Решить {l}{x+y=6}{x-y=2} | Microsoft Math Solver
\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { x — y = 2 } \end{array} \right.
x=4
y=2
Викторина
Simultaneous Equation
5 задач, подобных этой:
\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { x — y = 2 } \end{array} \right.
Подобные задачи из результатов поиска в Интернете
Поделиться
Скопировано в буфер обмена
x+y=6,x-y=2
Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.
x+y=6
Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.
x=-y+6
Вычтите y из обеих частей уравнения.
-y+6-y=2
Подставьте -y+6 вместо x в другом уравнении x-y=2.
-2y+6=2
Прибавьте -y к -y.
-2y=-4
Вычтите 6 из обеих частей уравнения.
y=2
Разделите обе части на -2.
x=-2+6
Подставьте 2 вместо y в x=-y+6.
Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=4
Прибавьте 6 к -2.
x=4,y=2
Система решена.
x+y=6,x-y=2
Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.
\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричном виде.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Перемножение матриц слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)
Перемножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
x=4,y=2
Извлеките элементы матрицы x и y.
x+y=6,x-y=2
Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.
x-x+y+y=6-2
Вычтите x-y=2 из x+y=6 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.
y+y=6-2
Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.
2y=6-2
Прибавьте y к y.
2y=4
Прибавьте 6 к -2.
y=2
Разделите обе части на 2.
x-2=2
Подставьте 2 вместо y в x-y=2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=4
Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.
x=4,y=2
Система решена.
Пересечение прямых.
Точка пересечения двух прямых Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых
Навигация по странице:
- Определение точки пересечения прямых
- Точка пересечения двух прямых на плоскости
- Точка пересечения двух прямых в пространстве
Онлайн калькулятор. Точка пересечения двух прямых
Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
Определение. Точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.
Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:
- графический
- аналитический
Графический метод решения.
Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)
Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = -3x + 1.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2x — 1y = -3x + 1Вычтем из первого уравнения второе
y — y = 2x — 1 — (-3x + 1)y = -3x + 1 => 0 = 5x — 2y = -3x + 1
Из первого уравнения найдем значение x
5x = 2y = -3x + 1 =>
x = 25 = 0.
4y = -3x + 1
Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y
x = 0.4y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)
Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и
x = 2t + 1y = t.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2x — 1x = 2t + 1y = tВ первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.
t = 2·(2t + 1) — 1x = 2t + 1y = t => t = 4t + 1x = 2t + 1y = t =>
-3t = 1x = 2t + 1y = t => t = -13x = 2t + 1y = t
Подставим значение t во второе и третье уравнение
t = -13x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13y = -13
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)
Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и
x — 23=
y4.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
2x + 3y = 0x — 23 = y4
Из второго уравнения выразим y через x
2x + 3y = 0y = 4·x — 23
Подставим y в первое уравнение
2x + 3·4·x — 23 = 0y = 4·x — 23 => 2x + 4·(x — 2) = 0y = 4·x — 23 =>
2x + 4x — 8 = 0y = 4·x — 23 => 6x = 8y = 4·x — 23 =>
x = 86 = 43y = 4·x — 23 => x = 86 = 43y = 4·4/3 — 23 = 4·-2/3 3 = -89
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)
Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = 2x + 1.
Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k1 = k2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.
Решим также эту задачу используя систему уравнений:
y = 2x — 1y = 2x + 1Вычтем из первого уравнения второе
y — y = 2x — 1 — (2x + 1)y = -3x + 1 => 0 = -2y = -3x + 1
В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).
Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).
Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.
1 = 1
1 = 3·1 — 2 = 1
Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых в пространстве
Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)
Пример 6.
= 2 — y = z.
Решение: Составим систему уравнений
x — 1 = ay — 1 = az — 1 = ax — 3-2 = b2 — y = bz = b => x = a + 1y = a + 1z = a + 1x — 3-2 = b2 — y = bz = b =>
Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = a + 1y = a + 1z = a + 1a + 1 — 3-2 = b2 — (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = ba + 1 = b
К шестому уравнению добавим пятое уравнение
x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = ba + 1 + (1 — a) = b + b => x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = bb = 1
Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения
x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = 11 — a = 1b = 1 => x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2 = -2a = 0b = 1 =>
x = a + 1y = a + 1z = a + 1a = 0a = 0b = 1 => x = 0 + 1 = 1y = 0 + 1 = 1z = 0 + 1 = 1a = 0a = 0b = 1
Ответ.
Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).
Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.
Пример 7. Найти точку пересечения прямых
x = 2t — 3y = tz = -t + 2и
x = t + 1y = 3t — 2z = 3.
Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a
x = 2t — 3y = tz = -t + 2x = a + 1y = 3a — 2z = 3
Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = 2t — 3y = tz = -t + 22t — 3 = a + 1t = 3a — 2-t + 2 = 3=>
x = 2t — 3y = tz = -t + 22t = a + 4t = 3a — 2t = -1=>
Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения
x = 2·(-1) — 3y = (-1)z = -(-1) + 22·(-1) = a + 4-1 = 3a — 2t = -1 => x = -5y = -1z = 3a = -6a = 13t = -1
Ответ.
Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.
Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты
3-8Решить x+y=4,2x-y=2 | Microsoft Math Solver.
ПоделитьсяСкопировано в буфер обмена
x+y=4,2x-y=2
Чтобы решить пару уравнений с помощью подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат этой переменной в другое уравнение.
x+y=4
Выберите одно из уравнений и решите его относительно x, выделив x слева от знака равенства.
x=-y+4
Вычтите y из обеих частей уравнения.
2\влево(-y+4\вправо)-y=2
Подставьте -y+4 вместо x в другое уравнение, 2x-y=2.
-2y+8-y=2
Умножить 2 раза -y+4.
-3y+8=2
Добавьте -2y к -y.
-3y=-6
Вычтите 8 из обеих частей уравнения.
y=2
Разделите обе части на -3.
x=-2+4
Подставьте 2 вместо y в x=-y+4. Поскольку результирующее уравнение содержит только одну переменную, вы можете найти x напрямую.
x=2
Прибавьте 4 к -2.
x=2,y=2
Теперь система решена.
x+y=4,2x-y=2
Приведите уравнения к стандартной форме, а затем используйте матрицы для решения системы уравнений.
\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin {матрица}4\\2\конец{матрица}\справа)
Запишите уравнения в матричной форме.
обратная (\ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ правая)) \ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ правая) \ влево (\ начало {матрица} х \\ у \ конец {матрица} \ вправо) = обратное (\ влево (\ начало {матрица} 1 & 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ вправо)) \ влево (\ начало {matrix}4\\2\end{matrix}\right)
Left умножьте уравнение на обратную матрицу \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin {матрица}1&1\\2&-1\конец{матрица}\справа))\слева(\начало{матрица}4\\2\конец{матрица}\справа)
Произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left (\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
Умножьте матрицы слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{-1-2}&-\frac{1} {-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\ \2\конец{матрица}\справа)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2, обратная матрица равна \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad- bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матрица уравнение можно переписать как задачу умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
Подсчитайте.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3 }\times 2\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)
Умножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)
Выполните арифметические действия.