Решите систему уравнений с помощью определителей: Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей

• Сальникова Наталья Павловна, директор школы

Разделы: Математика

---

Приложение №1. Презентация

Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.

Ход урока

Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом и алгебраическим (подстановкой и методом алгебраического сложения).

Сегодня мы познакомимся с еще одним способом решения таких систем.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

Приложение №2

Умножим первое уравнение на b₂, а второе уравнение на

-b₁ и сложим эти уравнения

Приложение №3

__________________________________________

Приложение №4

Если , то находим х:

Приложение №5

Аналогично, умножим первое уравнение на –а₂, а второе – на а₁ и сложим эти уравнения.

_________________________________________

Приложение №6

Если , то находим у

Итак, система уравнений решена.

Замечаем, что решение стало возможным при условии .

Упростим нашу работу, введя математическое обозначение: определитель второго порядка. Это символ , который носит смысл выражения . Чтобы легче это запомнить, воспользуемся правилом:

Приложение №7

Введем понятия: главного определителя, который составлен из коэффициентов при

х и у :

Приложение №8

=

и вспомогательных определителей:

Приложение №9

=

=

Приложение №10

Тогда, при условии, что , и , , система имеет единственное решение

, ,

Приложение №11

Если же , а , , то система не имеет решений.

Приложение №12

Если , то система имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим конкретные примеры:

Приложение №13

 

Решение.

Приложение №14

Вычислим определители

Приложение №15

, ,

Ответ: (5;2)

Приложение №16

Решение.

Найдем определители

Приложение №17

, ,

Ответ: (4;5)

Приложение №18

Решение.

Приложение №19

Преобразуем систему к стандартному виду:

[Слайд №20]

Найдем определители

следовательно,

Приложение №21

наша система или не имеет решение, или имеет бесконечно много решений. Чтобы это узнать, найдем вспомогательные определители

Приложение №22

Итак,

Ответ: система не имеет решений.

Итак, мы познакомились с новым методом решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Этот метод позволяет весьма лаконично решать системы, расширяет ваш кругозор. Познавателен с точки зрения знакомства с определителями второго порядка.

Приложение №23

Домашнее задание: №12.5 (а) решить четырьмя способами.

20.06.2011

2.2 Лекция 3 Решение систем линейных уравнений

2.2.1 Понятие определителя II и III порядка. Правила вычисления определителей

2.2.2 Свойства определителей

2.2.3 Решение систем с помощью определителей (формулы Крамера).2.2.4 Метод Гаусса.

2.2.1 Определителем II порядка называется число, записанное с помощью квадратной таблицы по два элемента в каждой строке и столбце и полученное по определенному правилу (произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали).

Δ₂ = = а₁₁ · а

21 — а₂₂ · а₁₂, первая цифра – номер строки, вторая цифра – номер столбца.

Пример.

1) Δ₂ = = 1 · 4 – 3 ·2 = 4 – 6 = — 2.

2) Δ₂ = = 8 – 1 = 7.

Определителем III порядка называется число, записанное с помощью таблицы чисел, состоящей из 3-х строк и 3-х столбцов и вычисленное по правилу: каждое слагаемое суммы есть произведение 3-х сомножителей взятых по одному и только по одному из каждого столбца и каждой строки с определенным знаком.

Для вычисления определителя третьего порядка используют правило треугольников (правило Сарруса).

Δ₃ = = а₁₁ · а₂₂ · а₃₃ + а₂₁ · а₃₂

· а₁₃ + а₁₂ · а₂₃ · а₃₁ — а₃₁ · а₂₂ · а₁₃ — а₃₂ · а₂₃ · а₁₁ — а₂₁ · а₁₂ · а₃₃

Пример

Δ₃ = = 1·1·2 + 2·1·1 + (-1) ·1·1 – 1·1·1 – 1·1·1 – (-1) ·2·2 = 2 + 2 – 1 – 1 – 1 + 4 = 5

Первое свойство. Если в определителе поменять строки и столбцы местами, не меняя нумерации, т.е. 1 строку на 1 столбце,

2 строку на 2 столбец

3 строку на 3 столбец,

то определитель не изменит своего значения.

Δ₃ = =

Вывод: Строки и столбцы в определителе равнозначны, следовательно, всякое свойство, сформулированное для столбцов, справедливо и для строк.

Второе свойство. Если в определителе поменять местами два столбца или две строки, то определитель изменит свое значение на противоположное.

Δ₃ = = —

Третье свойство. Если в определителе элементы 2-х столбцов (строк) равны между собой, то определитель равен 0.

Четвертое свойство. Если в определителе все элементы некоторого столбца имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Δ₃ = = λ ·

Пятое свойство. Если в определителе все элементы некоторого столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Шестое свойство. Если элементы 2-х столбцов пропорциональны между собой, то определитель равен нулю.

Δ₃ = = 0, если, например, = λ

Седьмое свойство. Если элементы некоторого столбца состоят из суммы 2-х слагаемых, тогда этот определитель равен сумме 2-х определителей.

Δ₃ = = +

Восьмое свойство. Если элементы некоторого столбца умножить на одно и то же число и прибавить к соответствующим элементам другого столбца, то значение определителя не изменится.

Δ₃ = =

Доказательство свойств проводится с использованием определения и уже доказанных свойств.

2. 2.3 Система n — линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Решением системы называется такая совокупность чисел х₁ = r₁

x₂ = r₂

………

x_n = r_n ,

при подстановке которых в систему, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Примеры

1) (10; 0) – совместная и определенная система;

2) — несовместная;

3) — совместная и неопределенная.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Иногда полагают х₁ = х

x₂ = y, тогда система имеет вид

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Пусть требуется решить систему 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными:

1) + 2) +

(a₁₁ · a₂₂ – a₂₁ · a₁₂)x = b₁ · a₂₂ + b₂ · (- a₁₂) (a₂₂ · a₁₁ – a₁₂· a₂₁)y = b₂ ·a₁₁ –b₁ a₂₁

x = y =

Δ = — главный определитель системы.

Δх = ; Δу = — вспомогательные определители системы.

При введенных обозначениях система примет вид

1) Если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение ; эти формулы называются формулами Крамера.

2) Если Δ = 0, то

а) если хотя бы один из определителей Δх или Δу ≠ 0, то система решений не имеет;

б) если Δх = Δу =0, то система имеет бесчисленное множество решений, т.е. неопределенная.

Пример 1 — Решить систему уравнений

; Δ = = 6 + 1 = 7; Δх = 21; Δу = 7;

Ответ: (3; 1).

Аналогичные формулы используются и при решении системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Пример 2 — Решите систему уравнений по формулам Крамера

.

Найдем главный и вспомогательные определители системы.

Главный определитель

Δ = = 5 ≠ 0 система имеет единственное решение.

Вспомогательные определители

Δ₁ = = 20; Δ₂ = = 10; Δ₃ = = 5

По формулам Крамера получаем

х₁ = ; х₂ = х₃ =

Ответ: (4; 2; 1)

В конце решения системы рекомендуется сделать проверку, подставить найденные значения в уравнения системы и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Существенным недостатком решения систем по формулам Крамера является его большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей.

2.2.4 Решение систем 3-х — линейных уравнений с 3 неизвестными методом Гаусса.

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении переменных.

На I этапе нужно выбрать ведущее уравнение и ведущую переменную, которую мы исключим из остальных уравнений. В результате получим систему уравнений, в которой одно уравнение содержит 3 переменных, а два других уравнения содержат две одинаковые переменные.

На II этапе из двух уравнений с двумя переменными исключаем еще одну переменную. Получим систему, в которой одно уравнение содержит 3 переменных, другое – 2 переменных, третье – 1 переменную. Эту переменную легко найти. Затем ее подставляем во второе уравнение, находим вторую переменную. Затем их подставляем в первое уравнение, находим третью переменную.

Таким образом, метод Гаусса является способом решения системы линейных уравнений путем последовательного исключения переменных и сведения ее к треугольной системе уравнений.

Рассмотрим пример.

Пример — Решить систему

На I этапе умножаем первое уравнение на (-4) и складываем его со вторым, затем первое уравнение умножаем на (-2) и складываем его с третьим, получим:

На II этапе третье уравнение умножаем на 6 и складываем его со вторым, получаем:

; ; ;

Ответ: (2; 1; -1)

Контрольные вопросы

1. Что называется системой n — линейных уравнений с n неизвестными ?

2. Что называется решением системы n — линейных уравнений с n неизвестными?

3. Какая система называется совместной, определенной, неопределенной?

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

5. Что называется определителем второго порядка?

6. По какому правилу вычисляется определитель второго порядка?

7. Что называется определителем третьего порядка?

8. Сформулируйте правило, по которому вычисляется определитель третьего порядка.

9. Запишите формулы Крамера для решения систем 2-х-линейных уравнений с двумя неизвестными 3-х-линейных уравнений с тремя неизвестными.

10. В чем заключается суть метода Гаусса?

Упражнения

1 Вычислите определители:

1) ∆₂ = ; 2) ∆₂ = ; 3) ∆₂ = ; 4) ∆₂ = ;

5) ∆₃ = ; 6) ∆₃ = ; 7) ∆₃ = .

2 Решите уравнения:

1) = 0 2) = 3) = 0;

4) = 0; 5) = 0; 6) = 0.

3 Решите неравенства:

1) < 1; 2) > 0.

4 Решите систему уравнений по формулам Крамера.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

5 Решите систему уравнений методом Гаусса.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

6 Решите систему 3-х уравнений с тремя неизвестными:

1) ; 2) .

Видео с вопросами: Решение системы трех уравнений с помощью определителей

Стенограмма видео

Используйте определители для решения системы.

При заданной системе линейных уравнений правило Крамера — это удобный способ найти решение только для одной из переменных без необходимости решать всю систему уравнений. Однако в данном случае они хотят, чтобы мы нашли их все: 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

Итак, давайте сначала возьмем наши константы и переместим их в правую часть. Таким образом, мы можем сделать это в терминах матричного уравнения. Теперь, когда константы изолированы в правой части уравнения, мы можем превратить его в матричное уравнение.

Итак, сначала давайте возьмем все коэффициенты и поместим их в матрицу. Далее нам нужно взять эту матрицу и умножить ее на матрицу 𝑥𝑦𝑧. Наш столбец ответов: один, минус три, минус один. Правило Крамера гласит, что мы можем найти 𝑥, 𝑦 и 𝑧, используя эту формулу. Так что же означают все эти символы? Сам треугольник — это матрица коэффициентов, которая находится здесь. Таким образом, этот треугольник 𝑥 означает, что это матрица, в которой столбец 𝑥 будет заменен столбцом ответов, то же самое с 𝑦 и 𝑧. Итак, наконец, что представляют собой все эти строки, которые выглядят как линии абсолютного значения. Те представляют, чтобы взять определитель. Поэтому нам нужно будет взять детерминант каждой из этих матриц.

Итак, начнем с нахождения определителя матрицы коэффициентов, который находится в знаменателе каждой дроби. Таким образом, определитель этой большой матрицы 3 на 3 будет начинаться с трех в верхнем левом углу. И умножаем, и умножаем на определитель чисел, которые не входят в строку или столбец из тех трех, с которых мы начали. И затем мы вычитаем верхнее среднее число, умноженное на определитель всех чисел, которые не находятся в строке или столбце из двух. И затем мы прибавляем отрицательное два раза к определителю этих чисел, числам не- которые не находятся в строке или столбце отрицательной двойки. Итак, возьмем этот определитель трижды.

Так как же найти определитель? Мы умножаем диагональные числа, а затем вычитаем другие диагональные числа, и теперь повторяем. Итак, теперь нам нужно вычесть два раза, начать с числа в верхнем левом углу, три и минус пять, мы умножаем, а затем вычитаем. И после вычитания отрицательного два раза отрицательного три, теперь мы берем отрицательное два и умножаем на этот определитель, трижды четыре минус отрицательное два раза три. А теперь упрощаем. Итак, у нас есть три раза минус три минус два раза минус 21 минус два раза 18, и мы получаем минус три, что является ответом на определитель матричного коэффициента. Таким образом, мы можем заменить все доминаторы отрицательной тройкой.

Итак, теперь мы берем матрицу коэффициентов, кроме столбца 𝑥, заменяем его столбцом ответов. А теперь повторим наши шаги, чтобы найти определитель матрицы три на три. Итак, мы берем определитель этой матрицы, умноженный на один, минус умноженный на два определителя этих чисел, плюс два умноженных на отрицательный определитель этих чисел. Итак, теперь мы начинаем оценивать так же, как мы делали это раньше. И после упрощения мы получаем отрицательную девятку. Таким образом, при решении для 𝑥 минус девять разделить на минус три означает, что 𝑥 равно трем.

Теперь давайте проделаем тот же процесс, но с 𝑦. Итак, мы берем матрицу коэффициентов, но теперь вместо столбца 𝑦 заменяем его столбцом ответов. Таким образом, у нас есть умноженный на три определитель этих чисел минус один умноженный на определитель этих чисел плюс удвоенный отрицательный определитель этих чисел. Итак, теперь мы оцениваем определители, а затем умножаем и упрощаем, и мы получаем 75. И 75, разделенное на минус три, означает, что 𝑦 отрицательное 25.

Итак, наконец, 𝑧. Давайте продолжим и заменим столбец 𝑧 столбцом ответов. А теперь оцениваем. Умноженный на три определителя этих чисел минус удвоенный определитель этих чисел плюс один умноженный на определитель этих чисел. Итак, после вычисления, теперь нам нужно умножить и упростить, и мы получим 63. А 63 разделить на минус три — это минус 21.

Таким образом, после решения этой системы с помощью определителей 𝑥 равно трем, 𝑦 равно отрицательному значению 25, а 𝑧 равно отрицательному значению 21.

Решите систему линейных уравнений с помощью определителя: 3x+2y=2 x+4y=1 Показать шаг за шагом процесс, чтобы объяснить решение и ответ.

Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Спросите репетитора

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Ссылайтесь на эту страницу следующим образом:

«Решить систему линейных уравнений с помощью определителей: 3x+2y=2 x+4y=1 Покажите пошаговый процесс, чтобы объяснить решение и ответ». -определители-338444. По состоянию на 2 февраля 2023 г.

Метод определителя аналогичен правилу Крамера.

Если два одновременных уравнения равны,

`ax+by = e `      и

`cx+dy = e’`

Определитель матрицы D определяется выражением

|a b|

|в г| = (ad-bc) = D

Правило Крамера гласит, что

Если Dy является определителем

|a e|

|с е’| = ae’-ce

и Dx — определитель,

|e b|

|е’ д| = ed — be’

 

Тогда решения двух уравнений задаются формулой

x = Dx/D

и y = Dy/D

 

Таким образом, в нашем случае уравнения таковы: = (2(4)-2(1)) = 6

Dy = (3(1)-2(1)) = 1

 

Следовательно, согласно правилу Крамера,

`x = (Dx)/ D = 6/10 = 0,6`

и,

`y = (Dy)/D = 1/10 = 0,1`

 

Соотношения x=0,6 и y=0,1.

 

Дополнительная литература

• https://en. wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule

Утверждено редакцией eNotes

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответа учителя

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 15 мая 2012 г.