Синус х 0: Решите уравнение sin(x)=0 (синус от (х) равно 0)

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия решение простейших тригонометрических уравнений

Содержание

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin 

x = a

Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	В случае, когда , уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a   представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

Уравнение: sin x = – 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: sin x = 0 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: sin x = 1 Решение:

Решение уравнения   cos 

x = a

Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	В случае, когда , уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

Уравнение: cos x = – 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: cos x = 0 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: cos x = 1 Решение:

Решение уравнения   tg 

x = a

Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a   представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

Уравнение: Решение:

Уравнение: tg x = – 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: tg x = 0 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: tg x = 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Решение уравнения   ctg 

x = a

Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a   представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

Уравнение: Решение:

Уравнение: ctg x = – 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: ctg x = 0 Решение:

Решение:

Уравнение: ctg x = 1 Решение:

Уравнение: Решение:

cos x sin x 0

Вы искали cos x sin x 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos x sin x решите уравнение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos x sin x 0».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos x sin x 0,cos x sin x решите уравнение,cosx sinx 0 решение,sin x 0 cos x 0,sin x cos x 0,решите уравнение sin x cos x,решить cosx sinx 0. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos x sin x 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, cosx sinx 0 решение).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos x sin x 0 Онлайн?

Решить задачу cos x sin x 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решить уравнение sin х + cos x = 1

Решить уравнение

sin х + cos x = 1

Возведя обе части данного уравнения в квадрат, мы получим:

sin²х + 2 sin x cos x + cos²x = 1,

но sin²х + cos²x = 1. Поэтому 2 sin x cos x = 0. Если sin x = 0, то х = nπ; если же
cos x, то х = ^π/₂ + kπ. Эти две группы решений можно записать одной формулой:

х = ^π/₂ n

Поскольку обе части данного уравнения мы возводили в квадрат,то не исключена возможность, что среди полученных нами корней имеются посторонние. Вот почему в этом примере, в отличие от всех предыдущих, необходимо сделать проверку. Все значения х = ^π/₂ n можно разбить на 4 группы

1. х = 2kπ    (n = 4k)
2. х = ^π/₂ + 2kπ   (n = 4k + 1)
3. х = π + 2kπ   (n = 4k + 2)
4. х = ^3π/₂ + 2kπ   (n = 4k + 3)

При х = 2kπ sin x + cos x = 0 + 1 = 1. Следовательно, х = 2kπ — корни данного уравнения.

При х = ^π/₂ + 2kπ. sin x + cos x = 1 + 0 = 1 Значит, х = ^π/₂ + 2kπ — также корни данного уравнения.

При х = π + 2kπ sin x + cos x = 0 — 1 = — 1. Поэтому значения х = π + 2kπ не являются корнями данного уравнения. Аналогично показывается, что х = ^3π/₂ + 2kπ. не являются корнями.

Таким образом, данное уравнение имеет следующие корни: х = 2kπ и х = ^π/₂ + 2mπ., где k и m — любые целые числа.

Похожие примеры:

Урок 42. уравнение sin x = a — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №42. Уравнение sin x = a.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие арксинус числа;

2) Тождества, связанные с арксинусом;

3) Решение тригонометрических уравнений;

Глоссарий по теме

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арксинус числа m обозначают: .

Заметим, что такой промежуток для α берется потому, что синус на отрезке принимает все свои значения ровно по одному разу.

Из определения следует, что для

С другой стороны, если и , то

Таким образом, получаем два простейших тождества для арксинуса.

1. для любого m:
2. для любого α: .

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 310-314.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Так как является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если , то таких точек нет, если , то такая точка одна, если , то таких точек две.

После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.

Пример.

Вычислить

Решение:

Так как и то

Ответ: .

Задание.

Вычислить .

Ответ: .

На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и

Из рисунка видно, что

Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения

Одним из решений уравнения является число . Так как , то число также является решением данного уравнения.

Точка соответствует всем числам вида

Точка соответствует всем числам вида

Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида

(*)

Пример.

Решим уравнение

Решение:

Так как , то по формуле (*) получаем:

.

Задание

Решите уравнение

Ответ: .

Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.

1. Рассмотрим решение уравнения .

Решение:

, поэтому

Отсюда , или

Тогда

Ответ: .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

, поэтому .

Отсюда получаем:

Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.

Запишем их решения.

Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:

(1) и (2)

Неравенство (1) выполняется при , так как k – целое, то .

Неравенство (2) выполняется при , так как k – целое, то .

Таким образом, получаем, что при целых значениях исходное уравнение имеет две серии решений:

При уравнение имеет два решения:

Ответ: а) при ,

б) при ,

в) нет решений при .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:

Отсюда:

Первое уравнение имеет решение при или при .

Второе уравнение имеет решение при или при .

Таким образом:

Ответ:

а) при ,

б) , при при ,

в) нет решений при .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Уравнение равносильно совокупности уравнений:

или:

Решение первого уравнения: .

Решение второго уравнения: .

Ответ:

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Выразим синус:

Имеем две серии решений:

.

Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:

Можно записать эти две серии в виде одного равенства:

.

Ответ: .

Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде:

Пример 1.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/3) и N(2π/3).

Точка M(π/3) соответствует всем числа вида .

Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Пример 2.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: .

Этой точке соответствуют все числа вида . Поэтому решение уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 3.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С() и К(π).

Поэтому решение уравнения можно записать так: .

Ответ: .

Задание.

Решите уравнение .

Ответ: .

2. Мы можем записать решение уравнение для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.

Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения 

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

 

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x. Следовательно, cos x = a. Условия: модуль а не больше 1;  x не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1;  0 ≤ x  ≤ π)

 

Формулы:

x = ± arccos a  +  2πk,     где k – любое целое число                                            arccos (-a) = π – arccos a,    где 0 ≤ a ≤ 1

 

Пример 1: Решим уравнение

                √3
cos x  =  ——.
                 2

Решение.

Применим первую формулу:

                      √3
x = ± arccos —— + 2πk
                      2

Сначала находим значение арккосинуса:

             √3       π
arccos —— = —
              2        6

Осталось подставить этот число в нашу формулу:

            π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Пример 2: Решим уравнение

                  √3
cos x  =  – ——.
                   2

Решение.

Сначала применим первую формулу из таблицы:

                        √3
x = ± arccos (– —) + 2πk
                         2

Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

                 √3                         √3                 π        π        π       6π       π         5π
arccos (– ——) = π – arcos ——  =  π  –  —  =  —  –  —  =  —  –  —  =  ——
                  2                           2                   6        1        6        6        6          6

Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

           5π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x, следовательно sin x = a. Условия: модуль а не больше 1;  x в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1;  –π/2 ≤ x  ≤ π/2)

 

Формулы.

(1 из 3)

x = arcsin a  +  2πk x = π – arcsin a  +  2πk   Эти две формулы можно объединить в одну: x = (–1)narcsin a + πn   (k – любое целое число;  n – любое целое число; | a | ≤ 1) Значение четного n: n = 2k Значение нечетного n: n = 2k + 1 Если n – четное число, то получается первая формула. Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

                                                                  √3
Пример 1: Решить уравнение sin x  =  ——
                                                                  2

Решение.

Применяем первые две формулы:

                        √3
1) x  =  arcsin —— + 2πk
                         2

                              √3
2) x  =  π – arcsin —— + 2πk
                               2

Находим значение арксинуса:

             √3        π
arcsin ——  =  —
             2          3

Осталось подставить это значение в наши формулы:

            π
1) x =  — + 2πk
           3

 

                 π                   2π
2) x =  π – —  + 2πk = —— + 2πk
                 3                    3

Пример решен.

 

Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

Решение.

               π
x = (–1)ⁿ — + πn
               3

Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

Пример решен.

 

(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:

Если sin x = 0,  то x = πk Если sin x = 1,  то x = π/2 + 2πk Если sin x = –1,  то x = –π/2 + 2πk

 

Пример 1: Вычислим arcsin 0.

Решение.

Пусть arcsin 0 = x.

Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

Синус 0 тоже равен 0. Значит:

x = 0.

Итог:

arcsin 0 = 0.

Пример решен.

 

Пример 2: Вычислим arcsin 1.

Решение.

Пусть arcsin 1 = x.

Тогда sin x = 1.

Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

arcsin 1 = π/2.

Пример решен.

 

(3 из 3)

arcsin (–a) = –arcsin a

 

Пример: Решить уравнение

                √3
sin x = – ——
                2

Решение.

Применяем формулы:

                          √3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
                           2

                                √3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
                                 2

Находим значение арксинуса:

                 √3                        √3           π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
                  2                          2             3

Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

              π
1) x = – — + 2πk
              3
                     π                         π                    4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π +  —  +  2πk = ——  +  2πk
                     3                         3                     3

Пример решен.

 

Уравнение tg x = a.

Принцип:

arctg a = x, следовательно tg x = a. Условие: x больше –π/2, но меньше π/2 (–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)

x = arctg a + πk где k – любое целое число (k ∈ Z)

 

(2)

arctg (–a) = –arctg a

Пример 1: Вычислить arctg 1.

Решение.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1,  при этом x ∈ (–π/2; π/2)

Следовательно:

       π                       π
x = —    при этом  — ∈ (–π/2; π/2)
       4                       4

                            π
Ответ: arctg 1 = —
                            4

 

Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk

Решаем:

arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Подставляем:

x = –π/3 + πk.

Пример решен.

 

Уравнение ctg x = a.

Принцип:

arcctg a = x, следовательно ctg x = a. Условие: x больше 0, но меньше π (0 < x < π)

 

Формулы.

(1)

x = arcctg a + πk (k ∈ Z)

 

(2)

arcctg (–a) = π – arcctg а

                                                 
Пример 1: Вычислить arcctg √3.

Решение.

Следуем принципу:

arcctg √3 = х

ctg х = √3.

х = π/6.

Ответ: arcctg √3 = π/6

Пример 2: Вычислить arcctg (–1).

Решение.

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

Пример решен.

 

Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства

Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5

2008 Rasmus ehf и Джанн Сак

Триггерные функции

Печать

Урок 5 Подробнее сложные уравнения и неравенства

---

Пример 1

Решите уравнение sin x = cos x и тогда неравенство

грех x> cos x на интервале 0 x <2.

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x может иметь одно и то же значение только в двух местах, в x = / 4 и х = 5/4 (45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также может быть решено путем деления на cos x.

тангенс х = 1

x = загар ⁻¹ (1)

х = 45 ∙ /180 + к ∙

x = / 4 + k ∙ (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если мы положим k = 0 и k = 1, мы получим решения / 4 (45 ) и /4 + = 5/4 (45 + 180 = 225 ).

Решить неравенство греха x> cos x нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах между решениями / 4 и 5/4. Решения можно увидеть, если нарисовать графики f (x) = sin x и g (x) = cos Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале / 4 x 5x / 4 (см. Заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале / 4 x 5x / 4.

Пример 2

Решить уравнение sin x ∙ cos x = 0 и тогда неравенство

sin x ∙ cos x> 0 на интервале 0 x <2.

Неравенство не имеет решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения уравнение sin x ∙ cos x = 0 в интервале 0 x <2, следовательно, равны 0, / 2 и 3/2 (0 , 90 , 180 и 270 ).

Решение sin x ∙ cos x> 0 можно найти, посмотрев на единичный круг. Нам нужно найти где sin x, умноженный на cos x, положителен. Другими словами sin x и cos x имеют иметь один и тот же знак, оба будут положительный или оба отрицательный. Это происходит в первом и третьем квадранте. В решения поэтому
0

Мы также можем увидеть это по построение графика
f (x) = sin x ∙ cos x.

Пример 3

Решите уравнение sin x ∙ cos x — sinx = 0 и тогда выполняется неравенство sin x ∙ cos x — sin x> 0 на интервале 0 x <2.

sin x ∙ cos x — sinx = 0 sin x (cos x — 1) = 0

Нам нужно разложить уравнение на множители, взяв sin x за скобки.

Уравнение имеет решения когда sin x = 0 или когда скобка, (cos x — 1) = 0.

грех х = 0

x = 0 или (180 ).

или

cos x — 1 = 0

cos x = 1

х = 0

Единственные решения уравнение поэтому 0 и.

Неравенство греха x ∙ cos x — sin x> 0 можно переписать как sin x (cos x — 1) > 0,

Теперь полезно сделать таблица знаков и посмотрите знаки sin x и cos x — 1.

Решение

Мы видим, что оба фактора отрицательный на интервале

Теперь давайте посмотрим, как это подходит в с графиком
f (x) = sin x ∙ cos x — sin x

Заштрихованная область над x ось показывает где
sin x (cos x — 1)> 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos ² x — cos x = 0.

cos ² x — cos х = 0

cos x ∙ (cos x — 1) = 0

Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x — 1 = 0

cos x = 0

x = / ₂ или 3/ ₂ (90 или 270 )

х = / ₂ + к ∙

или

cos х — 1 = 0

cos x = 1

х = 0 + к ∙ 2 = к ∙ 2

Все решения укладываются в шаблон x = / 2 + к ∙

Пример 5

Найти все решения уравнения sin ² x — 5 sin x + 4 = 0.

Это квадратное уравнение с sin x в качестве Переменная. Таким образом, мы можем найти sin x, используя формулу корней квадратного уравнения. a = 1, b = −5 og c = 4.

Синус мы не можем принять значение 4, поэтому нам не нужно рассматривать sin x = 4. Другая возможность — sin x = 1, которая имеет решение / 2 (90 ). Таким образом, полное решение:

х = / ₂ + к ∙ 2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x = грех х .

Одна из возможностей состоит в том, что положение 5x на единичной окружности совпадает с положением x и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее уравнение:

1) 5x = x + к ∙ 360

4x = к ∙ 360

х = к ∙ 90

Мы показываем эту возможность в диаграмму.

Приходит вторая возможность из того, что
грех x = грех (180 — х ). Это дает нам следующее решение:

5x = 180 — x + к ∙ 360

6x = 180 + k ∙ 360

x = 30 + k ∙ 60

Это решение показано в диаграмма справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30 + к ∙ 60

Пример 7

Решите уравнение cos 2x = cos x на интервале 0 x <2.

1) Сначала рассмотрим возможность того, что x и 2x находятся в одной позиции на единичной окружности.

2x = x + k ∙ 2 х = к ∙ 2 х = 0

Вычесть x с обеих сторон уравнения, а затем выберите k = 0 (k = 1 дает 2, что находится за пределами интервала

2) Приходит вторая возможность по факту
cos v = cos (−v).Тогда решение будет следующим:

2x = −x + к ∙ 2

3x = к ∙ 2

х = к ∙ 2/ ₃

Это дает решения 2/3 (120 ) для k = 1 и 4 /3 (240 ) для k = 2. итого полное решение:
0, 2 /3 и 4/3.

Пример 8

Решите уравнение tan 3x = загар 2x.

уравнений Тана во многих способов самый простой из триггерных уравнений, так как есть только возможность считайте, что повторяется с интервалом 180 .

3х = х + к ∙ 180

2x = к ∙ 180

x = k ∙ 90

или

в радианах

х = к ∙ / ₂

---

Попробуйте выполнить тест 5 по триггерным функциям.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Решите уравнение. (sin (x)) (cos (x)) = 0 на [0, 2π)

Аарон Т.

задано • 30.01.18

2 ответа от опытных преподавателей

От:

Марк М. ответил • 30.01.18

Учитель математики — Высшая квалификация NCLB

Для какого x есть грех x = 0?

Для какого x cos x = 0?

грех х соз х = 0

=> 2 sin x cos x = 0

=> грех 2x = 0

=> 2x = 0, π, 2π

=> х = 0, π / 2, π

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.

---

¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

Калькулятор

— Equal_solver (sin (x) = 0) — Solumaths

Резюме:

Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестной с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.

Equation_solver онлайн

---

Описание:

Уравнение — это алгебраическое равенство, включающее одно или несколько неизвестных. Решение уравнения — это то же самое, что и определение неизвестных или неизвестных. Неизвестное также называют переменной. Этот калькулятор уравнений может решать уравнения с неизвестными, Калькулятор может решать уравнения с переменными с обеих сторон , а также уравнения с круглыми скобками :

1. Решение линейного уравнения
2. Решение квадратного уравнения
3. Решение кубического уравнения
4. Решение уравнения нулевого произведения
5. Решение уравнения абсолютного значения (уравнения с функцией абс)
6. Решение экспоненциального уравнения
7. Решение логарифмического уравнения (уравнения, включающего логарифмы)
8. Решение тригонометрического уравнения (уравнения с косинусом или синусом)
9. Решить онлайн-дифференциальное уравнение первой степени
10. Решить онлайн дифференциальное уравнение второй степени

Решение линейного уравнения онлайн

Уравнение первой степени — это уравнение вида «ax = b».Этот тип уравнения также называется линейным уравнением . Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x = b / a`.

линейное решение уравнения вида ax = b s выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите , уравнение от до , решите и затем нажмите «Решить», затем результат возвращается решателем . Также отображаются подробности расчетов, которые привели к разрешению линейного уравнения.Чтобы решить линейное уравнение после 3x + 5 = 0, просто введите выражение 3х + 5 = 0 в области вычислений, затем нажмите кнопку «решить», возвращается результат `[x = -5 / 3]`. также можно решить уравнения в форме `(ax + c) / g (x) = 0` или уравнения, которые могут быть в этой форме , g (x) представляет функцию. Когда вы вводите выражение без знака ‘=’; функция возвращает, когда возможны значения, для которых выражение равно нулю. Например, введите x + 5, вернитесь к x + 5 = 0 и решите.2-4ac`.
Дискриминант — это число, определяющее количество решений уравнения.

• При положительном дискриминанте уравнение второй степени допускает два решения, которые даются формулой `(-b-sqrt (Delta)) / (2a)` и `(-b + sqrt (Delta)) / (2a)`;
• Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение допускает только одно решение, оно называется двойным корнем, который задается формулой `(-b) / (2a)`;
• Когда дискриминант отрицательный, полиномиальное уравнение степени 2 не допускает решения.2-1) / (x-1) = 0` возвращает -1, все определение принимается во внимание для вычисления числителя допускает два корня 1 и -1, но знаменатель равен нулю для x = 1, 1 не может быть решением уравнения.

Решение кубического уравнения

Калькулятор уравнений решает некоторые кубические уравнения . 3 = 0`).

И снова решения кубического уравнения будут сопровождаться пояснениями, которые позволили найти результат.

Решите уравнение, используя свойство нулевого произведения

Свойство нулевого произведения используется для решения уравнений вида A * B = 0, что это уравнение равно нулю, только если A = 0 или B = 0. Для решения этот тип уравнения может быть выполнен, если A и B являются многочленами степени меньше или равной 2. Также отображаются сведения о расчетах, которые привели к разрешению уравнения.2-1) (x + 2) (x-3) = 0` возвращает `[1; -1; -2; 3]`.

Решите уравнение абсолютного значения

Решатель позволяет решить уравнение , включающее абсолютное значение он может решать линейные уравнения, используя абсолютные значения, квадратные уравнения, включающие абсолютные значения, а также другие многие типы уравнений с абсолютными значениями.

Вот два примера использования калькулятора уравнений для решения уравнения с абсолютным значением:

• `abs (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с абсолютным значением.2-4) = 4`, решатель показывает шаги расчета для решения квадратного уравнения с абсолютным значением.

Решите экспоненциальное уравнение

Калькулятор уравнения позволяет решить уравнение , включающее экспоненту он может решать линейные уравнения с использованием экспоненты, квадратные уравнения, включающие экспоненциальные, но также и другие многие типы уравнений с экспоненциальной.

Вот два примера использования калькулятора для решения уравнения с экспонентой:

• `exp (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с экспонентой.2-4) = 4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с экспонентой.

Решите логарифмическое уравнение

Решите логарифмическое уравнение то есть возможно несколько уравнений, включающих логарифмы. Калькулятор не только предоставляет результат, но и предоставляет подробные шаги и расчеты, которые привели к к разрешению логарифмического уравнения. Чтобы решить следующее логарифмическое уравнение ln (x) + ln (2x-1) = 0, просто введите выражение в области расчета и нажмите кнопку «Рассчитать».

Решение тригонометрического уравнения

Калькулятор уравнений позволяет решать круговые уравнения , он может решить уравнение с косинусом формы cos (x) = или уравнение с синусом вида sin (x) = a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать такие уравнения, как `cos (x) = 1 / 2` или же `2 * sin (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Функция Equation_solver может решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y ‘+ y = 0, вы должны ввести формул_переход (`y’ + y = 0; x`).

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Функция Equation_solver может решать дифференциальное уравнение второго порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y » — y = 0, вы должны ввести формулу_ползания (`y » — y = 0; x`).

Игры и викторины по решению уравнений

Чтобы попрактиковаться в различных методах расчета, предлагается несколько тестов по решению уравнений.

Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестными с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.

---

Синтаксис:

Equation_solver (уравнение; переменная), переменный параметр может быть опущен, если нет неоднозначности.

---

Примеры:

Разрешение уравнения первой степени

Решение квадратных уравнений

Решение кубических уравнений

Решить дифференциальное уравнение

Рассчитывайте онлайн с помощью equal_solver (решателя уравнений)

Лучшая математика

Тригонометрические уравнения — это уравнения, содержащие такие термины, как sin x, cos x и tan x.

Их можно решить с помощью тригонометрических графиков и, при необходимости, калькулятора. Можно использовать другой метод, использующий общие решения.

Поскольку тригонометрические функции периодичны и продолжаются бесконечно, эти тригонометрические уравнения часто имеют бесконечное количество решений, если область определения (значения x) не фиксирована. Обычно выдается домен.

Чтобы проиллюстрировать различные методы, которые можно использовать, будет дано несколько различных типов примеров. Решения даются в тех же единицах, в которых написан вопрос.например Градусы или радианы.

Углы, используемые в специальных треугольниках, часто встречаются в тригонометрических уравнениях и снова показаны ниже в качестве напоминания.

Особые треугольники

Углы, такие как 30 ° (), 45 ° () и 60 ° (), используются часто, и тригонометрические отношения этих углов получаются из двух специальных треугольников (см. Блок 38, год 12). Их краткое содержание приводится ниже:

грех 30 °	cos 30 °	загар 30 °	грех 45 °	cos 45 °	загар 45 °	грех 60 °	cos 60 °	загар 60 °
					1			√3

Если ответы могут быть даны с использованием точных значений из специальных треугольников, то они должны быть даны.Калькулятор следует использовать только в том случае, если не используются специальные углы треугольника.

Тригонометрические уравнения

Пример 1

Решите sin x = 0,5 для 0 ° ≤ x ≤ 360 °. Дайте ответы в градусах.

Рассмотрим функции y = sin x и прямую y = 0,5. Где пересекаются линия и кривая, будут решения. Калькулятор можно использовать, чтобы найти первое значение, найдя sin ^-1 (0,5)

Для первого решения можно использовать калькулятор 30 ° и второе решение, найденное из симметрии графика (180 ° — 30 ° = 150 °).

Набор раствора {30 °, 150 °}

Подобные методы можно использовать для уравнений, включающих косинус и тангенс.

---

Пример 2

Решите 2sin ² x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в радианах.

Это квадратное уравнение, поэтому, если возможно, разложите его на множители.
sin x (2sin x + 1) = 0
Есть два набора решений:
sin x = 0 и 2sin x + 1 = 0, что дает sin x = -0.5

Решения sin x = 0 равны 0, 3,14π и 2π
Решения sin x = -0,5 равны 7π / 6 и 11π / 6

Набор решений: {0, π, 7π / 6, 11π / 6, 2π}

---

Пример 3

Решите √ 2cos 2x = 1 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

Косинусная функция выделяется делением обеих частей на √2. Поскольку требуется cos 2 x, необходимо изучить график cos x от 0 до 4π, чтобы найти все корни.

√ 2 cos 2x = 1

cos 2x = 1 / √ 2

Первое решение можно найти с помощью специальных треугольников выше или с помощью калькулятора. Остальные решения находятся из симметрии графика:

Набор решений: {, ,,}

---

Пример 4

Решите sin 3x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

Здесь используется формула суммы к произведению.

2sin 2x cos x = 0

Следовательно, sin 2x = 0 или cos x = 0

2x = {0, π, 2π, 3π, 4π} или x = {,}

Множество решений: {0,, π,, 2π}

Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

Purplemath

При решении тригонометрических уравнений используются как исходные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры.Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций, на минимум по первому периоду. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

---

MathHelp.com

• Решить sin (

  x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

грех ( x ) + 2 = 3

грех ( x ) = 1

Теперь я буду использовать запомненные углы отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 на

π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который они хотят, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

Итак, в градусах мой ответ:

---

• Решить tan

  ² (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 ° 90 407

Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает в себя квадратный корень из 3, и отбросить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:

---

• Решить в интервале 0 ° & leq;

  x <360 °

Левая часть этого уравнения множится.Я привык делать простой факторинг, например:

2 y ² + 3 y = 0

y (2 y + 3) = 0

… и затем решить каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

Я занимался алгеброй; то есть, я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два триггерных уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусной волне. Из первого уравнения я получаю:

Из второго уравнения я получаю:

Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение для исходного уравнения как:

x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °

---

• Решить sin

  ² (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

sin ² (θ) — sin (θ) — 2 = 0

Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

sin ² (θ) — sin (θ) — 2 = 0

(грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

грех (θ) + 1 = 0

sin (θ) = –1

θ = (3/2) π

Тогда мой ответ:

(Если в своем классе вы выполняете решения только для степеней, указанное выше значение решения равно «270 °».)

---

• Решить cos

  ² (α) + cos (α) = sin ² (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

cos ² (α) + cos (α) = sin ² (α)

cos ² (α) + cos (α) = 1 — cos ² (α)

2cos ² (α) + cos (α) — 1 = 0

(2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:

---

• Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β

  <360 ° 90 407

Я могу использовать обозначение с двумя углами в правой части, а также переставлять и упрощать; тогда я учитываю:

sin (β) = 2sin (β) cos (β)

sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

sin (β) (1-2cos (β)) = 0

sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °.Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

Косинус (из второго тригонометрического уравнения) равен

1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °

---

• Решить sin (

  x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

(sin ( x ) + cos ( x )) ² = (1) ²

sin ² ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos ² ( x ) = 1

[sin ² ( x + cos ² ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

2sin ( x ) cos ( x ) = 0

sin ( x ) cos ( x ) = 0

Ха; иди и подумай: я возведен в квадрат и получил кое-что, с чем я мог бы работать с .Хороший!

Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я возведен в квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

(Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то поменять знак.)

Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

… поэтому решение « x = 0 °» работает

sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

…так что решение « x = 90 °» тоже работает

sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

… ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

… так что « x = 270 °» тоже не работает,

Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

Мое фактическое решение :

---

Примечание: в приведенном выше примере я мог бы остановиться на этой строке:

… и использовал тождество двойного угла для синуса, наоборот, вместо разделения 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:

2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0

Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т. Д., И разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

Трюк с возведением в квадрат в последнем примере, приведенном выше, встречается нечасто, но если все остальное не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm

Sin x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

Презентация на тему: «Sin x = 0,62 Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 sin x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

2 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 °

3 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 °

4 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 °

5 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 °

6 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 °

7 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° От симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 °

8 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° По симметрии: 360 — 82.5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 °

9 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° Из симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

10 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° От симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° От периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: tan-11,8 = 60,9 °

11 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393.3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° Из симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: tan-11,8 = 60,9 ° Из периода: = 240,9 °, затем = 420,9 °, затем = 600,9 °

12

Тригонометрические отношения — Работа с тригонометрическими отношениями в градусах — Национальная 5 математическая редакция