₂ ,

i ₂ = = ∆/∆ ₂

= 78/39

i ₂ = 2А

 

И, наконец, i ₃ ;

i ₃ = ∆/∆ ₃

= 117/39

i ₃ = 3А.

No related posts.