Синусы и косинусы как понять: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

Запоминание через понимание. Визуализация синуса

 

 

Запоминание через понимание

Смотрим определение синуса в учебнике геометрии. «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе».

Дает ли это определение понимание синуса? Нет, не дает. Определение не полное. Потому что оно рассматривает только частный случай треугольника — прямоугольный треугольник.

Смотрим определение синуса в учебнике алгебры. «Ордината точки Р, полученной при повороте точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол а-радиан, называется синусом числа а, а абсцисса этой точки — косинусом».

Это определение вообще из области математической абстракции, так как вводит отрицательные значения синуса и косинуса. И с пониманием синуса по этому определению ещё больше сложностей.

Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного).

Если он этого сделать не может — он не понимает, что такое синус и косинус.

Иллюстрация 1. Тест на понимание. Где линия косинуса?
(Предполагается описанная окружность с единичным диаметром)

Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий «синус» и «косинус». Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) «засекретили», спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.

При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.

Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.

В окружности с единичным диаметром синус — это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус — это перпендикулярная хорде-синусу хорда.

На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.

Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий «синус» и «косинус». По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами.

Иллюстрация 2. В окружности с единичным диаметром линии синуса и косинуса (для вписанного угла)
образуют прямоугольник. На картинке виден частный случай — прямоугольный треугольник,
в котором линия косинуса совпадает с катетом.

Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить «синус угла». Связь длины хорды с углом очень не простая… Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.

Синус напрямую связан с другим элементом в окружности — с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус — это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие «синус» напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традции — принято говорить «синус угла».

Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.

Иллюстрация 3. Опишем вокруг треугольника окружность
и точно измерим стороны треугольника и диаметр окружности

В результате мы получим пропорционально уменьшенный треугольник, вписанный в окружность с единичным диаметром, стороны которого и будут синусами сторон исходного треугольника.

Иллюстрация 4. Стороны треугольника стали синусами,
когда мы уменьшили окружность до единичного диаметра

Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось, можно переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника геометрии, по которому синус угла — это отношение катета к гипотенузе (т.е., к диаметру окружности). На иллюстрации 2 видно, что косинус совпадает со стороной треугольника только в прямоугольном треугольнике. В любом другом треугольнике линия косинуса находится вне треугольника. В учебнике алгебры, где синус рассматриваются как проекция точки окружности на ось координат, переходят на половины углов и полухорды, и с единичного диаметра на единичный радиус. Для чего? Чтобы ввести отрицательные значения тригонометрических функций.

На иллюстрации 3 и 4 видна теорема синусов. Теорема синусов является очевидной и не нуждается в доказательстве. Если синусы сторон (углов) изначально получены нами путем деления каждой стороны треугольника на диаметр описанной окружности, то отношение любой стороны треугольника к синусу стороны (синусу угла) будет одной и той же величиной, равной диаметру окружности.

Это и есть теорема синусов.

a/sinA = b/sinB = c/sinC = d

(sin A — коэффициент пропорциональности стороны «a»)

————————————————-

А как же все таки угол связан со своим синусом?

Ведь для решения задач удобно находить синус угла по значению самого угла. Сейчас это не проблема. На любом калькуляторе вы можете набрать sin (вставить угол) и получить результат с заданной точностью.

Изменение значения синуса при равномерном изменении величины угла визуально похоже на перемещение с равноускоренным движением (представьте падающий на землю шарик и его ускорение в каждую секунду). И очень приблизительные значения синуса (по углу) можно вычислить по формуле перемещения с равноускоренным движением. Но четкой функциональной зависимости значения синуса от величины угла нет. С заданной точностью синус вычисляется по формуле:

В.Козаренко

Дата размещения материала на сайте: 17 марта 2011 года

Тригонометрия: определение тригонометрических функций

В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .

Впервые с определением  синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=a/b; sin C=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего  катета к гипотенузе:

 cos A=c/b; cos C= a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A=a/c; tg C=c/a.

Эти определения тригонометрических функций  удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.

Часто  во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы  понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.

Итак.

Косинусом  угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).

 Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:

−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.

Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

sin² α+ cos² α = 1

Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).

 

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

Правила синусов и косинусов: введение и формула, доказательство

Мы можем распространить идеи тригонометрии и правил треугольников для прямоугольных треугольников на непрямоугольные треугольники. Мы рассмотрим два правила, называемые правилами синуса и косинуса. Мы можем использовать эти правила для нахождения неизвестных углов или длин непрямоугольных треугольников.

Обозначение треугольника

Как мы видим ниже, всякий раз, когда мы маркируем треугольник, мы обозначаем стороны строчными буквами, а углы — прописными. Противоположные углы и стороны обозначаются одной и той же буквой.

Пример помеченного треугольника, Том Малой, StudySmarter Originals

Правило синусов

Для треугольника с формой выше формула правила синусов определяется как:

Мы также можем записать это как:

Мы можно интерпретировать правило синусов так: отношение между длиной стороны и противоположным углом постоянно в любом треугольнике. Мы используем правило синусов, когда задействованы два угла и две длины. Есть две ситуации, когда мы будем использовать правило синусов:

• Когда даны два угла и одна сторона, и нам нужно найти длину другой стороны.
• Когда даны две длины и один угол, и нам нужно найти другой угол.

Пример 1

Вопрос: Найти x.

A: Используя правило синусов, мы знаем, что , и мы можем преобразовать x, чтобы получить , что дает x = 23,6 (3 ст.ф.).

Пример 2

В: Найти y.

A: Используя правило синусов, мы знаем, что , которое преобразуется в , что дает y = = 54,5 ° (3.sf).

Правило косинуса

Используя тот же пример, формула правила косинуса определяется как: a² = b² + c²-2bc · cos (A)

Если мы преобразуем это, чтобы получить A, мы получим: Мы используем правило косинуса когда задействованы три длины и один угол. Вопросы будут либо давать три стороны и нам нужно найти угол, либо давать две стороны и угол, и нам нужно будет найти длину стороны.

Пример 1

В: Найти x.

A: Используя теорему косинусов, мы получаем, что x² = 15² + 19² -2 · 15 · 19 · cos (40) = 149,354667 . .., что дает x = √149,354667 … = 12,2 (3.sf)

Пример 2

Q: Найдите y

A: Используя преобразованное правило косинуса, мы получаем y = = 27,7 (3.sf)

Как получаются правила синуса и косинуса?

Теперь, когда мы увидели, что такое каждое правило и как оно работает, мы посмотрим, как мы получим каждое из них, выведя их из первых принципов. На первый взгляд они могут показаться сложными, но мы воспользуемся некоторыми элементами тригонометрии и теоремой Пифагора.

Вывод правила синусов

Давайте начнем с треугольника, как указано выше, но проведем линию вниз от верхнего угла так, чтобы теперь у нас было два прямоугольных треугольника, и назовем эту линию h, как показано ниже.

Используя тригонометрию, мы имеем sin (A) = h/c и sin (C) = h/a. Теперь мы можем переставить их для h, чтобы получить h = c sin (A) и h = a sin (C) . Установите их равными друг другу, чтобы получить c sin (A) = a sin (C) . Теперь они перестраиваются в , или эквивалентно . Затем мы можем повторить этот метод с двумя другими углами, чтобы получить результаты. Затем мы получаем желаемый результат

Вывод правила косинуса

Теперь мы проделаем то же самое с правилом косинуса. Мы начинаем с того же треугольника, проводим ту же линию вниз, чтобы создать два прямоугольных треугольника, и называем эту линию h. Назовем точку, в которой эта линия касается дна, D и укажем, что одна сторона линии имеет длину x, а другая , как показано ниже.

По теореме Пифагора о левом треугольнике мы получаем x² + h² = c², и мы преобразуем это в

x² = c²-h² ……… (1) Делая то же самое для прямоугольный треугольник, мы получаем , и мы расширим это до b²-2bx + x² + h² = a² ……. … (2) Если мы возьмем косинус угла A, мы получим cos (A) = x / c, что преобразуется в

………. (3). Теперь мы подставим (1) и (3) в (2), используя (1), чтобы избавиться от x², и (3), чтобы заменить x в 2bx. Подставляя: b² -2b (c · cos (A)) + c²-h² + h² = a². Затем мы можем упростить это до a² = b² + c²-2bc · cos (A), что и является нашим желаемым результатом.

Правила синусов и косинусов — ключевые выводы

• Мы используем правила синусов и косинусов при вычислении сторон и углов непрямоугольных треугольников.
• Мы используем правило синусов, когда у нас есть одно неизвестное значение и три известных значения для двух углов и двух сторон.
• Мы используем правило косинуса, когда у нас есть одно неизвестное значение и три известных значения для одного угла и трех сторон.
• Правила синуса и косинуса могут быть получены из первых принципов.

Введение в тригонометрию: синус, косинус и тангенс

Введение в тригонометрию: синус, косинус и тангенс https://schooltutoring.com/help/wp-content/uploads/sites/2/2018/06/hated_math_1200x627.jpg 800 418 Преподавательский состав Преподавательский состав https://secure. gravatar.com/avatar/d96b825901af08f4b20fdfa2d056868f?s=96&d=mm&r=g 27 июня 2018 г. 27 июня 2018 г.

Sin, cos и tan — три функции, каждая из которых определяет связь между двумя сторонами и одним углом прямоугольного треугольника, то есть треугольника с углом 90°. угол.

Если у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем отметить один из двух острых углов знаком X и обозначить стороны следующим образом:

 

Сторона напротив прямого угла — это гипотенуза. Это также самая длинная сторона. Сторона, расположенная рядом с углом X, которая не является гипотенузой, является прилежащей стороной. «Прилегающий» означает «рядом с». Сторона напротив X является противоположной стороной.

Тогда мы имеем следующие соотношения:

sin X = Противоположность/Гипотенуза

cos X = Смежность/Гипотенуза

tan X = Противоположность/Смежность

Один из способов запомнить эти отношения — использовать аббревиатуру SOH CAH TOA. Эти уравнения полезны для нахождения длин сторон и значений углов.

Нахождение сторон

В приведенном выше примере, если:

Смежные = 10

X = 45°

Тогда мы можем сказать тангенс 45° = Противоположная сторона / 10. Решение уравнения, 9014 получаем:

1 = Противоположная / 10

10 = Противоположная

И имеем, что длина Противоположной стороны 10 единиц.

Можно также сказать, что cos 45° = 10/гипотенуза. Решив это уравнение относительно гипотенузы, получим:

0,7071 = 10 / гипотенуза

Гипотенуза * 0,7071 = 10

Гипотенуза = 10 / 0,7071

Гипотеновая

Нахождение углов

Мы также можем использовать отношения sin, cos и tan, чтобы найти значения углов, если мы знаем длины двух или более сторон.

В приведенном выше примере, если:

Противоположная = 15

Гипотенуза = 30

Тогда мы можем сказать, что sin X = 15 / 30.

No related posts.