Система уравнений x y 4 x 2 y 2: Решите систему уравнений x-y=4 x^2+y^2=10

Решить {l}{x+y=6}{x-y=2} | Microsoft Math Solver

\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { x — y = 2 } \end{array} \right.

x=4

y=2

Викторина

Simultaneous Equation

5 задач, подобных этой:

\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { x — y = 2 } \end{array} \right.

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете

Поделиться

Скопировано в буфер обмена

x+y=6,x-y=2

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

x+y=6

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

x=-y+6

Вычтите y из обеих частей уравнения.

-y+6-y=2

Подставьте -y+6 вместо x в другом уравнении x-y=2.

-2y+6=2

Прибавьте -y к -y.

-2y=-4

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

y=2

Разделите обе части на -2.

x=-2+6

Подставьте 2 вместо y в x=-y+6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

x=4

Прибавьте 6 к -2.

x=4,y=2

Система решена.

x+y=6,x-y=2

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Запишите уравнения в матричном виде.

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Перемножение матриц слева от знака равенства.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)

Выполните арифметические операции.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)

Перемножьте матрицы.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)

Выполните арифметические операции.

x=4,y=2

Извлеките элементы матрицы x и y.

x+y=6,x-y=2

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

x-x+y+y=6-2

Вычтите x-y=2 из x+y=6 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

y+y=6-2

Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

2y=6-2

Прибавьте y к y.

2y=4

Прибавьте 6 к -2.

y=2

Разделите обе части на 2.

x-2=2

Подставьте 2 вместо y в x-y=2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

x=4

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

x=4,y=2

Система решена.

Пересечение прямых.

Точка пересечения двух прямых Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Навигация по странице:

  • Определение точки пересечения прямых
  • Точка пересечения двух прямых на плоскости
  • Точка пересечения двух прямых в пространстве

Онлайн калькулятор. Точка пересечения двух прямых

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение. Точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:

  • графический
  • аналитический

Графический метод решения.

Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1y = -3x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (-3x + 1)y = -3x + 1     =>     0 = 5x — 2y = -3x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5x = 2y = -3x + 1     =>     x = 25 = 0. 4y = -3x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и

x = 2t + 1y = t

.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1x = 2t + 1y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2t + 1) — 1x = 2t + 1y = t     =>     t = 4t + 1x = 2t + 1y = t     =>    

-3t = 1x = 2t + 1y = t     =>     t = -13x = 2t + 1y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = -13x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13y = -13

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и

x — 23

=

y4

.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2x + 3y = 0x — 23 = y4

Из второго уравнения выразим y через x

2x + 3y = 0y = 4·x — 23

Подставим y в первое уравнение

2x + 3·4·x — 23 = 0y = 4·x — 23     =>     2x + 4·(x — 2) = 0y = 4·x — 23     =>    

2x + 4x — 8 = 0y = 4·x — 23     =>     6x = 8y = 4·x — 23     =>    

x = 86 = 43y = 4·x — 23     =>     x = 86 = 43y = 4·4/3 — 23 = 4·-2/3 3 = -89

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = 2x + 1.

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k1 = k2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2x — 1y = 2x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (2x + 1)y = -3x + 1     =>     0 = -2y = -3x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3x — 2.

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

1 = 1

1 = 3·1 — 2 = 1

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.


Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6.

Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и

x — 3-2

= 2 — y = z.

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = ay — 1 = az — 1 = ax — 3-2 = b2 — y = bz = b   =>   x = a + 1y = a + 1z = a + 1x — 3-2 = b2 — y = bz = b   =>  

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1y = a + 1z = a + 1a + 1 — 3-2 = b2 — (a + 1) = ba + 1 = b   =>   x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = ba + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = ba + 1 + (1 — a) = b + b   =>   x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = b1 — a = bb = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2-2 = 11 — a = 1b = 1   =>   x = a + 1y = a + 1z = a + 1a — 2 = -2a = 0b = 1   =>  

x = a + 1y = a + 1z = a + 1a = 0a = 0b = 1   =>   x = 0 + 1 = 1y = 0 + 1 = 1z = 0 + 1 = 1a = 0a = 0b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых

x = 2t — 3y = tz = -t + 2

и

x = t + 1y = 3t — 2z = 3

.

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2t — 3y = tz = -t + 2x = a + 1y = 3a — 2z = 3

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2t — 3y = tz = -t + 22t — 3 = a + 1t = 3a — 2-t + 2 = 3

  =>  

x = 2t — 3y = tz = -t + 22t = a + 4t = 3a — 2t = -1

  =>  

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3y = (-1)z = -(-1) + 22·(-1) = a + 4-1 = 3a — 2t = -1   =>   x = -5y = -1z = 3a = -6a = 13t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.

Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить
квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Решить x+y=4,2x-y=2 | Microsoft Math Solver.

Поделиться

Скопировано в буфер обмена

x+y=4,2x-y=2

Чтобы решить пару уравнений с помощью подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат этой переменной в другое уравнение.

x+y=4

Выберите одно из уравнений и решите его относительно x, выделив x слева от знака равенства.

x=-y+4

Вычтите y из обеих частей уравнения.

2\влево(-y+4\вправо)-y=2

Подставьте -y+4 вместо x в другое уравнение, 2x-y=2.

-2y+8-y=2

Умножить 2 раза -y+4.

-3y+8=2

Добавьте -2y к -y.

-3y=-6

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

y=2

Разделите обе части на -3.

x=-2+4

Подставьте 2 вместо y в x=-y+4. Поскольку результирующее уравнение содержит только одну переменную, вы можете найти x напрямую.

x=2

Прибавьте 4 к -2.

x=2,y=2

Теперь система решена.

x+y=4,2x-y=2

Приведите уравнения к стандартной форме, а затем используйте матрицы для решения системы уравнений.

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin {матрица}4\\2\конец{матрица}\справа)

Запишите уравнения в матричной форме.

обратная (\ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ правая)) \ левая (\ начало {матрица} 1 и 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ правая) \ влево (\ начало {матрица} х \\ у \ конец {матрица} \ вправо) = обратное (\ влево (\ начало {матрица} 1 & 1 \\ 2 & -1 \ конец {матрица} \ вправо)) \ влево (\ начало {matrix}4\\2\end{matrix}\right)

Left умножьте уравнение на обратную матрицу \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin {матрица}1&1\\2&-1\конец{матрица}\справа))\слева(\начало{матрица}4\\2\конец{матрица}\справа)

Произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left (\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)

Умножьте матрицы слева от знака равенства.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{-1-2}&-\frac{1} {-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\ \2\конец{матрица}\справа)

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2, обратная матрица равна \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad- bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матрица уравнение можно переписать как задачу умножения матриц.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)

Подсчитайте.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3 }\times 2\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)

Умножьте матрицы.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)

Выполните арифметические действия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *