Sinx cosx формулы: Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

3}x} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 21. Найдите   \(\sin \alpha \),  если   \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.

Задача 22. Найдите   \(\sin \alpha \),  если  \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,8.

Задача 23. Найдите   \(\cos \alpha \),  если  \(\sin \alpha  =  — \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.

Задача 24. Найдите   \(\cos \alpha \),  если  \(\sin \alpha  = \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,28.

Задача 25. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.

Задача 26. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  =  — 0,8\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,75.

Задача 27. Найдите   \({\text{24}}\,{\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \(\sin \alpha  = \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -7.

Задача 28. Найдите   \(3\,{\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\sin \alpha  =  — \frac{5}{{13}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Задача 29. Найдите   \(26\,\cos \,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  =  — \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 30. Найдите   \(169\,\sin \,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -156.

Задача 31. Найдите   \(\sin \,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  =  — \frac{4}{3}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,6.

Задача 32. Найдите   \(39\,\cos \,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  = \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -36.

Задача 33. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{4}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Задача 34. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  =  — \frac{5}{7}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,4.

Задача 35. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\;2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -3. 2}\alpha  = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 41. Найдите   \(\frac{{6\cos \alpha  — 3\sin \alpha }}{{5\sin \alpha  — 5\cos \alpha }}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,{\text{3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,3.

Задача 42. Найдите   \(\frac{{7\cos \alpha  — 6\sin \alpha }}{{3\sin \alpha  — 4\cos \alpha }}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,2\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,6.

Задача 43. Найдите   \(\frac{{8\cos \alpha  — 2\sin \alpha  + 10}}{{\sin \alpha  — 4\cos \alpha  + 5}}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\,4\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 44. Найдите   \(\frac{{6\cos \alpha  — 18\sin \alpha  — 12}}{{3\sin \alpha  — \cos \alpha  + 8}}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\,3\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 45. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),   если   \(\frac{{6\sin \alpha  — 2\cos \alpha }}{{3\cos \alpha  — 4\sin \alpha }} =  — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2. 2}\alpha  — 2\cos \alpha  — 1 = 0\)   и   \( — \pi  < \alpha  <  — \frac{\pi }{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Реклама

Поддержать нас

Решение простейших тригонометрических уравнений. Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

«Дробные уравнения» — Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это….. А) 2(1-х?) +3х -4 =0; б) х — 3= х? — х +1; 4 2 в) х? — х — 7 = х +8; х г) 2х — 4= 3__; х? +1 х +1 д) 3х + 1= х; х -1 е)х-7 = ?х+9. Не порть слезами глаз. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение. Последний материнский твой наказ: «Законы жизни мудры и жестоки.

«Решение дробно-рациональных уравнений» — «Домашнее задание». 1) 0 и 1. 3) 4 и 3. Блиц — опрос. Какое уравнение называют рациональным? Дать определение целого уравнения. 2) 3. «Лото». Не рассчитывай на завтра, Помни: все в твоих руках. Решение дробных рациональных уравнений. Как решить дробно рациональное уравнение? Какое уравнение называют дробным рациональным?

«Уравнения по алгебре» — Рефлексия, итог урока. Домашнее задание. Организационный момент. Структура урока: О-оох… Цель: Актуализация опорных знаний. . Отработка умений и навыков. Д е т и. Целеполагание. Алгебра 7 класс.

«Решение систем уравнений» — Графический метод Решите графически {. Подобные одночлены. Что называется решением системы уравнений? Х+2у =3 5х-3у= 2. Проверь себя! Являются ли пары (1;1) и (-1;3) чисел решением системы {. Повторение. Решить систему: {. Стандартный вид одночлен. Методы решений. Устно. Методы решения систем уравнений.

«Урок Логарифмические уравнения» — 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Найдите область допустимых значений уравнений. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (5 итоговый урок). logax = b. x > 0 a > 0 a ? 1.

«Тригонометрические уравнения» — Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1. Решение. Тригонометрические уравнения. Введём новую переменную t = sinx.

Верно ли, что: Имеют ли смысл выражения: Решить уравнение: Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx — 1 = 0. Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t — 1 = 0.

Всего в теме 20 презентаций

Мы знаем, что значения косинуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение cos x = а не имеет корней. Например, уравнение cos x = -1,5 корней не имеет.

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение cos x = 1/2.

Решение.

Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности М 1 и М 2 . Так как 1/2 = cos π/3, то точку М 1 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол х 1 = π/3, а также на углы х = π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Точка М 2 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол х 2 = -π/3, а также на углы -π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам
х = π/3 + 2πk
х = -π/3 + 2πk,

Две представленные формулы можно объединить в одну:

х = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Решить уравнение cos x = -1/2 .

Решение.

Абсциссу, равную – 1/2 , имеют две точки окружности М 1 и М 2 . Так как -1/2 = cos 2π/3, то угол х 1 = 2π/3, а потому угол х 2 = -2π/3.

Следовательно, все корни уравнения cos x = -1/2 можно найти по формуле: х = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Таким образом, каждое из уравнений cos x = 1/2 и cos x = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 0 ≤ х ≤ π каждое из этих уравнений имеет только один корень: х 1 = π/3 – корень уравнения cos x = 1/2 и х 1 = 2π/3 – корень уравнения cos x = -1/2.

Число π/3 называют арккосинусом числа 1/2 и записывают: arccos 1/2 = π/3, а число 2π/3 – арккосинусом числа (-1/2) и записывают: arccos (-1/2) = 2π/3.

Вообще уравнение cos x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, имеет на отрезке 0 ≤ х ≤ π только один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке ; если а

Таким образом, арккосинусом числа а € [-1; 1 ] называется такое число а € , косинус которого равен а:

arccos а = α, если cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).

Например, arccos √3/2 = π/6, так как cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, так как cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Аналогично тому, как это сделано в процессе решения задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos x = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = +/-arccos а + 2 πn, n € Z (2).

Решить уравнение cos x = -0,75.

Решение.

По формуле (2) находим, х = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Значение arcos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке, измерив угол при помощи транспортира. Приближенные значения арккосинуса также можно находить с помощью специальных таблиц (таблицы Брадиса) или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе, получив приблизительное значение 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следовательно, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Ответ: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Решить уравнение (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Решение.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2х = +/-2π/3 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn, n € Z.

Ответ. х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn.

Можно доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула arccos (-а) = π – arccos а (3).

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arсcos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

из формулы (2) следует, что корни уравнения, cos x = а при а = 0, а = 1 и а = -1 можно находить по более простым формулам:

cos х = 0 х = π/2 + πn, n € Z (4)

cos х = 1 х = 2πn, n € Z (5)

cos х = -1 х = π + 2πn, n € Z (6).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт. .. Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :


Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:


Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

, , — множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где , . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :


Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:


Запишем две серии решений:

,

,

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):


Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :


Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:


Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:


Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :





ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:


Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:


Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:


Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:


5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:


Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:


И чуть более сложные примеры:

1.

Синус равен единице, если аргумент равен

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

2.

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок «Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности»

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .

Табличка на двери

7.4 Доказательство тригонометрических тождеств — тригонометрические функции, тождества и уравнения

Здесь мы будем решать задачи, чтобы показать, что обе части уравнения равны друг другу.
  • Эти формулы помогут решить некоторые тригонометрические тождества.
      • Важно знать следующие тригонометрические тождества.

    Идентификации на основе определений

    • CSC x = 1/SIN x
    • SEC x = 1/COS x
    • 7777.ta x x x
    • 77777777777.ta 72.
    • 77777 2 x x 2. x

    Идентификации, полученные из отношений

    Отношение идентичности ПИТАГОРЕВЫЕ Идентификации Формы с двойным углом .0060
    • Tan x =Sin x /Cos x
    • Cot x =Cos x /Sin x
    •  Sin 2 x + Cos 2 x =1
    • 1+tan 2 x =Sec 2 x
    • 1+cot 2 x =Csc 2 x
    •  Sin2 x =2Sin x Cos x
    • Cos2 x =cos 2 x -1
                     =2Cos 2 x -1
                     =1-2sin 2 x
    TAN 2 X = 2TAN X /1-TAN 2 x
    • SIN ( x + Y ) = SIN X COS + Y ) = SIN x COS y 33333333) = SIN x COS + 3333333) = SIN x COS Y 3333) = SIN x COS . Грех г
    • Грех( x Y ) = SIN x COS Y -COS x SIN Y
    • COS ( X + Y ) = COS x 3 + y ) = COS x 33. Y
    • COS ( x Y ) = Cosxcos Y +SIN x SIN Y
    • TAN ( x + Y = TAN x +TAN = TAN = TAN = TAN = TAN . /1-(Коричневый x )(Коричневый y )
    • Желто-коричневый( x y )=Коричневый x -Tan y /1+(Tan x )(Tan y )
    • θ is the same thing as x , but x and  y  are два разных значения, поэтому не путайте эти три вещи
    • . Кос θ

      TAN θ SIN θ /COS θ
      L. S.   R.S
       Желтый θ =Sin x /Cos x   Sin x /Cos x

      ∴L.S=R.S

      2.Sin 2 θ +Cos 2 θ /Cos θ =Tan θ Csc θ

      Sin 2 θ +Cos 2 θ /Cos θ  TanθCscθ
        L. S. R.S.
      SIN 2 θ +COS 2 θ /COS θ θ /COS θ θ /COS θ θ /COS . θ Csc θ =(Sin θ /Cos θ )Csc θ ) =(Sin θ /Cos θ )(1/Sin θ ) = 1/Cos θ
      ∴L.S=R.S
      3.Cos2 x +1/Sin2 x =Cot x
      Cos2 x +1 /Sin2x  Cotx
        М.С. R.
      COS2 X +1/SIN2 X
      = (2COS 2 -1) +1/SIN X COS 2 -1) +1/SIN X 33333333330032 х =2Cos 2 x /2Sin x Cos x = Cos x /Sin x
       Cot x = Cos x /Sin x
      ∴L. S=R.S
      • NEED TO SHOW EVERY STEP

      OVERALL

      • Тригонометрическое тождество устанавливает эквивалентность двух триггерных выражений. Оно записывается как уравнение, включающее тригонометрические отношения, а набор решений — это все действительные числа, для которых определены выражения в обеих частях уравнения. В результате уравнение имеет бесконечное число решений.
      • Некоторые тригонометрические идентичности являются результатом определения, в то время как другие получены из отношений, которые существуют среди тригонометрических соотношений
      Covertient Identities PYTHAGOREAN FORMENTIONS ANGLE ANGLEAS.  Взаимные тождества
      • Tan x = Sin x /Cos x
      • Cot x =Cos x /Sin x
      •  Sin 2 x +Cos 2 x =1
      • 1+tan 2 x =Sec 2 x
      • 1+cot 2 x =Csc 2 x
      •  Sin2 x =2Sin x Cos x
      • Cos2 x = cos 2 x -1
                       =2Cos 2 x -1
                       =1-2sin 2 x
              Tan 2 x =2Tan x /1-Tan 2 x
      • Sin ( x + Y ) = SIN x COS Y + COS x SIN Y
      • SIN ( x Y ) = SIN X 333 — y ) = SIN X 3333. COS y ) = SIN X 33.COS — Y ) = SIN X 3 — Y ) x Sin y
      • Cos( x + Y ) = COS x Cosy -Sin x SIN Y
      • COS ( X Y ) = COSXCOS Y + SIN X ) = COSXCOS Y + SIN X ) = COSXCOS Y + SIN X ) = COSXCOS Y + SIN x ).
      • TAN ( x + Y ) = TAN X + TAN Y /1- (TAN X ) (TAN Y )
      • TAN ( X Y 3) = TAN x -Tan y /1+(Tan x )(Tan y)
       
      • Cscx=1/Sinx
      • Secx=1/Cosx
      • Cotx=1/Tanx
      • графики одинаковые.
      • Чтобы доказать, что данное уравнение является тождеством, необходимо показать, что две части уравнения эквивалентны. Это может можно выполнить с помощью различных стратегий, таких как
        • Упрощение более сложной стороны до тех пор, пока она не станет идентичной другой стороне, или манипулирование обеими сторонами для получения то же выражение
        • Rewriting expressions using any of the identities stated above 
        • Using a common denominator or factoring, where possible

      VIDEOS

      WORK

      [Учебник]

      Попробуйте:

      стр.417 #5b, 6, 7, 9, 10 11a, 13a

      Также попробуйте просмотр середины страницы на стр. учебника. 411.

      Когда вы ответили на все вопросы, вы можете найти ответы на обратной стороне учебника или, если вы хотите найти пошаговое решение, нажмите здесь: [Решения].

      Sin 2x — Формула, вывод, тождества, примеры

      Формула Sin2x является одной из очень немногих важных формул тригонометрии, используемых для решения различных математических задач. Это одна из различных формул двойного угла, используемых в тригонометрии. Эта формула используется для нахождения синуса угла с двойным значением. Грех входит в число основных тригонометрических соотношений, которые определяются отношением перпендикуляра к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Диапазон sin2x равен [-1, 1].

      Коэффициент синуса рассчитывается путем вычисления отношения длины противоположной стороны угла к длине гипотенузы. Обозначается аббревиатурой sin .

       

      Если θ — угол между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника, то

      sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза

      Что такое Sin2x?

      Sin2x — это формула, используемая в тригонометрии для решения различных математических и других задач. Это помогает упростить различные тригонометрические выражения, включающие двойные углы. Sin2x выражается в различных формах с использованием различных тригонометрических функций. Наиболее распространенная формула sin2x: sin2x = 2 sinx cosx . Его также можно выразить через функцию тангенса.

      Sin2x Формула

      Sin 2x — тождество двойного угла в тригонометрии. Поскольку функция sin является обратной величиной функции косеканса, в качестве альтернативы ее можно записать как sin2x = 1/cosec 2x. Это важное тригонометрическое тождество, которое можно использовать для решения широкого круга задач тригонометрии и интегрирования. Значение sin 2x повторяется через каждые π радиан, то есть sin 2x = sin (2x + π). Он имеет гораздо более узкий график, чем sin x. Это тригонометрическая функция, которая вычисляет функцию греха двойного угла. Наряду с этим для решения математических задач используются различные другие тригонометрические соотношения.

      sin 2x = 2 sin x cos x

      Sin 2x Формула вывода

      Формулу для sin 2x можно получить, используя формулу суммы углов для функции синуса.

      Используя тригонометрические тождества, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

      Чтобы найти синус двойного угла, мы должны положить x = y

      Полагая x = y, мы получаем,

      sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x

      sin 2x = sin x cos x + sin x cos x

      sin 2x = 2 sin x cos x

      Отсюда выводится формула для двойного угла отношения синуса.

      Формула Sin2x в терминах тангенса

      sin 2x также может быть выражена в терминах функции тангенса. Давайте посмотрим, как Sin 2x выражается через tan x

      sin 2x = 2 sin x cos x

      Умножив и разделив его на cos x.

      sin 2x = (2 sin x cos 2 x)/(cos x)

               = 2 (sin x/cosx ) × (cos 2 x)               {sin x/cos x = tan x and cos x = tan x and cos x = tan x = 1/(сек х)}

      sin 2x = 2 tan x × (1/sec 2 x)                       {sec 2 x = 1 + tan 2 x}

      9×85 2 x)

      Таким образом, формула sin  2x для тангенса будет выглядеть как sin 2x = (2tan x)​/(1 + tan 2 x).

      Формула Sin2x в терминах функции cos

      sin 2x также может быть выражена в терминах функции cos. Давайте посмотрим, как Sin 2x выражается через cos x

      sin 2x = 2 sin x cos x …(1)

      мы знаем, что sin x = √(1 – cos 2 x), используя это в уравнении (1)

      sin 2x = 2 √(1 – cos 2 x) × cos x Это необходимая формула для Sin 2x через Cos x.

      Sin2x Формула в терминах Sin

      sin 2x также может быть выражена в терминах функции sin. Давайте посмотрим, как Sin 2x выражается через sin x

      sin 2x = 2 sin x cos x …(1)

      мы знаем, что cos x = √(1 – sin 2 x), используя это в уравнении (1)

      sin 2x = (2 sin x )× √(1 – sin 2 x)

      Это требуемая формула для Sin 2x через Sin x .

      Sin

      2 x

      Sin 2 x формулы используются для решения сложных математических задач, они также используются для упрощения тригонометрических тождеств. Две формулы для sin 2 x могут быть получены с использованием теоремы Пифагора и формул функции косинуса двойного угла.

      Sin

      2 x Формула

      Для вывода формулы sin 2 x мы используем тригонометрические тождества sin 2 x + cos 2 x = 1 и формулу двойного угла функции косинуса cos 2 = 1 – 2 sin 2 х. Используя эти тождества, sin 2 x можно выразить через cos 2 x и cos2x. Выведем формулы:

      Sin

      2 x Формула в терминах Cos x

      Мы знаем, что, используя тригонометрические тождества,

      sin 2 x + cos 2 x = 1 используя уравнение и подставляя cos 2 x в левую часть, которая меняет знак, мы получаем,

      sin 2 x = 1 – cos 2 x

      Sin

      2 x Формула для Cos 2x

      Мы знаем, что, используя формулу двойного угла, sin 2 х в одну сторону получаем,

      sin 2 x = (1 – cos 2x) / 2

      Следовательно, две основные формулы sin 2 x:

      sin 2 x = (1 – cos 2x) / 2

      Важные формулы tan 2 x)

      Другие формулы

      sin 2 x = 1 — COS 2 x
      SIN 2 x = (1 — COS2X)/2

      Решенные примеры на SIN 2X Formul 3/5, найдите значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Итак, sin x = 3/5.

      Ясно, что cos x = 4/5.

      Используя формулу получаем,

      sin 2x = 2 sin x cos x

      = 2 (3/5) (4/5)

      = 24/25

      Пример 2. Если cos x = 12/13, найдите значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Имеем cos x = 12/13.

      Очевидно, sin x = 5/13.

      Используя полученную формулу,

      sin 2x = 2 sin x cos x

      = 2 (5/13) (12/13)

      = 120/169

      Пример 3. Если tan x = 12 /5, найдите значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Имеем тангенс х = 12/5.

      Используя полученную формулу,

      sin2x = (2tan x)​/(1 + tan 2 x).

               = 2 × (12/5) / {1 + (12/5) 2 }

               = 120/169

      Пример 4. Если cosec 2x, найдите значение 17/8. используя формулу.

      Решение:

      Имеем cosec x = 17/8.

      Очевидно, что sin x = 8/17 и cos x = 15/17.

      Используя формулу получаем,

      sin 2x = 2 sin x cos x

      = 2 (8/17) (15/17)

      = 240/289

      Пример 5. Если cot x = 15/8, найти значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Имеем, cot x = 15/8

      tan x = 1 / cot x = 1 / (15/8) 

            ,   = 8 / 9  

      sin2x = (2tan x)​/(1 + tan 2 x).

               = 2 × (18/15) / {1 + (18/15) 2 }

              = 240/289

      Пример 6. Если cosec x = 13/12, найдите значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Имеем cosec x = 13/12.

      Очевидно, что sin x = 12/13 и cos x = 5/13 (по теореме Пифагора)

      Используя формулу, получаем /13)

               = 120/169

      Пример 7. Если sec x = 5/3, найдите значение sin 2x по формуле.

      Решение:

      Имеем, сек х = 5/3.

      Ясно, что cos x = 3/5 и sin x = 4/5 (по теореме Пифагора)

      Используя формулу, получаем

      sin 2x = 2 sin x cos x

                = 2 (4/5) (3 /5)

                = 24/25

      Часто задаваемые вопросы

      по формуле Sin 2x

      Вопрос 1: В чем отличие Sin 2x?

      Ответ:

      Дифференциация sin 2x равна 2cos 2x

      Вопрос 2: Что такое интеграция Sin2x?

      Ответ: 

      Интегрирование sin 2x равно (-cos 2x) / 2

      Вопрос 3. Что представляет собой формула Sin 2x с точки зрения функции тангенса?

      Ответ:

      Формула Sin 2x с точки зрения функции тангенса: sin2x = (2tan x)​/(1 + tan 2 x).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *