Решите уравнение х 3 7х 6 0: Х^3-7х+6=0 Как решать??? — Школьные Знания.com

Решение уравнений 3 и 4 степени

1. Исследовательская работа по теме: «Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени»

Выполнил:
ученик 9 класса
Кравченко Виталий
Руководитель:
учитель математики
Нечаева
Елена Николаевна
© Фокина Лидия Петровна

2. Основные методы решения уравнений высших порядков

1. Метод разложения на множители
левой части уравнения.
2.Метод введения новой переменной.
3.Функционально-графический метод
© Фокина Лидия Петровна

3. Уравнения вида ax3 + bx2 + cx + d = 0, где a ≠ 0, называются уравнениями 3-ей степени

Уравнение вида
x 3 + px + q = 0
называется приведённым
кубическим уравнением
Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа
очень сложны и почти не применяются на практике.
© Фокина Лидия Петровна

4. Решу уравнение х3 -7х+6=0 разными способами

1. Разложение на множители
х3 -7х + 6 =0
х3 — х2 + х2 – х — 6х + 6=0
х2 (х-1)+ х(х-1)-6(х-1)=0
(х-1)(х2 + х — 6) = 0
х-1=0 или х2 + х – 6 = 0
х1 =1
х2 =-3 х3 = 2
Ответ: 1; 2; -3
© Фокина Лидия Петровна

5. 2.Метод деления на многочлен

х3 -7х+6 = 0 делители 6: ±1; ±2; ±3; ±6
1³-7+6=0
3-7х+6 =(х-1)(х2 +х-6)=0
х
x³-0х2-7x+6 x-1
2 +х-6=0
х-1=0
или
х
x³-x²
x²+x-6
х1 =1
х2 =-3 х3 = 2
x²-7x
x²-x
-6x+6
-6x+6
0
© Фокина Лидия Петровна
Ответ: 1; 2; -3

6. 3.Функционально-графический метод х3 -7х+6 = 0

у = х3 и у = 7х-6
Ответ:1;2;-3
© Фокина Лидия Петровна

7. Уравнение четвертой степени общего вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 где а ≠ 0 

Уравнение четвертой степени общего вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 где а ≠ 0
1.Разложение на множители
x4 + 2×3 + 5×2 + 4x – 12 = 0
x4 + 2×3 + 5×2 + 10x – 6x – 12 = 0
(x4 + 2×3) + (5×2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0
x3 (x+2) +5х (х+2) – 6 (х+2) =0
(x + 2) (x3 + 5x – 6) = 0
(x + 2)(x – 1)(x2 + x + 6) = 0
x1 = -2, x2 = 1.
Ответ: -2 ; 1
© Фокина Лидия Петровна

8. 2.Деление на многочлен Х4 — Х3-13 Х -15=0 -1 делитель числа -15 (1+1+13-15=0) Х4 — Х3-13 Х -15 = (Х+1)(Х-3)(Х2 +Х +5) = 0 Х+1

=0 или Х-3=0 или Х2 +Х +5 =0 (Д
Х1=-1 Х 2=3
Ответ: -1; 3
© Фокина Лидия Петровна

9. Биквадратное уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0. 3.Метод: введение новой переменной

Биквадратное уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0.
3.Метод: введение новой переменной
x4 + 5×2 – 36 = 0.
Замена y = x2.
У2+ 5У-36=0
У1*У2 =-36= -9*4
У1=-9
У1 + У1 =-5= -9+4
У2 =4
X2 =-9
x2 =4
Корней нет
х1 =2 х2 =-2
Ответ: 2; -2
© Фокина Лидия Петровна

10. Задание:Решите уравнение Х3+2Х2- 5Х — 6 = 0

Делители -6: ±1; ±2; ±3; ±6
-1 корень уравнения (-1+2+5-6=0)
Х3+2Х2- 5Х — 6 = (Х+1)(Х2+Х -6) = 0
Х+1= 0 или Х2+Х -6=0
Х1 =-1
Х2 =-3 Х3 = 2
Ответ: -1; -3; 2
© Фокина Лидия Петровна

10.5. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x+a₀  имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q  несократимая), то р является делителем свободного члена (

a₀), а q — делителем коэффициента при стар­шем члене а_n.

     Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

an * pn/qn + an-1 * pn-1/qn-1 + … + a1 * p/q + a0 = 0.

(1)

            Умножим обе части равенства (1) на  (q ≠ 0). Получаем

аnрn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1 + a0qn = 0.

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a₀qⁿ = -(а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^n-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀qⁿ может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

a_npⁿ = -(a_n

_-1p^n-1q + … + a₁pq^-1 + a₀qⁿ) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то a_n делится на q, следовательно, q — де­литель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х³ – х² + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

2х³ – х² + 12х – 6 = (

x – 1/2) (2x² + 12).

Многочлен 2х² + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х⁴ + 3х³ – 2х² – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х² + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х³ + 5х² + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем  Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² +

х +1).

Квадратный трехчлен 2х² + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х² + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х

4 + х³ + 3х² + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

х4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2 + ах + b)(х2 + сх + d),

(3)

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х⁴+ х³+ 3х² + х + 6 = x⁴+ cx³+ dx²+

                                                      + ax³+ acx²+ adx +

                                                                    + bx²+ bcx + bd.

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты

b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

x4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2 – х + 2)(х2 + 2х + 3).

(5)

Поскольку квадратные трехчлены х² – х + 2 и х² + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1) х³ – 5х + 4;

2) 2x³ + x² – 13x + 6;

3) 5х³ + 18х² – 10х – 8;

4) 4х⁴ – 11х² + 9х – 2.

2. Найдите рациональные корни уравнения:

1) х³ – 3х² + 2 = 0;

2) 2х³ – 5х² – х + 1 = 0;

3) 3х⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2 = 0;

4) 3х⁴ – 8х³ – 2х² + 7х – 2 = 0.

3. Разложите многочлен на множители:

1) 2х³ – х² – 5х – 2;

2) х³ + 9х² + 23х +15;

3) х⁴ – 2х³ + 2х – 1;

4) х⁴ – 2х³ – 24х² + 50х – 25.

4. Найдите действительные корни уравнения:

1) х³ + х² – 4х + 2 = 0;

2) х³ – 7х – 6 = 0;

3) 2х⁴ – 5х³ + 5х² – 2 = 0;

4) 2х³ – 5х² + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

1) х⁴ + х³ – 5х² + 13х – 6;

2) х⁴ – 4х³ – 20х² + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х² + bх + с)² – (mх + n)²: :

1) х⁴+ 4х – 1;

2) х⁴ – 4х³ – 1;

3) х⁴ + 4а³х – а⁴.

Решить уравнение y 0. Решение квадратных уравнений

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)

Многочлен 2x 2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)

А корнями уравнения являются.

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a n = 1 , то целые корни уравнения P n (x ) = 0 находятся среди делителей свободного члена a 0 . Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P 4 (x ) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.

Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Цели:

1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 — х 3 — 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 — 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.

Примеры ОГЭ по математике | Геометрия

Примеры ОГЭ по математике | Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!

Сегодня мы будем решать примеры ОГЭ по математике —
четвёртое задание, а именно уравнения.
В этом задании представлены  разные виды уравнений: линейные, квадратные, дробные, а также системы уравнений.
Для каждого из видов есть свои методы решения, о чём мы и поговорим сегодня.

Задача 1. Решить уравнение (х-9)² = (х-3)²

Решение: Не смотря на квадраты, это уравнение линейное, и его можно решать двумя способами.
Способ 1. х² — 18х + 81 = х² — 6х + 9
18х — 6х = 81 — 9
12х = 72
х = 6
Способ 2. (х-9)² — (х-3)² = 0
(х-9+х-3)(х-9-х+3) = 0
(2х-12)(-6) = 0
(-12)(х-6) = 0
х = 6
Ответ: 6

Задача 2. Решить уравнение (х+3)² + (х-7)² = 2х²

Решение: Это уравнение также приводится к линейному уравнению:
х²+6х+9+х²-14х+49=2х²
14х — 6х = 9 + 49
8х = 58
х = 7,25
Ответ: 7,25

Задача 3. Решите уравнение  х² — 4х + 35 = -9х² + 11х + 45

Решение: Уравнение квадратное.
Приводим его к каноническому виду и проверяем дискриминант.
10х² — 15х — 10 = 0     Делим правую и левую часть уравнения на 5
2х² — 3х — 2 = 0
Поскольку свободный член имеет знак -,
то уравнение ВСЕГДА будет иметь 2 корня.
_3±√(9 + 4•2•2)_  =    _3±5_
2•2                                    4
х1 = 2 х2 = -0,5
Ответ: -0,5; 2

Задача 4. Решите уравнение  х²/2 +3х + 4 = 0

Решение: В первую очередь освобождаемся от дроби в левой части уравнения.
Для этого правую и левую часть уравнения умножаем на 2.
х² + 6х + 8 = 0 Это приведённое квадратное уравнение.
И проще всего его решать по теореме Виета.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Другими словами:
х1 + х2 = -6
х1•х2 = 8
Начинаем с произведения. Раскладываем число 8 на множители и подбираем их таким образом, чтобы в сумме они дали -6.
Это очевидно -2  и -4.
Произведение двух отрицательных чисел даёт нам положительное число,
а их сумма также отрицательна.
Ответ: -4; -2

Задача 5.  Решите уравнение   х² + 3,5х = 2

Решение: Это уравнение по теореме Виета будет решить сложнее,
чем предыдущее, потому что второй множитель — дробный.
В таком случае домножим правую и левую часть уравнения на 2.
2х² + 7х = 4
2х² + 7х — 4 = 0    Придётся решать это уравнение как полное.
_-7±√(49 + 4•2•4)_  =    _-7±9_
2•2                                     4
х1 = -4 х2 = 0,5
Ответ: -4; 0,5

Задача 6. Решить уравнение   х² — 6(х — 4) — 4х + 1  = 0 

Решение: х² — 6(х — 4) — 4х + 1  = х² — 6х + 24 — 4х + 1  = х² — 10х  + 25  = 0
Если внимательно присмотреться, то можно увидеть
формулу сокращённого умножения — квадрат разности двух чисел х и 5.
х² — 10х  + 25  = (х — 5)²
Поэтому корень данного уравнения будет один.
Ответ: 5

Задача 7. Решить уравнение  -2х² + 7х  = 9

Решение: Перенесём число 9 в левую часть уравнения,
а затем умножим правую и левую часть уравнения на (-1).
2х² — 7х  + 9 = 0    Имеем полное квадратное уравнение.
_7±√(49 — 4•2•9)_  =    _7±√(-23)_    Дискриминант получился отрицательный. 
  2•2                                      4                                      Корней нет.
Ответ: нет решений.

Задача 8. Решите уравнение  2(х² — 40) = -х² + 6(х + 4) + 1

Решение: Раскрываем скобки, приводим подобные
2х² — 80 = -х² + 6х + 24 + 1 2х² — 80  + х² — 6х — 24 — 1 = 0
3х² —  6х — 105 = 0    Делим правую и левую часть уравнения на 3
х² — 2х — 35 = 0   И опять теорема Виета.
Множители числа 35:  7 и 5.
Свободный член отрицательный, значит корни имеют разные знаки.
Теперь надо их правильно расставить.
Сумма равна +2, значит положительное число по модулю больше,
чем отрицательное.
А теперь уже просто.
х1 = 7;  х2 = -5
Ответ: -5; 7

Задача 9.  Решите уравнение  х²/2 — 1/2 = х•(х+5)/6

Решение:  Как в предыдущих примерах с дробями, избавляемся от дробей путём умножения правой и левой части уравнения на 6.
3х² — 3 = х(х+5)
3х² — 3 = х² + 5х
2х² — 5х —  3 = 0
_5±√(25 + 4•2•3)_  =    _5±7_
            2•2                         4               
х1 = 3,   х2 = -0,5
Ответ: -0,5;  3

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

3. Решение задач.

Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Итоги урока. Какие методы можно применять при решении дробно-рациональных уравнений?

5. Домашнее задание

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

Творческое задание: решить уравнение:

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа 1

Вариант 1

1. Преобразовать в многочлен:

а) (2а² – 3в)³,

б) (а + 2)⁶.

2. Разложить на множители:

а) 27х³ + 108х² +144х + 64,

б) 64х⁶ – у⁶.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х³ + 8х² + 11х – 20) : (х + 5),

в) (х³ + 2х² – 7х – 14) : (х + 2),

с) (2х⁴ + 4х³ – 11х² – 10х +15) : (2х² – 5).

Вариант 2

1. Преобразовать в многочлен:

а) (3а⁴ + 2в)³,

б) (х – 4)⁵.

2. Разложить на множители:

а) 8х³ – 60х² +150х – 125,

б) 243х⁵ – у⁵.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х³ — 7х² + 14х – 8) : (х – 2),

в) (х³ + 4х² – 5х – 20) : (х + 4),

с) (2х⁴ + 6х³ – 9х² – 21х +7) : (2х² – 7).

Самостоятельная работа 2

Вариант 1

1. Сократить дробь: .

2. Выделить целую часть: а) ; в) .

3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х³ – 6х² + 11х – 6 = 0,

в) х³ – 5х² – 2х + 24 = 0,

с) х⁴ + 3х³ – 13х² – 17х + 26 = 0.

Вариант 2

х³ + 9х² + 27х + 27

1. Сократить дробь: х³ + 27 .

х⁴ + 5х – 2 х⁵ + 4

2. Выделить целую часть: а) х – 3 ; в) х³ – 2х + 1 .

3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х³ – 7х² + 14х – 8 = 0,

в) х³ – х² – 14 х + 24 = 0,

с) х⁴ + 4х³ – 9х² – 16х + 20 = 0.

Самостоятельная работа 3

Вариант 1

1. Решить уравнения:

а) ,

б) ,

в) .

г) (х +2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) = –15,

д) .

Вариант 2

1. Решить уравнения:

а) ,

б) .

в) (х² +3х – 4) (х² +3х –7 ) = 18,

г) (х – 2) (х – 4) (х – 6) (х – 8) = –15,

д) .

Самостоятельная работа № 4

Вариант 1

1. Решить возвратные уравнения:

   1. 4х³ – 5х² – 5х + 4 = 0,

   2. 3х⁴ + 5х³ – + 5х + 3 = 0.

2. Решить однородные уравнения:

   1. 3(х² – 5)² + 4(х² – 5) (х + 7) – 7 (х + 7)² = 0,

   2. (х – 2)⁴ + 5(х + 2)⁴ = 6(х² – 4)².

Вариант 2

1. Решить возвратные уравнения:

   1. 5х³ – 4х² – 4х + 5 = 0,

   2. 2х⁴ – 5х³ + 4х² – 5х + 2 = 0.

2. Решить однородные уравнения:

1. 3(х² + 5)² + 4(х² + 5) (х – 7) – 7 (х – 7)² = 0,

2. (х-3)⁴ + 4(х + 3)⁴ = 5(х² – 9)².

Самостоятельная работа № 5

Вариант 1

1. Решить дробно-рациональные уравнения:

   а) , б) .

2. Решить уравнения:

   1. |х — 5| + |х + 2| = 7,

   2. |2х – 3| + |2х – 5| = 2,

   3. 5|х|² – 3|х| = 2.

Вариант 2

1. Решить дробно-рациональные уравнения:

а) ,

б) .

2. Решить уравнения:

   1. |х + 4| + |х — 7| = 11,

   2. |2х + 3| + |2х – 5| = 8,

   3. 7|х|² – 4|х| = 3.

Самостоятельная работа № 6

Вариант 1

1. Решить уравнения:

   1. ,

   2. sin 2x – 3cos 4x = 4,

   3. sin x = х² + 4х + 5.

2. Найти значения а, при которых уравнение

3sin x – 7 cos x = a

имеет корни.

Вариант 2

1. Решить уравнения:

1. .

2. sin 2x – 4 cos 4x = 5,

3. cos x = х² + 6х + 10.

2. Найти значения а, при которых уравнение

4 sin x – 5 cos x = a

имеет корни.

Самостоятельная работа № 7

Вариант 1

1. Решить систему уравнений:

а ) х² + ху + у² = 37,

х + у = 7;

б ) 5х² – 7ху + 2 у² = 0,

3х² + у² = 4;

в) х² + у² + 3ху = 31,

ху = 6.

Вариант 2

2. Решить систему уравнений:

а ) х² — ху + у² = 21,

х + у = 9;

б) 4х² – 9ху + 5у² = 0,

5х² + 2у² = 7;

в ) х² + у² + 5ху = 60,

ху = 8. .

Самостоятельная работа 8

Вариант 1

Решить систему уравнений:

а ) ,

;

x + y + 3z = 1,

б) 2x – y + 2z = 5,

–x + 2y – 5z = –4;

в) ах +2у = 6,

3ах — у = 2.

Вариант 2

Решить систему уравнений:

а ) ,

;

x + 2y – 4z = –1,

б) 2x – y + 3z = 9,

–x + 4y – 2z = –5;

в ) х – 3ау = 4,

3х + ау = 7.

Самостоятельная работа 9

Вариант 1

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  5.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 2х – 5у + 10  0,

б) ху  –6.

Вариант 2

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  4.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 3х + 2у – 8  0,

б) ху  –8.

Зачет № 1

по теме «Алгебраические уравнения»

Вариант 1.

1. Теорема Безу.

Решить уравнение: х³ – 8х² + 19х – 12 = 0.

2. Какое уравнение называется следствием из другого уравнения?

Какое из данных уравнений является следствием другого уравнения:

2(х + 3) + х (х – 4) = (х – 4) (х + 3 )

или + = 1 ?

3. Какое уравнение называется однородным? Привести пример уравнения с двумя переменными. Решить уравнение:

2(х² – 1)² – 5(х² – 1) (х² + 4х) + 2 (х² + 4х)² = 0.

Решить квадратное уравнение онлайн. Уравнения с двумя переменными Решение уравнений с параметром

Цели:

1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 — х 3 — 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 — 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

3) а=0, х 2 -0*х 2 +0 = 0; х 2 =0; х 4 =0

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; х=а ± √а

2. Составить уравнение

1 группа . Корни: -4; -2; 1; 7;

2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.

Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн , вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:

Как решить квадратное уравнение

Как решить квадратное уравнение:	Виды корней:
1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х — 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2. Находим дискриминант D. D=B 2 -4*A*C . Для нашего примера D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Находим корни уравнения. x1=(-В+D 1/2)/2А. Для нашего случая x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-В-D 1/2)/2А. Для нашего примера x2=(-3-5)/(-4)=2 Если В — четное число, то дискриманант и корни удобнее считать по формулам: D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/А x2=(-K-D 1/2)/А, Где K=B/2	1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 Ситуация возникает, когда D=0. Однако при этом, ни А, ни В, ни С не должны быть равны 0. 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 Ситуация возникает, когда D 4. Уравнение имеет одно решение. A=0, B и C нулю не равны. Уравнение становиться линейным. 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. A=0, B=0, C=0. 6. Уравнение решений не имеет. A=0, B=0, C не равно 0.

Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .

Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5

Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.

X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1

Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете

Представление об уравнениях с двумя переменными впервые формируется в курсе математики за 7 класс. Рассматриваются конкретные задачи, процесс решения которых приводит к такому виду уравнений.

При этом они изучаются довольно поверхностно. В программе главный акцент делается на системах уравнений с двумя неизвестными.

Это стало причиной того, что задачи, в которых на коэффициенты уравнения накладываются определенные ограничения, практически не рассматриваются. Недостаточно внимания уделено методам решения заданий типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах». Известно, что материалы ЕГЭ и билеты вступительных экзаменов часто содержат такие упражнения.

Какие именно уравнения определяются как уравнения с двумя переменными?

ху = 8, 7х + 3у = 13 или х 2 + у = 7 – примеры уравнений с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение х – 4у = 16. Если х = 4, а у = -3, оно будет правильным равенством. Значит, эта пара значений – решение данного уравнения.

Решение любого уравнения с двумя переменными – множество пар чисел (х; у), которые удовлетворяют это уравнение (превращают его в верное равенство).

Часто уравнение преобразовывают так, чтобы из него можно было получить систему для нахождения неизвестных.

Примеры

Решить уравнение: ху – 4 = 4х – у.

В данном примере можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого нужно сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель за скобки:

ху – 4 = 4х – у;

ху – 4 – 4х + у = 0;

(ху + у) – (4х + 4) = 0;

у(х + 1) – 4(х + 1) = 0;

(х + 1)(у — 4) = 0.

Ответ: Все пары (х; 4), где х – любое рациональное число и (-1; у), где у – любое рациональное число.

Решить уравнение: 4х 2 + у 2 + 2 = 2(2х — у).

Первый шаг – группирование.

4х 2 + у 2 + 2 = 4х – 2у;

4х 2 + у 2 + 1 — 4х + 2у + 1 = 0;

(4х 2 – 4х +1) + (у 2 + 2у + 1) = 0.

Применив формулу квадрата разности, получим:

(2х — 1) 2 + (у + 1) 2 = 0.

При суммировании двух неотрицательных выражений ноль получится только в том случае, если 2х – 1 = 0 и у + 1 = 0. Отсюда следует: х = ½ и у = -1.

Ответ: (1/2; -1).

Решить уравнение (х 2 – 6х + 10)(у 2 + 10у + 29) = 4.

Рационально применить оценочный метод, выделив полные квадраты в скобках.

((х — 3) 2 + 1)((у + 5) 2 + 4) = 4.

При этом (х — 3) 2 + 1 ≥ 1, а (у + 5) 2 + 4 ≥ 4. Тогда левая часть уравнения всегда не меньше 4. Равенство возможно в случае

(х — 3) 2 + 1 = 1 и (у + 5) 2 + 4 = 4. Следовательно, х = 3, у = -5.

Ответ: (3; -5).

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 10у 2 = 15х + 3.

Можно записать это уравнение в таком виде:

х 2 = -10у 2 + 15х + 3. Если правую часть равенства делить на 5, то 3 – остаток. Из этого следует, что х 2 не делится на 5. Известно, что квадрат числа, которое не делится на 5, должен дать в остатке или 1, или 4. Значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: Решений нет.

Не стоит расстраиваться из-за трудностей в поиске верного решения для уравнения с двумя переменными. Упорство и практика обязательно принесут свои плоды.

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0 , гдеа ≠ 0 , являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).

Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.

Обозначим х 2 через у (х 2 = у ) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.

Решаем полученное уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: — 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.

Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.

Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2у 2 + 5у + 2 =0.

D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения — это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0

(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.

Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0

Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.

Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .

х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)

х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение квадратных уравнений. Поурочные планы, Поурочные планы по алгебре 8 класс, Поурочные планы по алгебре и математике

Тема: Решение квадратных уравнений.

«Науками, которые предпочитаются другим
вследствие глубины доказательств, являются науки,
подобные математике.»

Цели урока: повторение, обобщение и систематизация методов решения квадратных уравнений;
формировать умение самоанализа и контроля;
развивать умение применять формулы при решении уравнений, умение пошаговой реализации алгоритма при решении уравнения;
развивать умение анализировать и делать выводы;
содействовать нравственному воспитанию учащихся.
Оборудование: карточки, таблички, таблицы с ответами, компьютер.
Тип урока: Повторительно – обобщающий
Ход урока.

Этап. Организационный момент.
Приветствие.
Деление на группы: 1,2, 3
Ознакомление учащихся с темой урока.
Проверяем домашнее задание
2. Этап. Актуализация знаний
1 задание. Мозговой штурм
Заполни пропуски…(по группам)
1. Равенство содержащее переменную, называется ….(уравнением)
2. Конем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное …( числовое равенство)
3. Решить уравнение, это значит найти все его … (корни или доказать что корней нет)
4. Виды уравнений … (Неполные квадратные уравнения, квадратное-2 степени, …)
Устный счет (Выполнить по цепочке)
Выполнить своё и проверить предыдущее
5. По какому признаку можно объединить следующие уравнения
5х2-35х=0 5х2=0 5х2-35=0
(Неполные квадратные уравнения)

6. Назвать коэффициенты квадратного уравнения
5х2-7х+2=0 (5,-7,2)

7. Найти корни квадратного уравнения х2+5х-6=0 (-6 и 1)
8. Составить квадратное уравнение имеющее коэффициенты
а=3, в=5, с=2 (3х2+5х+2=0)
9. Составить квадратное уравнение имеющее корни
2 и 7 (х2-9х+14)=0

10. Исключить лишнее:
х(х-2)=0
х3+2х2+5=0
-5х-4=4х2
х2+2х+1=0

11. Найти корни уравнения:
У2-у=0 (0,1)

12. Исключить лишнее:
3х2+6х-9=0
х2-4х+4=0
х2-х+1=0
х2+6х-9=0

ІІІ. 3. Этап.
Решение уравнений
Работа в группах
Решив данные уравнения мы «вычислим» автора высказывания, являющегося эпиграфом нашего урока
«Науками, которые предпочитаются другим вследствие глубины доказательств, являются науки, подобные математике»

1 А 4х-5,5=5х-3(2х-1,5)
2 И 25-100х2=0
3 А 3х2+7х-6=0
4 Р 3х2-4х+1=0
5 Б 3х4-13х2+4=0
6 Ф 9х2+45х=0
Ответ:
Ф А Р А Б И
-5 и 0 -3;2/3 1/3;1 2 -2; – 1/3; 1/3; 2 -0,5;0,5

Это высказывание принадлежит великому ученому средневековья- «Аристотелю Востока»- Аль-Фараби. Он обладал широким кругозором, знал астрономию, медицину, социологию, этику, музыку, риторику- то есть был разносторонне одаренным человеком. Эти качества актуальны и в наше время – вам юношеству, можно порекомендовать брать пример с таких людей, как Аль-Фараби.
Имя ученого не забыто в нашей стране – о нём написано в казахстанских учебниках; его именем названы улицы, университеты.
Физминутка для глаз
4. Этап.

Дифференцированная самостоятельная разноуровневая работа:

Уровень А
1. Составить квадратное уравнение, где а=3, в=7,с=1.
2. Сколько корней имеет квадратное уравнение х2+2х+1=0.
3. Решить уравнение х2-3х=0.
4. Решить уравнение х2+25=0.
5. Решить уравнение 2х2-4х+3=0.

Уровень В
1.Решить уравнение х2-7х=0
2. Решить уравнение 4х2+36=0.
3. Решить уравнение 2х2-3х+1=0.
4. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения
х2-6х+8=0.
5. Составить квадратное уравнение имеющего корни х1=3 и х2=5.

Уровень С.
1. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения
3х2+4х+1=0.
2. Найти подбором корни уравнения х2+х-56=0.
3. Составить квадратное уравнение имеющего корни х1=-7 и х2=9.
4. Решить уравнение х3 +5х2+6х=0.
5. Решить уравнение Х4-7х2+6=0.
Ответы:

Уровень А
Уровень В
Уровень С

1 3х2+7х+1=0 0:7 х1+х2=-4/3
х1*х2=1/3

2 1 Нет корней -8 и 7
3 0; 3 0,5: 1 х2-2х-63=0
4 Нет корней х1+х2=6
х1*х2=8
-3; -2 и 0
5 1 и 3 х2-8х+15=0 -√6;-1;1; √6

6. Этап.
1. Найти наиболее рациональным способом корни уравнения:
а+в+с=о х1=1; х2=с/а; а-в+с=о х1=-1; х2=-с/а;

уравнения корни
2001х2-2008х+7=0
303 х2+27х-330=0
х2+2х-3=0
х2-5х+4=0
х2-10х+9=0

2. Мини исследование. Ученик решил уравнение:
Х2-|5х|-6=0
Х2-5х-6=0
Х2+5х-6=0
Получил корни {-6;-1;1;6} Прав ли ученик.
7. Этап.
Итоги урока
Мы рассмотрели различные методы решения квадратных уравнений
1. Метод коэффициентов.
2. По теореме Виета.
3. Если в- чётное.
4. По общей формуле.
6. Этап.
Домашнее задание.
Составить 4 уравнения, решить их. Составить кроссворд по теоретическому материалу.
8. Этап. Рефлексия
Оценочный лист
Ф.И.О. ………………………………………………………
№ Задание Оценка
1 Устная работа
2 Работа в группах

-5 и 0 -3;2/3 1/3;1 2 -2; – 1/3; 1/3; 2 -0,5;0,5

3 Уровневые задания
Уровень ответ
1 2 3 4 5

4 Найти ошибку
5 Мини исследование

6 Найти наиболее рациональным способом корни уравнения

7 Рефлексия. Итоги.

 

3−7x-6 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Калькулятор полиномиальных корней:

1.1 Найдите корни (нули): F (x) = x ³ -7x- 6
Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0

Rational Roots Test является одним из вышеупомянутых инструментов. Он может найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является коэффициентом ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — -6.

Фактор (ы):

ведущего коэффициента: 1
конечной постоянной: 1, 2, 3, 6

Давайте проверим ….

	P		Q		P / Q		F (P / Q)		Делитель
	-1		1		-1,00		0.00		x + 1
	-2		1		-2,00		0,00		x + 2
	-3		1		-3,00		-12,00
	-6		1		-6.00		-180,00
	1		1		1,00		-12,00
	2		1		2,00		-12,00
	3		1		3.00		0,00		x-3
	6		1		6,00		168,00

Теорема о факторах утверждает, что если P / Q является корнем многочлена, тогда этот многочлен можно разделить на q * xp.Обратите внимание, что q и p происходят от P / Q, уменьшенного до самого низкого значения

В нашем случае это означает, что
x ³ -7x-6
можно разделить на 3 разных полинома, в том числе на x-3

Полиномиальное деление в длину:

1.2 Полиномиальное длинное деление
Деление: x ³ -7x-6
(«Дивиденд»)
По: x-3 («Делитель»)

делимое			x 3			—	7x	—	6
— делитель	* x 2		x 3	—	3x 2
остаток					3x 2	—	7x	—	6
— делитель	* 3x 1				3x 2	—	9x
остаток							2x	—	6
— делитель	* 2x 0						2x	—	6
остаток									0

Частное: x ² + 3x + 2 Остаток: 0

Попытка коэффициент путем разделения среднего члена

1.3 Факторинг x ² + 3x + 2

Первый член равен x ² , его коэффициент равен 1.
Средний член + 3x, его коэффициент равен 3.
Последний член, «константа», равен +2

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 2 = 2

Шаг-2: Найдите два множителя 2, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен 3.

	-2	+	-1	=	-3
	-1	+	-2	=	-3
	1	+	2	=	3	Вот и все

Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше: 1 и 2
x ² + 1x + 2x + 2

Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
x • (x + 1)
Складываем последние 2 члена, вычитая общие множители :
2 • (x + 1)
Шаг 5: Сложите четыре члена шага 4:
(x + 2) • (x + 1)
Какая желаемая факторизация

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 2) • (x + 1) • (x - 3) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы один из членов должен быть равен нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов содержится в произведении

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: x + 2 = 0

Вычтите 2 из обеих частей уравнения:
x = -2

Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: x + 1 = 0

Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
x = -1

Решение уравнения с одной переменной:

2.4 Решите: x-3 = 0

Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения:
x = 3

Приложение: Непосредственное решение квадратного уравнения

 Непосредственное решение x  2  + 3x + 2 = 0 

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член.давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, найдя вершину:

3.1 Найдите вершину y = x ² + 3x + 2

Параболы имеют наибольшее или наименьшее значение. точка называется Вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину.Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна -1,5000

Подставив в формулу параболы -1,5000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * -1,50 * -1,50 + 3,0 * -1,50 + 2,0
или y = — 0,250

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = x ² + 3x + 2
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {- 1,50}
Вершина в точке {x, y } = {-1.50, -0,25}
x -Пересечения (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-2,00, 0,00}
Корень 2 при {x, y} = {-1,00, 0,00}

Решите квадратное уравнение путем заполнения квадрата

3.2 Решение x ² + 3x + 2 = 0 путем заполнения квадрата.

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
x ² + 3x = -2

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 3, разделите его на два, получив 3/2, и, наконец, возведите в квадрат. это дает 9/4

Добавьте 9/4 к обеим частям уравнения:
В правой части мы имеем:
-2 + 9/4 или, (-2/1) + (9/4)
. общий знаменатель этих двух дробей равен 4. Сложение (-8/4) + (9/4) дает 1/4
Таким образом, сложив обе части, мы в итоге получаем:
x ² + 3x + (9/4) = 1 / 4

Добавление 9/4 завершило левую часть в полный квадрат:
x ² + 3x + (9/4) =
(x + (3/2)) • (x + (3/2)) =
(x + (3/2)) ²
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x ² + 3x + (9/4) = 1/4 и
x ² + 3x + (9/4) = (x + (3/2)) ²
, то по закону транзитивность,
(x + (3/2)) ² = 1/4

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x + (3/2)) ² равен
(x + (3/2)) ^2/2 =
(x + (3/2)) ¹ =
x + (3/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 3.2.1 получаем:
x + (3/2) = √ 1/4

Вычтем 3/2 с обеих сторон, чтобы получить:
x = -3/2 + √ 1/4

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x ² + 3x + 2 = 0
имеет два решения:
x = -3/2 + √ 1/4
или
x = -3/2 — √ 1 / 4

Обратите внимание, что √ 1/4 можно записать как
√ 1 / √ 4, что равно 1/2

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

3.3 Решение x ² + 3x + 2 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B ² -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = 3
C = 2

Соответственно B ² — 4AC =
9-8 =
1

Применяя квадратную формулу:

-3 ± √ 1
x = —————
2

Итак, теперь мы смотрим на:
x = (-3 ± 1) / 2

Два Реальные решения:

x = (- 3 + √1) / 2 = -1.3-7x-6 = 0 | Wyzant Спросите эксперта

К сожалению, не существует простого правила разложения кубического многочлена на множители. Единственное, что мы можем сказать для любого полинома : если x = r является корнем полиномиального выражения, одним из его множителей будет (x-r). Когда мы имеем дело с кубическим уравнением, мы ожидаем трех корней — назовем их r ₁ , r ₂ и r ₃ .

Это может показаться произвольным делом (потому что это так), но один из самых быстрых способов найти корни — это просто угадать и проверить простые значения.Я попробую 0, 1, 2 и 3:

f (x) = x ³ -7x-6

f (0) = 0 ³ -7 * 0-6 = 0-0-6 = -6 x = 0 не является корнем, поэтому (x-0) = x не является множителем.

f (1) = 1 ³ -7 * 1-6 = 1-7-6 = -12 x = 1 не является корнем, поэтому (x-1) не является множителем.

f (2) = 2 ³ -7 * 2-6 = 8-14-6 = -12 x = 2 не является корнем, поэтому (x-2) не является множителем.

f (3) = 3 ³ -7 * 3-6 = 27-21-6 = 0 x = 3 — корень, поэтому (x-3) — множитель.

Мы знаем, что x ³ -7x-6 превращается в нечто похожее на (x-3) (……..). Отсюда у нас есть два варианта:

1. Сделайте полиномиальное деление, чтобы выяснить, что осталось: (…….) = (x ³ -7x-6) / (x-3). Тем не менее, деление полиномов беспорядочно, и если бы мы могли его избежать, это было бы неплохо.
2. Продолжайте гадать, чтобы увидеть больше корней!

Мы нашли корни, соответствующие положительному значению x, поэтому давайте посмотрим с другой стороны:

f (-1) = (-1) ³ -7 * (- 1) -6 = -1 + 7-6 = 0 x = -1 — корень.(x + 1) — фактор.

f (-2) = (-2) ³ -7 * (- 2) -6 = -8 + 14-6 = 0 x = -2 — корень. (x + 2) — фактор.

Нам повезло, и мы довольно быстро нашли корни наугад и проверке. Делаем вывод, что x ³ -7x-6 = (x-3) (x + 2) (x + 1) .

Просто ради этого, умножьте разложенный на множители многочлен еще раз, чтобы убедиться, что мы получили приемлемый ответ.

(х-3) (х + 2) (х + 1)

(х ² + 2x-3x-6) (x + 1)

(x ² -x-6) (x + 1)

(x ² -x-6) x + (x ² -x-6) 1

x ³ -x ² -6x + x ² -x-6

x ³ -7x-6

x3 — 7x + 6 = 0 имеет три решения: x = 1, 2, -3 / — The Beat The GMAT Forum

Привет.3 — 7x + 6, относительно легко увидеть, что f (1) = 0. Если x = 1 является корнем f (x), это означает, что (x — 1) является множителем f (x). (Это теорема о множителях.) Это означает, что мы можем разделить f (x) на (x — 1), чтобы получить квадратичную. Мы можем добиться этого либо путем деления полиномов в длину, либо путем синтетического деления. 2 + x — 6 = (x + 3) * (x — 2)

Это сразу дает два других корня, 2 и -3, так что три корня равны {1, 2, -3}

. Повторюсь, все это выходит далеко за рамки всего, что вам нужно знать для GMAT.(Вам жаль, что вы спросили в первую очередь?)

И снова GMAT может дать вам кубическую величину и попросить вас подставить числа — что из следующего является корнем — и тому подобное. Но на самом деле факторинг куба с нуля, без калькулятора — это лиги сверх того, что GMAT может разумно ожидать от тестируемых.

Надеюсь, все это поможет. Вот вопрос, который больше похож на GMAT:
https://gmat.magoosh.com/questions/114
Когда вы отправите свой ответ на этот вопрос, на следующей странице будет полное видео решение.В Magoosh у нас есть более 800 вопросов GMAT, каждый со своим видео-решением. У нас также есть более 200 видеоуроков, охватывающих весь контент и стратегии, которые вам понадобятся для GMAT. Из всех доступных высококачественных программ подготовки к GMAT Magoosh — самый доступный. В настоящее время у нас распродажа, которая заканчивается во вторник 3 апреля, так что сейчас самое подходящее время, чтобы проверить нас.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут дополнительные вопросы, касающиеся материала GMAT или Precalculus.

Майк

Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить уравнение.2 — 7x — 6 = 0 Покажи работу, пожалуйста.

Решение уравнения.

Дополнительные пояснения:

Уравнение со степенью 2 называется квадратным уравнением.

Общее квадратное уравнение можно записать как,

В приведенной выше формуле — действительные числа.

Корни квадратного уравнения могут быть найдены по правилу квадратов.

Здесь обозначает дискриминант.

Так как мы знаем, что в квадратном корне действительных чисел не существует отрицательного значения.

Следовательно, значение дискриминанта не может быть отрицательным.

Отрицательное значение в корне не определено для действительных чисел.

Дано:

Данное уравнение есть.

Пошаговое объяснение:

Шаг 1:

Данное уравнение является квадратным уравнением, поскольку его степень равна 2.

Сначала нам нужно найти значения коэффициентов и констант.

Теперь сравните данное квадратное уравнение с общим квадратным уравнением, чтобы получить значения коэффициентов и константы как,

Шаг 2:

Теперь используйте правило квадратичного уравнения, чтобы найти данное квадратное уравнение.

Теперь подставьте значение в формулу квадратного правила, чтобы получить решение уравнения.

Еще больше упростите приведенное выше уравнение.

Следовательно, корни уравнения.

Подробнее:

1. Подробнее о функции в диаграммах ниже brainly.com/question/95

2. Подробнее о симметрии функции brainly.com/question/1286775
3. Узнай больше о средней точке сегмента мозгом.2-5x + 6 = 0

   x ⁴ -5 x ³ + 7 x ² -5 x + 6 = 0

   Теорема о рациональном корне, если рациональное число в простейшей форме p / q является корнем полиномиального уравнения a _n x ⁿ + a _{n — 1} x ^{n — 1} + … + a ₁ x + a ₀ = 0, тогда p является множителем a ₀ и q является коэффициент, если a _n.

   Если p / q является рациональным нулем, то p является множителем 6, а q является множителем 1.

   Возможные значения p : ± 1, ± 2, ± 3.

   Возможные значения для q : ± 1

   По теореме о рациональных корнях единственными возможными рациональными корнями являются, p / q = ± 1, ± 2, ± 3

   Составьте таблицу для синтетического деления и проверьте возможные действительные нули.

   p / q	1	-5	7	-5	6
   1	1	-4	3	-1	7
   -1	1	6	14	27	60
   -2	1	-7	21	-47	100
   2	1	-3	1	-3	0

   Поскольку f (2) = 0, x = 2 является нулем.Пониженный полином равен x ³ — 3 x ² + x — 3 = 0.

   Synthetic Division & Factoring

   Синтетика Дивизион и факторинг (стр. 4 из 4)

   Разделы: Введение, Наработанные примеры, поиск нули, Факторинговые многочлены

   ---

   • Используйте синтетический деление, чтобы определить, x 4 множитель:

     2 x ⁵ + 6 x ⁴ + 10 x ³ 6 x ² 9 х + 4

   Для x 4, чтобы быть фактором, у вас должно быть x = 4 как ноль.С использованием эта информация, я сделаю синтетическое деление с x = 4 в качестве тестового нуля слева:

   Поскольку остаток равен ноль, затем x = 4 действительно является нулем из 2 x ⁵ + 6 x ⁴ + 10 x ³ 6 x ² 9 х + 4, итак:

   Да, x 4 — коэффициент 2 x ⁵ + 6 x ⁴ + 10 x ³ 6 x ² 9 х + 4

   • Найдите все коэффициенты 15 x ⁴ + x ³ 52 x ² + 20 x + 16 с помощью синтетического деления.

   Помните, что если x = — ноль, затем x a — коэффициент. Так что используйте Rational Тест корней (и может быть, быстрый график), чтобы найти хорошее значение для проверки нуля ( x -перехват). Попробую х = 1:

   Этот раздел дает нулевой остаток, поэтому x = 1 должен быть нулем, что означает, что x 1 — фактор.Поскольку я разделил линейный коэффициент (а именно x 1) из оригинала полином, тогда мой результат должен быть кубическим: 15 x ³ + 16 x ² 36 x 16. Поэтому мне нужно найти еще один ноль, прежде чем я смогу применить квадратичный Формула. Больной попробуйте x = 2:

   Поскольку у меня нулевой остаток, затем x = 2 является нулем, поэтому х + 2 — фактор.Кроме того, теперь я скатился к квадратичной 15 x ² 14 х 8, что происходит с коэффициентом:

   Тогда полностью учтен форма исходного многочлена:

   15 x ⁴ + x ³ 52 x ² + 20 x + 16

   • Дано тот является нулем x ⁴ + 6 x ³ 7 x ² 30 x + 10, полностью решить уравнение
     x ⁴ + 6 x ³ 7 x ² 30 x + 10 = 0.

   Поскольку они дали мне один из нулей, я использую синтетическое деление, чтобы разделить его:

   (Возможно, вам понадобится использовать бумажные заметки для вычислений требуется при манипулировании корневым корнем.) Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

   Так как вы получаете только эти квадратный корень ответы с использованием квадратичного Формула и так как части формулы квадратного корня предшествует «плюс-минус» знак, то эти квадратные корни ответы всегда должны быть парами.Таким образом, если является корнем, значит, тоже должно быть корнем. Итак, мой следующий шаг — разделить на:

   Я начал с полином четвертой степени. После первого дивизиона у меня остался кубическая (с очень мерзкие коэффициенты!). После второго деления я стал квадратичным ( x ² + 0 х 5, или просто x ² 5), который я знаю как решить:

   Тогда полное решение это:

   ---

   Если вы изучали комплекс числа, то вы можете увидеть проблему следующего типа.

   • Дано что 2 я является нулем x ⁵ 6 x ⁴ + 11 x ³ x ² 14 x + 5, полностью решить
     уравнение x ⁵ 6 x ⁴ + 11 x ³ x ² 14 х + 5 = 0.

   Они дали нам ноль, поэтому я воспользуюсь синтетическим делением и разделю 2 и :

   (Возможно, вам понадобится использовать бумажные заметки для вычислений требуется при выполнении сложного деления.)

   Напомним, чтобы прибыть при нуле 2 и , они должен был использовать квадратичный Формула, которая всегда выдает сложные ответы парами.То есть вы получаете воображаемое часть (часть с « i «) от отрицательного значения внутри «плюс-минус квадратный корень из» часть Формулы. Это означает, что, поскольку 2 i — ноль, затем 2 + i также необходимо быть нулем. Так что я разделю на 2 + и :

   Это оставляет мне кубический, поэтому мне нужно будет найти еще один ноль самостоятельно.(То есть я не могу применить квадратичный Формулы пока нет.) Я могу использовать Rational Тест на корни помочь найти потенциальные нули и быстрый график x ³ 2 x ² 2 x + 1 может помочь. Буду пробовать х = 1:

   Теперь я перехожу к квадратичной ( х ² 3 х + 1, что не влияет на множитель), поэтому я применяю квадратичный Формула получения:

   Тогда все нули x ⁵ 6 x ⁴ + 11 x ³ x ² 14 х + 5 Выдают:

   ---

   Примеры выше неоднократно относятся к соотношению между коэффициентами и нулями.В других уроках (например, при решении полиномы), эти концепции будут уточнены. На данный момент имейте в виду, что проверка график (если у вас есть графический калькулятор) может быть очень полезным для поиска проверять нули для выполнения синтетического деления, и что нулевой остаток после синтетическое деление на x = a означает, что х a — коэффициент полинома.Если у вас нет доступа к графический калькулятор, который поможет вам найти нужные нули и попробовать, есть некоторые уловки вы можете использовать.

   ---

   Для объяснения причин синтетическое подразделение работает (и для информации о методе варианта, который будет работать для нелинейных делителей), посмотрите файл Adobe Acrobat под названием «Как Synthetic Division Works, или «Безумие, скрывающееся за методом», написанный Уолтером Кеховски из Глендейлского муниципального колледжа в Аризоне.

   << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | Вернуться к индексу

   Цитируйте эту статью как:

   Стапель, Елизавета. «Синтетическое подразделение и факторинг». Пурпурная математика . Доступно по номеру https://www.purplemath.com/modules/synthdiv4.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

   Решения и объяснения промежуточных вопросов по алгебре в примере 5

   Если f (x) = 4x 3 — 4x 2 + 10 , то f (-2) = Решение Заменить x на -2 в f (x) следующим образом f (-2) = 4 (-2) 3 -4 (-2) 2 + 10 = 4 (-8) — 4 (4) + 10 = — 32 — 16 + 10 = — 38 Какое из этих значений x удовлетворяет неравенству -7x + 6 ≤ -8 Решение Решите неравенство -7x + 6 ≤ -8, учитывая -7x + 6-6 ≤ -8-6, прибавить — 6 к обеим сторонам -7x ≤ — 14, упростить -7x / -7 ≥ -14 / -7, разделить на — 7 и ИЗМЕНИТЬ символ неравенства x ≥ 2, набор решений Ответ на поставленный выше вопрос — D, поскольку 2. Область определения функции f (x) = √ (6 — 2x) задается выражением Решение f (x) вещественно, если выражение под радикалом положительно или равно нулю. Следовательно, чтобы найти область определения, необходимо решить следующее неравенство. (6 — 2x) ≥ 0 x ≤ 3, область f Строки y = 2x и 2y = — x являются A. параллельно Б. перпендикулярный С.горизонтальный D. вертикальный Решение Горизонтальные линии имеют вид y = постоянный, а вертикальные линии имеют форму от x = постоянный, поэтому эти две линии не являются ни горизонтальными, ни вертикальными. Найдем наклоны двух заданных прямых y = 2x имеет наклон, равный 2 2y = — x эквивалентно y = — (1/2) x, а его наклон равен — (1/2) Поскольку наклоны не равны, две линии не параллельны. Произведение двух наклонов дается выражением 2 (-1/2) = — 1 и, следовательно, две линии перпендикулярны. Уравнение | -2x — 5 | — 3 = k не имеет решения, если k = Решение Сначала перепишем данное уравнение в виде | -2x — 5 | = к + 3 Термин | -2x — 5 | либо положительно, либо равно нулю. Следовательно, указанное выше уравнение не имеет решений, если выражение k + 3 отрицательно. Значения k, для которых указанное выше уравнение не имеет решений, являются решениями неравенства k + 3 <0 или k <- 3 Ответ — A, поскольку — 5 меньше — 3. Неравенство, соответствующее утверждению: «цена не менее 100 долларов» есть Решение Если цена не меньше 100 долларов, то цена равна или больше 100 долларов. х ≥ 100 Какое из этих отношений НЕ НЕ представляет функцию? A. {(2,3), (- 4,3), (7,3)} Б. {(0,0), (- 1, -1), (2,2)} С.{(2,3), (- 5,3), (2,7)} Д. {(-1,3), (- 5,3), (- 9,0)} Решение Для отношения в C, когда x = 2, есть два возможных значения y: 3 или 7, и поэтому отношение в C не является функцией. Какая из этих точек НЕ лежит на графике y = -x + 3 ? A. (9, — 6) Б. (3,0) С. (-2,5) Д. (2,2) Решение Подставьте координаты данных точек в данное уравнение и проверьте, какое из них дает ложное утверждение. Точка (9, — 6): — 6 = — (9) + 3, — 6 = — 6, истина, точка лежит на прямой Точка (3,0): 0 = — (3) + 3, 0 = 0, истина, точка лежит на прямой Точка (-2,5): 5 = — (-2) + 3, 5 = 5, истина, точка лежит на прямой Точка (2,2): 2 = — (2) + 3, 2 = 1, false, точка НЕ ​​лежит на линии Ответ D. Каков наклон прямой, перпендикулярной прямой y = -5x + 9 ? Решение Наклон заданной (в форме пересечения наклона) прямой равен — 5.Пусть m — наклон прямой, перпендикулярной данной прямой. Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Следовательно м * (- 5) = — 1 Решить относительно m. Следовательно м = 1/5 — наклон прямой, перпендикулярной данной прямой. Какое свойство используется для записи: 3 (x y) = (3 x) y ? A. Коммутативное свойство умножения Б. Мультипликативное обратное свойство С.Распределительная собственность D. Ассоциативное свойство умножения Решение Мы можем использовать ассоциативное свойство умножения для записи 3 (х у) = (3 х) у В каком квадранте пересекаются прямые x = 3 и y = — 4? Решение Две прямые пересекаются в точке (3, -4), которая находится в квадранте IV. Стоимость 2 — | — 2 | это Решение 2 — | — 2 | = 2 — 2 , поскольку | — 2 | = 2 = 1/2 2 , так как -n = 1 / a n = 1/4 = 0.25 Если a и b — положительные действительные числа, то (a 0 — 3b 0 ) 5 = Решение Упростить. (a 0 — 3b 0 ) 5 = (1 — 3 * 1) 5 = (- 2) 5 = — 32 Какое неравенство описывает ситуацию: «длина L не более 45 см» . Решение С Уравнение m x — 8 = 6-7 (x + 3) НЕ имеет решения, если m = Решение Решить относительно x. м x — 8 = 6-7 (x + 3) м x + 7x = 6 — 21 + 8 х (м + 7) = -7 х = — 7 / (м + 7) м не может быть равно -7, иначе знаменатель будет равен нулю. Уравнение — m x + 1 = 13-4 (x + 3) является тождеством, если m = Решение Разверните обе правые стороны. — м х + 1 = — 4 х + 1 Вышеупомянутое является идентичностью, если m = 4. Что из следующего ВСЕГДА верно? Решение Каждая функция — это отношение Какое из этих неравенств НЕ имеет решения? Решение Абсолютное значение любого выражения положительно или равно нулю.Отсюда неравенство. | x + 3 | <-2 не имеет решений Прямые y = (a — 5) x + 5 и y = -2x + 7 параллельны, если a = Решение Две прямые параллельны, если их наклоны равны. Следовательно а — 5 = — 2 Решить для а = 3 Прямые y = (a — 5) x + 5 и y = -2 x + 7 перпендикулярны, если a = Решение Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1.Следовательно -2 (а — 5) = — 1 Решить для а = 11/2 Ответы на вышеперечисленные вопросы В D С B А B С D С D С B С D С А B С B А Алгебра Вопросы и задачи Дополнительная практика ACT, SAT и Compass

   .

   No related posts.