Сходимость степенного ряда онлайн: Интервал сходимости степенного ряда

Область сходимости степенного ряда. Примеры решения задач



Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

• Главная
• Примеры
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
• Видео-уроки
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование. Методы оптимизации
• Готовые работы
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
  • Другое
• Контакты

Полезные материалы:

• Учебники
• Справочники
• Онлайн калькуляторы

• Помощь в решении
• Онлайн занятия в Zoom

Область сходимости степенного ряда

Задача Найти область сходимости степенного ряда

Решение

   Заданный ряд является степенным рядом.
   Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда  достаточно, чтобы .
   Для решаемой задачи , .
   Так как , то ряд будет абсолютно сходиться при значениях , удовлетворяющих неравенству .

   Решением этого неравенства является интервал , следовательно, при  исследуемый степенной ряд будет абсолютно сходиться.
   Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть при  и .
   При  получаем числовой ряд . Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница: , . Поэтому ряд  сходится, и граница интервала  принадлежит области сходимости. В область абсолютной сходимости ряда эта граница не входит, так как ряд  расходится.
   При  получаем числовой ряд . Это гармонический ряд, и он расходится. Следовательно, граница интервала  не принадлежит области сходимости степенного ряда.   

Итак, областью сходимости степенного ряда  является полуинтервал

, а областью абсолютной сходимости степенного ряда  является интервал

.



Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru



Числовые, функциональные и степенные ряды

1. ТЕМА 10. Числовые, функциональные и степенные ряды.

Числовым рядом называется сумма вида:
u
n 1
n
u1 u2 u3 … un …
где числа u1, u2, u3,…,un,… – члены ряда
(бесконечная последовательность),
un – общий член ряда.
Частичные суммы ряда:
S1=u1,
S2=u1+u2,
S3=u1+u2+u3,
…………………..
Sn=u1+u2+u3+…+un
Если
lim S n S или
n
lim (u1 u2 … un ) S ,
n
то ряд называется сходящимся, а число S –
суммой сходящегося ряда.
u
n 1
n
u1 u2 … un … S
Если
частичная
сумма
Sn
ряда
при
неограниченном возрастании n не имеет
конечного предела (в частности, стремится к
+∞ или к -∞), то такой ряд называется
расходящимся.
Пример.
Найти сумму членов ряда:
Находим частичные суммы членов ряда:
Запишем последовательность частичных сумм:
Общий член этой последовательности есть:
…
n/(2n+1)
Последовательность частичных сумм имеет предел,
равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/2.
un
Ряд
может сходиться только при условии,
n 1
что его общий член un при неограниченном
увеличении номера n стремится к нулю:
lim un 0
n
Если lim u n 0 , то ряд u n расходится – это
n 1
n
достаточный признак расходимости ряда.
а)
Признак сравнения рядов с положительными
членами.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят
соответствующих членов другого, заведомо сходящегося
ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены
превосходят соответствующие члены другого заведомо
расходящегося ряда.
б) Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
u
u1 u2 … un un 1…(un 0)
n 1
u n 1
выполняется условие lim
l , то ряд сходится при l<1 и
n u
расходится при l>1.
n
n
Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом
случае для исследования ряда применяют другие приемы.
-образован из членов геометрической прогрессии:
n
2
n
aq
a
aq
aq
…
aq
…
n 0
(a 0)
сходится при |q|<1
расходится при |q|≥1
1
1
1
1
1 p p … p …
p
2
3
n
n 1 n
сходится при p >1
расходится при p ≤1
Пример.
Исследовать
сходимость
ряда,
применяя
необходимый признак сходимости и признак сравнения:
1
1
1
1
1
…
…
n
2
3
n
1 2 3 2 5 2
(2n 1) 2
n 1 ( 2n 1) 2
1
lim un lim
0
n
n
n ( 2n 1) 2
Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Для
признака сравнения сравним данный ряд с геометрическим:
1
1 1
1
1 2 … n …
n
2 2
2
n 0 2
который сходится, так как q=1/2<1.
Сравнивая члены нашего ряда с соответствующими
членами геометрического ряда, получим неравенства:
1
1
1 1
1
1
1
1;
2;
3 ;. ..;
n ;…
2
3
n
2
3 2
2 5 2
2
(2n 1) 2
2
Т.е. члены данного ряда соответственно меньше членов
геометрического
ряда.
Следовательно,
данный
ряд
сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак
Даламбера:
Следовательно, данный ряд сходится.

13. Основные понятия

Определение 1:
Функциональным называется ряд, члены которого есть
непрерывные функции от аргумента x:
u1 ( x) u2 ( x) … un ( x) … un ( x)
n 1
При x=n функциональный ряд становится числовым,
который либо сходится, либо расходится.

14. Пример функционального ряда

Рассмотрим геометрическую прогрессию
со знаменателем х:
2
3
n
1 x x x … x. …
Геометрическая прогрессия сходится,
если ее знаменатель x 1 . Тогда она
имеет сумму S 1
, которая
1 x
очевидно является функцией от х.

15. Основные понятия

Определение 2:
Совокупность значений x, при которых ФР сходится,
называется областью сходимости ряда.
Сумма ФР может быть представлена:
S ( x) S n ( x) Rn ( x)
S n ( x) u1 ( x) u2 ( x) … un ( x)
Rn ( x) un 1 ( x) un 2 ( x) …
Определение 3:
ФР называется равномерно сходящимся в некоторой
области X, если для каждого сколь угодно малого ε>0
найдется такое N(ε)>0, что при n>N выполняется
неравенство:
S ( x) Sn ( x) Rn ( x) x X
S(x) – непрерывная функция
Определение 4:
Пусть даны:
u ( x) функционал ьный
n 1
n
ряд
a
n 1
n
знакополож ительный числовой ряд
причем в некоторой области выполняется условие:
u1 ( x) a1 , u2 ( x) a2 ,…, un ( x) an ,…
Тогда
a
n 1
n
является мажорантой для un ( x)
n 1

18. Признак Вейерштраса

Если мажоранта функционального ряда сходится,
то сходится и функциональный ряд абсолютно и
равномерно.

19. Свойства абсолютно и равномерно сходящихся рядов

Пусть даны функциональные ряды:
u ( x) S ( x)
n 1
n
равномерно сходящийся на a; b
v ( x) S ( x), ( x) S ( x) равномерно сходящиеся, причем :
n 1
n
1
n 1
n
2
b
v ( x) un\ ( x) и n ( x) un ( x)dx тогда :
n
a
b
S1 ( x) S \ ( x)
S 2 ( x) S ( x)dx
a

20.

Степенные рядыОпределение 5:
Функциональный ряд вида:
n
0
1
2
n
a
x
a
x
a
x
a
x
…
a
x
..
n
0
1
2
n
n 0
a0 ,a1 ,…an вещественные числа
называется степенным рядом.

21. Теорема Абеля

1.
Если степенной ряд сходится при x = x1, то он
сходится для всех |x| < |x1|.
2.
Если степенной ряд расходится при x = x2, то он
расходится для всех |x |> |x2|.
Из теоремы следует, что существует такое
положительное значение x = R, что при |x| < R
степенной ряд сходится,
а при |x| > R расходится, R — радиус сходимости.
Ряд сходится
x0 — R
x0
x0 + R

22. Нахождение радиуса сходимости

1.
По признаку Даламбера:
un 1
an
R lim
lim
n u
n a
n
n 1

23. Нахождение радиуса сходимости

2.
По радикальному признаку Коши:
R
1
lim n an
n

24. Ряд Тейлора

Определение 6:
Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд
вида:
f \ ( x0 )
f \ \ ( x0 )
f ( n) ( x0 )
2
f ( x) f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) . ..
( x x0 ) n …
1!
2!
n!
это есть разложение функции в окрестности точки x0.
Коэффициентами являются производные высших
порядков в точке x0, т.е. Для разложения в ряд
Тейлора необходимо, чтобы f(x)существовала в x0
вместе со своими производными.

25. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Определение 6:
Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в
интервале |x-x0|<r может быть разложена в
степенной ряд Тейлора, если в этом интервале
остаток ряда стремится к нулю:
lim Rn ( x) 0
n
f ( n 1) (c)
Rn ( x)
( x x0 ) n 1
(n 1)!

26. Ряд Маклорена

Определение 7:
Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной
ряд вида:
f \ (0)
f \ \ (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x) f (0)
x
x …
x …
1!
2!
n!
это есть разложение функции в окрестности точки x=0.
Коэффициентами являются производные высших
порядков в точке x=0, т.е. Для разложения в ряд
Маклорена необходимо, чтобы f(x)существовала в
x=0 вместе со своими производными.

27. Степенные ряды

Определение. Ряд
a x
n 0
n
n
a0 a1 x a2 x … an x …
2
n
называется степенным по степеням х . Ряд
.
является степенным по степеням
n
2
a
x
x
a
a
x
x
a
x
x
n
0
0
1
0
2
0 … an
n 0
x x0 n …
x x0

28. Интервал сходимости степенного ряда

Для любого степенного ряда существует
конечное неотрицательное число R радиус сходимости — такое, что
R если
0
, тоx при
x R
R
ряд сходится, а при
расходится. R, R
Интервал
называется
R
интервалом сходимости степенного
ряда. Если
, то интервалR 0
сходимости представляет собой всю
числовую прямую. Если же
, то
степенной ряд сходится лишь в точке
х=0.

29. Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

Составим ряд из абсолютных величин
членов степенного ряда и найдем
интервал, в котором он будет
сходиться, Тогда в этом интервале
данный степенной ряд будет сходиться
абсолютно. Согласно признаку
n 1
Даламбераu,n если
an 1 x
1
lim
lim
1
n
n u
n
an x
n
,то степенной ряд абсолютно сходится
для всех х, удовлетворяющих этому
условию.

30. Продолжение

В этом случае ряд будет сходиться
внутри интервала (-R,R),где R-это
радиус сходимости ряда: a
n
R lim
n a
. n 1
За пределами этого интервала ряд
будет расходиться, а на концах
nгде
1
интервала,
an 1 x
1
lim
n
n
an x
, требуется
дополнительное исследование.

31. Примеры

Найти интервал сходимости ряда
n
x
.
n 0 2n 1
Следовательно, ряд сходится абсолютно в
интервале (-1,1).
x n 1 2n 1
2n 1
2n
lim x
x lim
x 1
lim
n
2n 3
n 2n 3 x
n
n 2n

32. Примеры

Положим
ряд
Тогда получим числовой
x . 1
1. Этот ряд расходится
n 0 2 n 1
(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся
ряд
,
1 n
который сходится условно в силу
теоремы
n 0 2n 1
Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в
промежутке [-1,1).

33. Примеры

Найти интервал сходимости степенного
xn
x n,
x n. Здесь
un
n! 1 2 3 … n
n 1 n!
.Тогда
n 1 =
n 1
x
x
un 1
n =1 ! 1 2 3 … n n 1 =
ряда
=
lim
n
u n 1
un
lim
x
n 1
1 2 3 … n
n 1 2 3 … n
n 1 x
n
lim
n
x
n 1

34. Продолжение

1
x 0 0 .
= x lim
n n 1
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это
означает, что степенной ряд сходится
независимо от x, т.е. на всей числовой
прямой.
Итак, интервал сходимости ряда — это
промежуток
.
,

35. Пример

Найти интервал сходимости ряда
lim
n 1 ! x
n
n! x
n
n 1
= lim
1 2 3 … n n 1 x
n
1 2 3 … n
n.! x
n 1
=
= lim n 1 x = x lim n 1 .
n
n
Этот предел может быть меньше
единицы, если только x=0 (иначе он
будет равен бесконечности). Это
означает, что степенной ряд сходится
лишь в точке x=0.
n

36. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного ряда
S ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 … a n x n …
является непрерывной функцией в каждой
точке интервала сходимости этого ряда.
Например,
непрерывна , если
.
1
2
3
n
S ( x)
1 x x x … x …
1 x
x 1

37. Почленное дифференцирование

2. Ряд, полученный почленным
дифференцированием степенного ряда,
является степенным рядом с тем же
интервалом сходимости, что и данный ряд,
причем :если
,
то S ( x) a a x a x 2 … a x n …
0
1
2
n
2
n 1
S ( x) a1 2a 2 x 3a3 x … na n x …

38. Почленное интегрирование

3. Степенной ряд можно почленно
интегрировать на любом промежутке,
целиком входящем в интервал сходимости
степенного ряда, при этом
где S ( x)dx
a0 dx . a1 xdx … an x dx …
n
( , ) ( R, R)

39. Определения

Определение. Если бесконечно
дифференцируемая функция является
суммой степенного ряда, то говорят,
что она разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x)
называется ряд, коэффициенты
которого определяются
f ( n ) ( x0 )
an
(n)
n ! f ( n ) ( 0)
f
(
x
)
по формулам
, т.е. ряд
0
n
( x x0 ) n
x
n
!
n 0
или n 0 n !
.

40. Степенной ряд как ряд Тейлора

Теорема. Если в некоторой окрестности
точки
x
0
,
n
f
(
x
)
a
a
(
x
x
)
…
a
(
x
x
)
..
0
1 ее ряд
0 Тейлора.
n
0
то ряд справа
есть
Короче: если функция представлена в
виде степенного ряда, то этот ряд является
ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом
Тейлора единственно.

41. Формула Тейлора

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
Тейлора:
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
n
S
(
x
)
f
(
x
)
(
x
x
)
. ..
(
x
x
)
n
0
0многочленом
0
Этот
многочлен
называется
1!
n!
Тейлора функции
.
Разность
называетсяf (x )
остаточным членом
R ( x) ряда
f ( x) Тейлора.
S ( x)
n
n

42. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Остаточный член в форме Лагранжа имеет
вид:
f ( n 1) (c)
Rn ( x)
( x x0 ) n 1 , где c ( x0 , x)
(n 1)!
Тогда
( n 1)
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f
(c )
fназывается
( x) f ( x0 ) формулой
( x x0 ) …Тейлора
(с
x x0 ) n
( x x0 ) n 1
1!
n!
(n 1)!
остаточным членом в форме Лагранжа.

43. Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

Для того чтобы функцию можно было
разложить в ряд Тейлора на интервале(R,R),необходимо и достаточно, чтобы
функция на этом интервале имела
производные всех порядков и чтобы
остаточный член формулы Тейлора
стремился к нулю при всех
x ( R, R) при n

44.

Достаточные условия разложимости функции в ряд ТейлораЕсли функция f(x) на интервале (-R,R)
бесконечно дифференцируема и ее
производные равномерно ограничены в
совокупности, т. е. существует такая
константа М, что для всех
выполняется условие
x ( R, R) при п=0,1,2,…, то функцию
можно
( n ) разложить в ряд Тейлора на этом
f ( x) M
интервале.

45. Разложение

f ( x) e
x
Все производные этой функции
совпадают с самой функцией, а в точке
х=0 они равны 1. Составим для
2 Маклорена:
n
функции формально
ряд
x x
x
1
1
2!
…
n!
…
Этот ряд, очевидно, сходится на всей
числовой оси. Но все производные
( n 1)
функции
равномерно ограничены,
f
(c )
т. к.
, где R-любое
число из интервала сходимости.
x
Поэтому этот ряд сходится
именно к
e .
функции
e e
c
R

46. Разложение в ряд синуса.

Вычислим производные синуса:
f ( x) cos x sin( x
f ( x) cos( x
2
f (0) 0,
f (0) 1,
)
) sin( x 2 )
2
2
f ( x) cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
. ………………………………………………
f
(n)
( x) sin( x n ).
2
f (0) 0
f (0) 1
f ( 4 ) ( 0) 0
………………
f ( 2 n 1) (0) ( 1) n 1
……………………

47. Продолжение

Ясно, что все производные синуса не
превосходят по модулю единицу. Так что
запишем ряд, который будет разложением
синуса:
2 n 1
2 n 1
x3 x5
x
x
sin x x
… ( 1) n
.. ( 1) n
,
! 5! что этот( 2ряд
n 1)!
n 0
при этом 3видно,
сходится
на ( 2n 1)!
всей числовой оси.

48. Приближенное вычисление интегралов

Разложения 1–7 позволяют, используя
соответствующее разложение,
вычислять приближенно значения
функций, интегралы, приближенно
интегрировать дифференциальные
уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда
1
вычислить с точностью до 0,0001
x2
e
0
dx

49. Решение

Разложим подынтегральную функцию в
степенной ряд:
e x
1
2
2 2
2 3
2 4
(
x
)
(
x
)
(
x
)
2
1 x
. ..
2!
3!
4!
1
4
6
8
x
x
x
x
2
e
dx
(
1
x
…)dx
0
0
2 ! 3! 4 !
1
1
1
1
1
4
6
8
x
x
x
dx x 2 dx
dx
dx dx …
2!
3!
4!
0
0
0
0
0
2
3
x
x 10
3
1
0
x5
2 5
1
0
x7
6 7
1
0
x9 1
0 ..
24 9

50. Продолжение

3
5
7
x
x
x
1
1
x 10
0
0
3
2 5
6 7
1 1
1
1
1
..
3 10 42 216
1
0
x9 1
0 ..
24 9
Так как получившийся ряд является
знакочередующимся, то сумма знакочередующегося
ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно,
что часть ряда, которую в задаче следует отбросить,
также является знакочередующимся рядом и его сумма
не превзойдет модуля первого отброшенного члена
ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда
должен быть меньше заданной погрешности, т. е.
0,0001.

51. Продолжение

Вычислив еще несколько членов ряда
1
1
1
,
,
1320 9360 75600
видим, что
1
0,0001
75600
Отбросив этот и следующие за ним члены
ряда, получим:
1
e
0
x2
1 1
1
1
1
1
dx 1
0,7468
3 10 42 216 1320 9360

52. Приближенное вычисление значений функций

Вычислить 3 10 с точностью до
0,001.Преобразуем
1
10
2
3
3
3
10 8 2 1 23 1 0,25 2(1 0.25) 3
8
8
Воспользуемся биномиальным рядом при
х=0,25 и m 1 .
3
Получим
1 1
1 1
1
( 1)
( 1)( 2)
1
3
3
10 2(1 0,25 3 3
0,25 2 3 3
0,25 3 )
3
2!
3!
2(1 0,0833 0,0069 0,0009) 2(1 0,0833 0,0069)
2,1528 2,153.

Калькулятор интервала сходимости

Онлайн-калькулятор интервала сходимости поможет вам найти точки сходимости заданного ряда.

Калькулятор интервала сходимости — важный инструмент, который математики используют для быстрого нахождения точек сходимости в степенном ряду. Калькулятор интервальной сходимости также помогает решать другие сложные математические задачи.

Что такое калькулятор интервала сходимости?

Калькулятор интервальной сходимости — это онлайн-инструмент, который мгновенно находит сходящиеся значения в степенном ряду .

Калькулятор интервальной сходимости требует четырех входных данных. Первый вход — это функция, которую нужно вычислить. Второй ввод — это имя переменной в уравнении. Третий и четвертый входные данные — это требуемый диапазон чисел.

Калькулятор интервальной сходимости отображает точки схождения за доли секунды.

Как пользоваться калькулятором интервала сходимости?

Вы можете использовать Калькулятор интервала сходимости, вставив математическую функцию, переменную и диапазон в соответствующие поля и просто нажав кнопку « Отправить ». Вам сразу же будут представлены результаты.

Ниже приведены пошаговые инструкции по использованию Калькулятора интервала сходимости :

Шаг 10029 Введите функцию

».

Шаг 2

После входа в функцию мы вводим переменную.

Шаг 3

После ввода переменной мы вводим начальное значение нашей функции.

Шаг 4

Наконец, мы вводим конечное значение нашей функции.

Шаг 5

После подключения всех входных данных мы нажимаем кнопку « Submit », которая вычисляет точки схождения и отображает их в новом окне.

Как работает калькулятор интервальной сходимости?

Калькулятор интервала сходимости работает путем вычисления точек сходимости степенного ряда с использованием функции и пределов. Затем калькулятор интервала сходимости обеспечивает связь между уравнением и переменной x, представляющей значения сходимости.

Что такое конвергенция?

В математике сходимость является свойством конкретного бесконечный ряд и функции приближения к пределу при изменении значения входа функции (переменной) или при увеличении числа членов ряда. {3} +…,$. 9{n} \]

Где $a$ и $c_{n}$ — числа. $c_{n}$ также называют коэффициентами степенного ряда. Степенной ряд является первым идентифицируемым, потому что он является функцией x.

Степенной ряд может сходиться для одних значений x и расходиться для других значений x, поскольку члены ряда включают переменную x. Значение ряда в точке x=a для степенного ряда с центром в точке x=a определяется как $c_{0}$. Степенной ряд , следовательно, , всегда сходится в своем центре.

Однако большинство степенных рядов сходятся при различных значениях x. Затем степенной ряд либо сходится для всех действительных чисел x, либо сходится для всех x в пределах определенного интервала.

Свойства сходимости в степенном ряду

Схождение в степенном ряду имеет несколько существенных свойств. Эти свойства помогли математикам и физикам совершить несколько прорывов на протяжении многих лет.

Степенной ряд расходится вне симметричного интервала, в котором он сходится абсолютно вокруг своей точки разложения. Расстояние от конечной точки и точки расширения называется радиус схождения .

Любая комбинация сходимости или расхождения может иметь место в конечных точках интервала. Другими словами, ряд может расходиться в одном конце и сходиться в другом, или он может сходиться в обоих концах и расходиться в одном.

Степенной ряд сходится к своим точкам разложения. Этот набор точек, в которых ряды соединяются, известен как интервал сходимости .

Почему важна серия Power?

Степенной ряд важен, потому что он по существу представляет собой полиномы ; их удобнее использовать, чем большинство других функций, таких как тригонометрические и логарифмические, и они помогают вычислять пределы и интегралы, а также решать дифференциальные уравнения.

Серия Power отличается тем, что чем больше членов вы складываете, тем ближе вы к точной сумме. Из-за этой особенности компьютеры часто используют их для аппроксимации значения трансцендентных функций. Добавляя некоторые элементы в бесконечный ряд, ваш калькулятор обеспечивает точное приближение к sin(x).

Иногда полезно использовать первые несколько членов степенного ряда в качестве замены самой функции, а не использовать степенной ряд для аппроксимации конкретного значения функции.

Например, в дифференциальном уравнении, которое они обычно не могли решить, студенты-первокурсники, изучающие физику, должны заменить sin(x) первым членом его степенного ряда, x. Степенные ряды используются аналогичным образом в физике и математике.

Что такое интервал сходимости?

Интервал сходимости — ряд значений, для которых последовательность сходится. Тот факт, что мы можем определить интервал сходимости для ряда, не означает, что ряд в целом сходится; вместо этого это просто означает, что ряд сходится в течение этого конкретного интервала.

Например, представим, что интервальная сходимость ряда равна -2 < x < 8. Нарисуем окружность вокруг концов ряда вдоль оси $x\$. Это позволяет нам визуализировать 9{n} \]

Интервал сходимости представлен следующим образом:

 a < x < c  

Что такое радиус сходимости?

радиус сходимости степенного ряда — это радиус, равный половине значения интервала сходимости. Значение может быть либо неотрицательным числом, либо бесконечностью. Когда он положителен, степенной ряд тщательно и равномерно сходится на компактах внутри открытого диска с радиусом, равным радиус схождения .

Если функция имеет несколько особенностей , радиус сходимости является кратчайшим или наименьшим из всех предполагаемых расстояний между каждой особенностью и центром диска сходимости.

$R$ представляет собой радиус сходимости. Мы также можем составить следующее уравнение:

 (a-R, a + R) 

Как рассчитать радиус и интервал сходимости

Чтобы рассчитать радиус и интервал сходимости, вам необходимо выполнить тест отношения. А 9Тест отношения 0003 определяет, может ли степенной ряд сходиться или расходиться.

Проверка отношения выполняется с использованием следующего уравнения:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right | \]

Если тест отношения равен L < 1, ряд сходится. Значение L > 1 или L = $\infty $ означает, что ряд расходится. Тест становится неубедительным, если L = 1 .

Предполагая, что у нас есть ряд с L < 1, мы можем найти радиус сходимости (R) по следующей формуле:

\[ \left | х – а \право | < R \] 

Мы также можем найти интервал сходимости по уравнению, написанному ниже:

a – R < x < a + R 

сходимости конечных точек интервала путем вставки их в начальный ряд и использования любого доступного теста сходимости, чтобы определить, сходится ли ряд в конечной точке.

Если степенной ряд расходится с обоих концов, то интервал сходимости будет следующим:

a – R < x < a + R  интервал сходимости можно записать в виде:

\[ a – R < x \leq a + R \]

следующим образом:

\[ а – R \leq x < а + R \] 9п} $. Студент должен проверить, сходится ли степенной ряд или нет. Найдите интервал сходимости данного уравнения.

Решение

Мы можем легко найти интервал сходимости с помощью калькулятора интервала сходимости . Сначала мы вставляем уравнение в поле уравнения. После ввода уравнения мы подставляем нашу переменную букву. Наконец, в нашем случае мы добавляем наши предельные значения 0 и $\infty$.

Наконец, после ввода всех наших значений, мы нажимаем кнопку «Отправить» на 9n} \]

С помощью калькулятора интервала сходимости найдите интервал сходимости .

Решение

Используя Калькулятор интервала сходимости , мы можем легко вычислить точки, в которых сходятся ряды. Сначала мы вводим функцию в соответствующее поле. После ввода процесса мы объявляем переменную, которую будем использовать; мы используем $n$ в этом случае. После выражения нашей переменной мы вводим предельные значения, которые равны 0 и $\infty$. 9n} \]

Учащийся должен определить, сходится ли этот степенной ряд к одной точке. Найдите интервал сходимости функции.

Решение

Функция может быть легко решена с помощью Калькулятор интервала сходимости . Сначала мы вводим предоставленную нам функцию в поле ввода. После ввода функции мы определяем переменную, в данном случае $n$. Как только мы подключим функцию и переменную, мы введем пределы нашей функции, которые равны $1$ и $\infty$. 9n} \]

Используя приведенное выше уравнение, найдите интервал сходимости в ряду.

Решение

Мы решим эту функцию и рассчитаем интервал сходимости с помощью Калькулятора интервала сходимости. Мы просто введем функцию в соответствующее поле. После ввода уравнения мы присваиваем переменной $n$. После выполнения этих действий мы устанавливаем ограничения для нашей функции, которые составляют от n=1 до $n = \infty$.

После того, как мы подставили все исходные значения, мы нажимаем кнопку «Отправить», и появится новое окно с ответом. Результат из 9n} \ \ сходится \, когда \left | 10x+20 \right |<5 \]

Список математических калькуляторов

Калькулятор интервала и радиуса сходимости + объяснение

В последнее время онлайн-калькуляторы приобрели большую популярность. Калькулятор радиуса сходимости, также известный как калькулятор интервала сходимости, представляет собой бесплатный онлайн-ресурс, который дает вам точку сходимости для заданного ряда.

Радиус сходимости — понятие в исчислении, которое составляет 1/2 интервала сходимости. 9n}}$ будет сходиться при $|x−a|R$.

Обратите внимание, что ряд может сходиться или не сходиться, если $|x−a|=R$. То, что происходит в этих точках, не изменит радиус сходимости

Интервал сходимости

Интервал сходимости ряда, как следует из названия, представляет собой множество значений (интервал), для которых ряд, в основном степенной ряд , сходится.

В приведенном выше примере интервал сходимости будет равен $(a-R, a+R)$. 9n}}$ сходится, когда $|x – 3|<2$

Таким образом, ваш радиус сходимости здесь равен 2, а интервал сходимости будет равен (3-2,3+2) или (1, 5) .

Таким образом, вы можете изменить значения и рассчитать с помощью Калькулятора радиуса конвергенции.

Подробнее о радиусе сходимости

Степенной ряд сходится в центре своей сходимости на определенном интервале. Радиус схождения — это расстояние от центра схождения до другого конца интервала. 9n$ — степенной ряд около $\psi$.

Пусть $I$ — интервал сходимости $S(x)$.

Пусть концами $I$ являются $\psi – R$ и $\psi + R$.

(Это следует из того, что $\psi$ является серединой $I$.)

Тогда $R$ называется  радиусом сходимости  состояния $S(x)$.

Радиус сходимости в комплексном множестве C

Пусть $\psi \in \mathbb{C}$ — комплексное число.

Для $z \in \mathbb{C}$ пусть:

$\displaystyle f(z) = \sum_{n= 0}^\infty a_n {(z – \psi)}^n$ степенной ряд около $\psi$.