Минор второго порядка: Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

Содержание

Ранг матрицы » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Пятница, 10 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 6841
Подписаться на комментарии по RSS

п.4. Ранг матрицы.

Пусть А – произвольная матрица размеров над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е. .

Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы – го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом строк и столбцов.

Пример. . Отметим 1-й и 4-й столбцы и первые две строки, а остальные (2-й и 3-й столбец и 3-ю строку) вычеркнем: – минор второго порядка матрицы А.

Или вычеркнем любой столбец матрицы А, например третий:

– минор третьего порядка матрицы А.

Ясно, что минором первого порядка является любой ее элемент, а миноров четвертого порядка не существует, миноров третьего порядка существует ровно четыре, а миноров второго порядка ровно 18 штук.

Определение. Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ее ненулевого минора.

Обозначение: .

Ранг нулевой матрицы по определению полагают равным нулю.

Замечание. Из определения следует, что ранг ненулевой матрицы есть натуральное число, не превышающее ни числа строк, ни числа столбцов. Так в примере выше ранг матрицы А может быть равен 1 или 2 или 3. Так как минор второго порядка , то ранг матрицы равен 2, если все 4 ее минора третьего порядка равны 0, и равен 3, если среди ее миноров третьего порядка найдется хотя бы один ненулевой.

Пусть А – произвольная матрица размеров над полем K. Тогда ее строки имеют длину n и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства строк длины n: .

Столбцы матрицы А имеют высоту m и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства столбцов высоты m: .

Обозначим – систему строк матрицы А, – систему ее столбцов. Тогда для всех и для всех . Эти системы, как и любые системы векторов векторного пространства имеют свой ранг.

Обозначим:

, ,

Теорема. (О ранге матрицы.) Ранг матрицы равен рангу системы ее строк и равен рангу системы ее столбцов.

Иначе, в наших обозначениях: .

Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы:

Лемма 1. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем K. Следующие утверждения равносильны:

1) система строк матрицы А – линейно зависимая;

2) система столбцов матрицы А – линейно зависимая;

3) определитель матрицы А равен нулю.

Доказательство. . Это следует из свойств определителя и уже доказано.

. Пусть . Нам нужно доказать, что система столбцов матрицы А является линейно зависимой.

Допустим противное. Пусть система столбцов – линейно независимая. Так как А – квадратная матрица, то все ее столбцы имеют высоту n, т.е. являются векторами пространства , размерность которого равна n. Следовательно, система является базисом пространства .

Пусть – канонический базис пространства , т.е.

, , …, .

Найдем матрицу перехода от канонического базиса к базису из столбцов матрицы А. Для этого разложим векторы базиса по каноническому базису. В матричной форме эти разложения будут иметь вид:

, где С – матрица перехода. Но последнее равенство есть равенство: , где Е – единичная матрица, откуда следует, что . Так как матрица перехода является невырожденной, т.е. , то отсюда следует, что , что противоречит условию . Следовательно, наше предположение о линейной независимости системы столбцов матрицы А является неверным, ч.т.д.

. Из доказанного следует, что система строк матрицы А является линейно зависимой тогда и только тогда, когда , т.к. строки матрицы А являются столбцами транспонированной матрицы . Так как , то все доказано.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем К. Следующие утверждения равносильны:

1) система строк матрицы А – линейно независимая;

2) система столбцов матрицы А – линейно независимая;

3) определитель матрицы А не равен нулю.

Лемма 2. Пусть – подпространство пространства V над полем K и . Тогда существует ненулевая линейная форма , такая, что , т.е. , .

Доказательство. Пусть – базис подпространства L. Дополним его до базиса пространства V: . Определим на V линейную форму с помощью равенства

, .

Как мы уже видели выше, это отображение есть линейная форма, причем ненулевая, т.е., например,

Пусть – произвольный вектор подпространства L. Разложим его по базису V:

, откуда следует, что , ч.т.д.

Лемма доказана.

Ранг матрицы. Минором k-го порядка матрицы А назовем определитель матрицы с элементами, стоящими на пересечении выбранных k строк и k столбцов

Поделись с друзьями:

Пусть дана матрица:

Минором k -го порядка матрицы А назовем определитель матрицы с элементами, стоящими на пересечении выбранных k строк и k столбцов.

Минор обозначается так:

где i₁, i₂,. .. i_k — номера выделенных строк;

j₁, j₂,…, j_k — номера выделенных столбцов.

Пример:

1. .

2. Выпишем какой-нибудь минор второго порядка. Для этого выберем, например, 1-ю и 3-ю строки, 2-й и 4-й столбец.

3. Найдем какой-нибудь минор 3-го порядка. Для этого нужно выбрать все строки и какие-нибудь три столбца, например 2-й, 3-й и 4-й.

Получим минор:

*знак «–» означает, что 2 строки в определителе переставлены местами.

Минор называется невырожденным

, если его определитель не равен нулю.

В нашем примере миноры невырожденные.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок невырожденных миноров матрицы (обозначается rang A).

В нашем примере rang A=3, так как мы нашли невырожденный минор третьего порядка, а миноров четвертого порядка у нашей матрицы нет. Любой невырожденный минор порядка rang A называется базисным.

Для базисного минора выполняются следующие правила:

1) Столбцы, входящие в базисный минор, линейно независимы, так как в противном случае какой-то столбец из нашего минора линейно выражался бы через остальные и тогда определитель минора равнялся бы нулю.

2) Столбцы, не входящие в базисный минор, линейно выражаются через базисы.

Эти утверждения справедливы и для строк матрицы.

Существуют разные способы определения ранга матрицы. Рассмотрим метод Гаусса определения ранга. Для этого рассмотрим элементарные преобразования:

1) перестановку строк (столбцов) матрицы;

2) умножение строк (столбцов) на константу ¹ 0;

3) прибавление к i -той строке (столбцу) j-той строки (столбца), умноженной (умноженного) на некоторое число;

4) вычеркивание из матрицы нулевых строк (столбцов).

Все эти преобразования не меняют ранга матрицы.

Метод Гаусса нахождения ранга матрицы заключается в следующем. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу А к виду:

rang B = r.

Базисный минор – это минор

, rang A = rang B = 2.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

rang A=2.

Рассмотрим систему уравнений система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы, т.е.

Можно доказать, что

Пример. Найти ранг и базисный минор матрицы А с помощью Mathcad.

1. Задаем системную переменную, вводящую нумерацию элементов массива с единицы.

2. Задаем элементы матрицы А.

3. Задаем ранжированные переменные, определяющие изменение порядковых номеров строк (i) и столбцов (j) матрицы А.

4. Осуществляем линейные операции с элементами строк и столбцов матрицы А согласно методу Гаусса.

5. Дальнейшее преобразование бессмысленно. Ранг преобразованной матрицы А=2.

6. Осуществим проверку полученного результата с помощью встроенной функции MathCad rank().

7. Базисный минор матрицы А содержит 2 строки и 2 столбца. Его определитель не равен нулю.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Миноры матрицы 2×2

Математические сомнения
Матрицы
Несовершеннолетние

Определитель квадратной подматрицы первого порядка при выходе из строки и столбца записи называется минором этого элемента в квадратной матрице второго порядка.

В квадратной матрице $2 \times 2$ есть четыре элемента (или элемента), которые расположены в двух строках и двух столбцах. Если рассматривать запись, игнорируя элементы в ее строке и столбце, то в матрице все равно будет элемент, и он образует квадратную подматрицу первого порядка. Определитель этой квадратной подматрицы первого порядка является минором соответствующей записи. Итак, в случае квадратной матрицы порядка $2$ возможны четыре минора.

$A$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} e_{11} & e_{12} \\ e_{21} & e_{22} \\ \end{bmatrix}$

Теперь, давайте научимся вычислять минор для каждого элемента в квадратной матрице порядка $2$ принципиально.

Минор для записи в первой строке и первом столбце

Рассмотрим запись $e_{11}$ в матрице $A$. Это элемент в первой строке и первом столбце.

Оставьте записи в первой строке и первом столбце. Он образует квадратную подматрицу размера $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{22}$

Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{11}$ и представлен $M_{11}$

$M_{11} \,=\, \begin{vmatrix} e_{22} \\ \end{vmatrix}$

$\следовательно \,\,\,$ $M_{11} \,=\, e_{22}$

Следовательно, минор элемента $e_{11}$ в матрице $A$ есть $e_{22}$.

Минор для записи в первой строке и втором столбце

Сосредоточиться на элементе $e_{12}$ в матрице $A$. Это запись в первой строке и во втором столбце.

Теперь игнорируйте элементы в первой строке и втором столбце. Он образует квадратную подматрицу порядка $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{21}$.

Определитель квадратной подматрицы порядка $1$ является минором элемента $e_{12}$ и обозначается через $M_{12}$.

$M_{12} \,=\, \begin{vmatrix} e_{21} \\ \end{vmatrix}$

$\следовательно \,\,\,$ $M_{12} \,=\ , e_{21}$

Следовательно, минор элемента $e_{12}$ в матрице $A$ равен $e_{21}$.

Минор для записи во второй строке и первом столбце

Рассмотрим запись $e_{21}$ в матрице $A$, которая является элементом второй строки и первого столбца.

Теперь забудьте записи во второй строке и первом столбце. Он образует квадратную подматрицу размера $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{21}$.

Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{21}$ и представлен $M_{21}$.

$M_{21} \,=\, \begin{vmatrix} e_{12} \\ \end{vmatrix}$

$\следовательно \,\,\,$ $M_{21} \,=\, e_{12}$

Следовательно, минор элемента $e_{21}$ в матрице $A$ равен $ е_{12}$.

Второстепенный элемент для записи во второй строке и втором столбце

Наконец, обратите внимание на запись $e_{22}$ в матрице $A$, и этот элемент является записью во второй строке и втором столбце.

Не учитывать записи во второй строке и втором столбце. Он образует квадратную подматрицу, которая представляет собой матрицу порядка $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{22}$.

Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{22}$ и обозначается $M_{22}$.

$M_{22} \,=\, \begin{vmatrix} e_{11} \\ \end{vmatrix}$

$\следовательно \,\,\,$ $M_{22} \,=\ , e_{11}$

Следовательно, минор элемента $e_{22}$ в матрице $A$ равен $e_{11}$.

Таким образом, в математике оценивается минор для каждого элемента квадратной матрицы второго порядка. Это также можно понять из понятного примера.

Пример

$B$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 5 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Найдем миноры элементов в матрица $B$ порядка $2\times 2$.

$(1).\,\,\,$ $M_{11} \,=\, \begin{vmatrix} 4 \\ \end{vmatrix} \,=\, 4$

Минор запись $1$ обозначается $M_{11}$ и равна $4$.

$(2).\,\,\,$ $M_{12} \,=\, \begin{vmatrix} 5 \\ \end{vmatrix} \,=\, 5$

Минор элемент $-8$ обозначается $M_{12}$ и равен $5$.

$(3).\,\,\,$ $M_{21} \,=\, \begin{vmatrix} -8 \\ \end{vmatrix} \,=\, -8$

Минор записи $5$ обозначается $M_{21}$ и составляет $-8$.

$(4).\,\,\,$ $M_{22} \,=\, \begin{vmatrix} 1 \\ \end{vmatrix} \,=\, 1$

Минор элемент $4$ обозначается $M_{22}$ и равен $1$.

Дополнительные примечания 4

Рассмотрим задачу неограниченной максимизации:

увеличить f(x ₁ ,…,х _п )

Условие первого порядка

df/dx _i = 0 для всех х _я . Достаточным условием второго порядка для того, чтобы решение было максимальным, является что матрица Гессе вторых производных

[ f_11 f_12 . .. f_1n ]
Н = [ f_21 f_22 ... f_2n ]
[ ...................... ]
[ f_n1 f_n2 ... f_nn ]

отрицательно определена (т. е. z’ H z Например, если f() является функцией двух переменных. Затем SOC для максимизация (Примечание: эти два условия подразумевают f ₂₂

Рассмотрим проблему минимизировать f(x ₁ ,…,x _n ) Условие первого порядка минимизации df/dx _i = 0 для всех х _я . Достаточным условием минимума второго порядка является что матрица Гессе положительно определена (т. е. z’ H z > 0 для всех z) на решении точка. Это требует, чтобы что основной второстепенный все определители (включая диагональные элементы) положительны.

Например, если f() является функцией двух переменных. Затем SOC для минимизация

(Примечание: эти два условия подразумевают, что f ₂₂ > 0.

)

Рассмотрим задачу ограниченной максимизации: максимизировать f(x ₁ ,…,x _n )
при условии g(x ₁ ,…,x _{7 n 10=108 7 n}

Сформируйте функцию Лагранжа

L = f(x ₁ ,…,x _п ) + λ g(x ₁ ,…,x _n ) Условие первого порядка dL/dx _i = f _i + λ g _i = 0
dL/dλ = g = 0
Достаточное условие второго порядка, чтобы решение было ограниченным максимум что в точке решения граничная матрица Гессе

    [ L_11 ... L_1n L_1λ ] [ f_11 + λ g_11 ... f_1n + λ g_1n g_1 ]
Н = [ ..................... ] = [ ..................... .................. ]
    [ L_n1 ... L_nn L_nλ ] [ f_n1 + λ g_n1 ... f_nn + λ g_nn g_n ]
    [ L_λ1 .
  .. L_λn L_λλ ] [ g_1 ... g_n 0 ]

является отрицательно полуопределенным при линейном ограничении: z’ H z i g _i z _i = 0 Это требует, чтобы принцип сохранения границ минорные детерминанты чередоваться по знаку. То есть определитель 3 x 3 (включая границу) положительный, определитель 4 x 4 равен отрицательное и так далее.

Например, в задаче максимизации с ограничениями с двумя переменными SOC для максимизация

        | f_11 + λ g_11 f_12 + λ g_12 g_1 |
        | f_21 + λ g_21 f_22 + λ g_22 g_2 | > 0
        | g_1 g_2 0 |

Обратите внимание, что это условие не фиксирует знак диагональных элементов.

В задаче условной минимизации: минимизировать f(x ₁ ,…,x _n )
при условии g(x ₁ ,…,x _{7 n 108 7 n 108} мы образуют лагранжиан L = f(x ₁ ,.

..,x _n ) + λ g(x ₁ ,…,x _n )