Решите уравнение x2 x 12 0: Решить уравнение x²+x-12=0 через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.

2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от

x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

• Приведённое квадратное уравнение
• Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax² + bx + c = 0  — квадратное уравнение,

где  x  — это неизвестное, а  a,  b  и  c  — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях 

a  называется первым коэффициентом  (a ≠ 0),  b  называется вторым коэффициентом, а  c  называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax² + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на  a,  то есть на первый коэффициент:

x2 +	b	x +	c	= 0.
	a		a

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами  p  и  q:

если	b	= p,  а	c	= q,
	a		a

то получится   x² + px + q = 0.

Уравнение  x² + px + q = 0  называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x² + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x² + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на  -3:

x² — 3x + 4 = 0.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax² + bx + c = 0;

ax² + 2kx + c = 0;

x² + px + q = 0.

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0	или если коэффициент  p  нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax² + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение  ax² + bx + c = 0,  в котором коэффициент  b  — четный, что позволяет его заменить на вид  2k.   Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё  2k  вместо  b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x² + 7x + 2 = 0.

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = 7,  c = 2.

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 =	-2	= —	1	,   x2 =	-12	= -2
	6		3		6

Ответ:  —	1	,  -2.
	3

Пример 2:

x² — 4x — 60 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -60.

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x₁ = 2 + 8 = 10,   x₂ = 2 — 8 = -6

Ответ:  10,  -6.

Пример 3.

y² + 11y = y — 25.

Приведём уравнение к общему виду:

y² + 11y = y — 25;

y² + 11y — y + 25 = 0;

y² + 10y + 25 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = 10,  q = 25.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ:  -5.

Пример 4.

x² — 7x + 6 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = -7,  q = 6.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x₁ = (7 + 5) : 2 = 6,

x₂ = (7 — 5) : 2 = 1.

Ответ:  6,  1.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92″.  

Пошаговое решение:

Шаг 1 :

Попытка разложения среднего члена

 1.1     Разложение на множители  x ² -x-12

9,909 x 9,908 Первый член 20   его коэффициент равен 1.
Средний член равен -x, его коэффициент равен -1.
Последний член, «константа», равен -12

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 1• -12 = -12 

Шаг 2. Найдите два множителя -12 , сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1 .

90

3 Шаг 3:

3 напишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденные на шаге 2 выше, -4 и  3 
                    x ² — 4x + 3x — 12

Шаг 4 : Сложите первые 2 слагаемых, вытащив одинаковые множители :
                         90 два последних термина, выделив общие факторы :
                   3 • (x-4)
Шаг-5 : Сложите четыре члена шага 4 : в конце шага 1 :

 (х + 3) • (х - 4) = 0
 

Шаг 2 :

Теория – корни произведения:

 2. 1    Произведение нескольких членов равно нулю.

 Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

 Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

 Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении 

 Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

 2.2      Решение  :    x+3 = 0 

 Вычтите  3 из обеих частей уравнения : 
                                                                                       2.3      Решите  :    x-4 = 0 

 Добавьте  4 к обе стороны уравнения : 
                     x = 4

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение  x  2  -x-12  = 0 Этот полином напрямую разложен на множители 

9090 9090. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратную формулу

Парабола, нахождение вершины :

 3. 1      Найти вершину   y = x ² -x-12

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

 Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх, через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

 Для любой параболы, Ax ² +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна  0,5000  

Подставив в формулу параболы 0,5000 вместо x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 12,0

Корневой график для:  y = x ² -x-12
Ось симметрии (штриховая)  {x}={ 0,50} 
Вершина в  {x,y} = {0,50,-12,25} 
 x -Перехваты (корни ) :
Корень 1 в точке {x,y} = {-3,00, 0,00}
Корень 2 в точке {x,y} = {4,00, 0,00}

Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат

 3.2     Решение   x ² -x-12 = 0, заполнив квадрат .

 Прибавьте 12 к обеим частям уравнения:
   x ² -x = 12

Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  x , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4 

. Добавьте  1/4  к обеим частям уравнения:
  В правой части мы имеем:
   12  +  1/4    или, (12/1)+(1/4) 
  Общий знаменатель двух дробей равен 4    Сложение (48/4)+(1/4) дает 49/4
 Таким образом, складывая обе части, мы окончательно получаем:
   x ² -x+(1/4) = 49 /4

Добавление 1/4 завершило левую часть в полный квадрат:
   x ² -x+(1/4)  =
   (x-(1/2)) • (x-(1/2) ))  =
  (x-(1/2)) ²
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку
   x ² -x+(1/4) = 49/4 и
   x ² -x+(1/4) = (x-(1/2)) ²
тогда по закону транзитивности
   (x-(1/2)) ² = 49 /4

Мы будем называть это уравнение уравнением. #3.2.1  

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
   (x-(1/2)) ²   равен
   (x-(1/2)) ^2/2  =
  (x-(1/2)) ¹  =
   x-(1/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #3.2.1  получаем:
   x-(1/2) = √ 49/4

Добавьте 1/2 к обеим частям, чтобы получить:
   x = 1/2 + √ 49/4

другое отрицательное
   x ² — x — 12 = 0
   имеет два решения:
  x = 1/2 + √ 49/4
   или
  x = 1/2 — √ 49/4

9 4 4 может быть записано как
  √ 49  / √ 4   что равно 7/2

Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу

 3.

	-12	+	1	=	-05 11
	-6	+	2	=	-4
-4	+	3	=	-1	Всё