Разложение на множители тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
(метод замены переменной и подстановки).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:
Sin x + cos x – 1 = 0 ,
Преобразуем и разложим на множители выражение в
Левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение:
cos
2 x +
sin x ·
cos x = 1.
Р е ш е н и е. cos 2 x + sin
Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.Уравнение
называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены
одной
и
той
же степени
относительно sin и cos одного
и
того
же
угла . а ) перенести все его члены в левую часть; б ) вынести все общие множители за скобки; в ) приравнять все множители и скобки нулю; г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin ) в старшей степени; д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x + 4 tan Корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, |
Чтобы
решить
однородное
уравнение,
надо:4.
Переход к половинному углу.Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =
7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,
2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,
tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида :
a sin x + b
cos x = c ,Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини
Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».
Цели урока:
образовательные:
Сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;
Углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
воспитательные:
Воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
Формирование умения анализировать поставленную задачу;
развивающие:
Формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.
В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения.
Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:
Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.
Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2).
Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:
Как видим, получается тот же результат.
Рассмотрим еще один пример:
В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение.
Методы решения тригонометрических уравнений Содержание
- Метод замены переменной
- Метод разложения на множители
- Однородные тригонометрические уравнения
- С помощью тригонометрических формул:
- Формул сложения
- Формул приведения
- Формул двойного аргумента
Метод замены переменной
С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.
См. примеры 1 – 3
Иногда используют универсальную тригонометрическую подстановку: t = tg
Пример 1 Пример 2 Пример 3 Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из сомножителей
См. примеры 4 – 5
Пример 4 Пример 5 Однородные тригонометрические уравнения Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
a sin x + b cos x = 0
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.
a sin x b cos x 0
a tg x + b = 0
tg x = –
Однородные тригонометрические уравнения
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
a tg2x + b tg x + c = 0
a sin2x b sin x cos x c cos2x 0
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения
на множители.
Пример 6
Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 1. Формулы сложения:
sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
tgx + tgy
tg (x + y) =
1 − tgx tgy
sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
tgx − tgy
tg (x − y) =
1 + tgx tgy
сtgx сtgy − 1
сtg (x + y) =
сtgу + с tgх
сtgx сtgy + 1
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх
Пример 12 Пример 13 С помощью тригонометрических формул
Лошадиное правило
В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус ), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α .
Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ , то математик считал, что получен ответ «да, менять» , если вдоль оси ОХ , то «нет, не менять» .
С помощью тригонометрических формул 3. Формулы двойного аргумента:
sin 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x
1 – tg2x
ctg 2x =
ctg2x – 1
Пример 14 С помощью тригонометрических формул 4. Формулы понижения степени:
5. Формулы половинного угла:
С помощью тригонометрических формул 6. Формулы суммы и разности: С помощью тригонометрических формул 7. Формулы произведения: Мнемоническое правило “Тригонометрия на ладони”
Очень часто требуется знать наизусть значения cos , sin , tg , ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки.
Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,
то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”.
Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.
Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.
Подставляя вместо n : 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin , для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Для cos отсчет происходит в обратном порядке.
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
— Знания.siteПоследние вопросы
Алгебра
3 минуты назад
Помогите найти значение выражения: sin 60°+ cos 180°- tg 60° (Решение распишите пожалуйста)Алгебра
3 минуты назад
Домашнее задание по алгебреАлгебра
27 минут назад
Алгебра 10 класс найти значение выражения логарифмыАлгебра
33 минут назад
Алгебра 10 класс найти значение выражения (корни)Алгебра
58 минут назад
Задача по теории вероятностейАлгебра
58 минут назад
Решить неравенство. Найти значение выражения.Алгебра
1 час назад
Вероятность. С полным ответом, без прогрессии и прочей ерунды. Только с использованием формулы P(A)=m/nАлгебра
1 час назад
Помогите найти производную функцииАлгебра
1 час назад
розв’яжіть систему:.Алгебра
1 час назад
Задача по алгебре 10 класс найти значение выраженияАлгебра
1 час назад
Найди число, которое при делении на 9 9 даёт частное 6 6 и остаток 4 4.Алгебра
2 часа назад
Алгебра помогите пожалуйста Изобразите на координатной прямой множество чисел удовлетворяющих неравенствуАлгебра
2 часа назад
помогите пжж, что знаете, я написала уже 1,2,4 помогитеее даю 25 балловАлгебра
2 часа назад
Алгебра помогите пожалуйстаАлгебра
2 часа назад
Пожалуйста. Даю 25!! Нужно СРОЧНО!!!
Все предметы
English
United States
Polski
Polska
Bahasa Indonesia
Indonesia
English
India
Türkçe
Türkiye
English
Philippines
Español
España
Português
Brasil
Русский
Россия
How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years
Мэтуэй | Популярные задачи
1 Найти точное значение грех(30) 2 Найти точное значение грех(45) 3 Найти точное значение грех(30 градусов) 4 Найти точное значение грех(60 градусов) 5 Найти точное значение загар (30 градусов) 6 Найти точное значение угловой синус(-1) 7 Найти точное значение грех(пи/6) 8 Найти точное значение cos(pi/4) 9 Найти точное значение грех(45 градусов) 10 Найти точное значение грех(пи/3) 11 Найти точное значение арктан(-1) 12 Найти точное значение cos(45 градусов) 13 Найти точное значение cos(30 градусов) 14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60) 15 Найти точное значение csc(45 градусов) 16 Найти точное значение загар (60 градусов) 17 Найти точное значение сек(30 градусов) 18 Найти точное значение cos(60 градусов) 19 Найти точное значение cos(150) 20 Найти точное значение грех(60) 21 Найти точное значение cos(pi/2) 22 Найти точное значение загар (45 градусов) 23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3) 24 Найти точное значение csc(60 градусов) 25 Найти точное значение сек(45 градусов) 26 Найти точное значение csc(30 градусов) 27 Найти точное значение грех(0) 28 Найти точное значение грех(120) 29 Найти точное значение соз(90) 30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3 31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30) 32 9235 Преобразовать из радианов в градусы пи/6 36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов) 37 Найти точное значение арккос(-1) 38 Найти точное значение арктан(0) 39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов) 40 Преобразование градусов в радианы 30 41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/342 Найти точное значение sin((5pi)/3) 43 Найти точное значение sin((3pi)/4) 44 Найти точное значение тан(пи/2) 45 Найти точное значение грех(300) 46 Найти точное значение соз(30) 47 Найти точное значение соз(60) 48 Найти точное значение соз(0) 49 Найти точное значение соз(135) 50 Найти точное значение cos((5pi)/3) 51 Найти точное значение cos(210) 52 Найти точное значение сек(60 градусов) 53 Найти точное значение грех(300 градусов) 54 Преобразование градусов в радианы 135 55 Преобразование градусов в радианы 150 56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6 57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3 58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов 59 Преобразование градусов в радианы 60 60 Найти точное значение грех(135 градусов) 61 Найти точное значение грех(150) 62 Найти точное значение грех(240 градусов) 63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов) 64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4 65 Найти точное значение грех(225) 66 Найти точное значение грех(240) 67 Найти точное значение cos(150 градусов) 68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45) 69 Оценить грех(30 градусов) 70 Найти точное значение сек(0) 71 Найти точное значение cos((5pi)/6) 72 Найти точное значение КСК(30) 73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2) 74 Найти точное значение загар((5pi)/3) 75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0) 76 Оценить грех(60 градусов) 77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3) 78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 79 Найти точное значение sin((7pi)/4) 80 Найти точное значение угловой синус(-1/2) 81 Найти точное значение sin((4pi)/3) 82 Найти точное значение КСК(45) 83 Упростить арктан(квадратный корень из 3) 84 Найти точное значение грех(135) 85 Найти точное значение грех(105) 86 Найти точное значение грех(150 градусов) 87 Найти точное значение sin((2pi)/3) 88 Найти точное значение загар((2pi)/3) 89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4 90 Найти точное значение грех(пи/2) 91 Найти точное значение сек(45) 92 Найти точное значение cos((5pi)/4) 93 Найти точное значение cos((7pi)/6) 94 Найти точное значение угловой синус(0) 95 Найти точное значение грех(120 градусов) 96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6) 97 Найти точное значение соз(270) 98 Найти точное значение sin((7pi)/6) 99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) 100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов тригонометрия — Как правильно решить $\sin(2x)=\sin(x)$
Задавать вопрос
спросил
Изменено 10 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Я нашел два разных способа решения этого тригонометрического уравнения
$\begin{выравнивание*} \sin(2x)=\sin(x) \Leftrightarrow \\\\ 2\sin(x)\cos(x)=\sin(x)\Leftrightarrow \\\\ 2\sin(x)\cos(x )-\sin(x)=0 \стрелка влево\\\\ \sin(x) \left[2\cos(x)-1 \right]=0 \стрелка влево \\\\ \sin(x)=0 \ vee \ cos (x) = \ frac {1} {2} \ Leftrightarrow \\\\ x = k \ pi \ vee x = \ frac {\ pi} {3} + 2k \ pi \ vee x = \ frac { 5\pi}{3}+2k\pi \space, \space k \in \mathbb{Z} \end{align*}$
Второй способ:
$\begin{align*} \sin(2x)=\sin(x)\стрелка влево \\\\ 2x=x+2k\pi \vee 2x=\pi-x+2k\pi\стрелка влево \\\\ x=2k\pi \vee3x= \pi +2k\pi\Leftrightarrow \\\\x=2k\pi \vee x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \space ,\space k\in \ матбб {Z} \end{выравнивание*}$
Какой правильный? Спасибо
- тригонометрия
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Эти ответы эквивалентны и оба верны.
— Знания.site
Найти значение выражения.
)/3