Впервые ряды Фурье появились в работах Ж. Фурье (1807), посвящённых исследованию задач теплопроводности. Он предложил для представления функции fff, заданной на (0,2π)(0,2π)(0,2π) тригонометрическим рядом, брать ряд (1) с коэффициентами (2). Выбор коэффициентов (2) является естественным со многих точек зрения. Например, если формально приравнять ряд (1) функции f(x)f(x)f(x), то почленное интегрирование приводит к коэффициентам aka_kak, bkb_kbk, определяемым по формулам (2). Так их получал ещё Л. Эйлер (1777).
Интеграл в (2) можно понимать по-разному, например как интеграл Римана или Лебега. В зависимости от этого говорят о рядах Фурье – Римана, Фурье – Лебега и т. п. Современный вид теория рядов Фурье приобрела после построения интеграла Лебега, после чего она развивается главным образом как теория рядов Фурье – Лебега.
В 1915 г. Н. Н. Лузин высказал гипотезу о том, что для каждой функции с интегрируемым квадратом её ряд Фурье сходится к ней почти всюду, т. е. для всех действительных xxx, кроме, быть может, множества, для которого мера Лебега равна нулю. Справедливость этой гипотезы установил Л. Карлесон (1966). Если о функции не предполагать ничего, кроме интегрируемости её модуля, то её ряд Фурье может оказаться расходящимся почти всюду или всюду. Первые такие примеры построил А. Н. Колмогоров (1923).
Поскольку частичные суммы ряда Фурье сходятся не всегда, рассматривается суммирование ряда Фурье, когда для представления функции используются те или иные средние частичных сумм её ряда Фурье.
Редакция математических наук. По материалам одноимённой статьи С. А. Теляковского из Математического энциклопедического словаря. Дата публикации: 30 мая 2022 г. в 12:18 (GMT+3)Теория рядов
Теория рядов
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮЧасть I ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ § 2. Геометрические прогрессии § 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость § 4. Элементарные преобразования прогрессий § 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость § 6.  Почленное интегрирование прогрессий§ 7. Почленное дифференцирование прогрессий § 8. Прогрессии с комплексными членами ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ § 2. Определение числового ряда и его сходимости § 3. Остаток ряда § 4. Принцип сходимости Коши § 5. Критерий Коши сходимости рядов § 6. Необходимый признак сходимости ряда § 7. Желательность систематической теории § 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм § 9. Дальнейшие свойства рядов ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Признаки сходимости рядов § 2. Признаки сравнения § 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши § 4. Применения интегрального признака сходимости § 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости § 6. Признак сходимости Даламбера § 7. Признак сходимости Коши § 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши ГЛАВА 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 2. Абсолютная сходимость и расходимость § 3.  Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах§ 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды § 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов § 6. Признак сходимости Лейбница § 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница § 2. Область сходимости функционального ряда § 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения § 4. Предел последовательности непрерывных функций § 5. Переход к пределу под знаком интеграла § 6. Переход к пределу под знаком производной § 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса § 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами § 9. Почленное интегрирование функциональных рядов § 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ § 2. Теорема Абеля § 3. Круг сходимости ряда § 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости § 5.  Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости§ 6. Вещественные ряды § 7. Комплексные ряды § 8. Разложение функций в степенные ряды § 9. Формула Тейлора § 10. Ряды Тейлора и Маклорена ГЛАВА 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ § 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x § 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x § 4. Показательная функция с комплексным значением показателя § 5. Формулы Эйлера § 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента § 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента § 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена § 9. Биномиальный ряд § 10. Приложения биномиального ряда § 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции § 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов § 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов ГЛАВА 8.  § 2. Векторы и функции § 3. Нормированные и ортогональные функции § 4. Нормированные и ортогональные системы функций § 5. Нормировка систем функций § 6. Разложение по системам функций ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Ряды и коэффициенты Фурье § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье § 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье § 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический ряд Фурье § 5. Разложение функции f(x) = x § 6. Сдвиг сегмента разложения § 7. Изменение длины сегмента разложения § 8. Четные и нечетные функции § 9. Разложение четной функции в ряд Фурье § 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье § 11. Разложение ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи § 12. Комплексная форма записи ряда Фурье § 13. Разложение в комплексный ряд Фурье § 14. Характер сходимости рядов Фурье ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ § 2.  Начальные и граничные условия§ 3. Метод разделения переменных § 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения § 5. Использование начальных условий ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Представление функций интегралом Фурье § 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье § 3. Интеграл Фурье для четных функций § 4. Интеграл Фурье для нечетных функций § 5. Комплексная форма интеграла Фурье § 6. Понятие о преобразовании Фурье § 7. Косинус-преобразование Фурье § 8. Синус-преобразование Фурье § 9. Спектральная функция Часть II § 1. Признак сходимости Куммера § 2. Признак сходимости Раабе § 3. Признак сходимости Бертрана § 4. Признак сходимости Гаусса § 6. Признак сходимости Дирихле ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ § 1. Определение двойного ряда § 2. Сходимость двойных рядов § 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова § 4.  Свойства двойных рядов и признаки сходимости§ 5. Абсолютная сходимость двойных рядов § 6. Двойные функциональные ряды § 7. Двойные степенные ряды § 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена § 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных § 10. Двойные ряды Фурье ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 2. Линейные преобразования рядов § 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов § 4. Последовательности разностей § 5. Преобразование рядов по Эйлеру § 6. Преобразование рядов по Куммеру ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 1. Расходящиеся геометрические прогрессии § 2. Суммирующие функции § 3. Суммирование по Пуассону — Абелю § 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону — Абелю § 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость § 6. Теорема Таубера § 7. Суммирование по Чезаро § 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю § 9.  Суммирование по ЭйлеруГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ § 2. Исследование двух интегралов § 3. Исследование одного класса интегралов § 4. Доказательство теоремы Дирихле § 5. Теорема Фурье § 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций § 7. Скорость сходимости рядов Фурье § 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей § 9. О равномерной сходимости рядов Фурье § 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций § 12. Экстремальное свойство сумм Фурье § 13. Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера § 14. Равенство Парсеваля § 15. Теорема Вейерштрасса ГЛАВА 17. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОК § 2. Изгиб балки § 3. Свободно опертая балка § 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием § 5. Случай сосредоточенной нагрузки § 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки § 7.  Прогиб от сосредоточенного момента§ 8. Статически неопределимая балка § 9. Сложный изгиб балки § 10. Балка на упругом основании § 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки § 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок § 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными § 14. Свободно опертая нагруженная балка § 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки § 16. Общий случай изгиба балки § 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки § 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам § 19. Функция прогиба симметрично загруженной балки с жестко заделанными концами |
Воробьев Н. Н. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, — 408 с.
Ряд Фурье
Это подводит нас к последнему члену семейства преобразований Фурье: серия . Сигнал во временной области, используемый в рядах Фурье, является периодическим и непрерывный .
На рис. 13-10 показано несколько примеров непрерывных сигналов.
которые повторяются от отрицательной до положительной бесконечности. Глава 11 показала
что периодические сигналы имеют частотный спектр, состоящий из гармоник. Для
Например, если временная область повторяется с частотой 1000 герц, частотный спектр будет
содержит первую гармонику на частоте 1000 герц, вторую гармонику на частоте 2000 герц, третью
гармоника на частоте 3000 герц и так далее. Первая гармоника, т. е. частота,
временная область повторяется, также называется основной частотой. Этот
означает, что частотный спектр можно рассматривать двумя способами: (1)
частотный спектр непрерывный , но ноль на всех частотах, кроме
гармоники, или (2) спектр частот дискретных , и только определено на
гармонические частоты. Другими словами, частоты между гармониками
можно рассматривать как имеющее нулевое значение или просто не существующее.
важным моментом является то, что они не способствуют формированию сигнала во временной области.
Уравнение синтеза ряда Фурье создает непрерывный периодический сигнал с
основная частота, f , добавляя масштабированные косинус и синусоиду с
Частоты: F , 2 F , 3 F , 4 F и т. Д. Амплитуды косинусных волн хранятся в переменных: A 1 , A 2 , 3 , A 3 и т. Д., В то время как амплитуды синусоидальных волн хранятся в: B 1 , B 2 , B 3 , 003 b 4 и так далее. Иными словами, коэффициенты «а» и « b » являются реальными и
мнимых частей частотного спектра соответственно. В дополнение
коэффициент a 0 используется для хранения значения постоянной составляющей сигнала во временной области. Этот
можно рассматривать как амплитуду косинуса с нулевой частотой (a
постоянное значение). Иногда группируется с другими коэффициентами « a «, но
его часто обрабатывают отдельно, потому что он требует специальных расчетов.
Есть
нет b 0 коэффициент, так как синусоида нулевой частоты имеет постоянное значение
ноль, и было бы совершенно бесполезно. Уравнение синтеза записывается:
Соответствующие уравнения анализа для ряда Фурье обычно записываются с точки зрения периода сигнала, обозначенного как T , а не основная частота, f (где f = 1/ T ). Поскольку сигнал временной области периодическим, синусоидальную и косинусоидальную корреляцию необходимо оценивать только по один период, т. е. — T /2 до T /2, 0 до T , — T до 0 и т. д. Выбор различных пределов делает математику другой, но окончательный ответ всегда один и тот же. Уравнения анализа ряда Фурье:
На рис. 13-11 показан пример расчета ряда Фурье с использованием этих
уравнения. Анализируемый сигнал во временной области представляет собой последовательность импульсов , квадрат
волна с неодинаковой высокой и низкой продолжительностью.
За один период от — T /2 до T /2, форма сигнала определяется как:
Рабочий цикл формы сигнала (доля времени, в течение которого импульс является «высоким») равен таким образом, d = k / T . Коэффициенты ряда Фурье можно найти по формуле оценка уравнения 13-5. Во-первых, мы найдем составляющую постоянного тока, a 0 :
Этот результат должен быть интуитивно понятен; компонент постоянного тока — это просто среднее значение сигнала. Аналогичный анализ дает коэффициенты «а»:
Таким же образом рассчитываются коэффициенты « b «; однако все они оказываются быть ноль . Другими словами, этот сигнал можно построить, используя только косинус. волны, при этом не требуются синусоидальные волны.
Коэффициенты « a » и « b » изменятся, если форма сигнала во временной области
смещены влево или вправо. Например, коэффициенты « b » в этом примере будут
ноль только если один из импульсов находится в центре t = 0.
Подумайте об этом так. Если
форма волны даже (т. е. симметричная относительно t = 0), она будет составлена исключительно
из даже синусоид, то есть косинусоид. Таким образом, все коэффициенты « b »
равен нулю. Если форма волны нечетная (т.е. симметричная, но противоположная по знаку
около t = 0), он будет состоять из нечетных синусоид, т. е. синусоид. Этот
приводит к « a » коэффициенты равны нулю. Если коэффициенты конвертируются в
полярной нотации (скажем, коэффициенты M n и θ n ), сдвиг во временной области оставляет
амплитуда не меняется, но добавляет линейную составляющую к фазе.
Чтобы завершить этот пример, представьте себе последовательность импульсов, существующую в электронной схеме,
с частотой 1 кГц, амплитудой один вольт и коэффициентом заполнения 0,2.
В таблице на рис. 13-12 представлена амплитуда каждой гармоники, содержащейся в
эта форма волны. На рис.
13-12 также показан синтез сигнала с использованием
только первых четырнадцати этих гармоник. Даже при таком количестве гармоник
реконструкция не очень. На математическом жаргоне ряд Фурье сходится очень медленно . Это просто еще один способ сказать, что острые края в
Форма волны во временной области приводит к очень высоким частотам в спектре. Наконец,
быть уверенным и заметить перерегулирование на острых краях, т. е. эффект Гиббса
обсуждается в главе 11.
Важным приложением ряда Фурье является электронная частота
умножение. Предположим, вы хотите построить очень стабильную синусоиду
генератор на 150МГц. Это может понадобиться, например, в радио
передатчик работает на этой частоте. Высокая стабильность требует, чтобы схема была с кристаллическим управлением . То есть частота генератора определяется
резонирующий кристалл кварца, входящий в состав схемы. Проблема в кварце
кристаллы работают только до 10 МГц. Решение состоит в том, чтобы построить кристалл
управляемый генератор, работающий где-то между 1 и 10 МГц, а затем умножьте частоту на то, что вам нужно.
Это достигается за счет искажение синусоидальной волны, например, путем ограничения пиков с помощью диода или запуска
форму волны через схему возведения в квадрат. Гармоники в искаженном
Затем сигнал изолируется полосовыми фильтрами. Это позволяет частоту
для удвоения, утроения или умножения на еще более высокие целые числа.
наиболее распространенным методом является использование последовательных стадий удвоения и тройки для
генерировать требуемое умножение частоты, а не только один каскад.
Ряд Фурье важен для этого типа дизайна, потому что он описывает амплитуда умноженного сигнала в зависимости от вида искажения и
выбрана гармоника.
(Действительные) коэффициенты ряда Фурье Комплексные коэффициенты ряда Фурье Пример: ряд Фурье для функции косинуса Пример: ряд Фурье для функции пилы Пример. Численное вычисление ряда Фурье для сложной функции Среднеквадратическая ошибка Вывод комплексных коэффициентов ряда Фурье Применение ряда Фурье: электрические цепи Введение в серию ФурьеФурье Серия разбивает периодическую функцию на сумму синусоидальных функций. Это преобразование Фурье для периодических функций.
Чтобы начать анализ рядов Фурье, давайте определим периодические функции.Функция периодическая, с фундаментальным периодом T , если для всех t верно следующее:
Проще говоря, это означает, что функция времени с периодом T через T секунд будет иметь то же значение, что и сейчас, нет. имеет значение, когда вы наблюдаете за функцией. Обратите внимание, что периодическая функция с фундаментальным периодом T также является периодической с периодом 2*T . Таким образом, основной период — это значение T (больше нуля), то есть наименьшее возможное T , для которого уравнение [1] всегда правда. В качестве примера посмотрите на график рисунка 1: Рис. 1. Периодический прямоугольный сигнал.  Теперь давайте определим «ряд Фурье». Ряд Фурье с периодом T представляет собой бесконечную сумму синусоидальных функций (косинуса и синуса), каждая из которых с частотой, кратной 1/ T (инверсия основного периода). Ряд Фурье также включает константу, и, следовательно, может быть записано как:
Константы a_m, b_n — это коэффициенты ряда Фурье. Они определяют относительные веса для каждой из синусоид. Теперь вопрос: Для произвольной периодической функции f(t) — насколько точно мы можем аппроксимировать эту функцию простыми синусоидами, каждая
с периодом, кратным основному периоду? То есть для данной периодической функции f(t) насколько точно
может ли функция g(t) аппроксимировать f(t)?
Оказывается, ответ — один из самых крутых результатов во всей математике. То есть мы можем точно аппроксимировать f(t) всякий раз, когда
f(t) непрерывна и «гладка». |
