Система методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Как решать методом крамера примеры. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т. е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1. 18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………. .
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т. к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1. 4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Решение системы методом Крамера — FINDOUT.SU

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности

Рассмотрим систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В матричном виде система имеет вид:

AX = B,

где А – прямоугольная матрица размером :

X – вектор порядка n :

B – вектор порядка m :

Определение 1:

Решением системы линейных уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел x₁ = c₁, x₂ = c₂ … x_n = c_n, которая обращает все уравнения системы в верные равенства.

Определение 2:

Прямыми методами решения систем линейных уравнений называются методы, дающие решение системы за конечное число арифметических операций. Если отсутствуют ошибки округления, то полученные решения являются точными. Рассмотрим прямые методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Правило Крамера.

Правило Крамера используют для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Если определитель ∆ = det A матрицы системы из n уравнений с n неизвестными AX = B отличен от нуля , то система имеет единственное решение x₁, x₂, … , x_n, определяемое по формулам Крамера , где – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы A заменой i – го столбца столбцом свободных членов В.

Пример 3.1:

Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера.

Ниже приведен фрагмент документа Mathcad, решающий поставленную задачу.

Определение матрицы А и вектора В.

Вычисление определителя системы:

Определение вспомогательных матриц:

Нахождение решения системы линейных уравнений методом Крамера:

М е т о д обратной матрицы.

Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы запишем ее в матричном виде:

А · Х = В (3.1)

Умножая (3.1) на A^-1, получим:

A^-1AX = A^-1B,

откуда следует

X = A^-1B

Пример 3.2

Решить систему из предыдущего примера методом обратной матрицы

Решение:

1. Определяем матрицу коэффициентов и вектор правых частей системы:

2. Находим решение системы методом обратной матрицы:

X = A^-1·B

3. Делаем проверку:

Эту же задачу можно решить с помощью встроенной функции Mathcad lsolve(A, B).

Аргументы функции: A – матрица системы, В – вектор правых частей.

Ниже приведено обращение к функции lsolve в Mathcad.

X := lsolve(A, B)

М е т о д прогонки

На практике часто встречаются системы линейных уравнений вида:

которые называются системами с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Каждое из уравнений такой системы содержит 3 неизвестных и может быть записано в виде:

, (3.3)

где i=1, 2, …, n, b₁ = 0, d_n = 0 .

Для решения системы уравнений (3.2) наиболее экономичным по объему затрачиваемой работы является метод прогонки, который учитывает трех-диагональность матрицы системы (3. 2).

Будем искать решение системы (3.2) в виде:

, (3.4)

где и – неизвестные пока функции. Подставляя в (3.3), исключим и получим:

(3.5)

Запишем (3.6) в виде:

(3.6)

Из (3.6) следует, что соотношение (1.30) имеет место, если для всех
i = 1,2, … ,n выполняются рекуррентные соотношения:

(3.7)

Т.к. b₁ = 0 , то процесс вычисления и по формулам (1.6) можно начать со значений:

(3.8)

и продолжать для i = 2, 3, …, n. В случае, когда i = n и d_n = 0 получим, что:

(3.9)

где и были вычислены на предыдущем шаге. Далее по формулам (1.5) находят значения .

Таким образом, метод прогонки состоит из 2-ч шагов:

1. Находят прогоночные коэффициенты и по формулам (3.7). Этот процесс называется прямой прогонкой.

2. Определяют неизвестные по формулам (3.6) . Этот процесс называется обратной прогонкой.

На рис. 3.1 приведена блок-схема метода прогонки.

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом прогонки в среде Mathcad.

Пример 3.3

1. Найти решение системы линейных уравнений методом прогонки:

Решение:

Определяем векторы b, c и d, содержащие элементы трехдиагональной матрицы системы:

Рис 3.1 – Блок-схема метода прогонки

2. Задаем функцию PROGON(b, c, d, r, n), реализующую метод прогонки. Аргументы функции PROGON: b, c, d – векторы, содержащие элементы матрицы системы, r – вектор правой части,
n – число неизвестных.

3. Вызываем функцию PROGON, которая возвращает решение данной системы.

PROGON(b, c, d, r, 5)=

Проект на тему «Метод Крамера, как способ решения практических задач»

Пятая лицейская научно-практическая конференция «Познание и творчество»

Физика-математика

Тема: «Метод Крамера, как способ решения практических задач»

Исследовательский проект

Автор: Кротова Анна

Ученица 10 «Б» класса МАОУ

« Лицей №21»

Руководитель:

Балашова Елена Ивановна,

учитель математики

Кротова Ирина Леонидовна,

учитель математики

Оглавление

Введение. 3

История. 4

Определитель матрицы второго порядка. 5

Определитель матрицы третьего порядка. 6

Пример 1:. 7

Пример 2:. 8

Пример 3:. 9

Пример 4:. 10

Практическая часть. 11

Конструкт урока для 7 класса. 11

Конструкт урока для 9 класса. 14

Заключение. 17

Литература. 18

Урок. 19

Приложение. 20

Результаты самостоятельной работы в 7 классе. 20

Результаты самостоятельной работы в 9 классе. 21

Тема моего исследовательского проекта – «Метод Крамера, как способ решения практических задач».

В школьном курсе алгебры изучают методы решения систем линейных уравнений, такие как: метод подстановки, метод сложения, графический метод. Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. Общее для них то, что большинство учащихся не могут их усвоить на необходимом уровне.

Я считаю, что тема моего проекта достаточно актуальна в первую очередь для меня, поскольку в математике есть такие задачи, которые нужно решать с помощью систем уравнений. Однако в школьном курсе изучаются системы уравнений, содержащие только две переменные. Мне бы хотелось познакомиться самой, а потом и научить других решать системы, содержащие большее количество неизвестных, что может помочь в решении более сложных задач не только в математике, но и в экономике. Но для того, чтобы познакомиться с самим методом, нужно знать что такое определитель второго порядка и научиться их вычислять.

Гипотеза: эффективность решения систем уравнений повышается, если использовать метод Крамера.

Задачи:

· Рассмотреть метод Крамера.

· Научить учащихся 8-10 класса пользоваться данным методом.

· Предложить учащимся 8-10 класса, на выбор, решить несколько систем уравнений понравившимся способом.

· Проанализировать полученный данные в ходе проведения самостоятельной работы, которую выполнят учащиеся.

· Сделать выводы, на основе которых определить достоверность моей гипотезы.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария). Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Определитель– это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя– это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

· Дана матрица _.

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

Пример . .

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Решения систем методом Крамера

Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.

Любая крамеровская система уравнений имеет единственное решение , которое определяется формулами , где — определитель матрицы, полученной из основной матрицы заменой -го столбца на столбец свободных членов системы, а – определитель основной матрицы. Эта формула называется формулой Крамера.

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: Запишем основную матрицу системы

Найдем её определитель

Определитель , следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.

Вычислим определитель , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов , получим

Аналогично, заменяя второй столбец основной матрицы на , найдем :

Далее по формуле Крамера находим неизвестные переменные:

Ответ:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: В уравнениях системы перенесем свободный член вправо:

Тогда основная матрица , а столбец свободных членов .

Найдем определитель матрицы системы:

Определитель , следовательно, система имеет единственное решение и может быть решена методом Крамера. Заменяя первый столбец на столбец свободных членов, найдем, что

Заменяя второй столбец основной матрицы на столбец , получаем:

Тогда, по формуле Крамера, решением системы будет

Ответ:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: Найдем определитель основной матрицы системы:

Найдем определитель , для этого подставим в последний определитель вместо первого столбца столбец свободных членов :

Подставляя вместо второго столбца столбец свободных членов, найдем :

Аналогично найдем :

Далее по формуле Камера находим решение заданной системы

Ответ:

Задание: Решить систему методом Крамера.

Решение: Запишем основную матрицу системы:

и найдем её определитель по правилу треугольника:

Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, к данной системе нельзя применить метод Крамера.

Ответ: Данная система не может быть решена методом Крамера.

Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»

Учитель: Кротова Анна

Учебный предмет: математика

Класс: 7

Цель урока: показать применение метода Крамера, и закрепить умения и навыки при решении систем уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения. Продолжить отрабатывать вычислительные навыки при решении систем уравнений. Продолжить развитие умений обобщать, систематизировать, делать выводы, сравнивать.

Задачи:

— составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;

— применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Актуализация знаний	Учитель предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили четырех кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг. Затем взвесили трех кошек и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка, если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым.»	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи.
	Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
	.
Постановка проблемы	Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки. Сформулировать алгоритм решения данной системы.	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
	Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
Рефлексия	Учитель предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную работу и анализирует результаты.	Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений. Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами	Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности.

Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»

Учитель: Кротова Анна

Учебный предмет: математика

Класс: 7

Задачи:

— составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;

— применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Актуализация знаний	Учитель предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили четырех кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг. Затем взвесили трех кошек и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка, если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым.»	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи.
	Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
	.
Постановка проблемы	Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки. Сформулировать алгоритм решения данной системы.	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
Постановка проблемы	Учитель предлагает решить систему из трех уравнений методом Крамера.	Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера.
	Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера	Ученики самостоятельно решают систему уравнений	Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации. Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы. Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму.
Рефлексия	Учитель предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную работу и анализирует результаты.	Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений. Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами	Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности.

В итоге работы над данным проектом я выполнила все поставленные перед собой задачи. С помощью дополнительной литературы я изучила метод Крамера, узнала, что такое определитель, как он находится и научилась применять данный метод на практике. Я провела уроки в 7 и в 9 классе. На уроке я предложила учащимся решить системы уравнений новым методом. Большинство учащихся, воспользовавшись методом Крамера, решили системы уравнений правильно.

Перед тем, как начать писать проект, я определила для себя такие риски и сложности как: исследуемая информация может быть сложна, в связи с тем, что изучаемый мною материал выходит за рамки школьной программы. Кроме того, может возникнуть трудность при передаче информации другим учащимся в связи с моей методической неграмотностью, т. е. незнание методов изложения материала. Но риск оказался не оправдан, т.к. тема не вызвала затруднений, и я смогла преподнести информацию так, что учащиеся смогли ее реализовать.

В ходе работы над моим проектом я доказала справедливость моей гипотезы, что эффективность решения систем уравнения повышается, если использовать метод Крамера.

· Сайт с краткой биографией Г. Крамера: http://www.calend.ru (дата обращения: 13.01.2017).

· Методические указания «Решение задач методом Крамера»: http://www.gtk-gryazi.ru/documents/metod/rech_zad_kramer.pdf (дата обращения: 13.01.2017).

· Понятие определителя второго порядка: http://www.studfiles.ru/preview/4404558/ (дата обращения: 13.01.2017).

· Понятие определителя третьего порядка: http://miemp-mi-gor.narod.ru/utcheba/matem/matrica/003.htm (дата обращения 20.01.2017).

· Примеры решения систем методом Крамера: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-sistem-metodom-kramera/ (дата обращения 13. 01.2017).

· Росошек С. К. Системы уравнений / С. К. Росошек: Изд-во Томского университета 1996. – 76 с.

Метод крамера описание метода. Линейные уравнения

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Матрицы метод крамера примеры. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Теорема Крамера.

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

(2.5)

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



(2.6)

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.



2.

5. Основные свойства определителей

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Как решить систему уравнений методом крамера. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Решение СЛАУ методом Крамера

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

(2. 5)

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



(2.6)

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.



2.

5. Основные свойства определителей

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Использование вариаций параметров с системой уравнений для нахождения конкретного решения — Криста Кинг Математика

Метод вариации параметров, системы уравнений и правило Крамера

Как и метод неопределенных коэффициентов, вариация параметров — это метод, который можно использовать для нахождения общего решения неоднородного дифференциала второго (или более высокого) порядка. уравнение.

Помните, что однородные дифференциальные уравнения имеют ???0??? в правой части, где неоднородные дифференциальные уравнения имеют ненулевую функцию в правой части.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Общее решение ???Y(x)??? неоднородному дифференциальному уравнению всегда будет суммой дополнительного решения ???y_c(x)??? и конкретное решение ???y_p(x)???.

???Y(x)=y_c(x)+y_p(x)???

Начнем с поиска дополнительного решения, предположив, что неоднородное уравнение на самом деле является однородным уравнением. Другими словами, мы просто заменяем ???g(x)??? с ???0??? а затем решить для значений ???x??? которые являются решениями однородного уравнения.

В зависимости от значений ???x??? которое мы найдем, мы сгенерируем дополнительное решение дифференциального уравнения.

Из дополнительного решения выберем фундаментальный набор решений ???\{y_1,y_2\}???. В наборе решений будет все, кроме коэффициентов ???c_1??? и ???c_2???. Другими словами,

Это означает, что мы могли бы переписать дополнительные решения как

Как только у нас будет фундаментальный набор решений, мы включим его в простую систему линейных уравнений

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=g(x)???

и затем решить систему для ???u_1′??? и ???u_2′???. {(n)}??? для дифференциальных уравнений более высокой степени) равным ???1???. Если это еще не ???1???, просто разделите его, чтобы получилось ???1???.

Использование метода вариации параметров и системы уравнений для нахождения частного решения дифференциального уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Как использовать изменение параметров и правило Крамера для больших наборов решений 9{-2x}}{2x}???

Большие наборы решений

Легко решить систему линейных уравнений

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=g(x)???

потому что в наборе решений ???\{y_1,y_2\}??? было только два решения, и поэтому было только два неизвестных, ???u_1′??? и ???u_2′???. Но иногда набор решений будет больше, например ???\{y_1,y_2,y_3,y_4,. ..,y_n\}???. Например, если бы в наборе решений было четыре решения, нам пришлось бы решить эту систему:

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=0???

???u_1’y_1»+u_2’y_2»=0???

???u_1’y_1»’+u_2’y_2»’=g(x)???

, потому что вам нужно столько же уравнений в системе, сколько решений в наборе решений. ???г(х)??? всегда является правой частью последнего уравнения системы; каждое из других уравнений имеет ???0??? как его правая сторона.

Если размер набора решений, а, следовательно, и размер системы линейных уравнений становится неуправляемым, для нахождения частного решения будет удобнее использовать правило Крамера.

Мы по-прежнему начнем с замены неоднородного уравнения на однородное, чтобы мы могли найти дополнительное решение и выделить фундаментальный набор решений.

Чтобы найти каждое неизвестное, ???u_1′???, ???u_2′???, ???u_3′??? и т. д., вместо решения системы линейных уравнений будем использовать набор матриц. Предположим, что в нашем фундаментальном множестве есть четыре решения. Затем нам нужно найти определители этих матриц:

Тогда в этом примере

Следовательно,

Это означает, что конкретное решение

???y_p(x)=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3+u_4y_4???

, который действительно совпадает с

???y_p(x)=y_1\int\frac{g(x)W_1}{W}+y_2\int\frac{g(x)W_2}{W}+ y_3\int\frac{g(x)W_3}{W}+y_4\int\frac{g(x)W_4}{W}???

Помните, что вы можете изменить систему линейных уравнений и эти формулы для дополнительных и частных решений в зависимости от того, сколько решений у вас есть в фундаментальном наборе решений.

Давайте рассмотрим пример, в котором мы используем правило Крамера вместо решения системы линейных уравнений. Вы обычно используете правило Крамера с дифференциальными уравнениями более высокого порядка, потому что часто оказывается, что они имеют более двух решений в фундаментальном множестве. В этом примере мы получим только два решения в фундаментальном наборе, но для примера мы начнем использовать правило Крамера вместо системы линейных уравнений.

Если размер набора решений, а, следовательно, и размер системы линейных уравнений становится неуправляемым, будет удобнее использовать правило Крамера для нахождения частного решения. 9х+\frac32\cos{x}-\frac32\sin{x}-3???

Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»

Learn mathКриста Кинг 27 декабря 2020 математика, выучить онлайн, онлайн курс, онлайн математика, дифференциальные уравнения, неоднородные уравнения, неоднородные, обыкновенные дифференциальные уравнения, решение ОДУ, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, вариация параметров, система уравнений, фундаментальные множество решений, правило Крамера, общее решение, частное решение, дополнительное решение, вронскиан, ОДУ

0 лайков

1.

Детерминанты

М. Борна

Прежде чем мы увидим, как использовать матрицу для решения системы одновременных уравнений, мы узнаем об определителях.

Определитель представляет собой квадратный массив чисел (записанный внутри пары вертикальных линий), что представляет собой некоторую сумму продуктов.

Ниже приведен пример определителя 3 × 3 (в нем 3 строки и 3 столбца).

`|(10,0,-3),(-2,-4,1),(3,0,2)|`

Результат умножения, а затем упрощения элементов определителя является одним числом ( скалярная величина).

Вычисление определителя 2 × 2

В общем случае находим значение определителя 2 × 2 с элементами a , b , c , d следующим образом:

`|(a,b),(c,d)|=ad-cb`

Мы умножаем диагонали (сначала верхний левый × нижний правый), а затем вычитаем.

Пример 1

`|(4,1),(2,3)|`
`=4xx3-2xx1`
`=12-2`
`= 10`

Конечным результатом является одно число .

Ниже мы увидим, как расширить определитель 3 × 3.

Использование определителей для решения систем уравнений

Мы можем решить систему уравнений с помощью определителей, но это становится очень утомительным для больших систем. Мы будем делать только системы 2 × 2 и 3 × 3, используя определители.

Правило Крамера

Решение ( x , y ) системы

`a_1x+b_1y=c_1`
`a_2x+b_2y=c_2`

можно найти с помощью определителей:

`x=|(c_1,b_1),(c_2,b_2)|/|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|`
`y=|(a_1,c_1),(a_2,c_2)|/|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|`

Пример 2

Решить систему с помощью правила Крамера:

х — 3 у = 6
2 х + 3 у = 3

Ответ

Сначала мы определяем значения, которые нам понадобятся для правила Крамера:

а ₁ = 1 б ₁ = −3 в ₁ = 6

а ₂ = 2 б ₂ = 3 в ₂ = 3

`x=|(6,-3),(3,3)|/|(1,-3),(2,3)|=(18+9)/(3+6)=3`

`y=|(1,6),(2,3)|/|(1,-3),(2,3)|=(3-12)/ (3+6)=(-9)/9` `=-1`

Итак, решение `(3, -1)`.

Проверка:

[1] `3 + 3 = 6` OK

[2] `6 — 3 = 3` OK

3 × 3 2 Определители
Определитель 3 × 3
`|(a_1, b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3)|`
можно оценивать по-разному.
Мы будем использовать метод под названием «расширение минорами». Но сначала нам нужно определение.
Кофакторы
Определитель 2 × 2
`|(b_2,c_2),(b_3,c_3)|`
это называется кофактором числа a ₁ для определителя 3 × 3:
`|(a_1, b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3)|`
Образуется кофактор из элементов, которые не находятся в той же строке, что и a ₁, и не в том же столбце, что и a ₁ .
Аналогично, определитель
`|(b_1,c_1),(b_3,c_3)|`
называется кофактором числа a ₂ . Он формируется из элементы не в той же строке, что и a ₂, и не в том же столбце, что и a ₂ .
Продолжаем схему для кофактора a ₃ .
Расширение несовершеннолетними
Мы оцениваем наш определитель 3 × 3, используя разложение миноров. Это включает в себя умножение элементов в первом столбце определителя на кофакторов этих элементов. Мы вычитаем средний продукт и добавляем конечный продукт.
`|(a_1, b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3)|` `=a_1|(b_2,c_2),(b_3,c_3)|` `-a_2|( b_1,c_1),(b_3,c_3)|` `+a_3|(b_1,c_1),(b_2,c_2)|`
Обратите внимание, , что мы работаем вниз по первому столбцу и умножаем на коэффициент каждого элемента.
Пример 3
Оценить
`|(-2,3,-1),(5,-1,4),(4,-8,2)|`
(Вы можете изучить, что на самом деле требует этот пример, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений. )
Ответ
` |(-2,3,-1),(5,-1,4),(4,-8,2)|` ` =-2|(-1,4),(-8,2) |` ` -5|(3,-1),(-8,2)|` ` +4|(3,-1),(-1,4)|`
`= -2[(-1 )(2) − (-8)(4)] − 5[(3)(2) ` `{: − (-8)(-1)] ` `+ 4[(3)(4) ` `{ : − (-1)(-1)]`
`= -2(30) − 5(-2) + 4(11)`
`= -60 + 10 + 44`
`= -6`
Здесь мы расширяем по первому столбцу . Мы можем выполнить расширение, используя первую строку, и получим тот же результат.
Правило Крамера для решения систем линейных уравнений 3 × 3
Мы можем решить общую систему уравнений,
а ₁ x + б ₁ у + в ₁ z = d ₁
a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂
a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃
с помощью определителей:
`x=|(d_1, b_1,c_1),(d_2,b_2,c_2),(d_3,b_3,c_3)|/Дельта`
`y=|(a_1, d_1,c_1),(a_2,d_2,c_2),(a_3,d_3,c_3)|/Дельта`
`z=|(a_1, b_1,d_1),(a_2,b_2,d_2),(a_3,b_3,d_3)|/Дельта`
где
`Дельта=|(a_1, b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3)|`
Пример 4
Решите, используя правило Крамера:
2 х + 3 y + z = 2
— х + 2 y + 3 z = -1
−3 x − 3 y + z = 0
Ответ
`х=| (2,3,1),(-1,2,3),(0,-3,1) |/Дельта`
`y=| (2,2,1),(-1,-1,3),(-3,0,1) |/Дельта`
`z=| (2,3,2),(-1,2,-1),(-3,-3,0) |/Дельта`
где
`Дельта=| (2,3,1),(-1,2,3),(-3,-3,1) |` `=2(11)+1(6)-3(7)` `=7`
Итак,
`x = (2(11)+1(6)+0)/7=28/7=4`
`y = (2(-1)+1(2)-3(7) )/7` `=-21/7` `=-3`
`z = (2(-3)+1(6)-3(-7))/7` `=21/7` `= 3`
Проверка решений:
[1] 2(4) + 3(-3) + 3 = 2 OK
[2] −(4) + 2(-3) + 3(3) = -1 OK
[3] −3(4) − 3(−3) + 3 = 0 OK
Итак, решение `(4, -3, 3)`.
Определяющие упражнения
1. Оценить путем расширения несовершеннолетние:
`|(10,0,-3),(-2,-4,1),(3,0,2)|`
Ответ
` |(10,0,-3),(-2,-4,1),(3,0,2)| ` ` =10|(-4,1),(0,2)|` ` -(-2)|(0,-3),(0,2)|` ` +3|(0,-3) ,(-4,1)|`
`= 10[(−4)(2) − (0)(1)]` ` + 2[(0)(2) − (0)(−3)]` ` + 3[(0)( 1) − (-4)(-3)]`
`= 10(-8) + 2(0) + 3(−12)`
`= −80 − 36`
`= −116 `
2. Решите система с использованием определителей:
х + 3 y + z = 4
2 x − 6 y − 3 z = 10
4 x − 9 y + 3 z = 4
Ответ
`х=| (4,3,1),(10,-6,-3),(4,-9,3) |/Дельта`
`y=| (1,4,1),(2,10,-3),(4,4,3) |/Дельта`
, где
`Дельта=| (1,3,1),(2,-6,-3),(4,-9,3) |`
`= 1(−45) − 2(18) + 4(−3)`
`= −93`
Примечание. Если у нас есть x и y , мы можем найти z без использования правила Крамера.
Так
`x=(4(-45)-10(18)+4(-3))/-93` `=(-372)/-93` `=4`
`y=( 1(42)-2(8)+4(-22))/-93` `=(-62)/-93` `=2/3`
Используя эти два результата, мы можем легко найти, что z = -2.
Проверка решения:
[1] `(4) + 3(2/3) + -2 = 4`
[2] `2(4) — 6(2/3) — 3(-2 ) = 10`
[3] `4(4) — 9(2/3) + 3(-2) = 4`
Итак, решение `(4, 2/3, -2)`.
Возникло исключение типа «System.OutOfMemoryException».
Возникло исключение типа «System.OutOfMemoryException». Описание: Произошло необработанное исключение во время выполнения текущего веб-запроса. Пожалуйста, просмотрите трассировку стека для получения дополнительной информации об ошибке и о том, где она возникла в коде.
Сведения об исключении: System.OutOfMemoryException: было создано исключение типа «System. OutOfMemoryException».
Ошибка источника:
Строка 156: Строка 157: Строка 158: @Scripts.Render("~/bundles/modernizr") Строка 159: @Scripts.Render("~/bundles/styleswitcher") Линия 160:

Исходный файл: e:\KOOL\Views\Shared\_Layout.cshtml    Строка: 158
Трассировка стека:
[OutOfMemoryException: было выдано исключение типа «System.OutOfMemoryException».] Microsoft.Ajax.Utilities.JSKeyword.InitKeywords() +0 Microsoft.Ajax.Utilities.JSScanner..cctor() +15 [TypeInitializationException: инициализатор типа для Microsoft.Ajax.Utilities.JSScanner выдал исключение.] Microsoft.Ajax.Utilities.JSScanner.ScanNextToken (логическое значение scanRegExp) +2422 Microsoft.Ajax.Utilities. JSParser.ScanNextToken() +186 Microsoft.Ajax.Utilities.JSParser.GetNextToken() +126 Microsoft.Ajax.Utilities.JSParser.ParseStatements() +201 Microsoft.Ajax.Utilities.JSParser.Parse(настройки CodeSettings) +167 Microsoft.Ajax.Utilities.Minifier.MinifyJavaScript (источник строки, CodeSettings codeSettings) +219System.Web.Mvc.Async.AsyncControllerActionInvoker.EndInvokeAction(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.Mvc.<>c__DisplayClass1d.b__18(IAsyncResult asyncResult) +27 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System.Web.Mvc.Controller.EndExecuteCore(IAsyncResult asyncResult) +52 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System.Web.Mvc.Controller.EndExecute(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.Mvc.<>c__DisplayClass8.b__3(IAsyncResult asyncResult) +41 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System. Web.Mvc.MvcHandler.EndProcessRequest(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.CallHandlerExecutionStep.System.Web.HttpApplication.IExecutionStep.Execute() +602 System.Web.HttpApplication.ExecuteStepImpl (шаг IExecutionStep) +195 Microsoft.Ajax.Utilities.Minifier.MinifyJavaScript (источник строки, CodeSettings codeSettings) +406 System.Web.Optimization.JsMinify.Process (контекст BundleContext, ответ BundleResponse) +112 System.Web.Optimization.Bundle.ApplyTransforms (контекст BundleContext, String bundleContent, IEnumerable`1 bundleFiles) +221 System.Web.Optimization.Bundle.GetBundleResponse (контекст BundleContext) +50 System.Web.Optimization.BundleResolver.GetBundleContents(String virtualPath) +213 System.Web.Optimization.AssetManager.EliminateDuplicatesAndResolveUrls (пути IEnumerable`1) +350 System.Web.Optimization.AssetManager.RenderScripts (ресурсы IEnumerable`1) +32 ASP._Page_Views_Shared__Layout_cshtml.Execute() в e:\KOOL\Views\Shared\_Layout. cshtml:158 System.Web.WebPages.WebPageBase.ExecutePageHierarchy() +252 System.Web.Mvc.WebViewPage.ExecutePageHierarchy() +147 System.Web.WebPages.WebPageBase.ExecutePageHierarchy(WebPageContext pageContext, модуль записи TextWriter, WebPageRenderingBase startPage) +122 System.Web.WebPages.<>c__DisplayClass7.b__6(программа записи текста) +304 System.Web.WebPages.WebPageBase.Write (результат HelperResult) +108 System.Web.WebPages.WebPageBase.RenderSurrounding(String partialViewName, тело Action`1) +88 System.Web.WebPages.WebPageBase.PopContext() +349System.Web.Mvc.ViewResultBase.ExecuteResult (контекст контроллера) +375 System.Web.Mvc.<>c__DisplayClass1a.b__17() +31 System.Web.Mvc.ControllerActionInvoker.InvokeActionResultFilter (фильтр IResultFilter, предварительный контекст ResultExecutingContext, продолжение Func`1) +436 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass25.b__22(IAsyncResult asyncResult) +187 System. Web.Mvc.Async.AsyncControllerActionInvoker.EndInvokeAction(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.Mvc.<>c__DisplayClass1d.b__18(IAsyncResult asyncResult) +27 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System.Web.Mvc.Controller.EndExecuteCore(IAsyncResult asyncResult) +52 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System.Web.Mvc.Controller.EndExecute(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.Mvc.<>c__DisplayClass8.b__3(IAsyncResult asyncResult) +41 System.Web.Mvc.Async.<>c__DisplayClass4.b__3(IAsyncResult ar) +25 System.Web.Mvc.MvcHandler.EndProcessRequest(IAsyncResult asyncResult) +38 System.Web.CallHandlerExecutionStep.System.Web.HttpApplication.IExecutionStep.Execute() +602 System.Web.HttpApplication.ExecuteStepImpl (шаг IExecutionStep) +195 System.Web.HttpApplication.ExecuteStep (шаг IExecutionStep, логическое значение и выполнено синхронно) +128

Информация о версии: Microsoft . NET Framework Version: 4.0.30319; Версия ASP.NET: 4.7.3535.0
Sens. Cramer, Warner возглавляют двухпартийное законодательство, разрешающее дистанционное онлайн-нотариальное заверение по всей стране Закон, двухпартийное законодательство, разрешающее немедленное общенациональное использование удаленных онлайн-нотариальных заверений (RON), типа электронного нотариального заверения, когда нотариус и лицо, подписывающее документы, находятся в разных физических местах. Сенаторы представили почти идентичный закон на прошлом Конгрессе.
«Пандемия выявила несколько недостатков и устаревших методов, используемых в американской экономике, и нотариальный процесс является ярким примером», — сказал сенатор Крамер. «Наш законопроект перенесет этот процесс в 21 век, позволяя людям безопасно заполнять нотариально заверенные документы удаленно, как они это делают со многими другими важными формами».
«Удаленное онлайн-нотариальное заверение — это преобразующая технология, которая предлагает потребителям удобный способ безопасного и надежного заполнения важных документов. В то время как COVID-19пандемия создала ряд препятствий для выполнения важных задач, таких как исполнение завещаний, заполнение финансовых документов, покупка или продажа дома или покупка или продажа автомобиля через Интернет, многие штаты продемонстрировали, как эффективно использовать этот тип технологий для удовлетворения потребностей американцев, — сказал сенатор Уорнер. «Вот почему я горжусь тем, что представляю этот двухпартийный законопроект, который разрешит общенациональное использование удаленного нотариального онлайн-заверения, требуя при этом минимальных стандартов безопасности, и обеспечит уверенность в межгосударственном признании транзакций, совершенных с помощью удаленного онлайн-нотариального заверения».
Закон о нотариальном заверении SECURE разрешает каждому нотариусу в Соединенных Штатах выполнять RON. Это потребует использования технологии защиты от несанкционированного доступа при электронном нотариальном заверении и поможет предотвратить мошенничество за счет использования многофакторной аутентификации. Сенатор Крамер обозначил необходимость такого законодательства в своей статье в декабре прошлого года. Законопроект одобрен широким кругом организаций, включая Американскую ассоциацию прав на землю (ALTA), Ассоциацию ипотечных банкиров (MBA), Национальную ассоциацию риелторов (NAR), Американский совет страховщиков жизни (ACLI). Нажмите здесь, чтобы получить письмо поддержки от коалиции организаций, и здесь, чтобы получить письмо поддержки от государственных организаций.
«С началом пандемии предприятия были вынуждены быстро адаптироваться к новым нормам, и сфера недвижимости не стала исключением. Одним из наиболее важных инструментов в этом процессе в индустрии правовых титулов является удаленное онлайн-нотариальное заверение (RON)», — сказала Дайан Томб, главный исполнительный директор ALTA. «Мы приветствуем лидерство сенаторов Крамера и Уорнера за признание очевидных преимуществ расширения доступа к RON для всех американцев и введение этого двухпартийного законодательства, которое предлагает безопасную и надежную альтернативу для заключения сделок с недвижимостью и ипотеки. Приняв Закон о нотариальном заверении SECURE, мы можем сделать столь необходимый шаг в будущее, модернизировав процесс нотариального заверения с помощью безопасной системы, которая доказала свою соответствие потребностям и ожиданиям потребителей».
«Национальная ассоциация риелторов благодарит сенаторов Крамера и Уорнера за повторное введение Закона о безопасности», — сказал президент NAR Чарли Опплер. и эффективно заключать сделки с недвижимостью, используя безопасную двустороннюю аудиовизуальную связь».
«Руководство сенатора Уорнера и сенатора Крамера в этой инициативе признает, что необходимы современные практические подходы, чтобы идти в ногу со временем и служить отдельным лицам и семьям, работающим над защитой финансового будущего своей семьи», сказала Сьюзан К. Нили, президент и главный исполнительный директор ACLI . «Благодаря приспособлениям, сделанным регулирующими органами после появления COVID-19, компании по страхованию жизни смогли продемонстрировать, насколько эффективно дистанционное онлайн-нотариальное заверение работает для потребителей. Имеет смысл принять дистанционное онлайн-нотариальное заверение как постоянную инновацию. ACLI с энтузиазмом поддерживает этот закон».
«Закон о нотариальном заверении SECURE необходим для поддержки новых домовладельцев и поможет применить некоторую свободу транзакций к потоку основных операций по закрытию недвижимости, поскольку американцы начинают полностью выходить из пандемии», – сказал Билл Киллмер, старший вице-президент по законодательным и политическим вопросам MBA. «MBA высоко оценивает стремление сенатора Крамера и Warner обеспечить общенациональное использование технологии удаленного онлайн-нотариального заверения (RON). Их постоянное усердие и напряженная работа над этим важным вопросом значительно упростят и улучшат ипотечные операции для всех, кто преследует мечту о собственном жилье».
Местные лидеры в Северной Дакоте и Вирджинии также поддерживают законопроект, представленный сенаторами Крамером и Уорнером.
«Используя возможности технологий, мы можем предоставить жителям Северной Дакоты и всем американцам удобные услуги, которых они ожидают и заслуживают в безопасности своих собственных домов», — сказал губернатор Северной Дакоты Дуг Бургам. «Мы благодарны сенатору Крамеру и сенатору Уорнеру за повторное введение этого закона, чтобы перенести процесс нотариального заверения в 21 век».
«В течение многих лет Содружество Вирджинии лидировало в области удаленного онлайн-нотариального заверения, облегчая жителям Вирджинии совершать финансовые и личные транзакции, не выходя из дома. Мы аплодируем сенаторам Уорнеру и Крамеру за то, что они обратили внимание на модель Вирджинии и представили этот законопроект, который поможет всем американцам использовать эту технологию» 9.05:20 сказала Келли Томассон, секретарь Содружества Вирджинии.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть текст счета.
Решить методом Крамера онлайн с подробным решением. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера. Системы линейных алгебраических уравнений
Для освоения этого параграфа необходимо уметь открывать классификаторы «два на два» и «три на три». Если определители плохие, изучите урок Как вычислить определитель?
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!
Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .
Метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.
Корни уравнения находятся по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение справа стоят десятичные дроби с запятой. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.
Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.
Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.
Пример 8
Выразите ответ в виде обыкновенных неправильных дробей. Сделайте чек.
Это пример для самостоятельного решения (пример оформления и ответ в конце урока).
Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Найдем главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ вычисляется по формулам:
Как видите, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решите систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:
1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» кадром, нужно сразу же проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).
2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.
Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.
Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.
Пример 10
Решите систему, используя формулы Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.
Пример 11
Решить систему матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.
Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разберемся с определителем:
Здесь определитель расширяется первой строкой.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце
В ходе решения лучше описать подсчёт несовершеннолетних подробно, хотя при определённом опыте их можно приспособить к счёту с ошибками устно.
В первой части мы рассмотрели теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!
Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .
Метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.
Корни уравнения находятся по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.
Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.
Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.
Пример 8
Выразите ответ в виде обыкновенных неправильных дробей. Сделайте чек.
Это пример для самостоятельного решения (пример оформления и ответ в конце урока).
Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Найдем главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ вычисляется по формулам:
Как видите, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решите систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:
1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» кадром, нужно сразу же проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).
2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.
Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.
Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.
Пример 10
Решите систему, используя формулы Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.
Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).
Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.
Пример 11
Решить систему матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.
Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разберемся с определителем:
Здесь определитель расширяется первой строкой.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце
Крамер Габриэль — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли , один из основоположников линейной алгебры. Крамер рассмотрел систему произвольного числа линейных уравнений с квадратной матрицей. Он представил решение системы в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений, что позволяет значительно ускорить процесс решения. Этот метод можно применять при решении системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Главное, чтобы определитель системы не был равен «0», тогда в решении можно использовать метод Крамера, если «0» — этот метод использовать нельзя. Также этот метод можно применять для решения систем линейных уравнений с единственным решением.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.
Допустим, нам дали такую СЛАУ:
\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]
По теореме Крамера получаем:
Ответ: \
Где можно решить уравнение по методу Крамера онлайн-решателем?
Решить уравнение можно на нашем сайте https://сайт.Бесплатный онлайн-решатель позволит решить онлайн-уравнение любой сложности за считанные секунды. Все, что вам нужно сделать, это просто ввести свои данные в решатель.Также вы можете посмотреть видеоинструкцию и научиться решать уравнение на нашем сайте.А если у вас есть какие-либо вопросы, вы можете задать их в нашей группе Вконтакте http:/ /vk.com/pocketteacher Вступайте в нашу группу, мы всегда рады вам помочь
Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т.е. имеет вид
Такие системы линейных уравнений называются квадратичными. Определитель, составленный из коэффициентов независимых переменных системы (1. 5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой Д. Таким образом,
. (1.6)
Если в главном определителе произвольный ( j -й) столбец заменить его столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательные определители:
( j = 1, 2, …, n ). (1.7)
Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
(1.8)
Пример 1.5. Решите систему уравнений методом Крамера
.
Вычислим главный определитель системы:
Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):
Таким образом,
Действия с матрицами
1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.
2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть
. (1.9)
Пример 1.6. .
Добавление матрицы.
Эта операция вводится только для матриц одного порядка.
Для сложения двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы другой матрицы с элементами одной матрицы:
(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.
Пример 1.7. .
Умножение матриц.
Если количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы на , затем для таких матриц введена операция умножения:
2
Таким образом, при умножении матрицы , но Dimensions M ´ N TO MATRIX AT ´ N TO MATRIX AT ´ N TO MATRIX AT ´ N TO MATRIX AT ` N AT ´ N ´ N . k получаем матрицу С размерами m ´ k . В этом случае элементы матрицы С рассчитываются по следующим формулам:
Задача 1.8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :
Решение. 1) Чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :
2) Произведения BA не существует, т.к. количество столбцов матрицы B не соответствует количеству строк матрицы A .
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом
Матрица А- 1 называется обратной квадратной матрице А , если выполняется равенство:
где через I обозначает единичную матрицу того же порядка, что и матрица А :
.
Чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица находится по формуле:
, (1.13)
где A ij — алгебраические дополнения к элементам aij матрицы А (обратите внимание, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).
Пример 1.9. Найдите обратную матрицу A- 1 к матрице
.
Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:
.
Найдем det A = | А | = 1 х 3 х 8 + 2 х 5 х 3 + 2 х 4 х 3 — 3 х 3 х 3 — 1 х 5 х 4 — 2 х 2 х 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.
1) Найти алгебраические дополнения A ij :
Для удобства нахождения обратной матрицы мы разместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующих столбцах.
Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:
Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричной форме:
где
Умножая обе части равенства (1. 14) слева на А- 1 , получаем решение системы:
, где
Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы , нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.
Задача 1.10. Решите систему линейных уравнений
с помощью обратной матрицы.
Решение. Запишем систему в матричной форме: ,
где – основная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Поскольку главный определитель системы , то главная матрица системы А имеет обратную матрицу А -единицу. Чтобы найти обратную матрицу А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :
Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:
Находим решение системы по формуле (1. 15):
Таким образом,
Решение систем линейных уравнений обыкновенными жордановыми исключениями
Пусть задана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:
(1.16)
Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных удовлетворяющее всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесконечное число решений. Она также может вообще не иметь решений.
При решении подобных задач используется известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который также называют методом обыкновенных жордановых исключений. Суть этого метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого была выражена переменная, запоминается.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они справедливы при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например, ), то делаем вывод, что система не имеет решения.
Если в ходе решения несовместных уравнений не возникло, то одна из оставшихся в ней переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении останутся другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем делается так называемый «обратный ход». Найденная переменная подставляется в последнее запомненное уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запоминаемое уравнение и находится третья переменная, и так до первого запоминаемого уравнения.
В результате получаем решение системы. Это решение будет единственным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем и все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное число решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.
Пример 1.11.
x
Запомнив первое уравнение и приведя во втором и третьем уравнениях одинаковые члены, придем к системе:
Выразим из второго уравнения 6 y 904 первое уравнение:
Вспомним второе уравнение и из первого найдем z :
Делая обратный ход, последовательно найдем y и з . Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение, из которого находим y :
.
Затем подставляем и в первое запомненное уравнение откуда находим х :
Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:
. (1.17)
Решение. Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье уравнения:
.
Запомните первое уравнение
В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется при любых значениях переменных х , y и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т. е. не имеет решения.
Читателям предлагается самостоятельно проверить равенство нулю главного определителя исходной системы (1.17).
Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) только одним свободным членом.
Задача 1. 13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:
. (1.18)
Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:
.
Вспомните первое уравнение, и мы представим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях. Приходим к системе:
выразив y из первого уравнения и подставив его во второе уравнение , получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а, следовательно, его можно исключить из системы.
В последнем запомненном равенстве в качестве параметра будет рассматриваться переменная z . Мы верим. Затем
Подставляем y и z в первое запомненное равенство и находим x :
.
Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19) при выборе произвольного значения параметра t :
(1.19)
Таким образом, решения системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).
В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и формализовать решение задачи в виде специальных таблиц Жордана.
Пусть задана система линейных форм (уравнений):
, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, aij — постоянные коэффициенты
( i = 902,36 1,20,36 …, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i ( i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы путем исключения неизвестных.
Рассмотрим следующую операцию, именуемую в дальнейшем «один шаг обычных жордановых исключений». Из произвольного ( r го) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только в том случае, если а rs ¹ 0. Коэффициент а rs называется разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.
Получим следующую систему:
. (1.21)
Из s -го равенства системы (1.21) впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S Строка th запоминается и впоследствии исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.
Вычислим коэффициенты получившейся системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет иметь вид:
Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:
( 1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22), x s в i -е уравнение системы (1.20):
После приведения подобных членов получаем:
(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -е уравнение):
(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом ординарных исключений Жордана представлено в виде таблиц (матриц). Эти таблицы называются «таблицами Иордании».
Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая таблица Жордана:
Таблица 1.1
х 1 х 2 … х … х с … х
у 1 = и 11 и 12 и 1 и а 1 с а 1 n
…………………………………………………………………. .
у я = и 1 и 2 ай а есть а в
…………………………………………………………………..
г р = 1 2 и рж а рс а р-н
………………………………………………………………….
д н = а м 1 а м 2 а мдж и мс и
Таблица Жордана 1.1 содержит левый головной столбец, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхнюю головную строку, в которой записаны независимые переменные.
Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1. 20). Если умножить матрицу А на матрицу, состоящую из элементов верхней заголовочной строки, то получим матрицу, состоящую из элементов левого заглавного столбца. То есть, по сути, таблица Жордана представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений: . В этом случае системе (1.21) соответствует следующая таблица Жордана:
Таблица 1.2
х 1 х 2 … х … г р … х
у 1 = б 11 б 12 б 1 к б 1 с б 1 н
…………………………………………………………………..
у я = б и 1 б и 2 б идж б это б в
…………………………………………………………………. .
х с = бр 1 бр 2 б рдж брс б р-н
………………………………………………………………….
д н = б м 1 б м 2 бмж б мс млрд
Разрешающий элемент a rs выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой. Столбец, содержащий элемент включения, называется столбцом включения. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная ( x s ) из верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( г. р. ) перемещается из левого столбца заголовка таблицы в верхнюю строку заголовка.
Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы Жордана (1.1) к таблице (1.2), который следует из формул (1.23) и (1.25).
1. Разрешающий элемент заменяется обратным номером:
2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:
3. Остальные элементы разрешающего столбца равны разделен на активирующий элемент:
4. Элементы, не входящие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:
Последнюю формулу легко запомнить, если заметить, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -ой и -й -й строк и -й -й и -й -й столбцов (разрешающая строка, разрешающий столбец и строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно пользоваться следующей схемой:
-21 -26 -13 -37
Выполняя первый шаг жордановых исключений, любой элемент таблицы 1. 3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Вы должны не только выбрать разрешающий элемент в последнем столбце, так как нужно найти независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 с переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (активирующий элемент выделен жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 из левого столбца заголовка (третья строка). При этом переменная х 3 выражается через остальные переменные.
string x 3 (таблица 1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Таблица 1.4 также исключает третий столбец с нулем в верхней строке заголовка. Дело в том, что вне зависимости от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие ему члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Следовательно, эти коэффициенты не могут быть рассчитаны. Исключив одну переменную х 3 и вспомнив одно из уравнений, мы придем к системе, соответствующей табл. 1.4 (с перечеркнутой линией х 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).
Таблица 1.5 Таблица 1.6
Из последней таблицы 1.7 находим: х 1 = — 3 + 2 х 5 .
Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим оставшиеся переменные:
Таким образом, система имеет бесконечное число решений. переменная x 5 , вы можете присвоить произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:
x 1 = — 3 + 2 t
x 2 = — 1 — 3 t
x 4 = — 9.0 2. (1.27)
х 4 = 4 + 5 t
х 5 = t
Придавая параметру t различные значения, мы получаем исходную систему из бесконечного числа решений. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).
Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1 Решить систему линейных уравнений:
Согласно Теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2), калькулятор Крамера 9:
52 онлайн калькулятор 9 .
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система непротиворечивая и определенная)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений
(система непротиворечивая и неопределенная)
** ,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений
(система несовместная)
Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
—
системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой в столбце коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:
Пример 2
Следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.
Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы (2;-1;1).
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
Начало страницы
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных
Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам нахождения общих свойств каких-либо явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных стоят буквы. За примерами далеко ходить не надо.
Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Нахождение определителей неизвестных
Как правило Крамера используется для решения системы уравнений

Существуют разные способы решения одной задачи по математике. Вот почему это так сложно и легко одновременно. Можно решить проблему любым способом.
Например, существует множество способов записи уравнения, т. е. форма пересечения наклона, стандартная форма, форма точка-наклон и т. д.
Точно так же уравнения решаются разными методами. Одним из таких методов является правило Крамера, и он является наиболее предпочтительным.
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера используется для решения системы сложных математических уравнений. Он назван в честь женевского математика Габриэля Крамера.
В правиле Крамера мы находим значение неизвестной переменной, скажем, z, заменяя столбец z матрицы и находя его определитель. После этого разделите это на значение определителя исходной матрицы.
Недостаток:
Это простой способ, но он может быть неэффективным и утомительным, если система состоит из более чем трех уравнений. Более того, она эффективна только в том случае, если система имеет единственное решение.
Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю, вам потребуется найти какой-то другой метод для нахождения значений переменных. Это связано с тем, что правило Крамера в таких случаях неприменимо.
Как решать уравнения по правилу Крамера?
Хотя у правила Крамера есть некоторые недостатки, но там, где его можно применить, это лучший выбор. Этот метод очень упростил вычисление значений переменных.

Примечание:
          Следует отметить, что правило Крамера работает только с квадратными матрицами. То есть количество неизвестных равно количеству уравнений.
Решение системы 2 линейных уравнений:
Легко решить систему, состоящую из двух уравнений, по очевидной причине меньшего количества вычислений.
Давайте рассмотрим два общих уравнения:
A1X + B1Y = D1… Уравнение 1
A2X + B2Y = D2… Уравнение 2
, чтобы решить его для значений x и y, мы должны преобразовать их в матрикс. форма.
                           Y-столбец0005
A1 B1 D1
=
A2 B2 D2
↑ ↑
COLUND COMNAT Формула для значения переменной:
                 = |Dx| / |Д| , |Dy| / |Д|
Используя эту формулу, мы можем найти значение переменных x и y. Буква «D» представляет определитель матрицы A.
Чтобы найти другие определители (|Dx| или |Dy|), мы должны поместить постоянную матрицу на место столбца переменной, значение которой мы хотим найти.
В приведенном выше общем примере, если мы хотим найти значение переменной X, мы заменим столбец X постоянной матрицей. Вот так:
D1 B1
D2 B2
Это теперь матрица X, а ее определяющая среда — | dx |. Надеюсь, все это имеет смысл. Теперь давайте решим пример для лучшего понимания.
Пример:
Найдите значение переменных X и Y для этих уравнений.
             6x + 6y = 10
              1x + 2y = 3
Решение:
Шаг 1: Сформируйте матрицу.
6 6 10
=
1 2 3
А постоянная
Шаг 2: Найдите матрицу X и Y.
x-matrix:
10 6
3 2
Y-Matrix:
6 10
1 3
Шаг 3: Найдите определения всех трех марок, И. Е. и |Ду|).
Определитель матрицы A:
   = (6)(2) — (1)(6)
   = 12 — 6 (3)(6)
   = 20 — 18
   = 2
Определитель матрицы Y:
   = (6)(3) — (1)(10)
= 5 9 5 9 5 5 9 9 005
Шаг 4: Используйте формулу правила Крамера для вычисления значений переменных X и Y.
Для X:
          |Dx | / |Д| = 2/6 = 1/3
Для Y:
         |Dy | / |Д| = 8 / 6 = 4 / 3
Итак, ответ:
         X = 1/3 And Y = 4/3
Решение системы 3 Линейное уравнение:
Чтобы найти значения переменных в системе Три уравнения очень похожи на поиск значений в системе из 2 уравнений.
Единственная разница, когда есть 3 уравнения, заключается в том, что вам нужно найти дополнительную переменную. Давайте посмотрим на общий пример.
                   a1x b1y c1z = d1
                    a2x b2y c2z = d2
                    a3x b3y c3z = d3

On conversion into matrices, it will look like this:
              a1 b1 c1 d1

              a2 b2 c2 = d2
              a3 b3 c3 d3
На этот раз нам нужно найти и переменную Z. Для этого определитель |Dz| будет вычислено. В остальном процесс аналогичен системе из двух уравнений.
Альтернативный метод: с помощью калькулятора:
Несмотря на то, что вычисление значений переменных с помощью правила Крамера несложно, нельзя отрицать, что это занимает много времени. И давайте не будем забывать о возможности незначительных ошибок, которые могут привести к серьезным последствиям.
No related posts.

Как решать методом крамера примеры. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

В чем заключается метод Крамера

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Решение систем уравнений методом Крамера

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

2.4. Определители n-го порядка

2.

Решение системы методом Крамера — FINDOUT.SU

Проект на тему «Метод Крамера, как способ решения практических задач»

Метод крамера описание метода. Линейные уравнения

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Матрицы метод крамера примеры. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

2.4. Определители n-го порядка

2.

Как решить систему уравнений методом крамера. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

2.4. Определители n-го порядка

2.

Использование вариаций параметров с системой уравнений для нахождения конкретного решения — Криста Кинг Математика

Метод вариации параметров, системы уравнений и правило Крамера

Использование метода вариации параметров и системы уравнений для нахождения частного решения дифференциального уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Как использовать изменение параметров и правило Крамера для больших наборов решений 9{-2x}}{2x}???

Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»

1.

Вычисление определителя 2 × 2

Пример 1

Использование определителей для решения систем уравнений

Правило Крамера

Пример 2

Кофакторы

Расширение несовершеннолетними

Пример 3

Правило Крамера для решения систем линейных уравнений 3 × 3

Пример 4

Определяющие упражнения

Возникло исключение типа «System.OutOfMemoryException».

Где можно решить уравнение по методу Крамера онлайн-решателем?

Действия с матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений обыкновенными жордановыми исключениями

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Начало страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как правило Крамера используется для решения системы уравнений

Добавить комментарий Отменить ответ