реальный анализ — Внутренняя часть графика $\sin(1/x)$
Задавать вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$ 9с$. [Хотя у меня есть некоторые сомнения по поводу этой части].
Для внутренней части $S$ это пустое множество, так как не существует $\varepsilon > 0$ такого, что $B_\varepsilon((x,f(x)))\subset S$.
Таким образом, замыкание $S$ равно $S\cup\{(0,0)\}$.
Пожалуйста, дайте мне знать, если вы думаете, что это правильно.
- реальный анализ
- общая топология
- анализ
$\endgroup$
9
$\begingroup$
В целом выглядит правильно.
Внутри граф пуст, хотя его граница $S\cup\{(0,y):y\in[-1,1]\}$. Возможно, это было то, что вы имели в виду все время, и я сделал ошибку, исправляя вашу запись.
Чтобы увидеть, что весь этот сегмент содержится в границе, рассмотрим горизонтальную линию на плоскости, пересекающую график. Пересечение этой линии с графиком создает последовательность точек, которые сходятся к пересечению линии с осью Y. В качестве альтернативы ваш аргумент верен для этого расширенного набора. В любом случае вам все равно придется утверждать, что на границе нет другой точки. Это можно сделать, показав, что множество замкнуто, поскольку замыкание монотонно, а замкнутое множество само по себе замыкание. 92$.
Вы правы, что внутренность $G$ пуста, а граница $G$ равна замыканию $G$.
Однако я утверждаю, что ваше закрытие неверно. Это должно быть $G\cup\left(\{0\}\times[-1,1]\right)$ (то есть добавить весь вертикальный отрезок от (0,-1) до (0,1 ) ). Ваш аргумент, подтверждающий, что это замыкание/граница, должен работать и для этого большего множества, хотя вам следует изменить обозначение для центров ваших открытых шаров, чтобы отразить тот факт, что у вас есть пара координат: $B_{\varepsilon}(0, у) $.