Ряды онлайн калькулятор на сходимость: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Радиус и область сходимости ряда

Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.

Пример: 3.6 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом

Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены — исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:

Для этого выписываем следующий после общего член ряда

и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела


Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю.
Если граница меньше единицы

то ряд сходится по теореме Даламбера, причем абсолютно.
Отсюда составляем ограничения на допустимые «иксы»

— область сходимости ряда.
Итак, ми нашли — радиус сходимости и
— область сходимости ряда в виде интервала.
Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости.
б)
Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом

Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера.
Для предела нам еще нужен следующий член ряда

Подставляем члены ряда в предел и вычисляем

При пределе меньшей единицы — ряд убывает за Даламбером.
Из этого условия находим
— область сходимости в виде ограничений переменной.
В итоге мы нашли R=4 — радиус сходимости ряда и его область сходимости

Пример: 3. 11 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:
а)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда

определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая

Составляем ряд из модулей членов заданного ряда

Его общий член может бить выражен формулой

Поскольку новый ряд имеет положительные члены — исследуем на сходимость по Даламберу:

При — ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия

Отсюда находим R = 2 — радиус сходимости ряда и (0; 4) — область сходимости.
б)

Вычисления: Члены заданного функционального ряда

определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая

Составим ряд из модулей членов заданного ряда

Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость

За Даламбером при пределе меньше единицы — ряд убывает.
Отсюда находим область сходимости

и R=1/3 радиус сходимости. Из приведенных примеров
Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда.
Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.

Пример: 3.17 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Члены функционального ряда

определены при то есть
Составим ряд из модулей членов заданного ряда

то есть

Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда

и подставляем в предел

При 3|x|<1 — ряд убывает,
отсюда находим
– область сходимости ряда.
Все что находится справа от модуля это R = 1/3 — радиус сходимости ряда, а ограничения на «икс»
– это область сходимости.
б)
Вычисления: Члены функционального ряда

определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид .
По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда

и получаем ряд со следующим общим членом

Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера
Выписываем следующий член ряда

и подставляем в предел

При 2|x|<1- ряд будет сходящимся.
Раскрываем модуль и находим
— область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем область сходимости ряда

Пример: 3.27 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда
а)
Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси
Сначала составим ряд из модулей членов этого ряда

Общий член задается формулой

Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера:
Находим предел отношения следующего члена ряда общему

Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную — область сходимости.
Ряд имеет бесконечный радиус сходимости.
б)
Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел

Построим ряд с модулей членов ряда:

Далее записываем общий и следующий после него члены ряда

и подставляем в предел

По теореме Даламбера ряд сходится при
3|x|<1. Из этого условия определяем
— область сходимости ряда
и R=1/3 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем в ответ область сходимости
Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.

• Назад
• Вперёд

Калькулятор разложения в ряд лорана. Разложение функций в степенные ряды

Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) — это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением — многочленом — является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.

Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α — R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

1. Определить производные первого, второго, третьего… порядков.
2. Высчитать, чему равны производные в х=0.
3. Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
4. Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0.

Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2… Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f » (х) = cos х = sin(х+п/2), f «» (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)…, f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:

3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|

Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням

x , а c 0 , c 1 , c 2 , c n — постоянные величины. Числа c 1 , c 2 , c n — коэффициенты членов ряда, c 0 — свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Ознакомимся с понятием области сходимости степенного ряда. Это множество значений переменной x , для которых ряд сходится. Степенные ряды имеют довольно простую область сходимости. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox .

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

c 0 +0+0+…+0+… ,

который сходится.

Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (теорема Абеля) . Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x | x 0 | . Обратите внимание: и отправное значение «икс нулевое» и любое значение «икса», которое сравнивается с отправным, взяты по модулю — без учёта знака.

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то он расходится и при всех значениях |x | > |x 1 | .

Как мы уже выяснили ранее, любой степенной ряд сходится при значении

x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х . Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала ]-|x 0 |, |x 0 |[ (интервала, левой и правой границами которого являются значения икса, при котором степенной ряд сходится, взятые соответственно со знаком минус и со знаком плюс), симметричного относительно начала координат.

Если же степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка [-|x 1 |, |x 1 |] . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый

интервалом сходимости , в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).

Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.е..

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см.

пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

,

то есть ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х

.

Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 1 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 2 – на обоих концах сходится, в примере 3 – на обоих концах расходится.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера , или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х . Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .

Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пусть для степенного ряда

радиус сходимости R > 0, т. е. этот ряд сходится на интервале .

Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f (x ), можем записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f (x ) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f (x ) на интервале сходимости.

Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.

Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда

Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а — его интервал сходимости. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х , кроме х = 1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда f (x ) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.

Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х , если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f (x ), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

……………………………………………….. (31)

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

(32)

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х = 0 имеем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

(33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а .

Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :

Пример 1 f(x)= 2 x .

Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 x , f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2 x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥x

Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .

Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.

f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;

f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;

f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;

f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥x

Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).

Решение . Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х- 1½

Ряд сходится, если ½х- 1½x х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:

(2) ,

(3) ,

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию

Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:

Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение . Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х , получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.

Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3x- 3x

Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .

Решение .

Ряд сходится при , или -2 x £ 5.

Равномерная сходимость функционального ряда.

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 4.4. Функциональная последовательностьf_n(x) называетсяравномерно сходящейся к функции f на множестве Х, еслии

.

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость -.

Замечание 2. Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого существуетсвой номерN, для которого приn > Nвыполняется неравенство:

. При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номерN,обеспечивающий выполнение этого неравенства для любогох, невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номерN,общий для всех х, существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Посколь-ку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательно-

сти:

Определение 4.5. Функциональный рядназываетсяравномерно сходящимся на множествеХ, если наХравномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Признак Вейерштрасса.

Теорема 4.1. Если числовой рядсходится и для всехи для всехп =1, 2,… выполняется неравенството рядсходится абсолютно и равномерно на множествеХ.

Доказательство.

Для любого ε> 0cуществует такой номерN, чтопоэтомуи

для остатковr_n рядасправедлива оценка

Следовательно,поэтому рядравномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 4.1, обычно называется мажорированием, а сам этот ряд –мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда мажорантой при любом значениихявляется сходящийся знакоположительный ряд. Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-∞, +∞).

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 4.2. Если функцииu_n(x) непрерывны прии рядравномерно сходится наХ, то его суммаs(x)тоже непрерывна в точкех₀ .

Доказательство.

Выберем ε > 0. Тогда , поэтому существует такой номерп₀ , что

— сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точкех₀ .Поэтому существует такое δ > 0, что Тогда получаем:

то есть функцияs(x) непрерывна прих = х₀ .

Теорема 4.3. Пусть функцииu_n(x) непрерывны на отрезке [a, b] и рядравно-мерно сходится на этом отрезке. Тогдарядтоже равномерно сходится на [a, b] и(4.2)

(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство.

По теореме 4.2 функция s(x) = непрерывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (4.2), существует. Покажем, что рядравномерно сходится к функции

Обозначим

Тогда для любого ε найдется такой номерN, что приn > N

Значит, рядравномерно сходится, и его сумма равна σ (х) =.

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть функцииu_n(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из их производных:

(4. 3)

равномерно сходится на [a, b]. Тогда, если рядсходится хотя бы в одной точке, то он сходится равномерно на всем [a, b], его суммаs(x)=является непрерывно дифференцируемой функцией и

(ряд можно почленно дифференцировать).

Доказательство.

Определим функцию σ(х) как. По теореме 4.3 ряд (4.3) можно почленно интегрировать:

.

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [a, b] по теореме 4.3. Но числовой рядпо условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд. ТогдаФункция σ(t) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [a, b] и поэтому сама непрерывна. Тогда функциянепрерывно дифференцируема на [a, b], и, что и требовалось доказать.

Лекция 5.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Определение 5.1. Степенным рядомназывается функциональный ряд вида

(5.1)

Замечание. С помощью замены х – х₀ = tряд (5.1) можно привести к виду, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида

(5.2)

Теорема 5.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (5.2) сходится прих = х₀ ,то при любомx: |x| < |x₀|ряд (5.2) сходится абсолютно. Если же ряд (5.2) расходится прих = х₀ ,то он расходится при любомx: |x| > |x₀|.

Доказательство.

Если ряд сходится, топоэтому существует константас > 0:

. Следовательно,, а рядпри |x|<|x₀| сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, рядпри |x|<|x₀| абсолютно сходится.

Если известно, что ряд (5.2) расходится при х = х₀, то он не может сходиться при |x| > |x₀| ,так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точкех₀ .

Таким образом, если найти наибольшее из чисел х₀> 0 таких, что (5.2) сходится прих = х₀ , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х₀ , х₀ ), возможно, включающий одну или обе границы.

Определение 5.2. ЧислоR ≥ 0 называетсярадиусом сходимости степенного ряда (5. 2), еслиэтот ряд сходится, арасходится. Интервал (—R , R ) называ-етсяинтервалом сходимости ряда (5.2).

Примеры.

1. Для исследования абсолютной сходимости ряда применим признак Далам-бера:. Следовательно, ряд сходится только прих= 0, и радиус его сходимости равен 0:R= 0.

2. Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любомх, то есть

3. Для ряда по признаку Даламбера получим:

Следовательно, при –1 <x< 1 ряд сходится, при

x< -1 иx> 1 расходится. Прих= 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а прих= -1 рядсходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого рядаR= 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).

Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда.

1. Формула Даламбера.

Рассмотрим степенной ряд и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы.Если существует, то область сходимости определяется неравенством, то есть

— (5.3)

2. Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответствен-но, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(5.4)

Kendall tau Rank Correlation — Бесплатное программное обеспечение для статистики и прогнозирования (калькуляторы) v.1.2.1

:: Kendall tau Rank Correlation — Free Statistics Software (Calculator) :: Все права защищены. Некоммерческое (академическое) использование этого программного обеспечения бесплатно. Единственное, что просят взамен — цитировать этот софт при использовании результатов в публикациях. Это бесплатное онлайн-программное обеспечение (калькулятор) вычисляет ранговую корреляцию тау Кендалла и двустороннее значение p (H0: тау = 0). Также показана обычная диаграмма рассеяния и диаграмма рассеяния между рангами X и Y. Введите (или вставьте) ваши данные, разделенные жесткими возвратами. Send output to: Browser Blue — Charts WhiteBrowser Black/WhiteCSV Data X (click to load default data) 12 14 14 17 19 19 19 19 19 20 21 21 21 21 21 22 23 24 24 24 26 26 27   Данные Y: 11 4 4 2 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0   Sample Range: (leave blank to include all observations) From: To: Chart options Ширина: Высота: Метка y-ось: Метка x-A-ось: . 0137 Исходный код модуля R библиотека («Кендалл») к Верх | Выход | Графики | Каталожные номера Цитируйте это программное обеспечение как: Wessa, (2017), Kendall tau Rank Correlation (v1.0.13) in Free Statistics Software (v1.2.1), Office for Research Development and Education, URL https:/ /www.wessa.net/rwasp_kendall.wasp/ Код R основан на : Best, D.J. и Гиппс, П.Г. (1974), Алгоритм AS 71: Вероятности верхнего хвоста прикладной статистики Kendalls Tau, Vol. 23, № 1. (1974), стр. 98-100 Дэвисон А. С. и Хинкли Д.В. (1997) Методы начальной загрузки и их применение. Издательство Кембриджского университета. Кендалл М.Г. (1976). Методы ранговой корреляции. 4-е изд. Грифон. Хилл, И.Д. (1973), Алгоритм AS 66: Нормальная интегральная прикладная статистика, Vol. 22, № 3. (1973), стр. 424-427. Valz, P.D. и Томпсон, М.Е. (1994), Точный вывод для Кендалла С. и Спирмена Ро. Журнал вычислительной и графической статистики, 3, 459-472. Верх | Выход | Графики | Каталожные номера Для ссылки на Wessa.net в публикациях используйте: Wessa, P. (2022), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, , версия 1. 2.1, URL https://www.wessa.net/ © Все права защищены. Академическая лицензия только для некоммерческого использования. Бесплатное использование научного контента, услуг и приложений на этом веб-сайте предоставляется только для некоммерческого использования. В любом случае, источник (url) всегда должен быть четко виден. Ни при каких обстоятельствах не вы разрешили воспроизводить, копировать или распространять дизайн, макет или любые содержание этого веб-сайта (для коммерческого использования), включая любые материалы, содержащиеся здесь без явного письменного разрешения. Предоставленная информация на этом веб-сайте предоставляется «КАК ЕСТЬ» без каких-либо гарантий, либо явные или подразумеваемые, включая, помимо прочего, гарантии пригодность для продажи, пригодность для конкретной цели и ненарушение прав. Мы прилагаем разумные усилия для предоставления точной и своевременной информации и периодически обновлять информацию и программное обеспечение без предварительного уведомления. Мы не давать никаких гарантий или заявлений в отношении точности или полноты такой информации (или программного обеспечения), и не предполагает ответственности или ответственности за ошибки или упущения в содержании этого веб-сайта сайт или какие-либо программные ошибки в онлайн-приложениях. Вы используете этот веб-сайт НА СВОЙ СОБСТВЕННЫЙ РИСК. Ни при каких обстоятельствах и ни по какой правовой теории мы не несем ответственности перед вами или любым другим лицо для любого прямого, косвенного, специального, случайного, образцового или косвенный ущерб, возникающий в результате вашего доступа к этому веб-сайту или его использования. Версия программного обеспечения: 1.2.1 Алгоритмы и программное обеспечение: Патрик Весса, доктор философии Сервер: www.wessa.net О программе | Комментарии, отзывы и ошибки | Политика конфиденциальности | статистические ресурсы | Wessa.net Дом  © Wessa. Net 2002-2022

Домашняя страница Множественная регрессия Описательная статистика Статистические распределения Проверка гипотез Анализ временных рядов Вход в RFC

Калькулятор критерия суммы рангов Уилкоксона — MathCracker.com

Решатели Статистика

---

Инструкции: Этот калькулятор проводит критерий суммы рангов Уилкоксона для двух независимых выборок. Этот тест применяется, когда у вас есть две независимые выборки. Выберите нулевую и альтернативную гипотезы, введите данные выборки и уровень значимости, и вам отобразятся результаты теста Уилкоксона для двух независимых выборок:

Ho: Медиана (Разница) —Select— = 0 ≥ 0 ≤ 0

га: медиана (разница)—селек-≠ 0> 0

Образец 1

Образец 2

0,0050.010.020.0250.050.10

Вариал 1 Наз. 2 имя (не обязательно)

---

Подробнее о Критерий суммы рангов Уилкоксона поэтому вы можете лучше использовать результаты, представленные решателем выше: Критерий суммы рангов Уилкоксона для двух независимых выборок является непараметрической альтернативой для двух независимых выборок t-тест

Когда следует использовать критерий суммы рангов Уилкоксона?

Критерий суммы рангов Уилкоксона необходимо использовать, когда некоторые из предположений, необходимых для t-критерия, не выполняются, либо уровень измерения данных меньше интервала, либо выборки не поступают из нормально распределенных совокупностей. Отклонение от предположения о нормальности особенно важно при меньших размерах выборки (n ≤ 30) и может сделать результаты t-критерия очень ненадежными, по этой причине было бы целесообразно использовать критерий суммы рангов Уилкоксона в тот случай.

Что такое критерий суммы рангов Уилкоксона?

Тест суммы рангов Уилкоксона — это тест гипотезы, который пытается сделать утверждение о том, приходятся ли две выборки с популяциями с одинаковыми медианами. В частности, критерий суммы рангов Уилкоксона использует выборочную информацию, чтобы оценить, насколько правдоподобно равенство медиан популяции. Тест имеет две непересекающиеся гипотезы, нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза — это утверждение о медиане генеральной совокупности, которая указывает на отсутствие эффекта, а альтернативная гипотеза — это дополнительная гипотеза к нулевой гипотезе. Основные свойства критерия суммы рангов Уилкоксона для двух независимых выборок:

• Для теста требовалось два независимых образца.


• Как и все тесты гипотез, в зависимости от наших знаний о ситуации «отсутствия эффекта», критерий суммы рангов Уилкоксона может быть двусторонним, левосторонним или правосторонним.


• Критерий суммы рангов Уилкоксона является непараметрическим, что указывает на то, что он не требует предположения о нормальности и не требует интервального уровня.


• Это требует, чтобы данные измерялись, по крайней мере, на порядковом уровне (чтобы данные можно было организовать в порядке возрастания).


• Одно техническое требование состоит в том, чтобы два образца поставлялись с распределениями одинаковой формы.

Что произойдет, если у вас достаточно большие размеры выборки?

Статистика для теста суммы рангов Уилкоксона представляет собой сумму рангов для выборки 1. Когда каждая выборка имеет 10 или более значений, можно использовать нормальное приближение и использовать следующую статистику:

\[z = \frac{R- \mu_R}{\sigma_R}\]

куда

\[\mu_R = \frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}\]

а также

\[\sigma_R = \sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}}\]

Затем этот критерий суммы рангов Уилкоксона будет вычислять p-значение для размеров выборки, которые достаточно велики для использования нормального приближения. В противном случае вместо них будут использоваться критические значения.

Существует параллельная параметрическая версия этого критерия Уилкоксона. t-критерий для двух независимых выборок , который можно использовать только при выполнении предположений.

Является ли критерий суммы рангов Уилкоксона тем же калькулятором U-критерия Манна-Уитни?

Тест суммы рангов и тест Манна-Уитни по сути являются одним и тем же тестом, поэтому их результаты эквивалентны.

Что делать, если у меня есть парные данные?

Если у вас есть парные данные и допущения для проведения параметрического теста (t-теста) не выполняются, вы должны использовать этот Калькулятор критерия знаковых рангов Уилкоксона вместо.

---

Альтернатива t-тесту для двух независимых выборок Базовый пакет статистики U-критерий Манна – Уитни Непараметрический тест Решатель статистики Калькулятор критерия суммы рангов Уилкоксона

Калькулятор рейтинга сохранения | Натурсерв

Калькулятор природоохранного статуса

Обзор

Калькулятор природоохранного рейтинга — это инструмент, который автоматизирует процесс присвоения природоохранного статуса — оценку уровня риска исчезновения видов и уничтожения или разрушения экосистем. Он широко используется NatureServe и его программами-членами и сотрудниками, которые собирают и оценивают данные о представляющих интерес видах и экосистемах с использованием общей методологии. Инструмент Rank Calculator облегчает точное применение этой методологии и способствует большей точности и согласованности оценок. Он запрограммирован в Microsoft Excel.

Примечание. По состоянию на январь 2019 г. Biotics 5 может рассчитывать рейтинг статуса сохранения, используя ту же методологию, что и инструмент Excel.

Скачать версию 3.1932

Обновлено 10 января 2020 г. Подробнее о последних обновлениях см. в разделе «История версий».

• Загрузка факторов статуса сохранения
• Скачать методологию статуса консервации

Значение

Оценка природоохранного статуса — или риска исчезновения видов и риска уничтожения экосистем — требует детальных знаний о распространении, размере популяции и тенденциях, а также критических угрозах (например, утрате или фрагментации мест обитания). Калькулятор рейтинга сохранения позволяет биологам-природоохранникам из сети NatureServe и другим организациям преобразовывать свои знания о конкретных видах и экосистемах в три категории информации (редкость, угрозы и тенденции). Затем инструмент может использовать эти данные для «расчета» общего рейтинга природоохранного статуса, автоматически применяя определенные правила, описанные в методологии.

Особенности и преимущества

Калькулятор природоохранного статуса — это инструмент, облегчающий точное применение методологии природоохранного статуса NatureServe. Использование инструмента повышает надежность и прозрачность процесса ранжирования и приводит к более последовательным оценкам. NatureServe работал с Международного союза охраны природы (IUCN) , чтобы стандартизировать рейтинги для общих информационных полей. Стандартизированные рейтинги позволяют обмениваться данными между организациями и странами и позволяют использовать эту информацию в оценках как МСОП, так и NatureServe.

Особенности инструмента включают:

• Основная информация о том, как использовать калькулятор рангов и лист оценки угроз
• Краткая информация о том, как правила применяются для создания расчетного рейтинга статуса
• Сводка отдельных факторов состояния и рейтинговых значений
• Форма калькулятора для одновременного ввода рейтингов факторов состояния для одного вида или экосистемы и создания расчетного рейтинга
• Рабочий лист оценки угроз, который используется для автоматического расчета рейтинга фактора состояния «Общее влияние угроз» на основе значений масштаба и серьезности, введенных для отдельных угроз
• Возможность хранения данных о факторах и угрозах для нескольких видов и экосистем в табличном формате; эти табличные данные могут быть перенесены в форму калькулятора и рабочий лист оценки угроз для лучшего просмотра и редактирования

Преимущества включают:

• Программирование в Microsoft Excel
• Может использоваться для оценки риска исчезновения видов и риска исчезновения экосистем в глобальном масштабе; его также можно использовать для оценки регионального риска истребления (локального исчезновения) как видов, так и экосистем
• Работает в сочетании с системой управления данными NatureServe ( Biotics ) — система Biotics содержит таблицы для хранения информации о факторах состояния и присвоенных рангах природоохранного статуса для видов и экосистем в глобальном, национальном и субнациональном масштабах
• Пользователи программного обеспечения NatureServe Biotics могут импортировать данные об индивидуальных факторах состояния и угрозах из Biotics в калькулятор для проверки и проверки

История версий

Мы планируем выпустить новую онлайн-версию где-то в ближайшие год или два. Поэтому недавние обновления состояли из незначительных изменений в версии Excel, доступной здесь.

• v3.1932 (10.01.2020): доработки инструментов импорта Biotics 5: исправлены недопустимые ссылки в формулах и добавлен шаг для добавления отсутствующих записей рейтинга при импорте данных оценки угроз
• v3.193 (29.03.2019): Добавлены инструменты для импорта данных в Biotics 5
• v3.186  (30 марта 2015 г.): исправлен экспорт SQL для оценки угроз B5 (экспортировал неправильный расчет воздействия угрозы) и добавлены примечания к импорту в Biotics.
• v3.185  (13 января 2015 г.): исправлена ​​ошибка, из-за которой рассчитанная угроза не удалялась из формы калькулятора (появившаяся в версии 3.18), а также исправлена ​​кнопка «Копировать из таблицы в форму калькулятора», чтобы вычисленная угроза копировалась
• v3.18 (30.12.2014): Исправлена ​​проблема с сохранением рассчитанного общего воздействия угрозы, появившаяся в версии 3.

  No related posts.