Создан 23 янв.
Пользователь8128 для любых $ \ theta $, которые у нас есть
$$
\ грех 2 \ тета = 2 \ грех \ тета \ соз \ тета
$$
если $$
\ theta = \ arcsin \ frac35
$$
тогда тривиально
$$
\ sin \ theta = \ frac35
$$
с использованием
$$
\ соз ^ 2 \ тета + \ грех ^ 2 \ тета = 1
$$
вы можете вычислить $ \ cos \ theta $, чтобы закончить? (как вы интерпретируете тот факт, что существует два возможных значения $ \ cos \ theta $?)
Создан 23 янв.
Дэвид ХолденДэвид Холден 17.2,112 золотых знаков1515 серебряных знаков3030 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript Ваша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie
Настроить параметры
Упростите обратные тригонометрические функции Бесплатная практика для тестов SAT, ACT и Compass Maths
Как упростить выражения, включая обратные тригонометрические функции, по математике в 12 классе.Также включены вопросы с подробными решениями.
Вопрос 1 Упростите выражения: a) sin (arcsin (x)) и arcsin (sin (x)) b) cos (arccos (x)) и arccos (cos (x)) c) загар (арктан (x)) и арктан (загар (x)) Решение a) sin и arcsin противоположны друг другу, и поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи sin (arcsin (x)) = x, для -1 ≤ x ≤ 1 arcsin (sin (x)) = x, для x ∈ [-π / 2, π / 2] ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arcsin (sin (x)) не находится в интервале [-π / 2, π / 2], найдите θ в интервале [-π / 2, π / 2] так, чтобы sin (x) = sin (θ), а затем упростим arcsin (sin (x)) = θ b) cos и arccos являются обратными друг другу, поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи cos (arccos (x)) = x, для -1 ≤ x ≤ 1 arccos (cos (x)) = x, для x ∈ [0, π] ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arccos (cos (x)) не находится в интервале [0/2, π], найдите θ в интервале [0, π] так, чтобы cos (x) = cos (θ), а затем упростите arccos (cos (x)) = θ c) tan и arctan противоположны друг другу, и поэтому свойства обратных функций могут использоваться для записи загар (arctan (x)) = x arctan (tan (x)) = x для x ∈ (-π / 2, π / 2) ПРИМЕЧАНИЕ: Если x в arctan (tan (x)) не находится в интервале (-π / 2, π / 2), найдите θ в интервале (-π / 2, π / 2) так, чтобы tan (x) = tan (θ), а затем упростить arctan (tan (x)) = θ Вопрос 2 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: sin (arccos (x)) и tan (arccos (x)) Решение Пусть A = arccos (x).Следовательно cos (A) = cos (arccos (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что cos (A) = x (или x / 1), найдите вторую ногу и вычислите sin (A) и tan (A).
sin (arccos (x)) = sin (A) = √ (1 — x 2 ) / 1 = √ (1 — x 2 ) для x ∈ [-1, 1] tan (arccos (x)) = tan (A) = √ (1 — x 2 ) / x для x ∈ [-1, 0) ∪ (0, 1] Вопрос 3 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: cos (arcsin (x)) и tan (arcsin (x)) Решение Пусть A = arcsin (x).Следовательно sin (A) = sin (arcsin (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что sin (A) = x (или x / 1), найдите вторую ногу и вычислите cos (A) и tan (A).
cos (arcsin (x)) = cos (A) = √ (1 — x 2 ) / 1 = √ (1 — x 2 ) для x ∈ [-1, 1] tan (arcsin (x)) = tan (A) = x / √ (1 — x 2 ) для x ∈ (-1, 1) Вопрос 4 Выразите следующее в виде алгебраических выражений: sin (arctan (x)) и cos (arctan (x)) Решение Пусть A = arctan (x).Следовательно загар (A) = загар (arctan (x)) = x Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким образом, что tan (A) = x (или x / 1), найдите гипотенузу и вычислите sin (A) и cos (A).
sin (arctan (x)) = sin (A) = x / √ (1 + x 2 ) cos (arctan (x)) = cos (A) = 1 / √ (1 + x 2 ) Вопрос 5 Упростите следующие выражения: а) arccos (0), arcsin (-1), arctan (-1) b) sin (arcsin (-1/2)), arccos (cos (π / 2)), arccos (cos (-π / 2)) c) cos (arcsin (-1/2)), arcsin (sin (π / 3)), arcsin (tan (3π / 4)) d) arccos (tan (7π / 4)), arcsin (sin (13π / 3)), arctan (tan (-17π / 4)), arcsin (sin (9π / 5)) Решение a) Используйте определение. arccos (0) = π / 2, потому что cos (π / 2) = 0 и π / 2 находится в пределах диапазона arccos, который равен [0, π] arcsin (-1) = -π / 2, потому что sin (-π / 2) = -1 и -π / 2 находится в пределах диапазона arcsin, который равен [-π / 2, π / 2] arctan (-1) = -π / 4, потому что tan (-π / 4) = -1 и -π / 4 находится в пределах диапазона arctan, который равен (-π / 2, π / 2) б) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. sin (arcsin (-1/2)) = sin (-π / 6) = -1/2 arccos (cos (π / 2)) = arccos (0) = π / 2 arccos (cos (-π / 2)) = arccos (0) = π / 2 c) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. cos (arcsin (-1/2)) = cos (-π / 6) = √3 / 2 arcsin (sin (π / 3)) = arcsin (√3 / 2) = π / 3 arcsin (tan (3π / 4)) = arcsin (-1) = -π / 2 d) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения. arccos (tan (7π / 4)) = arccos (-1) = π arcsin (sin (13π / 3)) = arcsin (sin (4π + π / 3)) = arcsin (sin (π / 3)) = π / 3 arctan (tan (- 17π / 4)) = arctan (tan (- 4π-π / 4)) = arctan (tan (- π / 4)) = — π / 4 arcsin (sin (9π / 5)) = arcsin (sin (2π — π / 5)) = arcsin (sin (- π / 5)) = — π / 5 Вопрос 6 Пусть A = arcsin (2/3) и B = arccos (-1/2).Найдите точное значение sin (A + B). Решение Используйте отступ sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B), чтобы расширить данное выражение. sin (A + B) = sin (arcsin (2/3)) cos (arccos (-1/2)) + cos (arcsin (2/3)) sin (arccos (-1/2)) Используйте указанные выше отступы, чтобы упростить каждый термин в приведенном выше выражении. sin (arcsin (2/3)) = 2/3
(мы использовали sin (arcsin (x)) = x)) cos (arccos (-1/2)) = -1/2
(мы использовали cos (arccos (x)) = x)) cos (arcsin (2/3)) = √ (1 — (2/3) 2 ) = √5 / 3
(мы использовали cos (arcsin (x)) = √ (1 — x 2 )) sin (arccos (-1/2)) = √ (1 — (- 1/2) 2 ) = √3 / 2
(мы использовали sin (arccos (x)) = √ (1 — x 2 ))
Подставим и посчитаем. sin (A + B) = (2/3) (- 1/2) + (√5 / 3) (√3 / 2) = -1/3 + √ (15) / 6 Вопрос 7 Запишите Y = sin (2 arcsin (x)) как алгебраическое выражение. Решение Пусть A = arcsin (x). Следовательно, Y можно записать как Y = sin (2 А) Используйте тождество sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A), чтобы переписать Y следующим образом: Y = 2 sin (A) cos (A) = 2 sin (arcsin (x)) cos (arcsin (x)) Используйте тождества sin (arcsin (x)) = x и cos (arcsin (x)) = √ (1-x 2 ), чтобы переписать Y следующим образом: Y = 2 x √ (1 — x 2 ) Вопрос 8 Найдите точное значение Y = sin (2 arctan (3/4)). Решение Пусть A = arctan (3/4). Следовательно, Y можно записать как Y = sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A) sin (A) = sin (arctan (3/4)) = (3/4) / √ (1 + (3/4) 2 ) = 3/5 cos (A) = cos (arctan (3/4)) = 1 / √ (1 + (3/4) 2 ) = 4/5 Y = 2 (3/5) (4/5) = 24/25 Дополнительные ссылки и ссылки Обратные тригонометрические функции Решение вопросов по обратным тригонометрическим функциям Математика для старших классов (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы ) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Производные обратных тригонометрических функций Введение в обратные тригонометрические функции В предыдущем разделе мы изучили производные шести основных тригонометрических функций:
\ [{\ color {blue} {\ sin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ cos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ tan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ cot x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ sec x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ csc x.\;} \]
В этом разделе мы рассмотрим производные обратных тригонометрических функций, которые соответственно обозначаются как
. \ [{\ color {синий} {\ arcsin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ arccos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ arctan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ text {arccot} x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ text {arcsec} x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ text {arccsc} x. \ ;} \]
Обратные функции существуют, когда на область определения исходных функций накладываются соответствующие ограничения.
Например, домен для \ (\ arcsin x \) составляет от \ (- 1 \) до \ (1. \) Диапазон или выход для \ (\ arcsin x \) — все углы от \ (- \ большие {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) в \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) радианы.
Области других тригонометрических функций ограничены соответствующим образом, так что они становятся взаимно однозначными функциями, и их обратные функции могут быть определены.
Производные обратных тригонометрических функций Производные от обратных тригонометрических функций могут быть получены с помощью теоремы об обратной функции. 2} \]
Пример 4 \ [y = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} \]
Пример 5 \ [{y = \ arctan \ frac {{x + 1}} {{x — 1}} \; \;} \ kern-0.4}}}.} \]
Тригонометрические функции — Справочное руководство Sage 9.3: Функции Bases: sage.symbolic.function.GinacFunction
Модифицированная функция арктангенса.
Возвращает арктангенс (в радианах) для \ (y / x \), где
в отличие от arctan (y / x)
, знаки как x
, так и y
являются
считается. В частности, эта функция измеряет угол
луча, проходящего через начало координат и \ ((x, y) \), с положительным
\ (x \) — ось нулевой отметки, а с выходным углом \ (\ theta \)
находится между \ (- \ pi <\ theta <= \ pi \).
Следовательно, arctan2 (y, x) = arctan (y / x)
только для \ (x> 0 \). Один
может рассмотреть обычный arctan для измерения углов линий
через начало координат, а модифицированная функция измеряет
лучи через начало координат.
Обратите внимание, что координата \ (y \) по соглашению является первым вводом.
ПРИМЕРЫ:
Обратите внимание на разницу между двумя функциями:
шалфей: arctan2 (1, -1)
3/4 * пи
шалфей: арктан (1 / -1)
-1 / 4 * пи
Это соответствует Python и Maxima:
шалфей: максима.atan2 (1, -1)
(3 *% пи) / 4
шалфей: math.atan2 (1, -1)
2,3561944345
Другие примеры:
шалфей: arctan2 (1,0)
1/2 * пи
шалфей: arctan2 (2,3)
арктан (2/3)
шалфей: arctan2 (-1, -1)
-3 / 4 * пи
Можно, конечно, и приблизить:
шалфей: arctan2 (-1 / 2,1) .n (100)
-0,463647600611621425623146
шалфей: arctan2 (2,3) .n (100)
0,58800260354756755124561108063
Мы можем отложить оценку с помощью параметра удержания
:
sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True)
арктан2 (-1/2, 1)
Для повторной оценки в настоящее время мы должны использовать Maxima через шалфей.symbolic.expression.Expression.simplify ()
:
sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) .simplify ()
-арктан (1/2)
Функция также работает с массивами numpy в качестве входных данных:
sage: import numpy
шалфей: a = numpy.linspace (1, 3, 3)
шалфей: b = numpy.linspace (3, 6, 3)
шалфей: atan2 (а, б)
массив ([0.32175055, 0.41822433, 0.46364761])
шалфей: atan2 (1, а)
массив ([0,78539816, 0,46364761, 0,32175055])
шалфей: atan2 (а, 1)
массив ([0.78539816, 1.10714872, 1.247])
РЕШЕНО: Упростите выражение.\ sin (2 \ arccos x) Стенограмма видео хорошо, мы собираемся найти знак, в два раза превышающий художественный знак X. Прежде всего, запомните свою идентичность с двойным углом. Знак двойного и угла равняется двойному синусу угла, умноженному на береговую линию угла. Хорошо, наша береговая линия X означает угол. Чей сын со знаком X, так что я буду называть это данными. Итак, мы находим знак двух данных. Теперь об угле. Чья береговая линия X? Как бы это выглядело? Есть две возможности.Одна из возможностей состоит в том, что угол находится в первом квадранте. Другая возможность состоит в том, что угол находится во втором квадранте. Это терминальная сторона во втором квадранте, поэтому давайте рассмотрим оба случая. Если угол находится в квадранте, первый на его береговой линии равен X, то мы могли бы поставить X на соседний, а один на высокий горшок. Новости, потому что X над одним — это X, и если угол находится в квадранте, который нужно ослабить, сделайте то же самое с X на соседнем. В новостях о хип-хопе у нас все еще есть X, а не один — это X. Теперь давайте найдем обратную связь, потому что она нам понадобится, чтобы найти знак.Так что пока это называется наоборот. Почему? И на другой стороне тоже будет почему. Итак, теперь мы можем использовать теорему Пифагора и понять, почему квадрат плюс X равен одному квадрату. Итак, почему квадрат равен одному минус X в квадрате? Так почему же квадратный корень из единицы минус X возводится в квадрат? Хорошо, теперь мы можем работать с этой формулой, чтобы найти знак, равный удвоенному углу, который нам нужен, удвоенному синусу угла, умноженному на береговую линию угла. Каков синус угла напротив новостей о высоких доходах? Это будет квадратный корень, один минус X в квадрате над единицей.И какова береговая линия угла, примыкающего к высокопрофессиональным новостям. Так что это будет X больше одного. Итак, теперь мы можем упростить это, и у нас есть двукратный x, умноженный на квадратный корень из одного минус X в квадрате, а затем просто имейте в виду, что обратный знак co или ARC co знак, как мы называем его здесь, функция определена только для X находится между нулем и круговой диаграммой, поэтому мы можем отметить это. X находится в интервале от нуля до пи
ТРИГОНОМЕТРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ Щелкните здесь, чтобы найти основные формулы. Тригонометрический круг и углы Выберите ось x и ось y (ортонормированная) и пусть O будет началом координат. Окружность радиуса один с центром в точке O называется
«тригонометрический круг» или «единичный круг». Поворот против часовой стрелки — положительная ориентация в тригонометрии. Углы отсчитываются от оси x. Единицы измерения угла — градус и радиан. Прямой угол — это угол, размер которого составляет точно 90 градусов или пи / 2 радиана. В этой теории мы используем в основном радианы. Каждое действительное число t соответствует ровно одному углу и ровно одной точке P на единичной окружности. Мы называем эту точку «точкой изображения» t.
Примеры:
пи / 6 соответствует углу t и точке P на окружности. -pi / 2 соответствует углу u и точке Q на окружности. Тригонометрические числа действительного числа t Действительное число t соответствует ровно одной точке P на единичной окружности. Координата X точки P называется косинусом t. Мы пишем cos (t). Координата Y точки P называется синусом t. Мы пишем sin (t). Число sin (t) / cos (t) называется тангенсом t. Мы пишем tan (t). Число cos (t) / sin (t) называется котангенсом t. Пишем cot (t). Число 1 / cos (t) называется секансом t. Пишем sec (t) Число 1 / sin (t) называется косекансом t. Мы пишем csc (t) или cosec (t) Линия с уравнением sin (t).x — cos (t). y = 0 содержит начало координат и точку P (cos (t), sin (t)). Итак, эта строка — OP. На этой прямой берем точку пересечения S (1,?) С прямой x = 1. Это легко увидеть? = загар (т). Итак, tan (t) — координата y точки S.
Аналогичным образом находим, что cotan (t) — координата x точки пересечения S ‘
линии OP с линией y = 1.
Основные формулы С t радиан соответствует ровно одна точка P (cos (t), sin (t)) на единичной окружности.Квадрат расстояния [OP] = 1. Расчет | OP | 2 , используя координаты P,
находим для каждого t:cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1
грех 2 (т)
1 + загар 2 (t) = 1 + ----------
cos 2 (т)
cos 2 (t) + sin 2 (t)
знак равно
cos 2 (т)
1
= ----------- = сек 2 (t)
cos 2 (т)
Таким же образом:
1 + котан 2 (t) = 1 / sin 2 (t) = csc 2 (t)
cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1
1 + tan 2 (t) = sec 2 (t)
1 + детская кроватка 2 (t) = csc 2 (t)
Примеры использования: sin 2 (t) = 1 - cos 2 (t)
cos 2 (4t) = 1 - sin 2 (4t)
1 + tan 2 (t / 2) = sec 2 (t / 2)
csc 2 (t 2 ) - детская кроватка 2 (t 2 ) = 1
Упражнение: Если cos (t) = 0.5, то sin 2 (t) = ...
Если cos (t) = 0,1, то tan 2 (t) = ...
Если cot (t) = 0,2, то sin 2 (t) = ...
Связанные значения Разница между двумя значениями кратна 2.pi Если разница между t и t ‘является целым числом, кратным 2.pi,
соответствующие точки на единичной окружности совпадают. ТакЕсли t - t '= 2.k.pi (k - целое число)
потом
sin (t) = sin (t ') cos (t) = cos (t') tan (t) = tan (t ') cot (t) = cot (t')
дополнительные значения t и t ‘- дополнительные значения t + t’ = pi.
С помощью единичного круга видим, что соответствующие точки изображения симметричны относительно
ось ординат. Следовательно, мы имеем:
sin (t) = sin (pi - t) cos (t) = -cos (pi - t) tan (t) = -tan (pi - t) cot (t) = -cot (pi - t)
Примеры использования: грех (т + пи / 2) = грех (пи / 2 - т)
tan (2t + 0,2) = - tan (pi -0,2 - 2t)
- загар (пи-т) = загар (т)
грех (пи-т) + соз (3пи-т) - грех (т + 4пи) + соз (т)
= sin (t) + cos (pi-t) - sin (t) + cos (t)
= sin (t) - cos (t) - sin (t) + cos (t)
= 0
дополнительные значения t и t ‘являются дополнительными значениями t + t’ = pi / 2.
Соответствующие точки изображения на единичной окружности симметричны относительно прямой y = x. Следовательно, мы имеем:
sin (t) = cos (pi / 2 - t) cos (t) = sin (pi / 2 - t) tan (t) = cot (pi / 2 - t) cot (t) = tan (pi / 2 - т)
Примеры использования: загар (пи / 4 + 3t) = детская кроватка (пи / 4 -3t)
cos (3pi / 2 -t) = sin (t - pi) = sin (-t + 2pi) = sin (-t)
кроватка (3x - pi / 2) = загар (-3x + pi) = - загар (3x)
- cos (pi / 2 - 2x) + sin (-2x - pi) - cos (3pi - 2x)
= - sin (2x) + sin (pi - 2x) - cos (pi - 2x)
= - грех (2х) + грех (2х) + соз (2х)
= cos (2x)
Противоположные значения t и t ‘являются противоположными значениями t + t’ = 0.
Теперь соответствующие точки изображения симметричны относительно оси x. Следовательно, мы имеем:
sin (t) = -sin (-t) cos (t) = cos (-t) tan (t) = -tan (-t) cot (t) = -cot (-t)
Примеры использования: cos (-pi / 2 + x) = cos (pi / 2 - x) = sin (x)
sin (6x - pi) = - sin (pi - 6x) = - sin (6x)
детская кроватка (-x + 4pi) = детская кроватка (-x) = - детская кроватка (x)
Антидополнительные значения t и t ‘являются антидополнительными значениями (t-t’ = pi или t’-t = pi)
Соответствующие точки изображения симметричны относительно начала координат O.Следовательно, мы имеем:
sin (t) = -sin (t + pi) cos (t) = -cos (t + pi) tan (t) = tan (t + pi) cot (t) = cot (t + pi)
Примеры использования: загар (5a + 3pi) = загар (5a + pi) = загар (5a)
детская кроватка (t / 2 + pi / 2) = детская кроватка (t / 2 - pi / 2) = - детская кроватка (pi / 2 - t / 2) = - загар (t / 2)
грех (х + 3 пи) + грех (х) = -син (х) + грех (х) = 0
Прямоугольный треугольник Обозначим прямой угол треугольника ABC A.Расстояния | AB |, | BC | и | CA | обычно обозначаются буквами c, a и b.
Выберите подходящим образом точку B как центр тригонометрического круга.
(см. рисунок). Теперь sin (B), cos (B) и 1 прямо пропорциональны b, c и a. sin (B) cos (B) 1
------ = ------ = ---
б в а
=> sin (B) = b / a cos (B) = c / a tan (B) = b / c
и поскольку углы B и C являются дополнительными углами
cos (C) = b / a sin (C) = c / a tan (C) = c / b
В каждом прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A имеем sin (B) = b / a cos (B) = c / a tan (B) = b / c
cos (C) = b / a sin (C) = c / a tan (C) = c / b
Прочие объекты в прямоугольном треугольнике Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
двух других сторон.a 2 = b 2 + c 2 Высота до гипотенузы прямоугольного треугольника является средней пропорциональной
между сегментами, на которые он делит гипотенузу. h 2 = x.y Каждый катет прямоугольного треугольника является средним, пропорциональным гипотенузе.
и его ортогональная проекция на гипотенузу. c 2 = a.x и b 2 = a.y
Приложения:
Касательные в точках A и B окружности с центром O и радиусом r,
пересекаются в точке P.Хорда AB и прямая OP пересекаются в точке S. Пусть a = | OP | и k = | AB |. Выразите k как функцию от r и a.
В прямоугольном треугольнике АОП: катет прямоугольного треугольника является средним
пропорциональна гипотенузе и ее ортогональной проекции на гипотенузу. | OA | 2 = | OP | | ОС |.
=> | ОС | = r 2 / а
В прямоугольном треугольнике OAS: квадрат гипотенузы равен
к сумме квадратов двух других сторон. | OA | 2 = | ОС | 2 + | AS | 2
=> r 2 = | OS | 2 + к. 2 /4
=> r 2 = r 4 / a 2 + k 2 /4
=> ....
2р ___________
=> k = ---- \ / a 2 - r 2
а
Разделите данный отрезок BC построением точки D. Две части
BD и DC должны
иметь подходящую длину x и y такую, чтобы произведение x.y равно заданному значению m 2 .
x + y = | BC | en m 2 = x.y м — среднее значение, пропорциональное между x и y Мы знаем, что высота до гипотенузы BC прямоугольного треугольника ABC равна
средний пропорциональный между сегментами, на которые он делит гипотенузу.
Ищем прямоугольный треугольник ABC с основанием гипотенуза BC.
и с m в качестве высоты. Вершина A прямоугольного треугольника расположена на окружности с диаметром BC.
Этапы строительства: Нарисуйте полукруг диаметром BC. Проведите параллель BC на расстоянии m от BC. Эта параллель дает нам точку А. Нарисуйте высоту AD от A до BC. Площадь треугольника Площадь треугольника a.h / 2. Но в треугольнике BAH sin (B) = h / c. Следовательно, площадь треугольника равна a.c.sin (B) / 2. Аналогично, площадь треугольника = b.c.sin (A) / 2 = a.b.sin (C) / 2 Площадь треугольника ABC = (1/2) a.c.sin (B) = (1/2) b.c.sin (A) = (1/2) a.b.sin (C)
Вы также можете использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника.
Пусть s = половина окружности треугольника = (a + b + c) / 2.
Площадь треугольника ABC =
______________________________
V s (s - a) (s - b) (s - c)
Упражнение: Треугольник имеет стороны 5, 4 и 7. Точно начертите треугольник. Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона и проверьте результат.
измеряя высоту треугольника и вычисляя площадь с этой высотой.
Теперь измерьте угол треугольника и вычислите площадь в третий раз.
И наоборот, вы можете вычислить углы треугольника, если знаете
площадь треугольника.
Правило синуса Площадь треугольника ABC = a.c.sin (B) / 2 = b.c.sin (A) / 2 = a.b.sin (C) / 2
=> а.c.sin (B) = b.c.sin (A) = a.b.sin (C)
разделив на a.b.c, получим а б в
------ = ------ = ------
грех (A) грех (B) грех (C)
Эта формула называется правилом синусов в треугольнике ABC. Пусть R будет радиусом круга с центром O, проходящим через точки A, B и C.
Пусть B ‘- вторая точка пересечения BO с окружностью. Угол B ‘
в треугольнике BB’C равно A или дополняет его. В прямоугольном треугольнике BB’C мы видим, что a = 2R sin (B ‘) = 2R sin (A). Таким образом, все дроби правила синуса равны 2R.
В любом треугольнике ABC имеем а б в
------ = ------ = ------ = 2R
грех (A) грех (B) грех (C)
Упражнение: Треугольник имеет стороны с длиной a = 5, b = 4 и c = 7. Точно начертите треугольник.
Вычислите площадь треугольника по формуле Герона. Теперь вычислите угол A по формуле площади (1/2).b.c.sin (А). Теперь используйте угол A, чтобы найти радиус R описанной окружности. Проверьте результат на своем эскизе.
Однородное выражение в a, b и c Примечание: Отношение называется однородным в a, b и c тогда и только тогда, когда это отношение остается в силе.
когда мы заменяем a, b и c на кратные r.a, r.b и r.c (r не 0). Если выражение между сторонами треугольника
однородна по a, b и c,
мы получаем эквивалентное выражение, заменяя a, b и c
грехом (A), грехом (B) и грехом (C).
Пример: В треугольнике.
b.sin (A-C) = 3.c.cos (A + C)
sin (B) .sin (A-C) = 3. sin (C) .cos (A + C)
Правило косинусов В любом треугольнике ABC имеем a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos (A)
b 2 = c 2 + a 2 - 2 c a cos (B)
c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos (C)
Доказательство: Докажем, что a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c cos (A) Если угол A прямой, то доказательство очевидно.
Теперь предположим, что угол A — острый угол.
a 2 = h 2 + p 2 (*)
b 2 = h 2 + q 2
= h 2 + (c - p) 2
так,
h 2 = b 2 - (c - p) 2 (**)
Из (*) и (**)
a 2 = b 2 - (c - p) 2 + p 2
= b 2 - (c 2 - 2 p c + p 2 ) + p 2
= b 2 - c 2 + 2 p c
= b 2 + c 2 + 2 p c - 2 c 2
= b 2 + c 2 + 2 c (p - c)
= b 2 + c 2 - 2 c (c - p)
= b 2 + c 2 - 2 c q
= b 2 + c 2 - 2 c b cos (A)
Теперь предположим, что угол A — тупой угол. Доказательство проводится так же, как указано выше. Нарисуйте новую картинку и поработайте над ней как с упражнением.
Это правило косинуса также можно доказать с помощью скалярного произведения векторов. См. Правило косинуса доказательства
пи / 3 Пусть V — точка изображения, соответствующая углу pi / 3 на единичной окружности, и пусть E — точка пересечения этой окружности с положительной осью X. Треугольник OVE равносторонний. Следовательно, cos (pi / 3) = 1/2.sin 2 (pi / 3) = sqrt (1 - cos 2 (pi / 3)) = sqrt (3) / 2
Итак, sin (pi / 3) = sqrt (3) / 2 и cos (pi / 3) = 1/2.загар (пи / 3) = sqrt (3)
пи / 4 Пусть V будет точкой изображения, соответствующей углу pi / 4 на единичной окружности. Отсюда очевидно, что cos (pi / 4) = sin (pi / 4) и tan (pi / 4) = 1.cos 2 (pi / 4) + sin 2 (pi / 4) = 1 => 2cos 2 (pi / 4) = 1 => cos (pi / 4) = sqrt (1/2)
Итак, cos (pi / 4) = sin (pi / 4) = sqrt (1/2)
загар (пи / 4) = 1
пи / 6 Из свойств дополнительных углов мы имеем:
cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2 и sin (pi / 6) = 1/2. tan (pi / 6) = 1 / sqrt (3). Корпус SSS Дано: Три стороны. Подставьте все стороны в Правило де косинуса, чтобы вычислить углы.
Пример: a = 4 b = 5 c = 7
Правило косинуса дает
58 = 70 cos (А)
40 = 56 cos (В)
-8 = 40 cos (Кл)
А = 34,05 В = 44,41 С = 101,53
Тест: A + B + C = … Корпус ASA или AAS Дано: два угла и сторона. Вычислите третий угол, а затем стороны с помощью правила синуса.
Пример: a = 4 A = 34 B = 45
Третий угол равен C = 101 по правилу синуса.
4 греха (45)
б = -------------- = 5.06
грех (34)
4 греха (101)
с = ------------- = 7,02
грех (34)
Тест: нарисуйте набросок треугольника Корпус SAS Дано: две стороны и включенный угол. Используйте правило косинуса.
Пример: b = 5 c = 7 A = 34,05
Из правила косинуса
а 2 = 25 + 49-70 cos (34,05) => а = 4
Две другие формулы правила косинуса дают
40 = 56 cos (В)
-8 = 40 cos (Кл)
В = 44,41 С = 101,53
Тест: A + B + C = … Корпус SSA Дано: две стороны и не включенный угол. Нарисуйте эскиз. Есть три случая. 1) нет решений 2) одно решение 3) два решения
A = 60 b = 5 a = 1 По эскизу видим, что решений нет.
A = 60 b = 5 a = 7 Из наброска мы видим, что есть одно решение. Мы используем правило синуса.
7 5 в
--------- = -------- = ---------
грех (60) грех (B) грех (C)
Итак, sin (B) = 0,6186, и это дает нам два дополнительных решения для B. Но из нашего эскиза мы знаем, какое значение выбрать. В = 38,21. Тогда C = 180 — 38,21 — 60 = 81,79 и c = 8 А = 60 б = 5 а = 4,5 Из эскиза мы видим, что есть два решения для B. Мы используем правило синуса.
4,5 5 в
--------- = -------- = ---------
грех (60) грех (B) грех (C)
Итак, sin (B) = 0,96225, и это дает нам два дополнительных решения для B. B = 74,2 из 105,8 Сначала выберите B = 74,2 и сначала вычислите C, а затем c с помощью правила синуса. Затем выберите B = 105,8 и сначала вычислите C, а затем c с помощью правила синуса. Проверьте результаты по вашему эскизу. Синусоидальная функция Функция определяется:грех: R -> R: x -> грех (х)
называется синусоидальной функцией. Изображения ограничены [-1,1] с периодом 2.pi. Мы видим, что диапазон функции равен [-1,1].
Функция косинуса Функция определяется:cos: R -> R: x -> cos (x)
называется косинус-функцией. Изображения ограничены [-1,1] с периодом 2.pi. Диапазон функции [-1,1].
Функция тангенса Функция определяется:загар: R -> R: x -> загар (x)
называется касательной функцией. Теперь период равен пи, а изображения не определены в x = (pi / 2) + k.pi Диапазон или изображение — R .
Функция котангенса Функция определяется:детская кроватка: R -> R: x -> детская кроватка (x)
называется функцией котангенса. Период равен пи, а изображения не определены в x = k.pi Диапазон или изображение — R .
Связанные функции и период Мы можем подвергнуть предыдущие функции всевозможным преобразованиям. Получаем родственные функции.
(см. Влияние преобразования на график функции) Пример 1
y = sin (4x) График этой функции возникает из графика sin (x), когда мы сжимаем
график sin (x) в направлении оси y с коэффициентом 4. Отсюда следует, что период sin (4x) равен пи / 2. Функция y = sin (ax) имеет период
2. pi / a, если a> 0.
Аналогичные правила применяются к другим тригонометрическим функциям. Таким образом, период tan (x / 3) равен 3.pi.
Пример 2
y = sin (x + 5) График этой функции получается путем перемещения графика sin (x) на пять единиц влево.
Срок не меняется.
Пример 3
y = tan (x) +5 График этой функции получается перемещением графика tan (x) на пять единиц вверх.Срок не меняется.
Пример 4
Начнем с y = tan (x). Мы сжимаем график в направлении оси Y с коэффициентом 3. Новая функция
у = загар (3x). Сдвигаем график на две единицы вправо. Новая функция y = tan (3 (x-2)).
Наконец, мы перемещаем последний график на две единицы вниз. Получаем y = tan (3x -6) -2. Период равен пи / 3.
Обобщение:
Период A sin (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A cos (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A tan (a x + b) равен pi / | a | Период A кроватки (a x + b) равен pi / | a | Период A / sin (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A / cos (a x + b) равен 2 pi / | a | Период A / tan (a x + b) равен pi / | a | Период A / cot (a x + b) равен pi / | a |
Период суммы двух функций Если
f (x) - функция с периодом = a
g (x) - функция с периодом = b
Затем
f (x) + g (x) - функция с периодом = c
Существуют строго положительные и взаимно простые целые числа m и n
такие, что c = m.a = n.b
Примеры sin (2x) имеет период pi, а период cos (3x) — 2pi / 3. Теперь c = 2. (pi) = 3. (2pi / 3). Итак, 2 пи — это период sin (2x) + cos (3x)
sin (pi x) имеет 2 как период, а tan (2 pi x / 7) имеет 7/2 как период. Теперь c = 7. (2) = 4. (7/2). Итак, 14 — это период sin (pi x) + tan (2 pi x / 7)
sin (sqrt (2) x) имеет период pi.sqrt (2), а период cos (2x) — период pi. Не существует строго положительных целых чисел m и n таких, что м. (Пи.sqrt (2)) = п. (пи). Итак, sin (sqrt (2) x) + cos (2x) НЕ имеет периода!
sin (x) имеет период 2pi, а период cos (pi x) — 2. Не существует строго положительных целых чисел m и n таких, что m. (2pi) = n. (2). Итак, sin (x) + cos (pi x) НЕ имеет периода!
Функция arcsin Мы ограничиваем область определения синус-функции до [-pi / 2, pi / 2]. Теперь это ограничение обратимо, потому что каждое значение изображения в [-1,1] соответствует ровно одному
исходное значение в [-pi / 2, pi / 2]. Функция, обратная этой ограниченной синусоидальной функции, называется арксинусной функцией. Мы пишем arcsin (x) или asin (x). График y = arcsin (x) является зеркальным отображением ограниченного синусоидального графа относительно линии y = x. Домен [-1,1], диапазон [-pi / 2, pi / 2].
Функция arccos Мы ограничиваем область определения функции косинуса до [0, pi]. Теперь это ограничение обратимо, потому что каждое значение изображения в [-1,1] соответствует ровно одному
исходное значение в [0, пи]. Функция, обратная этой ограниченной функции косинуса, называется функцией арккосинуса. Мы пишем arccos (x) или acos (x). График y = arccos (x) является зеркальным отображением графа с ограниченным косинусом относительно прямой y = x. Домен [-1,1], диапазон [0, пи]. Функция arctan Мы ограничиваем область определения касательной функции до [-pi / 2, pi / 2]. Функция, обратная этой ограниченной касательной функции, называется функцией арктангенса.Мы пишем arctan (x) или atan (x).
График y = arctan (x) является зеркальным отображением ограниченного касательного графа относительно прямой y = x. Домен — R , диапазон — [-pi / 2, pi / 2].
Функция arccot Мы ограничиваем область определения функции котангенса до [0, pi]. Функция, обратная этой ограниченной функции котангенса, называется функцией арккотангенса. Мы пишем arccot (x) или acot (x). График y = arccot (x) является зеркальным отображением ограниченного графа котангенса относительно линии y = x. Домен — R , диапазон — [0, пи]. Без периода Обратные тригонометрические функции не имеют периода! Преобразования Как и в случае с тригонометрическими функциями, мы можем создавать связанные функции с помощью простых преобразований. Пример: y = 2.arcsin (x-1) получается путем перемещения графика arcsin (x) на одну единицу вправо, а затем путем перемещения
умножение всех изображений на два. Домен [0,2], диапазон [-pi, pi].
cos (u — v) Мы доказываем эту формулу, используя концепцию скалярного произведения двух векторов.(См. Теорию о
векторов) С u соответствует одна точка P (cos (u), sin (u)) на единичной окружности С v соответствует одна точка Q (cos (v), sin (v)) на единичной окружности Угол, соответствующая дуге QP на окружности, имеет значение u — v. Скалярное произведение P . Q = 1.1.cos (u-v). Но по координатам у нас тоже P . Q = cos (u) .cos (v) + sin (u) .sin (v). Следовательно, cos (u-v) = cos (u) .cos (v) + sin (u) .sin (v)
Пример:cos (pi / 3-2x) = cos (pi / 3) cos (2x) + sin (pi / 3) sin (2x) = 0.5 cos (2x) + 0,5 sqrt (3) sin (2x)
cos (u + v) cos (u + v) = cos (u — (-v)) = cos (u) .cos (-v) + sin (u) .sin (-v) cos (u + v) = cos (u) .cos (v) -sin (u) .sin (v)
Пример:cos (x + x / 2) + cos (x - x / 2) = cos (x) cos (x / 2) + sin (x) sin (x / 2) + cos (x) cos (x / 2) - грех (х) грех (х / 2)
= 2 cos (x) cos (x / 2)
грех (u — v) sin (u — v) = cos (pi / 2- (uv)) = cos ((pi / 2-u) + v) = cos (pi / 2 — u) .cos (v) -sin (pi / 2 — у).грех (v) sin (u — v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v)
Пример:sin (x - pi / 4) = sin (x) cos (pi / 4) - cos (x) sin (pi / 4) = (sin (x) -cos (x)) / sqrt (2)
грех (u + v) sin (u + v) = cos (pi / 2- (u + v)) = cos ((pi / 2-u) -v) = cos (pi / 2 — u) .cos (v) + sin ( pi / 2 — u) .sin (v) sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v)
коричневый (u + v) грех (и + v) грех (и).cos (v) + cos (u) .sin (v)
загар (u + v) = ------------ = ---------------------------
cos (u + v) cos (u) .cos (v) -sin (u) .sin (v)
Разделив доминатор и знаменатель на cos (u) .cos (v), получим загар (u) + загар (v)
загар (u + v) = -----------------
1 - загар (и) .тан (в)
Пример: загар (и) + загар (пи / 4) загар (и) + 1 1 + загар (и)
загар (и + пи / 4) = -------------------- = -------------- = ----- --------
1 - загар (и).загар (пи / 4) 1 - загар (и) 1 - загар (и)
загар (u — v) Таким же образом у нас есть загар (у) - загар (в)
загар (u-v) = -----------------
1 + загар (и) .тан (в)
грех (2u) sin (2u) = sin (u + u) = sin (u) .cos (u) + cos (u) .sin (u) = 2sin (u) .cos (u) Примеры грех (х) = 2 грех (х / 2) .cos (х / 2)
sin (4x) = 2 sin (2x). cos (2x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2x)
12 sin (8x) cos (8x) = 6 sin (16x)
cos (2u) cos (2u) = cos (u + u) = cos (u).cos (u) -sin (u) .sin (u) = cos 2 (u) — sin 2 (u) cos (2u) = cos 2 (u) — sin 2 (u)
желто-коричневый (2u) загар (и) + загар (и) 2 загар (и)
загар (2u) = ------------------ = ---------------
1 - загар (и). Тан (и) 1- загар (и) загар (и)
2 загар (u)
загар (2u) = -----------
1- коричневый 2 (u)
Пример: 1
детская кроватка (2x) = --------
загар (2x)
1 - желто-коричневый 2 (x)
знак равно
2 загар (х)
1 + cos (2u) = 1 + cos 2 (u) -sin 2 (u) = 2 cos 2 (u)
1 - cos (2u) = 1-cos 2 (u) + sin 2 (u) = 2 sin 2 (u)
1 + cos (2u) = 2 cos 2 (u)
1 - cos (2u) = 2 sin 2 (u)
Приложения:
Из формул Карно следует, что: Период cos (2u) = период cos 2 (u) = период sin 2 (u) Разложите выражение на множители 1 + 2 cos (x) + cos (2x) 1 + 2 cos (x) + cos (2x)
= 2 cos (x) + (1 + cos (2x))
= 2 cos (x) + 2 cos 2 (x)
= 2 cos (x) (1 + cos (x))
= 2 cos (x) 2 cos 2 (x / 2)
= 4 cos (x) cos 2 (x / 2)
Поскольку 2 пи — период (1 + 2 cos (x) + cos (2x)),
отсюда следует, что период cos (x) cos 2 (x / 2) равен 2pi. Найдите период загара 2 (4x) Период tan 2 (4x) равен периоду 1 + tan 2 (4x). Период 1 + tan 2 (4x) равен периоду 1 / cos 2 (4x). Период 1 / cos 2 (4x) равен периоду cos 2 (4x). Период cos 2 (4x) равен периоду 0,5 (1 + cos (8x)). Период 0,5 (1 + cos (8x)) равен периоду cos (8x). И этот период равен пи / 4.
В треугольнике ABC стороны a, b, c таковы, что 3a = 7c en 3b = 8c. Найдите tan 2 (A / 2) без вычисления A или A / 2. Решение:
О трех сторонах мы знаем:
а б в
--- = --- = ---
7 8 3
Поскольку одинаковые треугольники имеют одинаковые углы, мы можем использовать
a = 7, b = 8 и c = 3 как стороны треугольника.
Из правила косинуса мы можем написать
б 2 + в 2 - а 2
cos (А) = ------------------ = 1/2
2 б в
Теперь воспользуемся формулами Карно
1 - cos (A) 2 sin 2 (A / 2)
---------- = -------------- = загар 2 (A / 2) = 1/3
1 + cos (A) 2 cos 2 (A / 2)
Найдите точное значение cos (pi / 12) Мы знаем: 1 + cos (2u) = 2 cos 2 (u) Теперь возьмем 2u = pi / 6 радиан, тогда u = pi / 12 радиан.
Теперь точное значение cos (pi / 6) равно sqrt (3) / 2.
Мы можем использовать формулу Карно для вычисления cos (pi / 12).
cos 2 (pi / 12) = (1 + cos (pi / 6)) / 2
= (1 + sqrt (3) / 2) / 2
= (2 + sqrt (3)) / 4
Итак, cos (pi / 12) = (1/2). sqrt (2 + sqrt (3))
Из формул Карно имеем
cos (2u) = 2 cos 2 (u) -1
2
= ------------ - 1
1 + загар 2 (н)
1 - желто-коричневый 2 (u)
знак равно
1 + загар 2 (н)
Мы знаем:
2 загар (u)
загар (2u) = -------------
1 - желто-коричневый 2 (u)
Следовательно,
2 загар (u)
грех (2u) = -----------
1 + загар 2 (н)
Пусть t = tan (u), тогда
1 - т 2
cos (2u) = ---------
1 + т 2
или
1 - желто-коричневый 2 (u)
cos (2u) = -------------
1 + загар 2 (н)
2т
грех (2u) = --------
1 + т 2
или
2 загар (u)
грех (2u) = -----------
1 + загар 2 (н)
2т
загар (2u) = -------
1 - т 2
или
2 загар (u)
загар (2u) = -------------
1 - желто-коричневый 2 (u)
Эти три формулы называются t-формулами или формулами полуугла. Применение: Уравнение прямой d: y = 3 x + 4. u = угол между осью x и этой линией. Мы знаем, что tan (u) = 3.
Линия d ‘является отражением линии y = 3 в d. Угол от оси x к линии d ‘равен 2u. Наклон линии d ‘желтовато-коричневый (2u).
2т 2 загар (и) 2. 3
загар (2u) = ------- = ------------ = ---------- = - 0,75
1 - t 2 1 - желто-коричневый 2 (u) 1-9
Мы знаем этосоз (u + v) = cos (u).cos (v) -sin (u) .sin (v)
cos (u - v) = cos (u). cos (v) + sin (u) .sin (v)
sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v)
sin (u - v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v)
и отсюда мы имеемcos (u + v) + cos (u - v) = 2. cos (u) .cos (v)
cos (u + v) - cos (u - v) = -2.sin (u) .sin (v)
sin (u + v) + sin (u - v) = 2. sin (u) .cos (v)
sin (u + v) - sin (u - v) = 2. cos (u) .sin (v)
Пусть x = u + v и y = u — v , тогда u = (1/2) (x + y) и v = (1/2) (x — y) Теперь у нас есть
cos (x) + cos (y) = 2 cos ((1/2) (x + y)) cos ((1/2) (x - y))
cos (x) - cos (y) = -2 sin ((1/2) (x + y)) sin ((1/2) (x - y))
sin (x) + sin (y) = 2 sin ((1/2) (x + y)) cos ((1/2) (x - y))
sin (x) - sin (y) = 2 cos ((1/2) (x + y)) sin ((1/2) (x - y))
Формулы Симпсона х + у х - у
cos (x) + cos (y) = 2 cos ------ cos -------
2 2
х + у х - у
cos (x) - cos (y) = -2 грех ------ грех -------
2 2
х + у х - у
грех (х) + грех (у) = 2 грех ------ соз -------
2 2
х + у х - у
грех (х) - грех (у) = 2 соз ------ грех -------
2 2
Пример: формулы можно использовать для факторизации тригонометрических выражений. cos (2x) - cos (2y)
-----------------
cos (2x) + cos (2y)
-2 грех (х + у) грех (х-у)
знак равно
2 cos (x + y) cos (x-y)
= - загар (x + y) загар (x-y)
= загар (у + х) загар (у-х)
Многие из предыдущих формул можно использовать для разложения тригонометрических форм.
Этот факторинг может быть осуществлен разными способами.
На некоторых примерах мы покажем различные методы факторизации. sin (2a). (1 + tan 2 (a))
= 2 sin (a) cos (a). (1 / cos 2 (а))
= 2 sin (а) / cos (а)
= 2 загар (а)
2 грех (2а) + грех (4а)
= 2 греха (2а) + 2 греха (2а).cos (2a)
= 2 sin (2a). (1 + cos (2a))
= 4 sin (a) cos (a) .2 cos 2 (a)
= 8 sin (а) cos 3 (а)
1 - желто-коричневый 4 (а)
= (1 - загар 2 (а)). (1 + загар 2 (а))
грех 2 (а) 1
= (1 - -------) --------
cos 2 (а) cos 2 (а)
cos (2a)
знак равно
cos 4 (а)
cos 2 (a) - sin 2 (a) - 2 cos (a) + 1
= cos 2 (a) - 2 cos (a) + cos 2 (a)
= 2 cos 2 (а) - 2 cos (а)
= 2 cos (a) (cos (a) - 1)
= -2 cos (a) (1 - cos (a))
= -2 cos (a) 2 sin 2 (a / 2)
= -4 cos (a) sin 2 (a / 2)
грех (2а) (1 + 2 соз (2а)) + 2 грех (3а)
= sin (2a) + 2 sin (2a) cos (2a) + 2 sin (3a)
= грех (2а) + грех (4а) + 2 греха (3а)
= 2 sin (3a) cos (a) + 2 sin (3a)
= 2 sin (3a) (1+ cos (a))
= 4 sin (3a) cos 2 (a / 2)
cos 2 (a) -2 cos (a) + cos (2a) + sin 2 (a)
= 1 + cos (2a) - 2 cos (a)
= 2 cos 2 (а) - 2 cos (а)
= 2 cos (a) (cos (a) - 1)
= -2 cos (a) (1 - cos (a))
= -2 cos (a) 2 sin 2 (a / 2)
= -4 cos (a) sin 2 (a / 2)
(1 - cos (4a)) 2
-----------------
(1 - cos 2 (4a))
(1 - cos (4a)) 2
знак равно
(1 - cos (4a)) (1 + cos (4a))
(1 - cos (4a))
знак равно
(1 + cos (4a))
2 грех 2 (2а)
знак равно
2 cos 2 (2a)
= загар 2 (2a)
cos 4 (а) - sin 4 (а)
= (cos 2 (a) - sin 2 (a)) (cos 2 (a) + sin 2 (a))
= (cos 2 (a) - sin 2 (a))
= cos (2a)
грех (а) + грех (б) + грех (в) - грех (а + б + в)
= 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) + 2 cos ((a + b + 2c) / 2) sin ((-a-b) / 2)
= 2 sin ((a + b) / 2) (cos ((a-b) / 2) - cos ((a + b + 2c) / 2)
= -4 sin ((a + b) / 2) sin ((a + c) / 2) sin ((-b-c) / 2))
= 4 sin ((a + b) / 2) sin ((a + c) / 2) sin ((b + c) / 2))
sin 2 (a) - sin 2 (b) - sin 2 (a + b)
= sin 2 (a) - sin 2 (b) - (sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)) 2
= sin 2 (a) - sin 2 (b) - sin 2 (a) cos 2 (b) - cos 2 (a) sin 2 (b)
- 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b)
= sin 2 (a) (1- cos 2 (b)) - sin 2 (b) (1 + cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos ( а) cos (б)
= sin 2 (a) sin 2 (b) - sin 2 (b) (1 + cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos ( б)
= sin 2 (b) (sin 2 (a) -1 - cos 2 (a)) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b)
= -2 sin 2 (b) cos 2 (a) - 2 sin (a) sin (b) cos (a) cos (b)
= -2 sin (b) cos (a) (sin (b) cos (a) sin (a) cos (b))
= -2 cos (a) sin (b) sin (a + b)
sin (2b + 2c) (cos (2b) + cos (2c)) - sin (2b) - sin (2c)
= sin (2b + 2c) 2 cos (b + c) cos (b-c) - 2 sin (b + c) cos (b-c)
= 4 sin (b + c) cos (b + c) cos (b + c) cos (b-c) - 2 sin (b + c) cos (b-c)
= 2 sin (b + c) cos (b-c) (2 cos 2 (b + c) - 1)
= 2 sin (b + c) cos (b-c) (2 cos 2 (b + c) - cos 2 (b + c) - sin 2 (b + c))
= 2 sin (b + c) cos (b-c) (cos 2 (b + c) - sin 2 (b + c))
= 2 sin (b + c) cos (b-c) cos (2b + 2c)
Мы знаем этосоз (u + v) = cos (u).cos (v) -sin (u) .sin (v)
cos (u - v) = cos (u). cos (v) + sin (u) .sin (v)
sin (u + v) = sin (u) .cos (v) + cos (u) .sin (v)
sin (u - v) = sin (u) .cos (v) -cos (u) .sin (v)
Таким образом
cos (u + v) + cos (u - v) = 2. cos (u) .cos (v)
cos (u + v) - cos (u - v) = -2.sin (u) .sin (v)
sin (u + v) + sin (u - v) = 2. sin (u) .cos (v)
sin (u + v) - sin (u - v) = 2. cos (u) .sin (v)
или
2. cos (u) .cos (v) = cos (u + v) + cos (u - v).
-2.sin (u) .sin (v) = cos (u + v) - cos (u - v)
2. sin (u) .cos (v) = sin (u + v) + sin (u - v)
2. cos (u) .sin (v) = sin (u + v) - sin (u - v)
Период cos (u).cos (v) равен периоду cos (u + v) + cos (u — v) Период sin (u) .sin (v) равен периоду cos (u + v) — cos (u — v) Период sin (u) .cos (v) равен периоду sin (u + v) + sin (u — v) Период cos (u) .sin (v) равен периоду sin (u + v) — sin (u — v) Примеры:
Период cos (2x) .sin (x + 3) равен периоду sin (3x + 3) — sin (x-3) , а этот период равен 2 пи.
Период cos (4x) .cos (x / 2) равен периоду cos (9x / 2) + cos (7x / 2) , а этот период равен 4pi.
Общая функция синуса имеет y = a sin (b (x-c)) + d как уравнение, с a, b, c неотрицательными, а a и b отличными от нуля. Мы можем преобразовать многие уравнения тригонометрических функций к виду
общая синусоидальная функция с использованием предыдущих формул.
Приведем несколько примеров таких преобразований.
у = -3 грех (х)
у = 3 грех (х - пи)
у = грех (-2x)
у = - грех (2х)
у = грех (2х - пи)
у = грех 2 (х - пи / 2)
у = -4 грех (-3x)
у = 4 грех (3х)
у = 2 соз (3х)
у = 2 грех (пи / 2 - 3х)
y = -2 sin (3x -pi / 2)
y = 2 sin (3x - 3pi / 2)
у = 2 грех 3 (х - пи / 2)
y = -2 cos (3x-1)
у = -2 грех (пи / 2 -3x + 1)
y = 2 sin (3x - пи / 2 -1)
у = 2 грех 3 (х - (пи / 6 + 1/3))
y = cos (3x + 4) - cos (3x-4)
у = -2 грех (3х) грех (4)
y = (-2sin (4)) sin (3x)
у = грех (4х-3).cos (4x-3)
у = (1/2) грех (8x-6)
у = (1/2) грех (8 (х- (3/4))
Все функции с уравнением вида y = a sin (u) + b cos (u)
можно преобразовать в общую синусоидальную функцию. Это преобразование несколько сложнее
чем в предыдущих примерах. a.sin (u) + b.cos (u) можно представить в виде A.sin (u-u o ). Тогда преобразование к общей синусоидальной функции несложно.
a.sin (u) + b.cos (u)
= a (sin (u) + (b / a) cos (u))
Возьмем u o так, чтобы tan (u o ) = - b / a
= a (sin (u) - tan (u o ) cos (u))
= (a / cos (u o )).(sin (u) .cos (u o ) - sin (u o ) .cos (u))
Пусть A = (a / cos (u o ))
= А. грех (u - u o )
Пример 3 sin (x) - 2 cos (x)
= 3 (sin (x) - (2/3) cos (x))
Пусть tan (u o ) = 2/3; возьмем u o = 0,588
= 3 (sin (x) - tan (u o ) cos (x))
= (3 / cos (u o )) (sin (x) cos (u o ) - cos (x) sin (u o ))
= 3,6055 sin (x - 0,588)
Основные уравнения cos (u) = cos (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что cos (u) = cos (v)
(и = v + k.2pi) или (u = -v + k.2pi)
грех (и) = грех (в) С помощью единичного круга легко увидеть, что грех (и) = грех (v)
(u = v + 2.k.pi) или (u = pi - v + 2.k.pi)
загар (u) = загар (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что загар (и) = загар (v)
(u = v + k.pi) при условии существования tan (u) и tan (v)
детская кроватка (u) = детская кроватка (v) С помощью единичного круга легко увидеть, что детская кроватка (u) = детская кроватка (v)
(и = v + k.pi) при условии, что кроватка (u) и кроватка (v) существуют
Приведение к основным уравнениям Пример 1
cos (2x) = cos (pi-3x)
2x = (pi-3x) + 2.k.pi или 2x = - (pi-3x) + 2.k'.pi
5x = pi + 2.k.pi или -x = -pi + 2.k'.pi
x = pi / 5 + 2.k.pi / 5 или x = pi - 2.k'.pi
Пример 2загар (x-pi / 2) = загар (2x)
(x-pi / 2) = 2x + k.pi
-x = пи / 2 + k.pi
x = -pi / 2 - k.pi (для этих значений существуют tan (x-pi / 2) и tan (2x)))
Пример 3соз (х) = -1/3
cos (x) = cos (1.91)
x = 1.91 + 2.k.pi или x = -1.91 - 2.k.pi
Пример 4грех (2х) = соз (х-пи / 3)
cos (pi / 2 - 2x) = cos (x-pi / 3)
pi / 2 - 2x = x - pi / 3 + 2.k.pi или pi / 2 - 2x = - x + pi / 3 + 2.k'.pi
-3x = - pi / 2 - pi / 3 + 2.k.pi или -x = -pi / 2 + pi / 3 + 2.k'.pi
x = pi / 6 + pi / 9 + 2.k.pi / 3 или x = pi / 2 - pi / 3 - 2.k'.pi
x = 5pi / 18 + 2.k.pi / 3 или x = pi / 6 - 2.k'.pi
Пример 53 грех (2х) = соз (2х)
3 загар (2x) = 1
загар (2x) = 1/3
загар (2x) = загар (0,32)
2x = 0,32 + k пи
х = 0,16 + к пи / 2
Пример 6 загар (2x).детская кроватка (x + pi / 2) = 1
загар (2x) = загар (х + пи / 2)
2x = x + pi / 2 + k.pi
x = pi / 2 + k.pi (при условии, что tan (2x) и cot (x + pi / 2) существуют)
Но кроватки (x + pi / 2) не существует для x = pi / 2 + k.pi !!!!! Итак, загар (2x). cot (x + pi / 2) = 1 не имеет решений !
Выражение «при условии…» не является лишним!
Использование дополнительного неизвестного Пример 12sin 2 (2x) + sin (2x) -1 = 0
(пусть t = sin (2x))
2т 2 + т - 1 = 0
т = 0.5 или t = -1
sin (2x) = 0,5 или sin (2x) = -1
sin (2x) = sin (pi / 6) или sin (2x) = sin (-pi / 2)
2x = pi / 6 + 2.k.pi или 2x = pi - pi / 6 + 2.k.pi или
2x = -pi / 2 + 2.k.pi или 2x = pi + pi / 2 + 2.k.pi
x = pi / 12 + k.pi или x = 5pi / 12 + k.pi или
x = -pi / 4 + k.pi или x = 3pi / 4 + k.pi
Иногда удобно рассматривать эти решения на единичном круге. Пример 2
cos 10x + 7 = 8 cos 5x
cos 10x - 8 cos 5x + 7 = 0
1 + cos 10x - 8 cos 5x + 6 = 0
2 cos 2 5x - 8 cos 5x + 6 = 0
cos 2 5x - 4 cos 5x + 3 = 0
Пусть t = cos 5x
т 2 - 4 т + 3 = 0
t = 3 или t = 1
cos 5x = 1
cos 5x = cos 0
5x = 2kpi
x = 2kpi / 5
Примеры Таким же образом следующие уравнения могут быть решены с использованием дополнительных неизвестных.загар 2 (3x) + загар (3x) = 0
грех 2 (х) (грех (х) +1) -0,25 (грех (х) +1) = 0
cos (2x) + sin 2 (x) = 0,5
загар (2x)-детская кроватка (2x) = 1
Проверьте свои результаты, построив графики. Использование факторинга Пример 13.sin (2x) -2.sin (x) = 0
6sin (x) cos (x) -2.sin (x) = 0
2. sin (x). (3cos () - 1) = 0
sin (x) = 0 или cos (x) = 1/3
x = k.pi или x = 1,23 + 2 k.pi или x = -1,23 + 2 k'.pi
Примеры Таким же образом можно решить следующие уравнения, используя факторинг.загар (x) загар (4x) + загар 2 (x) = 0
грех (7x) -sin (x) = грех (3x)
соз (4х) + соз (2х) + соз (х) = 0
грех (5x) + грех (3x) = cos (2x) -cos (6x)
Проверьте свои результаты, построив графики. Уравнение a.sin (u) + b.cos (u) = c Первый метод Сначала мы покажем, что
a.sin (u) + b.cos (u) может быть преобразован в форму A.sin (u-u o ) или в форму A.cos (u-u o ). a.sin (u) + b.cos (u)
= a (sin (u) + (b / a) cos (u))
Возьмем u o так, чтобы tan (u o ) = - b / a
= a (sin (u) - tan (u o ) cos (u))
= (a / cos (u o )).(sin (u) .cos (u o ) - sin (u o ) .cos (u))
Пусть A = (a / cos (u o ))
= А. грех (u - u o )
= А. cos (pi / 2 - u + u o )
= А. cos (u - u o ')
Пример 3 sin (x) - 2 cos (x)
= 3 (sin (x) - (2/3) cos (x))
Пусть tan (u o ) = 2/3; возьмем u o = 0,588
= 3 (sin (x) - tan (u o ) cos (x))
= (3 / cos (u o )) (sin (x) cos (u o ) - cos (x) sin (u o ))
= 3.6055 грех (х - 0,588)
или
= 3,6055 cos (x - 2,1598)
Постройте график 3 sin (x) — 2 cos (x) и график 3,6055 sin (x — 0,588) С помощью этого метода мы можем решить уравнение a.sin (u) + b.cos (u) = c
Пример
3. грех (2x) + 4. cos (2x) = 2
грех (2x) + 4/3. cos (2x) = 2/3
Пусть tan (t) = 4/3
грех (2x) + загар (t). cos (2x) = 2/3
sin (2x) cos (t) + cos (2x) sin (t) = 2 / 3. cos (t)
sin (2x + t) = 2 / 3. cos (t)
поскольку 2 / 3.cos (t) = 0,4
грех (2x + 0.927) = грех (0,39)
2x + 0,927 = 0,39 + 2k.pi или 2x + 0,927 = pi - 0,39 + 2k'.pi
....
Второй метод Используя t-формулы Пример
3 sin (2x) + 4 cos (2x) = 2
Пусть tan (x) = t
2 т 1 - т 2
3 ------- + 4 -------- = 2
1 + т 2 1 + т 2
6 т + 4-4 т 2 = 2 + 2 т 2
6 т 2 - 6 т - 2 = 0
3 т 2 - 3 т -1 = 0
т = 1.26 или t = -0,26
tan (x) = 1,26 или tan (x) = -0,26
x = 0,9 + k pi или x = -0,26 + k pi
Однородные уравнения Уравнение однородно по a и b тогда и только тогда, когда мы получаем эквивалентное уравнение при замене
a и b на ra и rb (r не 0).
Пример: a 3 x 2 +5 a.b 2 x +3 a 2 .b = 0 — уравнение относительно x, однородное по a en b. Теперь мы имеем в виду уравнения, однородные по sin (u) и cos (u). Процедура
Приведите уравнение к виду F = 0.
Если возможно, используйте факторинг влево и решите простые части. Разделите оставшееся уравнение на подходящую степень cos (u) так, чтобы tan (u) появлялся везде. Пусть t = tan (u), и решим алгебраическое уравнение. Вернуться к загар (u) Пример2.cos 3 (x) + 2.sin 2 (x) cos (x) = 5.sin (x) cos 2 (x)
соз (х).(2.cos 2 (x) + 2.sin 2 (x) - 5.sin (x) cos (x)) = 0
Простая часть cos (x) = 0 дает нам x = pi / 2 + k.pi
Во второй части разделим обе части на cos 2 (x). Тогда у нас есть
2. tan 2 (x) - 5. tan (x) +2 = 0
Пусть t = tan (x)
2. т 2 - 5 т + 2 = 0
t = 0,5 или t = 2
tan (x) = 0,5 или tan (x) = 2
x = 0,464 + k.pi или x = 1,107 + k.pi
Другие уравнения Некоторые уравнения могут быть решены соответствующим образом, комбинируя различные обсуждаемые методы.Кроме того, некоторые тригонометрические формулы часто используются для преобразования уравнения в
подходящая форма. Более того, опыт и понимание играют важную роль при решении
сложные уравнения. Приведем неочевидный пример. 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3)
1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3)
грех (х) + соз (х)
------------------- = sqrt (3)
грех (х) соз (х)
sin (x) + cos (x) = sqrt (3) sin (x) cos (x) (1)
-------------------------------------------------- ------
Если возвести обе части уравнения (1) в квадрат, получится только произведение sin (x) cos (x).Затем мы можем найти значение sin (x) cos (x), и с его помощью мы упростим уравнение (1). Из (1) следует
(sin (x) + cos (x)) 2 = 3 (sin (x) cos (x)) 2 1 + 2 sin (x) cos (x) = 3 (sin (x) cos (x )) 2
Пусть y = sin (x) cos (x)
3 года 2 -2 года -1 = 0
у = 1 или -1/3
sin (x) cos (x) = 1 или sin (x) cos (x) = -1/3
Если sin (x) cos (x) = 1, то sin (2x) = 2, а это невозможно.
Заключение: Из (1) следует, что
грех (х) соз (х) = -1/3 (2)
-------------------------------------------------- --------
Теперь воспользуемся этим результатом.Приведем (2) в (1)
грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3 (3)
Если (1) истинно, то (2) истинно и, следовательно, (3) истинно.
Теперь мы покажем, что верно обратное. Начнем с (3).
грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3
=> (sin (x) + cos (x) 2 = 1/3
=> 1 + 2 sin (x) cos (x) = 1/3
=> sin (x) cos (x) = -1/3 и это (2)
Итак, если (3) истинно, то (2) истинно и, следовательно, (1) истинно.
Вывод: (1) и (3) - эквивалентные уравнения.Решим (3) сейчас.
-------------------------------------------------- -----------
грех (х) + соз (х) = - sqrt (3) / 3
cos (pi / 2 -x) + cos (x) = - sqrt (3) / 3
2 cos (pi / 4) cos (pi / 4-x) = - sqrt (3) / 3
sqrt (2) cos (pi / 4-x) = - sqrt (3) / 3
cos (пи / 4-х) = -1 / sqrt (6)
Пусть a = arccos (-1 / sqrt (6))
соз (пи / 4-х) = соз (а)
pi / 4 - x = a + 2 k pi или pi / 4 - x = -a + 2 k pi
x = pi / 4 - a + 2 k pi или x = pi / 4 + a + 2 k pi
Решениями данного уравнения являются значения
pi / 4 - a + 2 k pi en pi / 4 + a + 2 k pi с a = arccos (-1 / sqrt (6))
Второй метод Многие уравнения можно решить по-разному.Мы покажем альтернативный способ решения
уравнение
1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3)
Период функции в левой части равен 2 пи.
Если у нас есть решения уравнения в [0, 2pi], то мы знаем все решения. Сначала мы вычисляем решения в [0, 2pi].
Поскольку правая часть уравнения положительна, решения возможны только тогда, когда левая часть также положительна.
Построив график функции 1 / sin (x) + 1 / cos (x), мы видим, что изображение положительное.
в интервалах (0, пи / 2); (3pi / 4, pi) и (3pi / 2, 7pi / 4).
Решения могут возникать только в этих интервалах.
Если ограничить значения x этими интервалами, то обе части уравнения
положительные, и мы можем написать
1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3)
(1 / sin (x) + 1 / cos (x)) 2 = 3
грех (х) + соз (х)
(------------------) 2 = 3
грех (х) соз (х)
1 + 2 sin (x) cos (x) = 3 sin 2 (x) cos 2 (x)
Пусть y = sin (x) cos (x)
3 года 2 -2 года - 1 = 0
y = 1 или y = -1/3
Случай y = 1
грех (х) соз (х) = 1
2 грех (х) соз (х) = 2
грех (2x) = 2
В этом случае решений нет.
Случай y = -1/3
2 sin (x) cos (x) = -2/3
грех (2x) = -2/3
пусть b = arcsin (-2/3); б = -0.7297
грех (2x) = грех (б)
2x = b + 2 k pi или 2x = (pi-b) + 2kpi
x = b / 2 + k pi или x = pi / 2 - b / 2 + k pi
Теперь мы возьмем только значения x, расположенные в интервалах
(0, пи / 2); (3pi / 4, pi) en (3pi / 2, 7pi / 4).
Есть 2 решения:
х = b / 2 + пи = 2,7767
и
х = пи / 2 - b / 2 + пи = 3pi / 2 - b / 2 = 5,077
Все решения уравнения 1 / sin (x) + 1 / cos (x) = sqrt (3) являются
b / 2 + pi + 2 k pi en 3pi / 2 - b / 2 + 2 k pi
Условные обозначения k — целое число. знак равно
‘> =’ означает больше или равно
Примеры грех (x / 2)> 1/2 Нарисуем решения для (x / 2) на единичной окружности.
Теперь мы видим, что:
грех (х / 2)> 1/2
пи / 6 + 2 к пи пи / 3 +4 к пи
Для каждого k у нас есть открытый интервал с решениями. Множество решений V представляет собой объединение всех этих открытых интервалов.
V = { U (pi / 3 +4 k pi, 5 pi / 3 + 4 k pi) | k дюйм Z }
k
коричневый (2x)
Нарисуем решения для (2x) на единичной окружности.
Теперь мы видим, что:
загар (2x) -pi / 2 + k pi -pi / 4 + k pi / 2
Для каждого k у нас есть открытый интервал с решениями. Множество решений V представляет собой объединение всех этих открытых интервалов.
V = { U (-pi / 4 + k pi / 2, 0,16 + k pi / 2) | k дюйм Z }
k
коричневый (2x + pi / 5)
Это вариант предыдущего примера. Цифра такая же, как и предыдущая, но теперь дает
решения для (2x + pi / 5). Теперь у нас есть:
tan (2x + pi / 5) -pi / 2 + k pi -pi / 2 -pi / 5 + k pi -7 pi / 20 + k pi / 2
Набор решений V:
V = { U (-7 пи / 20 + k пи / 2, 0,16 - пи / 10 + k пи / 2) | k дюйм Z }
k
2 sin 2 (x) — 3 sin (x) + 1 =
Пусть t = sin (x). 2 t 2 - 3 t + 1 2 (t - 1) (t - 1/2) 1/2 = 1/2 = pi / 6 + 2 k pi =
Набор решений
V = { U [пи / 6 + 2 k пи; 5pi / 6 + 2 k pi] | k дюйм Z }
k
Другой метод решения 2 sin 2 (x) — 3 sin (x) + 1 =
Можно также напрямую разложить левую часть на множители и исследовать знак в интервале периода. 2 грех 2 (х) - 3 грех (х) + 1
2 (грех (х) - 1) (грех (х) - 1/2)
Возьмем простой период-интервал [0,2pi). Исследуем знак каждого фактора. x 0 пи / 6 пи / 2 5 пи / 6 пи 2 пи
-------------------------------------------------- -------------
sin (x) -1 - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - -
-------------------------------------------------- -------------
sin (x) -1/2 - - 0 + + + + + + 0 - - - - - - - - - -
-------------------------------------------------- -------------
продукт + + 0 - - - 0 - - 0 + + + + + + + + + +
-------------------------------------------------- -------------
Решения в интервале периодов: пи / 6 =
Набор решений:V = { U [пи / 6 + 2 k пи; 5pi / 6 + 2 k pi] | k дюйм Z }
k
сек (x)
Сначала исследуем неравенство в интервале периода [0,2pi). Значения 0; пи / 2; Пи ; 3pi / 2 не являются решениями. Исследуем другие ценности
x в каждом квадранте.
Первый квадрант cosec (x) 1 / sin (x) 0
cos (x)
Набор решений (пи / 4, пи / 2).
Второй квадрант Теперь у нас есть cos (x) 0. Решений нет.
Третий квадрант cosec (x) 1 / sin (x) 0
cos (x)
Набор решений равен (пи, 5 пи / 4)
Четвертый квадрант
Теперь у нас есть cos (x)> 0 и sin (x)
Набор решений (3 пи / 2, 2 пи) Множество решений данного неравенства представляет собой объединение всех интервалов (пи / 4 + 2 к пи, пи / 2 + 2 к пи)
(пи + 2 к пи, 5 пи / 4 + 2 к пи)
(3pi / 2 + 2 пи, 2 пи + 2 пи)
с k в Z
Сначала преобразовать, затем решить. детская кроватка (x) + 1
-------------> 0
грех (х)
детская кроватка (x) + 1
-------------> 0 и sin (x) не 0
грех (х)
соз (х) + грех (х)
-------------------> 0 и sin (x) не 0
грех 2 (х)
cos (x) + sin (x)> 0 и sin (x) не 0
sin (x) + sin (pi / 2 -x)> 0 и sin (x) не 0
с формулами Симпсона
2 sin (pi / 4) cos (x - pi / 4)> 0
cos (x - pi / 4)> 0 и sin (x) не 0
Используя единичный круг, мы видим, что -pi / 2 + 2k пи -pi / 4 + 2k пи
Множество решений V представляет собой объединение открытых интервалов
V = { U (-pi / 4 + 2k pi, 3pi / 4 + 2k pi) | k дюйм Z } \ {k pi | k дюйм Z }
k
Все уравнения решаются одним и тем же методом.Заменим уравнение последовательно необходимым условием .
Это означает, что найденные нами значения не являются необходимыми решениями.
После этого мы должны сравнить эти значения с исходным уравнением.
Ложные или паразитные значения необходимо удалить. Пример 1
arcsin (2x) = pi / 4 + arcsin (x)
/ arcsin (2x) = а
| arcsin (x) = b (1)
\ а = пи / 4 + Ь
/ sin (а) = 2x
=> | грех (б) = х
\ а = пи / 4 + Ь
=> / sin (pi / 4 + b) = 2x
\ грех (Ь) = х
формулы сумм
=> / cos (b) + sin (b) = 2x.sqrt (2)
\ грех (Ь) = х
=> / cos (b) = 2x.sqrt (2) - x
\ грех (Ь) = х
=> (2x.sqrt (2) - x) 2 + x 2 = 1
=> ....
=> x = +0,4798 или x = -0,4798
Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — 0,4798. Другое значение x ложно или паразитно. Пример 2
arctan (x + 1) = 3. arctan (x-1)
/ arctan (x + 1) = а
| arctan (x-1) = b
\ а = 3 б
=> / загар (а) = х + 1
| загар (б) = х - 1
\ а = 3 б
=> / загар (3b) = х + 1
\ tan (b) = х - 1
3 загар (б) - загар 3 (б)
но загар (3b) = --------------------
1 - 3.загар 2 (б)
3 (х-1) - (х-1) 3
=> х + 1 = --------------------
1-3 (х-1) 2
=> (x + 1) (1-3 (x-1) 2 ) = 3 (x-1) - (x-1) 3
=> ...
=> x = 0 или x = sqrt (2) или x = -sqrt (2)
Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — sqrt (2). Другие значения x являются ложными или паразитными. Пример 3
арктангенс (х) + арктангенс (2х) = пи / 4
/ arctan (x) = а
| arctan (2x) = b
\ а + Ь = пи / 4
=> / x = загар (а)
| 2x = загар (б)
\ а + Ь = пи / 4
=> / x = загар (а)
\ 2x = загар (пи / 4-а)
1 - загар (а)
но tan (pi / 4-a) = ---------------- поскольку tan (pi / 4) = 1
1 + загар (а)
1 - х
=> 2x = ----------
1 + х
=>...
=> x = (-3 + sqrt (17)) / 4 или x = (-3-sqrt (17)) / 4
Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственное решение — (-3 + sqrt (17)) / 4. Другое значение x ложно или паразитно. Пример 4
arctan ((x + 1) / (x + 2)) - arctan ((x-1) / (x-2)) = arccos (3 / sqrt (13))
/ arctan ((x + 1) / (x + 2)) = a
| arctan ((x-1) / (x-2)) = b
| arccos (3 / sqrt (13)) = c
\ а - Ь = с
/ загар (а) = (х + 1) / (х + 2)
=> | загар (б) = (х-1) / (х-2)
| cos (c) = 3 / sqrt (13)
\ а - Ь = с
загар (а) - загар (б)
но tan (a-b) = ------------------ и после вычисления находим
1 + загар (а) загар (б)
-2 х
/ tan (c) = ----------------
=> | 2 х 2 - 5
|
\ cos (c) = 3 / sqrt (13)
Из последнего уравнения следует
1 + tan 2 (c) = 1 / cos 2 (c) = 13/9 => tan 2 (c) = 4/9
Сейчас два случая
Первый случай:
-2 х
/ tan (c) = ----------------
=> | 2 х 2 - 5
|
\ tan (c) = 2/3
=>....
=> x = 1 или x = -5/2
Второй случай:
-2 х
/ tan (c) = ----------------
=> | 2 х 2 - 5
|
\ tan (c) = - 2/3
=> ....
=> x = -1 или x = 5/2
Мы проверяем эти значения по исходному уравнению. Единственные решения — 1 и -5/2. Другие значения x являются ложными или паразитными. В следующих примерах «меньше или равно» записывается как «= Пример 1 ________
| 2
\ | 1 - п
Покажи эту кроватку (arcsin (p)) = -----------
п
пусть b = arcsin (p), тогда sin (b) = p с b в [-pi / 2, pi / 2].Итак, cos (b) = sqrt (1 - p 2 ) и
________
| 2
\ | 1 - п
детская кроватка (arcsin (p)) = детская кроватка (b) = ---------
п
Пример 2 Докажите, что следующее уравнение не имеет решений при x> 0. cos (arctan (x)) + x sin (arctan (x)) = x
Пусть u = arctan (x); Поскольку x> 0 - это u в (0, pi / 2) и tan (u) = x
1 + загар 2 (u) = 1 + x 2
1 / cos 2 (u) = 1 + x 2
cos (u) = 1 / sqrt (1 + x 2 )
- - - - - - - - - - - - - - - -
грех (и) = загар (и).cos (u)
sin (u) = x / sqrt (1 + x 2 )
- - - - - - - - - - - - - - - -
cos (arctan (x)) + x sin (arctan (x)) = x
cos (u) + x sin (u) = x
1 / sqrt (1 + x 2 ) + x 2 / sqrt (1 + x 2 ) = x
1 + х 2 = х. sqrt (1 + x 2 )
(1 + x 2 ) 2 = x 2 . (1 + х 2 )
1 + х 2 = х 2
и это уравнение не имеет решений.
Пример 3
Найдите область arccos (arcsin (x))
x принадлежит области arccos (arcsin (x))
- 1 =
грех (-1) =
Вывод: домен arccos (arcsin (x)) равен [-sin (1), sin (1)]
Пример 4
Найдите домен arcsin (arccos (x))
x принадлежит области arcsin (arccos (x))
- 1 =
0 =
cos (0)> = x> = cos (1)
Вывод: домен arcsin (arccos (x)) равен [cos (1), 1] Пример 5
f (x) = arccos (а.arcsin (x)) с a> 0 Найдите такие значения a, чтобы область D функции f (x) была как можно больше.
Вычислите значение a так, чтобы домен D = [-0,5; 0,5]
x принадлежит области arccos (a. arcsin (x))
- 1 =
-1 / а = пи / 2
Теперь (*) эквивалентно
-pi / 2 =
грех (1 / а) = 1/2
а = 6 / пи
Примечание: вы можете проиллюстрировать и изучить многие из предыдущих шагов.
с функцией плоттера. Пример 6
Докажите, что для всех натуральных чисел n справедливо следующее выражение. 1
arctan -------------- = arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1))
n 2 + n + 1
Прежде всего отметим, что 1 1 1
0 2 + п + 1 п + 1 п
и поэтому
1 1 1
0 2 + п + 1 п + 1 п
Это означает, что выражения
1
arctan ------------- и arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1))
n 2 + n + 1
находятся в (0, pi / 4] для всех n.Следовательно, выражение
1
arctan -------------- = arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1))
n 2 + n + 1
эквивалентно
1
------------- = загар (arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1)))
n 2 + n + 1
Упрощаем правую сторону
загар (arctan (1 / n) - arctan (1 / (n + 1)))
tan (arctan (1 / n)) - загар (arctan (1 / (n + 1)))
знак равно
1 + загар (arctan (1 / n)). загар (arctan (1 / (n + 1)))
1 / п - 1 / (п + 1)
знак равно
1 + (1 / n) (1 / (n + 1))
1
знак равно
n 2 + n + 1
Примечание: вы можете проиллюстрировать и изучить многие из предыдущих шагов с помощью плоттера функций.Щелкните здесь, чтобы найти основные формулы. Темы и проблемы Домашняя страница MATH-изобилие — урок
Указатель MATH-учебника
Условия копирования
Все предложения, замечания и отчеты об ошибках отправляйте на jcinfo@telenet.be
Тема письма должна содержать фламандское слово wiskunde.
потому что другие письма фильтруются в корзину
Калькулятор — arcsin (2) — Solumaths Описание: Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа.Функция арксинуса является обратной функцией функции синуса.
arcsin онлайн Описание: арксинус функция является обратной функцией
синусоидальная функция,
это позволяет вычислить арксинус числа онлайн .
Число, к которому вы хотите применить функцию арксинуса, должно принадлежать диапазону [-1,1].
Расчет арксинуса Чтобы вычислить арксинус числа, просто введите число и примените
функция arcsin .2) `.
Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа.
Функция арксинуса является обратной функцией функции синуса. 2)`
Первоначальный арксинус: Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную функции арксинуса.2) `
Предельный арксинус: Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арксинуса.
Предел для arcsin (x) — limit_calculator (`» arcsin «(x)`)
Арксинус обратной функции: Функция , обратная арксинусу , является синусоидальной функцией, отмеченной как sin.
Графическая арксинус: Графический калькулятор может строить функцию арксинуса в интервале ее определения.
Свойство функции arcsine: Функция арксинуса — нечетная функция.