Sin 2 arcsin 2: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Определение 1

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

-1≤α≤1,sin (arcsin α)=α -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 -1≤α≤1,cos (arccos α)=α -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2
-1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α α≠0 ,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 α≠0,ctg (arctg α)=1α -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислить синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций - косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог - формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим

arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

  1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

  1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

  1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

  1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

  1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
  2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

  1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
  2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

  1. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что arctgα1-α2 - это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π

В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа

1. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа.

Преподаватель математики СПб СВУ МО РФ
Лошак В.С.
Уравнение sin x=a
sin x a; a 1.
y 1
a
0
1
x
x 2 k ;
x 2 k ;
k Z.
arcsin a

3. АРКСИНУС ЧИСЛА

Определение. Арксинусом числа
a 1;1
называется
такое число ;
синус которого равен а
,
2 2
sin arcsin a a,
arcsin a ,
2
2
1 a 1

4. АРКСИНУС ЧИСЛА

• Например
2
arcsin
;
2
4
arcsin 0 0;
3
arcsin
;
3
2
т.к.
т.к.
т.к.
2
; sin
.
2 4 2
4
2
2
0
2
; sin 0 0.
3
; sin
.
2 3 2
3 2

5. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

y 1
а
arcsin a
0
1
x

arcsin a arcsin a
arcsin a

6. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
2
1
1
2 arcsin 3 arcsin
2 arcsin
2
2
2
2
3
13
3 2
4
6
4
3
12
1
3
2.
2 arcsin 1 5 arcsin 0
arcsin
2
2
1. 3 arcsin
1
3
arcsin
2 5 0
2
2
2
1
7
2 3
6
6

7. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

cos 1 sin
2
arcsin a
arcsin a ;
2 2
cos arcsin a 1 sin arcsin a 1 a
2
2

8. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

sin(arcsina) = a
• Например
3
3
sin arcsin
2
2
6 6
3.
4. sin arcsin
7 7
1
3
5. cos arcsin cos
2
2
6
2
2
2
4
6. cos arcsin 1 1
25
5
5
21
25
21
5
cos(arcsin a) =
1 а2
АРКСИНУС ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
sin arcsin a a, arcsin a ; , a 1;1
2 2
arcsin a arcsin a
cos arcsin a 1 a
2
arcsin sin , ;
2 2

10. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
7. tg 5 arcsin 2 tg tg tg 1
4
4
4
2
1
1
cos arcsin
1
1
3
9
8. ctg arcsin
1
1
3
sin arcsin
3
3
5
8
3 2 2
9

11. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
9.
10.
arcsin sin
5
5
arcsin sin , ;
2 2
3 arcsin sin 2
arcsin sin
5
5
2
2
arcsin sin
5
5

12. Уравнение sinx=a

sin x a, a 1
y1
arcsin a
arcsin a
a
0
x arcsin a 2 k
x arcsin a 2 k , k Z
1
x
x 1 arcsin a n, n Z
n
sin x 0
x k , k Z
sin x 1
x
2
2 k , k Z
sin x 1
x
2
2 k , k Z

13. Уравнение sinx=a

x 1 arcsin a n, n Z
n
Пусть n-чётное число, n=2k, тогда
x 1 arcsin a 2 k arcsin a 2 k , k Z
2k
Пусть n-нечётное число, n=2k+1, тогда
x 1
2 k 1
Итак
arcsin a 2k 1 arcsin a 2 k , k Z
x arcsin a 2 k
x arcsin a 2 k , k Z

14. Уравнение sinx=a

• Пример
1.
1
2 x arcsin 2 2 k
2 x arcsin 1 2 k
2
x 12 k
, k Z.
x 5 k
12
1
sin 2 x
2
2 x 6 2 k
;
;
2 x 2 k
6
2
x
2 k
6
2 x 5 2 k ;
6
или
1
2 x 1 n arcsin n;
2
2 x 1 n
x 1
n
6
12
n
n
2
;
, n Z.

15. Уравнение sinx=a

Пример 2.
1
sin x
4
2
1
x 4 arcsin 2 2 k
;
1
x
arcsin
2 k
4
2
x 4 4 2 k
;
x 2 k
4
4
1
x
arcsin
2 k
4
2
;
x arcsin 1 2 k
4
2
x 2 k
3
x 2 k , k Z .
2

16. Уравнение sinx=a

• Пример 2.
1
sin x
4
2
или
1
x 1 arcsin
n;
4
2
1
n
x 1 arcsin
n;
2 4
n
x 1
n 1
4
4
n, n Z .
x 2 k
3
x 2 k , k Z .
2

17. Уравнение sinx=a

• Пример 3.
3sin x 1 2 sin x 1 0
3sin x 1 0;
2 sin x 1 0;
1
sin x ;
3
1
sin x ;
2
1
x 1 arcsin n, n Z .
3
n
1
x arcsin 2 2 k
;
x arcsin 1 2 k
2
x
2 k
6
, k Z.
x 7 2 k
6

18. Уравнение sinx=a

• Пример 4.
sin x 2 cos x sin 3x 0
sin x sin 3x
2 cos x 0
2 sin 2 x cos x 2 cos x 0
cos x 2 sin 2 x 2 0
cos x 0
2 sin 2 x 2 0

19. Уравнение sinx=a

• Пример 4.
cos x 0
sin x 2 cos x sin 3x 0
2 sin 2 x 2 0
2
2
sin 2 x
2
x
2
k , k Z .
2 x 4 2 n
;
2 x 2 n
4
x
n
8
, n Z.
x 5 n
8

тригонометрии - Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную?

тригонометрия - Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную? - Обмен стеками математики
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 1к раз

$ \ begingroup $

Хотя достаточно просто зайти на Wolfram Alpha и увидеть, что ответ - 24/25, я хотел бы узнать, как доказать это вручную, если это возможно.К сожалению, arcsin (3/5) - трансцендентное число, и кажется, что оно состоит из бесконечных цифр.

Есть ли способ оценить sin (2 * arcsin (3/5)) как 24/25, не переходя к компьютерным функциям?

S.C.B.

22.5k33 золотых знака3333 серебряных знака5858 бронзовых знаков

Создан 23 янв.

ГаленГален

73444 серебряных знака1919 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $

Давайте использовать прямоугольный треугольник.2 \ theta = \ frac {16} {25}. $ Обратите внимание, что это не делает $ \ cos \ theta = - \ frac {4} {5} $ благодаря определению arcsin. 2} $$ $$ \ color {красный} {\ sin (2 \ arcsin \ dfrac35)} = 2 \ dfrac35 \ sqrt {\ dfrac {16} {25}} = \ color {blue} {\ dfrac {24} {25}}

$

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *