Ранг матрицы » ProcMem.Ru Линейная Алгебра
Пятница, 10 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 6841
Подписаться на комментарии по RSS
п.4. Ранг матрицы.
Пусть А – произвольная матрица размеров над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е. .
Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы – го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом строк и столбцов.
Пример. . Отметим 1-й и 4-й столбцы и первые две строки, а остальные (2-й и 3-й столбец и 3-ю строку) вычеркнем: – минор второго порядка матрицы А.
Или вычеркнем любой столбец матрицы А, например третий:
– минор третьего порядка матрицы А.
Ясно, что минором первого порядка является любой ее элемент, а миноров четвертого порядка не существует, миноров третьего порядка существует ровно четыре, а миноров второго порядка ровно 18 штук.
Определение. Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ее ненулевого минора.
Обозначение: .
Ранг нулевой матрицы по определению полагают равным нулю.
Замечание. Из определения следует, что ранг ненулевой матрицы есть натуральное число, не превышающее ни числа строк, ни числа столбцов. Так в примере выше ранг матрицы А может быть равен 1 или 2 или 3. Так как минор второго порядка , то ранг матрицы равен 2, если все 4 ее минора третьего порядка равны 0, и равен 3, если среди ее миноров третьего порядка найдется хотя бы один ненулевой.
Пусть А – произвольная матрица размеров над полем K. Тогда ее строки имеют длину n и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства строк длины n: .
Столбцы матрицы А имеют высоту m и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства столбцов высоты m: .
Обозначим – систему строк матрицы А, – систему ее столбцов. Тогда для всех и для всех . Эти системы, как и любые системы векторов векторного пространства имеют свой ранг.
Обозначим:
, ,
Теорема. (О ранге матрицы.) Ранг матрицы равен рангу системы ее строк и равен рангу системы ее столбцов.
Иначе, в наших обозначениях: .
Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы:
Лемма 1. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем K. Следующие утверждения равносильны:
1) система строк матрицы А – линейно зависимая;
2) система столбцов матрицы А – линейно зависимая;
3) определитель матрицы А равен нулю.
Доказательство. . Это следует из свойств определителя и уже доказано.
. Пусть . Нам нужно доказать, что система столбцов матрицы А является линейно зависимой.
Допустим противное. Пусть система столбцов – линейно независимая. Так как А – квадратная матрица, то все ее столбцы имеют высоту n, т.е. являются векторами пространства , размерность которого равна n. Следовательно, система является базисом пространства .
Пусть – канонический базис пространства , т.е.
, , …, .
Найдем матрицу перехода от канонического базиса к базису из столбцов матрицы А. Для этого разложим векторы базиса по каноническому базису. В матричной форме эти разложения будут иметь вид:
, где С – матрица перехода. Но последнее равенство есть равенство: , где Е – единичная матрица, откуда следует, что . Так как матрица перехода является невырожденной, т.е. , то отсюда следует, что , что противоречит условию . Следовательно, наше предположение о линейной независимости системы столбцов матрицы А является неверным, ч.т.д.
. Из доказанного следует, что система строк матрицы А является линейно зависимой тогда и только тогда, когда , т.к. строки матрицы А являются столбцами транспонированной матрицы . Так как , то все доказано.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем К. Следующие утверждения равносильны:
1) система строк матрицы А – линейно независимая;
2) система столбцов матрицы А – линейно независимая;
3) определитель матрицы А не равен нулю.
Лемма 2. Пусть – подпространство пространства V над полем K и . Тогда существует ненулевая линейная форма , такая, что , т.е. , .
Доказательство. Пусть – базис подпространства L. Дополним его до базиса пространства V: . Определим на V линейную форму с помощью равенства
, .
Как мы уже видели выше, это отображение есть линейная форма, причем ненулевая, т.е., например,
.
Пусть – произвольный вектор подпространства L. Разложим его по базису V:
, откуда следует, что , ч.т.д.
Лемма доказана.
Ранг матрицы. Минором k-го порядка матрицы А назовем определитель матрицы с элементами, стоящими на пересечении выбранных k строк и k столбцов
Поделись с друзьями:
Пусть дана матрица:
Минором k -го порядка матрицы А назовем определитель матрицы с элементами, стоящими на пересечении выбранных k строк и k столбцов.
Минор обозначается так:
,
где i1, i2,. .. ik — номера выделенных строк;
j1, j2,…, jk — номера выделенных столбцов.
Пример:
1. .
2. Выпишем какой-нибудь минор второго порядка. Для этого выберем, например, 1-ю и 3-ю строки, 2-й и 4-й столбец.
3. Найдем какой-нибудь минор 3-го порядка. Для этого нужно выбрать все строки и какие-нибудь три столбца, например 2-й, 3-й и 4-й.
Получим минор:
*знак «–» означает, что 2 строки в определителе переставлены местами.
Минор называется невырожденным
В нашем примере миноры невырожденные.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок невырожденных миноров матрицы (обозначается rang A).
В нашем примере rang A=3, так как мы нашли невырожденный минор третьего порядка, а миноров четвертого порядка у нашей матрицы нет. Любой невырожденный минор порядка rang A называется базисным.
Для базисного минора выполняются следующие правила:
1) Столбцы, входящие в базисный минор, линейно независимы, так как в противном случае какой-то столбец из нашего минора линейно выражался бы через остальные и тогда определитель минора равнялся бы нулю.
2) Столбцы, не входящие в базисный минор, линейно выражаются через базисы.
Эти утверждения справедливы и для строк матрицы.
Существуют разные способы определения ранга матрицы. Рассмотрим метод Гаусса определения ранга. Для этого рассмотрим элементарные преобразования:
1) перестановку строк (столбцов) матрицы;
2) умножение строк (столбцов) на константу ¹ 0;
3) прибавление к i -той строке (столбцу) j-той строки (столбца), умноженной (умноженного) на некоторое число;
4) вычеркивание из матрицы нулевых строк (столбцов).
Все эти преобразования не меняют ранга матрицы.
Метод Гаусса нахождения ранга матрицы заключается в следующем. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу А к виду:
rang B = r.
Базисный минор – это минор
, rang A = rang B = 2.
Пример. Найти ранг матрицы
Решение.
rang A=2.
Рассмотрим систему уравнений система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы, т.е.
Можно доказать, что
Пример. Найти ранг и базисный минор матрицы А с помощью Mathcad.
1. Задаем системную переменную, вводящую нумерацию элементов массива с единицы.
2. Задаем элементы матрицы А.
3. Задаем ранжированные переменные, определяющие изменение порядковых номеров строк (i) и столбцов (j) матрицы А.
4. Осуществляем линейные операции с элементами строк и столбцов матрицы А согласно методу Гаусса.
5. Дальнейшее преобразование бессмысленно. Ранг преобразованной матрицы А=2.
6. Осуществим проверку полученного результата с помощью встроенной функции MathCad rank().
7. Базисный минор матрицы А содержит 2 строки и 2 столбца. Его определитель не равен нулю.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Миноры матрицы 2×2
- Математические сомнения
- Матрицы
- Несовершеннолетние
Определитель квадратной подматрицы первого порядка при выходе из строки и столбца записи называется минором этого элемента в квадратной матрице второго порядка.
В квадратной матрице $2 \times 2$ есть четыре элемента (или элемента), которые расположены в двух строках и двух столбцах. Если рассматривать запись, игнорируя элементы в ее строке и столбце, то в матрице все равно будет элемент, и он образует квадратную подматрицу первого порядка. Определитель этой квадратной подматрицы первого порядка является минором соответствующей записи. Итак, в случае квадратной матрицы порядка $2$ возможны четыре минора.
$A$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} e_{11} & e_{12} \\ e_{21} & e_{22} \\ \end{bmatrix}$
Теперь, давайте научимся вычислять минор для каждого элемента в квадратной матрице порядка $2$ принципиально.
Минор для записи в первой строке и первом столбце
Рассмотрим запись $e_{11}$ в матрице $A$. Это элемент в первой строке и первом столбце.
Оставьте записи в первой строке и первом столбце. Он образует квадратную подматрицу размера $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{22}$
Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{11}$ и представлен $M_{11}$
$M_{11} \,=\, \begin{vmatrix} e_{22} \\ \end{vmatrix}$
$\следовательно \,\,\,$ $M_{11} \,=\, e_{22}$
Следовательно, минор элемента $e_{11}$ в матрице $A$ есть $e_{22}$.
Минор для записи в первой строке и втором столбце
Сосредоточиться на элементе $e_{12}$ в матрице $A$. Это запись в первой строке и во втором столбце.
Теперь игнорируйте элементы в первой строке и втором столбце. Он образует квадратную подматрицу порядка $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{21}$.
Определитель квадратной подматрицы порядка $1$ является минором элемента $e_{12}$ и обозначается через $M_{12}$.
$M_{12} \,=\, \begin{vmatrix} e_{21} \\ \end{vmatrix}$
$\следовательно \,\,\,$ $M_{12} \,=\ , e_{21}$
Следовательно, минор элемента $e_{12}$ в матрице $A$ равен $e_{21}$.
Минор для записи во второй строке и первом столбце
Рассмотрим запись $e_{21}$ в матрице $A$, которая является элементом второй строки и первого столбца.
Теперь забудьте записи во второй строке и первом столбце. Он образует квадратную подматрицу размера $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{21}$.
Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{21}$ и представлен $M_{21}$.
$M_{21} \,=\, \begin{vmatrix} e_{12} \\ \end{vmatrix}$
$\следовательно \,\,\,$ $M_{21} \,=\, e_{12}$
Следовательно, минор элемента $e_{21}$ в матрице $A$ равен $ е_{12}$.
Второстепенный элемент для записи во второй строке и втором столбце
Наконец, обратите внимание на запись $e_{22}$ в матрице $A$, и этот элемент является записью во второй строке и втором столбце.
Не учитывать записи во второй строке и втором столбце. Он образует квадратную подматрицу, которая представляет собой матрицу порядка $1 \times 1$ с оставшимся элементом $e_{22}$.
Определитель квадратной подматрицы первого порядка является минором элемента $e_{22}$ и обозначается $M_{22}$.
$M_{22} \,=\, \begin{vmatrix} e_{11} \\ \end{vmatrix}$
$\следовательно \,\,\,$ $M_{22} \,=\ , e_{11}$
Следовательно, минор элемента $e_{22}$ в матрице $A$ равен $e_{11}$.
Таким образом, в математике оценивается минор для каждого элемента квадратной матрицы второго порядка. Это также можно понять из понятного примера.
Пример
$B$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 5 & 4 \\ \end{bmatrix}$
Найдем миноры элементов в матрица $B$ порядка $2\times 2$.
$(1).\,\,\,$ $M_{11} \,=\, \begin{vmatrix} 4 \\ \end{vmatrix} \,=\, 4$
Минор запись $1$ обозначается $M_{11}$ и равна $4$.
$(2).\,\,\,$ $M_{12} \,=\, \begin{vmatrix} 5 \\ \end{vmatrix} \,=\, 5$
Минор элемент $-8$ обозначается $M_{12}$ и равен $5$.
$(3).\,\,\,$ $M_{21} \,=\, \begin{vmatrix} -8 \\ \end{vmatrix} \,=\, -8$
Минор записи $5$ обозначается $M_{21}$ и составляет $-8$.
$(4).\,\,\,$ $M_{22} \,=\, \begin{vmatrix} 1 \\ \end{vmatrix} \,=\, 1$
Минор элемент $4$ обозначается $M_{22}$ и равен $1$.
Дополнительные примечания 4
Дополнительные примечания 4Рассмотрим задачу неограниченной максимизации:
Условие первого порядка
[ f_11 f_12 . .. f_1n ] Н = [ f_21 f_22 ... f_2n ] [ ...................... ] [ f_n1 f_n2 ... f_nn ]отрицательно определена (т. е. z’ H z Например, если f() является функцией двух переменных. Затем SOC для максимизация (Примечание: эти два условия подразумевают f 22
Рассмотрим проблему
Например, если f() является функцией двух переменных. Затем SOC для минимизация
(Примечание: эти два условия подразумевают, что f 22 > 0.Рассмотрим задачу ограниченной максимизации:
при условии g(x 1 ,…,x 7 n 10=108 7 n
Сформируйте функцию Лагранжа
dL/dλ = g = 0
[ L_11 ... L_1n L_1λ ] [ f_11 + λ g_11 ... f_1n + λ g_1n g_1 ] Н = [ ..................... ] = [ ..................... .................. ] [ L_n1 ... L_nn L_nλ ] [ f_n1 + λ g_n1 ... f_nn + λ g_nn g_n ] [ L_λ1 . .. L_λn L_λλ ] [ g_1 ... g_n 0 ]является отрицательно полуопределенным при линейном ограничении:
Например, в задаче максимизации с ограничениями с двумя переменными SOC для максимизация
| f_11 + λ g_11 f_12 + λ g_12 g_1 | | f_21 + λ g_21 f_22 + λ g_22 g_2 | > 0 | g_1 g_2 0 |Обратите внимание, что это условие не фиксирует знак диагональных элементов.
В задаче условной минимизации:
при условии g(x 1 ,…,x 7 n 108 7 n 108
Условие первого порядка
дл/дл = g = 0
[ L_11 ... L_1n L_1λ ] [ f_11 + λ g_11 ... f_1n + λ g_1n g_1 ] Н = [ ..................... ] = [ ..................... .................. ] [ L_n1 ... L_nn L_nλ ] [ f_n1 + λ g_n1 ... f_nn + λ g_nn g_n ] [ L_λ1 ... L_λn L_λλ ] [ g_1 ... g_n 0 ]является положительно полуопределенным при линейном ограничении: