Икс умножить на икс в квадрате сколько будет: икс умножить на икс в квадрате сколько будет? 2икс в квадрате или икс в кубе

Содержание

x в квадрате умножить на x

Вы искали x в квадрате умножить на x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x в квадрате умножить на x в квадрате, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «x в квадрате умножить на x».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x в квадрате умножить на x,x в квадрате умножить на x в квадрате,x умножить на x в квадрате,икс в квадрате умножить на икс,икс в квадрате умножить на икс в квадрате,икс умножить на икс в квадрате,х в квадрате умножить на х,х в квадрате умножить на х в квадрате,х в квадрате умножить на х в квадрате умножить на х,х в квадрате умножить на х в квадрате умножить на х в квадрате,х в квадрате умножить х в квадрате,х умножить на х в квадрате.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x в квадрате умножить на x. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, x умножить на x в квадрате).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x в квадрате умножить на x Онлайн?

Решить задачу x в квадрате умножить на x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Формулы сокращенного умножения - Математика

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

3. a2 - b2 = (a + b)(a - b).

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

5. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).

7. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).

Раздел "Формулы сокращенного умножения" содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете "щелкать" такие задачи.

 

 

Разложить на множители x3 - 3x2 + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 - 3

x2 + 4 = x3 + x2 - 4x2 + 4 = x2(x + 1) - 4(x2 - 1) =

x2(x + 1) - 4(x - 1)(x + 1) = (x2 - 4(x - 1))(x + 1) = (x2 - 4x + 4)(x + 1) = (x - 2)2(x + 1).

Ответ: (x - 2)2(x + 1).


 

Разложить на множители x4 - 4x3 + 3x2 + 4x - 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 - 4x3 + 3x2 + 4x - 4 = x2(x2 - 4x + 3) + 4(x - 1) = x2(x2 - x - 3x + 3) + 4(x - 1) =

x2(x[x - 1] - 3[x - 1]) + 4(x - 1) = x2(x - 3)(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(

x2[x - 3] + 4) =

= (x - 1)(x3 - 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 - 3x2 + 4) равен (x - 2)2(x + 1), а потому:

(x - 1)(x3 - 3x2 + 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)2.

Ответ: (x - 1)(x + 1)(x - 2)2.

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную - например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:


Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).


Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.


Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).

Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).


Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

- потом второе.


Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:

- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)

Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.

\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)

Упрощаем получившееся выражение…

\(=7x+10-6x-2y=\)

…и приводим подобные.

\(=x+10-2y\)

Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)

Вновь приводим подобные.

\(=-(10x-18)=\)

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

\(=-10x+18\)

Готово.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Таблица квадратов

Таблица квадратов
 123456789
1121144169196225256289324361
2441484529576625676729784841
396110241089115612251296136914441521
4168117641849193620252116220923042401
5260127042809291630253136324933643481
6372138443969409642254356448946244761
7504151845329547656255776592960846241
8656167246889705672257396756977447921
9828184648649883690259216940996049801

— версия для печати
Определение
Квадрат числа — результат умножения числа на себя. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень 2 (во вторую степень).
Пример:
92 = 9×9 = 81
Дополнительно:
Расширенная таблица квадратов (числа от 1 до 210)
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Урок алгебры в 7-м классе для дистанционного обучения детей с ограниченными возможностями "Формулы сокращенного умножения"

Цель: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении примеров, повторить материал.

План:

  1. Ключевые слова.
  2. Доказательство формулы суммы кубов.
  3. Примеры.
  4. Повторение.
  5. Примеры с объяснением
  6. Домашнее задание.

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов.

Квадрат суммы

двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй (a+b)2=a2+2ab+ b2

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть.

Пример. Докажите формулу a 3  +  b 3  = ( a  +  b )( a 2  –  ab  +  b 2 ). 

Решение. Имеем ( a  +  b )( a 2  –   ab  +  b 2 ) =  a 3  –  a 2 b  +  ab 2  +  ba 2  –  ab 2  –  b 3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a  +  b )( a 2  –  ab  +   b 2 ) =  a 3  +  b 3, что и доказывает нужную формулу.

Пример.  Упростите выражение (2 x 3  – 5 z )(2 x 3  + 5 z ).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3  – 5 z )(2 x 3  + 5 z ) = (2 x 3 ) 2  – (5 z ) 2  = 4 x 6  – 25 z 2.

Ответ.  4 x 6  – 25 z 2.

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.

Немного теории.

Существует несколько способов разложения:

Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Способ группировки

Алгоритм разложение многочлена на множители способом группировки

  1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
  2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
  3. Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a6b3-96a4b4+64a2b5

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4.

НОД(36,96,64)=4. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.

Итак, за скобки вынесем 4a2b3.

36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:

9a4 - 24a2b + 16b2 = (3a2)2 - 2·3a2·4b + (4b)2.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,

9a4 - 24a2b + 16b2 = (3a2-4b)2.

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:

36a6b3-96a4b4+64a2b5= 4a2b3(3a2-4b)2.

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a6b3-96a4b4+64a2b5

Решение (краткая запись)

36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2) =4a2b3 (3a2-4b)2

Комбинируем два приема:

  • вынесение общего множителя за скобки;
  • использование формул сокращенного умножения.

Пример 2

Разложить на множители многочлен a2 - с2 + b2 + 2ab

Решение:

Комбинируем два приема:

  • группировку;
  • использование формул сокращенного умножения

Пример 3

Разложить на множители многочлен y3 – 3y2 + 6y – 8

Попробуйте его решить

Комбинируйте три приема:

  • группировку;
  • формулы сокращенного умножения;
  • вынесение общего множителя за скобки.

Решение:

y3 – 3y2 + 6y – 8=(y3-8)-(3y2-6y) = (y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2) = (y-2)(y2+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4).

Комбинирование различных приемов

Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

“Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

Увидеть” и попробовать выделить полный квадрат.

Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

За страницами учебника алгебры

Квадратное уравнение – это уравнение вида: ax2+bx+c=0 (где a=0)

Многочлен вида: ax2+bx+с – квадратный трёхчлен.

Коэффициенты: a, b, с (где с – свободный член)

Задание 1. Разложить на множители x2+5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Задание 2.

Разложить на множители x3+2x2-5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Пример 4

Разложить на множители n3+3n2+2n

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2). Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).

Окончательно получаем:

n2+3n+2=n(n+1)(n+2).

Задание: самостоятельно попробуйте сделать краткую запись примера

Метод выделения полного квадрата

Пример разложить на множители квадратный трехчлен х2-6x+5

Первый способ.

Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,-1,+5,-5.

Представим –6x=–x+(-5x), а затем применим способ группировки:

x2-6x+5=x2-5x+5=(x2-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

Второй способ.

Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2*х*3.

Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3.

x2-6x+5=(x2-2·x·3+32)-32+5 = (x2-6x+9)-9+5 = (x2-6x+9)-4 = (x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2) = (x-5)(x-1)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы научились использовать комбинацию различных приемов при разложение многочлена на множители. Попытались выработать план применения на практике.

При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы:

  • вынесение общего множителя за скобки;
  • группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования;
  • использование формул сокращенного умножения;
  • выделение полного квадрата;
  • комбинирование различных приемов.

Домашнее задание. № 645, 654, 648(в,г).

Комплексные числа

комплексные числа рассмотрим два простых похожих друг на друга квадратных уравнений а x квадрат минус единица равно нулю и 2 x квадрат плюс единица равно нулю оказывается что первое уравнение корме имеет на множестве действительных чисел давайте их найдём x квадрат равен единице отсюда x будет равен плюс-минус корень из правой части корень из единицы и получаем x равен плюс минус единица то есть данное уравнение имеет два корня моих нашими а что будет со вторым x квадрат будет равен единицу переносим противоположную сторону со знаком минус и получаем что x равен плюс-минус корень из минус единицы но корень из отрицательного числа на множество действительных чисел не существует то есть не определен чтобы устранить эту проблему математики придумали обозначить корень из минус единицы числом и это число назвали мнимая единица мнимая единица и или если сейчас возвести обе части квадрата у нас получится что квадрат мнимой единицы равен минус единице то есть i в квадрате равно минус 1 это вот и есть основная формула при определении мнимой единицы то есть мнимая единица число и это такое число квадрат которого равен минус единице кстати почему так получилось потому что вообще что такое квадратный корень из какого-то числа это такое число квадрат которого равен подкоренного выражения действительно если сейчас от приравнять эту минут корень из минус единицы к числу и и возвести обе части в квадрат и левую часть тогда у нас получится в левой части минус единица в правой части и то есть ip и будет равно i в квадрате будет равно минус единицы таким образом мнимая единица это такое число квадрат которой равен минус единице сейчас отдельно это запишем и попробуем теперь с помощью вот этого числа и с помощью этой мнимой единицы или еще можно сказать воображаемо единица то есть такая которая как бы не существует так вот квадрат мнимой единицы равен i в квадрате равно минус единицы попробуем с помощью вот этого числа и решить квадратное уравнение дискриминант которого отрицательным рассмотрим уравнение x квадрат минус 4x плюс 8 равно нулю найдем дискриминант дискриминант будет равен b квадрат на можно было d1 находите лидой деленной на 4 но уже начал дискриминант мяч b квадрат это будет минус 4 в квадрате то есть получается 16 минус 4 ac4 на единицу 4 дано 832 тут получается минус 16 а это значит что корни квадратного уравнения будут иметь вид x первое второе будет равно минус b то есть будет минус да на минус еще минус минус 4 это не будет просто 4 плюс минус корень из дискриминанта из минус 16 разделить на 2а то есть на 2 равно 4 плюс минус что делать с квадратным корнем из отрицательного числа можно представить число минус 16 как 16 умножить на -1 а теперь извлечь корень квадратный из 1 сомножителя и 2 сомножитель отдельно тогда у нас получается четыре плюс минус корень из 16 умножить на корень из минус единицы корень из 16 это будет 4 а корень из минус единицы пока так и перепишем корень из минус единицы разделить на 2 корень да только тут я дописал минус и корень из минус единицы долота и разделить на 2 таким образом у нас получается корень из минус единицы это и получается у нас 4 разделить на 2 сразу пошли на деле ночь будет 2 плюс минус второе слагаемое тоже делим на 2 получается 2 таким образом решением данного квадратного уравнения получилось вот такое вот такие два числа 2 плюс 2 и 2 минус 2 вот такие числа назвали комплексными числами то есть числа которые содержат вот эту мнимую единицу назвали комплексными числами теперь запишем уже общий вид комплексного числа комплексное число это число вида комплексная прямо так вот можно написать комплексное число комплексное число это число вида z равно икс плюс и умножить на y где x и y это действительные числа то есть можно написать что x принадлежит множеству действительных чисел и y тоже принадлежит множеству действительных чисел а вот число и это мнимая единица то есть а и это мнимая мнимая единица ну и сразу запишем квадрат который равен минус единице то есть сразу запишем это определение хотя это не обязательно писать ваши это уже было уже до этого записали то есть это мнимая единица а далее теперь что называется у данного комплексного числа то есть комплексное число это вот такое выражение вот что такое комплексное число комплексное число это вот такое выражение в данном выражении если x будет равен нулю то мы получим число вида z но тоже рассмотрим этот вариант то есть если число x будет предположим равно нулю если x равно нулю то число z у нас будет равно и умножить на y вот такое число иногда называют чисто мнимым то есть у этого числа отсутствуют вот эта действительная часть кстати x называется действительной частью мы сейчас это чуть позже пишем а y называется мнимой частью комплексного числа а вообще вот эта вся запись вот эта вся запись вот она она называется алгебраической формой записи комплексного числа как вот если x равно нулю то число z будет и умножить на y иногда его называют чисто мнимым это число которое не содержит вот этой отдельной действительной части а если y будет равен нулю если y равен нулю то комплексное число превращается в действительное число почему что если y равен нулю у нас тогда вот этой части которая содержит мнимую единицу то есть число и тогда будет отсутствовать и тогда у нас получается что z будет равно просто иксу если второе слагаемое равно нулю то есть получается что комплексное число содержит в себе действительно любое действительное чувству это в том случае если вики равны нулю число x я уже сказал вот-вот в записи комплексного числа 1 слагаемое x называется действительной частью комплексного числа можно это записать следующим образом то есть число x называется кстати для него придумали такое обозначение x равно реал z z z реал z от слова реал действительно действительная часть числа z то есть x это действительно часть числа зы а y это придумали такое обозначение им z от слова и мы genere воображаемый мне мы то есть от слова воображаемая часть или мнимая часть числа z y равно мнимая часть числа за то есть x это действительная часть числа z а y это мнимая числа за а далее вот здесь у нас при решение квадратного уравнения получилось либо число два плюс два и это первый корень а второй корень 2 минус 2 и то есть у нас получилось два корня вот такого вида кстати можно и так записать если одно число равно а + ebd а второе число равно а минус и б то такие числа комплексные называются комплексно сопряженным то есть вот запишем так z сопряженное равно а минус так тут я вместо а x должен записать час я буду значит и так а вместо x и z равно x плюс y тогда z сопряженное вот так с чертой пишется равно x минус и умножить на егэ то есть комплексно сопряженные числа имеют противоположные по знаку мнимые части противоположные по знаку мнимые части у если у исходного комплексного числа мнимая часть равна y то у сопряженного комплексного числа мнимая часть равна минус и вот если сейчас мы умножим на и первом случае просто y а во втором случае минус y умножить на это у нас получится как раз противоположное по знаку комплексной части ну такой пример приведу например если предположим комплексное число z равно 2 плюс 3 и тогда сопряженное ему будет равно 2 минус 3 а если число z равно например 3 -5 и тогда комплексно сопряженная имеет противоположную по знаку вот эту мнимую часть и тогда у нас получится комплексно сопряженная будет иметь три плюс пять и то есть комплексно сопряженное число к какому-то числу например вот к этому комплексно сопряженным будет число у которой мнимая часть имеет противоположную по знаку часть противоположно поздно качеству а далее теперь переходим к действиям с простейшим действием комплексных чисел записанных в алгебраической форме но прежде чем мы перейдем к действиям с комплексными числами я бы хотел еще раз смотреть произведение сейчас я это уберу то есть произведение числа z на комплексно сопряженное ему числу число оказывается что если мы умножим z на z сопряженное ему то оказывается что вот это произведение двух таких чисел будет всегда действительным числом а почему вот почему попробуем перемножить то есть если z равно икс плюс и y а да ну наверное прежде чем это делать надо наверное просто рассмотреть произведения двух комплексных чисел до что об этом чуть позже сначала рассмотрим давайте сумму двух комплексных чисел разность двух комплексных чисел и произведение а потом уже рассмотрим произведения z на z сопряженное почему потому что мы еще пока не определили понятие произведения комплексных чисел и так далее поэтому начнем с простого суммы двух комплексных чисел пусть даны два комплексных числа z 1 равно x1 плюс и на y1 и z2 равно x 2 + и на y2 тогда суммой двух комплексных чисел называется число ну например запишем z3 которая равно z1 + z 2 называется число действительные части которого равны сумме действительных частей слагаемых а мнимые части равны сумме мнимых частей слагаемых но действительно так и получится сейчас почему потому что если вместо z1 подставить то чему оно равно это x1 плюс и на y1 вместо z2 это x2 + и на y2 то сейчас мы привести можем подобные слагаемые кс 1 плюс x 2 запишем отдельно x1 плюс из 2 это у нас получится действительная часть плюс и выносим за скобки в скобках у нас получается y 1 плюс и то есть да действительно при сложении двух комплексных мы должны сложить действительные части слагаемых изложить мнимые части слагаемых в итоге мы получим сумму двух комплексных чисел теперь как найти предположим произведения двух комплексных чисел попробуем z 1 умножить на z 2 то есть это будет некое число z 3 сейчас сразу запишемся z3 равно за это одним умножить на z 2 умножаем x1 плюс и на y1 на x2 + и на игриво как умножить два комплексных числа в тригонометрической форме запись просто раскрыть скобки начинаем умножать x1 до x2 и 1 на 2 тогда у нас получается x1 x2 + и умножить на x 1 или 2 plus ii x2 y1 это уже второе мы начали умножать на первое второе на второе и плюс и на и это будет и квадрат на y1 и y2 перемножили теперь приведем подобные слагаемые но прежде чем будем переводить подобные слагаемые заменим и квадрат на минус единицу почему что и квадрат по определению равно минус единицы а это значит у нас тогда получается x1 и x2 минус y1 и y2 это будет действительная часть числа потому что она не содержит числа и и плюс и мы выносим за скобку в скобках у нас икс один и игрек 2 + x 2 y1 то есть у нас в итоге получилось вот такое число произведения двух комплексных чисел нужно выполнять вот по этой формуле теперь переходим к произведению числа z на комплексно сопряженное ему число вот здесь и отдельно сейчас это запишу то есть если мы умножим число z на комплексно сопряженное ему число тогда мы получаем x плюс и y умножить на x минус y то есть мы перемножаем 2 комплект на сопряженных числа что получается x на x x квадрат плюс и умножить на x y + и так минус и умножить на x и здесь с минусом будет минус и умножить на x и и далее то что я сделал я умножил 1 на 1 2 на 1 и теперь 1 на второе второе на второе тогда у нас получается еще остается у нас минус и квадрат на y в квадрате что в итоге получается x квадрат а вот вместо числа и мы подставим минус единица да еще один минус вот здесь у нас будет минус на минус даёт плюс но получается у нас x квадрат плюс y в квадрате a и x и y и минусы и x y взаимно уничтожают друг друга таким образом у нас произведение комплексно сопряженных чисел дает нам число действительно которое равно x квадрат плюс y квадрат то есть z умножить на z сопряженное равно сумме квадратов действительных действительной и мнимой частей идем дальше теперь попробуем после того как мы нашли чему равно z на z сопряженное попробуем найти частное двух комплексных чисел попробуем поделить z1 на z2 чему тогда будет равно частная вместо z1 да кстати сразу хочу сказать что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел удобно избавиться от мнимости если так можно вырастить знака выразиться в знаменателе а чтобы избавиться от мнимости в знаменателе нужно умножить на z сопряженное знаменателе и числитель и знаменатель сейчас я покажу почему вообще для чего это делать итак умножим z z 2 на z2 сопряженная но раз мы умножили на z сам на z2 сопряженная знаменатель то чтобы / не изменилось нужно умножить на z 2 сопряжённая еще и числитель мы теперь остается только подставить вместо z1 подставляем x1 плюс и на y1 вместо z 2 из 2 плюс и на y2 и умножаем на сопряженное знаменателе то есть на сопряженное z2 это значит будет x 2 минус и на y2 с противоположным знаком берем мнимую часть а раз мы умножили на сопряженное знаменателю значит числитель тоже надо умножить на сопряженное знаменателе получается x 2 минус и на y2 в итоге у нас в числителе получается действительное число то есть у нас в числителе получается x квадрик 2 в квадрате плюс y 2 квадрате можно еще раз проверить x 2 x 2 x 2 в квадрате и x2 y2 и минус и x2 y2 взаимно 4 друг друга остается только вот это и y2 минус и y2 и квадрата равна минус единицы да еще вот этот минус даёт нам плюс то есть получается действительно вот такая сумма уже мы это находили сейчас только что когда умножали z на z сопряженное а в числителе перемножаем двач комплексное число тогда у нас получается x1 до x2 умножение мы уже делали я сразу запишу а теперь умножая вот это на это это даст нам тоже действительное число и на и это будет и квадрат с минусом да еще на минуту за меня получается плюс y1 и y2 это у нас действительная часть числителя получается и так и еще у нас будет плюс и умножить на x 2 y1 и минус икс один или два x 1 или 2 все задача решена то есть мы нашли формулу для деления двух комплексных чисел потом надо будет еще рассмотреть на примере вот именно это деление так это я убираю и рассмотрим несколько примеров предположим нам нужно найти сумму или разность но давайте найдем предположим разность двух комплексных чисел то есть 3 -4 и например надо от этого комплексного числа записано в алгебраической форме записи минус 2 комплексное число тоже в алгебраической форме 5 плюс 2 и предположено раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые 3 минус 4 и минус 5 минус 2 и раскрыли скобки тут у нас минус начинать по меняются на противоположные и получаем 3 -5 будет -2 минус 4 и до -2 и и выносим за скобки получая минус 4 до -2 то есть получаем минус 6 и таким образом разность двух комплексных чисел получилось равна вот такому комплексному числу следующий пример второй пример предположим надо найти произведения двух комплексных чисел предположим 2 -3 и надо умножить на единица плюс 5 и предположим равно перемножаем 2 умножить на 1 будет 2 теперь -3 и умножаем на единицу будет минус 3 минус 3 и перемножаем первое так этому dab теперь 1 на 2 и и второе так сейчас все ли я так давайте по очереди начали так 2 на единицу 2 на 5 и чтобы не запутаться 1 на 1 1 на 2 получается 2 + 10 и теперь второе на первое это минус 3 и -3 и и вот это на это это получается минус 15 квадрат то есть минус 15 данное в квадрате теперь и в квадрате это минус единица получается минус 15 до на минус единицу даст нам просто 15-15 до плюс 2 это будет 17 и плюс 10 и до -3 и даст нам 7 и то есть получается плюс 7 и окончательный ответ после произведе двух комплексных чисел нас такое 17 плюс семь и далее переходим к делению комплексных чисел то есть третье предположим нам надо разделить число 3 плюс 2 и например и предположим на 5 с минусом например возьмем минус 3 и например -3 что тогда нужно сделать нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателе сопряженное знаменателе это комплексное число которое имеет противоположную по знаку мнимую часть это значит что начнем с и со знаменателем то есть число 5 минус 3 и умножаем на сопряженное то есть на 5 плюс 3 и это число которое имеет противоположную мнимую часть и числитель три плюс два и мы тоже умножим на вот это число на которое мы умножили знаменатель то есть на 5 плюс 3 и получаем раскрываем скобки неважно с чего начать а вот например сразу можно кстати вот в знаменателе разобраться у нас произведения двух комплексных 2 комплексно сопряженных чисел но произведение двух комплексно сопряженных у нас равно x квадрат плюс y квадрат по формуле ну или можно отдельно это сделать сейчас убедиться в этом что это все равно будет квадрат действительной части плюс квадрат мнимой части то есть у нас получается по формуле 5 в квадрате плюс 3 в квадрате если кто-то формулу не помнить не проблема просто вот перемножает раскрывать скобки перемножает приводит подобные слагаемые и все равно получится вот такой результат а мы сразу записали по формуле что z умножить на z сопряженное до x квадрат плюс y квадрат мы по формуле написали знаменатель теперь раскрываем в скобки в числителе 3 умножить на 5 будет 15 3 умножить на 3 и это будет плюс 9 и плюс 2 и на 5 до будет 10 и и плюс дважды 36 и квадрат и квадрат заменяем на минус единицу когда у нас получается вот здесь вот у нас получается и квадратный -1 заменяя получается не 6 а минус 6у же и 15 до -6 у нас получается просто 99 далее плюс 9 и до плюс 10 это будет 19 и а в знаменателе у нас получается 5 в квадрате это 25 до плюс 9 то есть в итоге получается 34 то есть в итоге получается 9 + 19 и разделить на 34 почленно делим 1 слагая мадрид 4 второе нас получается девять тридцать четвертый плюс 1930 четвертых умножить на и и мы получили комплексное число вот это его действительная часть нового комплексного числа а вот это его мнимая часть это как бы x новый а это то есть в итоге мы при делении двух комплексных чисел получили новое комплексное число вот такого вида и отдельно нашли мы и действительную и мнимую его часть а если действительно не матчасть на один иначе комплексное число известна она нам задана на следующем уроке рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа

Три правила экспонент - Полный курс алгебры

Урок 13, Раздел 2

Вернуться в раздел 1

Правило 1. То же основание

Правило 2. Мощность продукта

Правило 3. Мощность мощности

Правило 1. То же основание

«Чтобы умножить степени одного и того же основания, сложите экспоненты».

Например, a 2 a 3 = a 5 .

Почему мы складываем экспоненты? Из-за того, что означают символы. Раздел 1.

Пример 1. Умножение 3 x 2 · 4 x 5 · 2 x

Решение . Задача означает (Урок 5): умножьте числа, затем сложите степени x :

.

3 x 2 · 4 x 5 · 2 x = 24 x 8

Два фактора x - x 2 - умножить на пять факторов x - x 5 - умножить на один фактор x , произвести всего 2 + 5 + 1 = 8 множителей x : x 8 .

Задача 1. Умножить. Примените правило Same Base.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) 5 x 2 · 6 x 4 = 30 x 6 б) 7 x 3 · 8 x 6 = 56 x 9
в) x · 5 x 4 = 5 x 5 г) 2 x · 3 x · 4 x = 24 x 3
e) x 3 · 3 x 2 · 5 x = 15 x 6 е) x 5 · 6 x 8 y 2 = 6 x 13 y 2
г) 4 x · y · 5 x 2 · y 3 = 20 x 3 y 4 ч) 2 x y · 9 x 3 y 5 = 18 x 4 y 6
i) a 2 b 3 a 3 b 4 = a 5 b 7 к) a 2 bc 3 b 2 ac = a 3 b 3 c 4
к) x м y n x p y q = x m + p y n + q л) a p b q ab = a p + 1 b q + 1

Проблема 2.Различают следующие:

x · x и x + x .

x · x = x ². x + x = 2 x .

Пример 2. Сравните следующее:

а) x · x 5 б) 2 · 2 5

Решение .

а) x · x 5 = x 6

б) 2 · 2 5 = 2 6

Часть b) имеет ту же форму , что и часть a). Это часть а) с x = 2.

Один коэффициент на 2 умножает на пять коэффициентов на 2, получая шесть коэффициентов на 2.

2 · 2 = 4 здесь неверно.

Проблема 3. Примените правило Same Base.

а) x x 7 = x 8 б) 3 · 3 7 = 3 8 в) 2 · 2 4 · 2 5 = 2 10
г) 10 · 10 5 = 10 6 д) 3 x · 3 6 x 6 = 3 7 x 7

Проблема 4.Примените правило Same Base.

а) x n x 2 = x n + 2 б) x n x = x n + 1
в) x n x n = x 2 n г) x n x 1 - n = x
e) x · 2 x n - 1 = 2 x n е) x n x м = x n + m
г) x 2 n x 2 - n = x n + 2

Правило 2: Сила произведения факторов

"Увеличьте каждый коэффициент до той же степени.«

Например, ( ab ) 3 = a 3 b 3 .

Почему мы можем это сделать? Опять же, в соответствии с тем, что означают символы:

( ab ) 3 = ab · ab · ab = aaabbb = a 3 b 3 .

Порядок факторов не имеет значения:

ab · ab · ab = aaabbb .

Задача 5. Применить правила экспонент.

а) ( x y ) 4 = x 4 y 4 б) ( pqr ) 5 = p 5 q 5 r 5 в) (2 abc ) 3 = 2 3 a 3 b 3 c 3
d) x 3 y 2 z 4 ( xyz ) 5 = x 3 y 2 z 4 · x 5 y 5 z 5 Правило 2.
= x 8 y 7 z 9 То же основание.

Правило 3: Степень мощности

«Чтобы взять степень степени, умножьте экспонент».

Например, ( a 2 ) 3 = a 2 · 3 = a 6 .

Почему мы это делаем? Опять же, из-за того, что означают символы:

( a 2 ) 3 = a 2 a 2 a 2 = a 3 · 2 = a 6

Задача 6. Примените правила экспонент.

а) ( x 2 ) 5 = x 10 б) ( a 4 ) 8 = a 32 в) (10 7 ) 9 = 10 63

Пример 3.Примените правила экспонент: (2 x 3 y 4 ) 5

Решение . В скобках указаны три множителя: 2, x 3 и y 4 . Согласно Правилу 2 мы должны брать пятую степень каждого из них. Но чтобы взять степень степени, мы умножаем показатели. Следовательно,

(2 x 3 y 4 ) 5 = 2 5 x 15 y 20

Проблема 7.Применяйте правила экспонент.

а) (10 a 3 ) 4 = 10 000 a 12 б) (3 x 6 ) 2 = 9 x 12
в) (2 a 2 b 3 ) 5 = 32 a 10 b 15 г) ( xy 3 z 5 ) 2 = x 2 y 6 z 10
e) (5 x 2 y 4 ) 3 = 125 x 6 y 12 е) (2 a 4 до н.э. 8 ) 6 = 64 a 24 b 6 c 48

Проблема 8.Применяйте правила экспонент.

a) 2 x 5 y 4 (2 x 3 y 6 ) 5 = 2 x 5 y 4 · 2 5 x 15 y 30 = 2 6 x 20 y 34

b) abc 9 ( a 2 b 3 c 4 ) 8 = abc 9 · a 16 b 24 c 32 = a 17 b 25 c 41

Проблема 9.Используйте правила экспонент, чтобы вычислить следующее.

а) (2 · 10) 4 = 2 4 · 10 4 = 16 · 10 000 = 160 000

б) (4 · 10 2 ) 3 = 4 3 · 10 6 = 64 000 000

в) (9 · 10 4 ) 2 = 81 · 10 8 = 8 100 000 000

В степенях 10 столько же нулей, сколько в экспоненте 10.

Пример 4. Квадрат x 4 .

Решение . ( x 4 ) 2 = x 8 .

Чтобы возвести в квадрат степень, удвойте экспоненту.

Проблема 10. Возведите следующее.

а) x 5 = x 10 б) 8 a 3 b 6 = 64 a 6 b 12
в) −6 x 7 = 36 x 14 г) x n = x 2 n

Часть c) иллюстрации: Квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

(−6) (- 6) = +36. Правило знаков.

Задача 11. Примените правило экспонент - если возможно.

а) x 2 x 5 = x 7 , Правило 1. б) ( x 2 ) 5 = x 10 , Правило 3.
в) x 2 + x 5
Невозможно. Правила экспонент применяют только к умножению.

В итоге: Добавьте экспонент, когда одно и то же основание появляется дважды: x 2 x 4 = x 6 . Умножьте экспоненты, когда основание появится один раз - и в круглых скобках: ( x 2 ) 5 = x 10 .

Задача 12. Примените правила экспонент.

а) ( x n ) n = x n · n = x n 2 б) ( x n ) 2 = x 2 n

Проблема 13.Примените правило экспонент или добавьте похожие термины - если возможно.

а) 2 x 2 + 3 x 4 Невозможно. Это не похоже на термины .

б) 2 x 2 · 3 x 4 = 6 x 6 . Правило 1.

в) 2 x 3 + 3 x 3 = 5 x 3 .Как термины. Показатель степени не меняется.

г) x 2 + y 2 Невозможно. Это не похоже на термины.

д) x 2 + x 2 = 2 x 2 . Как термины.

е) x 2 · x 2 = x 4 . Правило 1

г) x 2 · y 3 Невозможно.Разные базы.

ч) 2 · 2 6 = 2 7 . Правило 1

i) 3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 · 3 5 (При добавлении подобных терминов) = 3 6 .

Мы продолжим правила экспонентов в 21 уроке.

Следующий урок: Умножение. Распределительное правило.

Вернуться в раздел 1

Содержание | Дом


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.1/2?

Хлоя К.

спросил • 03.11.14

Пытаюсь интегрироваться, но у меня проблемы с индексами. Изначально был x ¹x.

Филип П. ответил • 03.11.14

Эффективный и терпеливый репетитор по математике

Индексы или экспоненты? Как написано, они экспоненты.Вот правило: когда вы умножаете два члена с одинаковым основанием, экспоненты складываются. Итак:

x * x 1/2 = x 1 + 1/2 = x 3/2

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ - - ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° - ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

переменных с показателями - как их умножить и разделить

Как их умножить и разделить

Что такое переменная с экспонентой?

A Переменная - это символ числа, которое мы еще не знаем.Обычно это буква типа x или y.

Показатель степени (например, 2 в x 2 ) указывает, сколько раз использовать переменную при умножении.

Пример:

y 2 = yy

( yy означает y , умноженное на y , потому что в алгебре размещение двух букв рядом друг с другом означает их умножение)

Аналогично z 3 = zzz и x 5 = xxxxx

Показатели 1 и 0

Показатель 1

Когда показатель степени равен 1, у нас есть только сама переменная (например, x 1 = x )

Обычно мы не пишем «1», но иногда полезно помнить, что x - это также x 1

Показатель 0

Когда показатель степени равен 0, мы не умножаем ни на что, и ответ будет просто «1»
(например, y 0 = 1 )

Умножение переменных на экспоненты

Итак, как это умножить:

2 ) (г 3 )

Мы знаем, что y 2 = yy и y 3 = yyy , поэтому давайте выпишем все умножения:

y 2 y 3 = yy yyy

Это 5 y, умноженные вместе, поэтому новый показатель степени должен быть 5:

y 2 y 3 = y 5

Но почему считают «у», когда показатель степени уже говорит нам, сколько?

Показатели степени говорят нам, что есть два "y", умноженные на 3 "y", в сумме получается 5 "y":

y 2 y 3 = y 2 + 3 = y 5

Итак, самый простой способ - просто прибавить экспонент !

(Примечание: это один из законов экспонент)

Смешанные переменные

Когда у нас есть набор переменных, просто сложите показатели для каждой, как это (нажмите кнопку воспроизведения):

(Помните: переменная без показателя степени действительно имеет показатель степени 1, например: y равно y 1 )

с константами

Часто встречаются константы (числа вроде 3, 2.9, ½ и т. Д.).

Не бойтесь! Просто умножьте константы по отдельности и поместите результат в ответ:

(Примечание: «·» означает умножение, которое мы используем, когда «×» можно спутать с буквой «x»)

Вот более сложный пример с константами и показателями:

Отрицательные экспоненты

Отрицательные экспоненты делятся на среднее значение!

x -1 = 1 x x -2 = 1 x 2 x -3 = 1 x 3 и др...

Ознакомьтесь с этой идеей, она очень важна и полезна!

Разделение

Итак, как нам это сделать? л 3 л 2

Выпишем все умножения: ггг гг

Теперь удалите все совпадающие «y», которые равны
как сверху, так и снизу (потому что y y = 1)

И у нас остается: y

Таким образом, 3 "y" над линией уменьшаются на 2 "y" ниже линии, оставляя только 1 "y":

y 3 y 2 = yyy yy = y 3-2 = y 1 = y

ИЛИ, мы могли бы сделать это так:

y 3 y 2 = y 3 y -2 = y 3-2 = y 1 = y

Итак... просто вычтите экспонент переменных, на которые мы делим!

Вот более крупная демонстрация, включающая несколько переменных:

Буквы "z" полностью исключены! (Что имеет смысл, потому что z 2 / z 2 = 1)

Чтобы увидеть, что происходит, запишите все умножения, затем «вычеркните» верхние и нижние переменные:

x 3 y z 2 x y 2 z 2 знак равно xxx y zz x yy zz знак равно x xx y zz x y y zz знак равно хх у знак равно x 2 y

Но еще раз, почему считает переменных, когда показатель степени говорит вам , сколько?

Как только вы почувствуете себя уверенно, вы сможете сделать все довольно быстро «на месте», например:

Ввод математических задач на этом сайте

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике...Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

Что такое X в квадрате плюс X в квадрате?

Примеры X в квадрате плюс X в квадрате

Вот несколько примеров этого уравнения, чтобы облегчить понимание.Если x равно 2, то x в квадрате или x, умноженный на себя, равняется 4. Добавьте четыре к самому себе, и вы получите 8. Следовательно, 2 в квадрате плюс 2 в квадрате равняется 8.

Чтобы использовать другой пример, давайте посмотрим, что происходит, когда x равно 3. В этом случае x в квадрате равно 9. Тогда 9 плюс 9 равняется 18. Красота этого уравнения в том, что x может равняться чему угодно, и вы можете решить его, используя любое значение, которое вы хотите для x.

Математика, использующая буквы

Мы называем математику, в которой буквы используются вместо различных значений, алгеброй.В алгебре используются символы - в большинстве случаев буквы - для обозначения величин, которые не обязательно всегда имеют одно и то же значение. Эти величины называются переменными, и вы можете понять, что означают эти переменные, используя алгебру.

Уравнения похожи на предложения, объясняющие отношения между числами и переменными. Вы выясняете, какие переменные в уравнении, решая его. Когда вы решаете алгебраическое уравнение, вы разбиваете его на простейшую форму и обнаруживаете, что означают переменные.

Краткая история алгебры

С древних времен математики по-разному работали с неизвестными переменными. Исламские ученые начали давать название науке о работе с переменными. Они назвали этот тип математики «наукой восстановления и уравновешивания», а арабское слово «восстановление» или «аль-джабру» стало корнем слова «алгебра».

Когда математики в средние века экспериментировали с принципами алгебры, они поняли, что могут решать уравнения для двух- и трехмерных объектов, что привело к еще большему количеству открытий того, на что способна алгебра.Современные ученые нашли еще более сложные уравнения, которые может решить алгебра.

Алгебра в повседневной жизни

Возможно, вы слышали, как люди говорят, что вы никогда не будете использовать алгебру в повседневной жизни, но вы были бы удивлены тем, как часто вы используете алгебру. Алгебра пригодится, когда вы пытаетесь выяснить, сколько стоит группа предметов за единицу. Когда вы пытаетесь выяснить, как разделить счет в ресторане или сколько газа вы можете купить за определенную сумму.

Вы можете использовать алгебру для определения размеров комнаты или даже при составлении списка покупок.Алгебра - это универсальная математическая форма, которую вы используете чаще, чем думаете, и иногда вы даже не подозреваете, что решаете математические задачи.

Почему важно изучать алгебру

Изучение алгебры важно не только для решения уравнений. Педагоги считают алгебру воротами к высшим формам математики, поэтому, если вы или ваш ребенок хотите сделать карьеру в науке или технологиях, алгебра может открыть еще много новых идей.

Алгебра также может помочь студентам с критическим мышлением и логическими навыками.Использование алгебры похоже на упражнение, которое помогает укрепить ваш мозг. Использование алгебры в повседневной жизни может помочь вам во многих отношениях.

Тем по алгебре: Показатели

/ ru / algebra-themes / order-of-operations / content /

Что такое экспоненты?

Показатели - это числа, которые были умножены сами на себя. Например, 3 · 3 · 3 · 3 можно записать как показатель степени 3 4 : число 3 было умножено само на себя 4 раз.

Экспоненты полезны, потому что они позволяют записывать длинные числа в сокращенной форме. Например, это число очень большое:

.

1 000 000 000 000 000 000

Но вы могли бы записать это как экспонента:

10 18

Он также работает с маленькими числами с большим количеством десятичных знаков. Например, это число очень маленькое, но состоит из множества цифр:

.

.00000000000000001

Его также можно было бы записать в виде экспоненты:

10 -17

Ученые часто используют экспоненты для обозначения очень больших и очень маленьких чисел.Вы также часто будете встречать их в задачах алгебры.

Понимание экспонентов

Как вы видели на видео, экспоненты записываются так: 4 3 (вы бы прочитали это как 4 в 3-й степени ). Все показатели состоят из двух частей: по основанию , которое является умножаемым числом; и степень , которая представляет собой количество раз, когда вы умножаете основание.

Поскольку наша база равна 4, а наша степень равна 3, нам нужно будет умножить 4 на само три раза.3. Не волнуйтесь, это точно такое же число: основание - это число слева, а степень - это число справа. В зависимости от типа калькулятора, который вы используете, и особенно если вы используете калькулятор на своем телефоне или компьютере, вам может потребоваться ввести показатель степени таким образом, чтобы вычислить его.

Показатели в 1-й и 0-й степени

Как бы вы упростили эти показатели?

7 1 7 0

Не расстраивайтесь, если вы запутались. Даже если вы чувствуете себя комфортно с другими показателями, непонятно, как вычислить их со степенями 1 и 0.К счастью, эти показатели следуют простым правилам:

  • Показатели степени 1
    Любой показатель степени 1 равен основанию , поэтому 5 1 равно 5, 7 1 равно 7, а x 1 равно x .
  • Показатели степени 0
    Любой показатель степени со степенью 0 равен 1 , поэтому 5 0 равно 1, а также 7 0 , x 0 и любой другой показатель степени со степенью 0 вы можете придумать.

Операции с показателями

Как бы вы решили эту проблему?

2 2 ⋅ 2 3

Если вы думаете, что вам нужно сначала решить экспоненты, а затем перемножить полученные числа, вы правы. (Если вы не уверены, ознакомьтесь с нашим уроком о порядке действий).

Как насчет этого?

х 3 / х 2

Или этот?

2x 2 + 2x 2

Хотя вы не можете точно решить эти проблемы без дополнительной информации, можно упростить, их.В алгебре вас часто просят выполнить вычисления экспонент с переменными в качестве основы. К счастью, эти показатели легко складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение показателей

Когда вы добавляете два показателя степени, вы не добавляете фактические полномочия - вы добавляете основания. Например, чтобы упростить это выражение, вы просто добавите переменные. У вас есть два xs, которые можно записать как 2x . Итак, x 2 + x 2 будет 2x 2 .

x 2 + x 2 = 2x 2

Как насчет этого выражения?

3 года 4 + 2 года 4

Вы добавляете 3y к 2y. Поскольку 3 + 2 равно 5, это означает, что 3y 4 + 2y 4 = 5y 4 .

3 года 4 + 2 года 4 = 5 лет 4

Вы могли заметить, что мы рассматривали только задачи, в которых добавляемые показатели имели одинаковую переменную и мощность.Это потому, что вы можете добавлять экспоненты только в том случае, если их основания и экспоненты точно такие же . Таким образом, вы можете добавить их ниже, потому что оба члена имеют одинаковую переменную ( r ) и одинаковую мощность (7):

7 + 9 7

Вы не можете никогда добавлять какие-либо из них в том виде, в каком они написаны. В этом выражении есть переменные с двумя разными степенями:

3 + 9 8

У этого есть те же полномочия, но разные переменные, поэтому вы также не можете добавить его:

2 + 9с 2

Вычитание показателей

Вычитание экспонент работает так же, как их сложение.Например, вы можете придумать, как упростить это выражение?

5x 2 - 4x 2

5-4 равно 1, поэтому, если вы сказали 1 x 2 или просто x 2 , вы правы. Помните, что, как и при сложении показателей, вы можете вычитать только показатели с одинаковой степенью и основанием .

5x 2 - 4x 2 = x 2

Показатели умножения

Умножение экспонент - это просто, но способ, которым вы это делаете, может вас удивить.Чтобы умножить экспоненты, сложите степени . Например, возьмите это выражение:

x 3 ⋅ x 4

Мощности: 3 и 4 . Поскольку 3 + 4 равно 7, мы можем упростить это выражение до x 7 .

x 3 ⋅ x 4 = x 7

А как насчет этого выражения?

3x 2 ⋅ 2x 6

Степени равны 2 и 6 , поэтому наша упрощенная экспонента будет иметь степень 8.В этом случае нам также потребуется умножить коэффициенты. Коэффициенты равны 3 и 2. Нам нужно умножить их, как и любые другие числа. 3⋅2 равно 6 , поэтому наш упрощенный ответ: 6x 8 .

3x 2 ⋅ 2x 6 = 6x 8

Вы можете упростить умножение экспоненты только с той же переменной. Например, выражение 3x 2 ⋅2x 3 ⋅4y 2 будет упрощено до 24x 5 ⋅y 2 .Для получения дополнительной информации перейдите к нашему уроку «Упрощение выражений».

Показатели деления

Деление показателей аналогично их умножению. Вместо того, чтобы складывать степени, вы вычитаете их . Возьмите это выражение:

х 8 / х 2

Поскольку 8-2 равно 6, мы знаем, что x 8 / x 2 равно x 6 .

x 8 / x 2 = x 6

Что насчет этого?

10x 4 / 2x 2

Если вы думаете, что ответ - 5x 2 , вы правы! 10/2 дает нам коэффициент 5, а вычитание степеней ( 4-2 ) означает, что степень равна 2.

Возведение власти в степень

Иногда можно увидеть такое уравнение:

5 ) 3

Показатель степени на другом показателе степени может сначала показаться запутанным, но у вас уже есть все навыки, необходимые для упрощения этого выражения. Помните, что показатель степени означает, что вы умножаете основание само на себя столько раз. Например, 2 3 это 2⋅2⋅2. Это означает, что мы можем переписать (x 5 ) 3 как:

x 5 x 5 ⋅x 5

Чтобы умножить показатель степени с одинаковым основанием, просто сложите показатель степени.Следовательно, x 5 ⋅x 5 ⋅x 5 = x 5 + 5 + 5 = x 15 .

На самом деле есть еще более короткий способ упростить подобные выражения. Взгляните еще раз на это уравнение:

(x 5 ) 3 = x 15

Вы заметили, что 5⋅3 тоже равно 15? Помните, умножение - это то же самое, что и добавление чего-либо более одного раза. Это означает, что мы можем думать о 5 + 5 + 5, как мы делали ранее, как о 5 умноженных на 3.Следовательно, когда вы возводите степень в степень , вы можете умножить степень .

Рассмотрим еще один пример:

6 ) 4

Так как 6⋅4 = 24, (x 6 ) 4 = x 24

х 24

Рассмотрим еще один пример:

(3x 8 ) 4

Во-первых, мы можем переписать это как:

3x 8 ⋅3x 8 ⋅3x 8 ⋅3x 8

Помните, что при умножении порядок не имеет значения.Следовательно, мы можем переписать это снова как:

3⋅3⋅3⋅3⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8

Поскольку 3⋅3⋅3⋅3 = 81 и x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 = x 32 , наш ответ:

81x 32

Обратите внимание, что это также было бы то же самое, что и 3 4 ⋅x 32 .

Все еще не знаете, как умножать, делить или возводить экспоненты в степень? Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как запомнить правила:

/ ru / algebra-themes / negative-numbers / content /

экспонентов - Бесплатная справка по математике

Быстрый ответ:

Показатель степени - это сокращенный метод выражения многократного умножения.{25} \)! Далее вы также увидите, что показатели могут быть отрицательными, и даже не обязательно быть целыми числами! Показатель степени - это гораздо больше, чем просто экономия времени на записи умножения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *