Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары: Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы

Условия задач

Задача 73. Студент, 3й уровень, 2004 год
Сколько положительных  целых чисел могут быть записаны как a₀+a₁3+a₂3²+a₃3³+a₄3⁴, если a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ принадлежат множеству {-1, 0, 1}
А:5; Б:80; В:81; Г:121; Д: 243;

Задача 74. Юниор, 3й уровень, 2001 год
Сколькими способами можно полностью покрыть прямоугольник со сторонами 2×8 костяшками домино 1×2 без наложений?
А:16; Б:21; В:30; Г:32; Д:34;

Задача 75. Кадет, 3й уровень, 2003 год
По результатам контрольной работы, в классе средний балл мальчиков оказался равен 8,6, девочек – 9,8, а средний балл всех учеников в классе – 9,4.

Какую часть класса составляют мальчики?
А: 1/4; Б: 1/3; В: 1/2; Г: 2/3; Д: невозможно определить;

Задача 76. Школьник, 3й уровень, 2003 год
Сколько точек пересечения точно не могут иметь 4 прямые?
А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;

Задача 77. Малыш, 3й уровень, 2001 год
Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания, выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук – за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит?

А: 5; Б: 10; В: 15; Г: 20; Д: 25;

Задача 73.
Здесь мы имеем дело с равновесной троичной системой счисления. Если бы коэффициенты при степенях тройки принимали значения 0, 1 или 2, то таким образом могли бы быть записаны числа от 0 до (22222)₃ = 242. А в равновесной троичной системе счисления пятью цифрами можно записать число от ((-1)(-1)(-1)(-1)(-1))₃ = -121 до (11111)₃ = 121. Из них положительных чисел будет 121.

Строго доказать, что с помощью n цифр равновесной троичной системы можно записать все числа в диапазоне от –(3ⁿ-1)/2 до (3ⁿ-1)/2 можно по индукции. Одной цифрой можно записать числа -1, 0, 1 – база индукции имеется. Пусть для k цифр верно, что мы получаем все числа от –(3

k — 1)/2 до (3^k — 1)/2.

Тогда, взяв k+1-ю цифру, равную нулю, мы получим те же числа. Взяв её равной единице, получим числа от 3^k – (3^k — 1)/2 до 3^k + (3^k — 1)/2, т.е. от (3^k — 1)/2 +1 до (3^k+1 — 1)/2. Аналогично, взяв взяв k+1-ю цифру, равную -1, получим все числа от –(3^k+1 — 1)/2 до (3^k — 1)/2 -1. Таким образом, с помощью k+1 цифры мы получим все числа от –(3^k+1 — 1)/2 до (3^k+1 — 1)/2, что и требовалось доказать.

Следовательно, утверждение верно и с помощью 5 цифр мы действительно получим все числа от -121 до 121.
Ответ Г: 121;

Задача 74.
У нас уже разбиралась задача о нахождении количества разбиений полоски 2хn на домино 1х2. Там доказывалось, что искомое количество равно n-му числу Фибоначчи, если начинать ряд с 1, 2. Следовательно, для восьми, число способов будет равняться: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34
Ответ Д:34;

Задача 75
Пусть доля мальчиков в классе равна x, 0<x<1. Тогда доля девочек в классе (1-x). Верно равенство:

8,6x + 9,8(1-x) = 9,4.
8,6x + 9,8 — 9,8x = 9,4
0,4 = 1,2x
x = 1/3

Значит, мальчиков в классе – треть
Ответ Б: 1/3;

Задача 76
Легко можно расположить 4 прямые так, чтобы у них была одна или 4 точки пересечения. Если ещё немного подумать, находятся варианты для трёх и пяти точек пересечения. Поскольку мы имеем дело с тестом, теперь можно выбирать ответ

Б: у четырёх прямых не может быть ровно две точки пересечения.

Ответ Б: 2;

Задача 77.
Сколько километров пробегает скороход за минуту?
30/10 = 3 (км)

Сколько километров пробегает Маленький Мук за минуту?
30/6 = 5 (км)

На сколько километров обгоняет Маленький Мук обгоняет скорохода каждую минуту?
5 – 3 = 2 (км).

Через сколько минут Маленький Мук обгонит скорохода на 30 км?

30/2 = 15 (мин)
Ответ В: 15;

<Назад|Далее>

Задайте вопрос на блоге о математике

Комбинаторика и теория вероятностей

Это пособие написано на основе опыта преподавания в математических классах 17 средней школы города Твери. Пособие предназначено прежде всего для школьников, поскольку в нем содержится минимальный набор сведений по затрагиваемому предмету и приведен минимальный набор задач – ровно те сведения, которые автор считал нужным сообщить своим ученикам, и те задачи, которые он успевал разобрать на уроках и предложить в качестве домашних заданий. Некоторые из этих задач даны с решениями, для остальных решения отсутствуют (предполагается, что школьники решат их самостоятельно). Впрочем, автор надеется, что для учителей данное пособие будет тоже полезно, поскольку отталкиваясь от чужого опыта всегда легче организовать собственную работу.

 С.А.Гулевич

 средняя школа №17

Часть 1. Комбинаторика.

Пусть А – конечное множество. Через А обозначим число элементов множества А, иначе называемое мощностью множества А.

Закон аддитивности. Если множества А и В не имеют общих элементов, то АВ=А+В

Задача 1.

В классе 12 мальчиков и 14 девочек. Сколько всего учеников в классе?

Эта задача показывает, что закон аддитивности мы знаем давно и пользуемся этим законом с первого класса, а то и раньше.

Задача 2. Все ученики в классе обязаны посещать хотя бы один из двух кружков: по физике или по математике. Математический кружок посещают 16 человек, физический – 14. Сколько всего человек в классе?

Для решения этой задачи закон аддитивности не применим, поскольку рассматриваемые в ней множества могут иметь непустое пересечение. Для нахождения точного числа учеников в классе нужно знать, сколько человек посещают оба кружка. При отсутствии этой информации общее число учеников может меняться от 16 до 30.

Следствия из закона аддитивности.

Следствие 1. Если ВА, то А=В+А\В.

Следствие 2. А=АВ+А\В

Следствие 3. АВ=А+В–АВ.

Задача 3. Все ученики в классе обязаны посещать хотя бы один из двух кружков: по физике или по математике. Математический кружок посещают 16 человек, физический – 14. Оба кружка посещают 4 человека. Сколько всего человек в классе?

Задача 4. Докажите следствия 1–3. Укажите, где в доказательстве использован закон аддитивности.

Задача 5. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся и на 3 и на 5?

Задача 6. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся хотя бы на одно из чисел 3 и 5?

Задача 7. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих числа а = 3

55³ и взаимно простых с а?

Задача 8. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 3, но не делятся на 5?

Задача 9. Пусть уравнение f(x)=0 имеет n решений, уравнение g(x)=0 имеет m решений, а система имеет k решений. Сколько решений имеет уравнение f(x)g(x)=0 при условии, что оба уравнения определены при всех значениях х?

Задача 10. Каждый из учеников класса ходил хотя бы в один из двух походов, причем в каждом из этих походов девочек было не больше 40% от общего числа участников. Докажите, что в классе не более девочек.

Закон аддитивности справедлив не только при подсчете количества элементов конечных множеств. Этому же закону подчиняются длины отрезков (и других множеств на прямой), площади фигур на плоскости, объемы тел в трехмерном пространстве. Многие физические величины также подчиняются закону аддитивности.

Задача 11. На отрезке единичной длины расположено несколько непересекающихся отрезков, обладающих свойством: на этих отрезках нельзя найти двух точек, расстояние между которыми равно 0,5. Докажите, что суммарная длина данных отрезков не превосходит 0,5.

Закон мультипликативности (правило умножения). Число всевозможных пар вида (a,b), где а – элемент множества А, а b – элемент множества В, равно АВ.

Задача 12. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Для участия в конкурсе нужно выбрать одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 13. Пусть уравнение f(x)=0 имеет n решений, а уравнение g(y)=0 имеет m решений. Сколько решений имеет система ?

Задача 14. Сколько различных натуральных делителей имеет число 2ⁿ3^m?

Задача 15. Докажите, что число обладает нечетным количеством различных натуральных делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом.

Задача 16. В условиях задачи 3 определить, сколькими способами можно выбрать для выступления в математической и физической олимпиадах по одному участнику соответствующего кружка при условии, что две эти олимпиады проходят одновременно.

Для решения этой задачи правило умножения нельзя применять непосредственно. Действительно, это правило не исключает из рассмотрения пары вида (а,а), появляющиеся в том случае, когда множества А и В имеют непустое пересечение. Однако по смыслу задачи нас не устраивают такие пары, так как один ученик не может участвовать в двух олимпиадах одновременно. То есть из общего количества пар, равного 1614, надо вычесть 4 пары вида (а,а).

Задача 17. Пусть А=n, В=m, АВ=k. Сколько существует пар вида (a,b), где а – элемент множества А, а b – элемент множества В, причем ab.

Задача 18. Пусть А=n. Сколько существует пар вида (a,b), где а и b – элементы множества А, причем ab.

Задача 19. В классе 27 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и заместителя старосты?

Эту задачу решается тем же способом, что и предыдущие две – из общего количества пар вычитаются 27 пар вида (а,а). Однако можно рассуждать по другому: старосту класса можно выбрать 27 способами, его заместителя – 26 способами; всего получается 2726 способов.

Сформулируем правило, позволяющее решать подобные задачи.

Пускай первый элемент пары можно выбрать n способами, а второй – m способами. Тогда общее количество пар равно nm.

Задача 20. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черную и белую ладьи так, чтобы они не били друг друга.

Задача 21. В классе 27 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту, помощника старосты и заместителя старосты?

Задача 22. В классе 27 человек. Сколькими способами из них можно выбрать двух человек для дежурства в столовой?

Почувствуйте разницу между задачами 19 и 22. В задаче 19 из двух учеников можно образовать две пары, поскольку не все равно, кто именно будет старостой, а кто его заместителем. В задаче 22 из двух учеников можно образовать только одну пару – поэтому общее количество пар в этой задаче в два раза меньше.

Задача 23. В шахматном турнире, проводимом по круговой системе (каждый участник встречается с каждым по одному разу), играет 12 человек. Сколько всего партий должно быть сыграно в этом турнире.

Задача 24. На плоскости расположено 10 точек. Сколько существует отрезков с концами в этих точках?

Задача 25. Сколько диагоналей у выпуклого n-угольника?

Задача 26. В классе 8 девочек и 17 мальчиков. Сколькими способами из их числа можно выбрать двух девочек и одного мальчика?

Задача 27. В классе 27 человек. Для участия в физической, химической и математической олимпиадах необходимо выбрать трех разных учеников. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 28. Сколько различных натуральных делителей имеет число 2ⁿ3^m5^k?

Для решения трех последних задач (а также задачи 21) правило умножения нужно применить дважды. Поскольку подобная ситуация возникает довольно часто, имеет смысл сформулировать правило умножения в следующем, более общем, виде:

Пусть нам нужно составить набор из n предметов, причем первый предмет можно выбрать к₁ способами, второй предмет – к₂ способами и т.д. Тогда общее количество всевозможных наборов равно к₁к₂к₃…к_n..

Задача 29. Сколькими способами пять учеников можно построить в шеренгу?

Задача 30. Сколькими способами пять учеников можно построить в шеренгу, если Вова не должен стоять первым?

Заметим, что при решении этой задачи можно рассуждать по разному. Первый способ: на первое место можно поставить одного из 4 детей (любого кроме Вовы), на второе – одного из 4 (трое оставшихся и Вова), на третье – одного из трех, на четвертое – одного из двух, на пятое место автоматически попадает оставшийся ученик; всего получается 4432=96 вариантов. Второй способ: Вову можно поставить на одно из 4 мест, Петю – на одно из 4, Машу – на одно из трех, Марину – на одно из двух. Можно рассуждать и так: из общего количества способов (Вова стоит где угодно) вычесть количество способов, при которых Вова стоит на первом месте (таких способов 432=24).

Задача 31. Сколькими способами пять учеников можно построить в шеренгу, если Вова не должен стоять с краю?

Задача 32. Сколькими способами n учеников можно построить в шеренгу?

Задача 33. Сколько анаграмм можно составить из букв слова ПТИЦА?

Задача 34. Сколько анаграмм можно составить из букв слова ПИЦЦА?

Задача 35. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых использованы только цифры 1, 2, 3, 4, 5?

Задача 36. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых использованы только цифры 0, 1, 2, 3, 4?

Задача 37. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых каждая цифра встречается не более одного раза?

Очень часто для решения одной задачи приходится применять как правило умножения, так и правило сложения. Обычно это происходит по следующей схеме: множество А разбивается на подмножества А_i таким образом, что число элементов каждого из них можно определить по правилу умножения.

Задача 38. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга.

Задача 39. Сколькими способами можно построить в шеренгу пять учеников, если Ваня и Маша обязательно хотят стоять рядом?

Задача 40. Сколько можно составить из букв слова ПИЦЦА таких анаграмм, в которых две буквы Ц не стоят рядом?

Задача 41. Сколько можно составить из букв слова КОМЕТА таких анаграмм, в которых гласные и согласные буквы чередуются?

Задача 42. Сколькими способами можно посадить за круглым столом 6 человек?

Мы рассмотрели ряд задач, решение которых основано на применении правил умножения и сложения. Попытаемся теперь как-то систематизировать подобные задачи. Большинство из них воспроизводит следующую ситуацию: из данных предметов необходимо по определенному принципу выбрать несколько штук. Набор выбираемых предметов принято называть выборкой. Множество, из которого выбираются предметы – выборочным множеством. Количество выбираемых предметов – размером (или объемом) выборки. Рассматриваются упорядоченные и неупорядоченные выборки. Неупорядоченные выборки характеризуются только своим составом, упорядоченные – составом выборки и порядком следования ее элементов (первый, второй, третий и т.д.). Кроме того, выборки подразделяются на две группы в зависимости от того, допускается ли в них выбор одного и того же предмета несколько раз (выборки с повторениями) или не допускается (выборки без повторений). Таким образом, имеется четыре вида выборок: упорядоченные с повторениями, упорядоченные без повторений, неупорядоченные с повторениями, неупорядоченные без повторений. Упорядоченные выборки называются иначе размещениями, а неупорядоченные – сочетаниями. При этом, когда говорят просто «сочетание», имеют в виду сочетание без повторений, в противном случае говорят «сочетание с повторениями». То же самое касается и размещений. Сочетание – это просто подмножество выборочного множества. Чтобы задать сочетание, надо перечислить входящие в это подмножество элементы, записав их в фигурные скобки: . Размещение – это упорядоченный набор элементов выборочного множества, его принято записывать в круглых скобках. Таким образом, к примеру, две записи и означают одно и то же сочетание, а записи (x₁,x₂,x₃) и (x₂,x₃,x₁) – два разных размещения. При решении задач очень важно бывает понять какой вид выборки рассматривается в данной задаче. Так, если речь идет о трех участниках математической, физической и химической олимпиад, то мы имеем дело с упорядоченной выборкой (нам не все равно, кто в какой олимпиаде выступает). Если же в задаче говорится о трех участницах конкурса красоты, то выборка является неупорядоченной. Если три олимпиады происходят в одно время, и выступать в них должны разные ученики, то это выборка без повторений. Если же допускается выступление одного и того же ученика в разных олимпиадах, то выборка с повторениями.

Задача 43. Для данных ситуаций определите выборочное множество. Найдите тип и размер выборки:

а) 10 разных предметов нужно разложить по трем разным ящикам;

б) имеется 10 разных ящиков; три разных предмета нужно убрать в эти ящики, не более одного предмета в ящик;

в) учитель задал Ване 10 задачек; Ваня решил сделать 3 из них, сказав, что остальные у него не получились;

г) у Маши в холодильнике лежат яблоки, груши и апельсины; Маша решила взять в школу 10 фруктов.

Задача 44. На танцплощадке собралось 8 юношей и 8 девушек. Сколькими способами их можно разбить на пары для участия в очередном танце?

Любая выборка характеризуется не только своим типом и размером, но и мощностью выборочного множества. В этом плане принято говорить о выборке из n по k, где n – число элементов выборочного множества, а k – размер выборки. Так, говорят о сочетаниях из n по k, о размещениях из n по k, о сочетаниях с повторениями из n по k и о размещениях с повторениями из n по k. При этом число сочетаний из n по k обозначают , число размещений из n по k обозначают . Соответственно число сочетаний и размещений с повторениями обозначают и . В том случае, когда мощность выборочного множества совпадает с размером выборки (n=k), размещения называют перестановками на множестве из n элементов. Число таких перестановок обозначается P_n. Сейчас мы выведем формулы для вычисления всех этих величин.

Размещения с повторениями.

Доказательство. Первый предмет можно выбрать n способами. Второй предмет тоже можно выбрать n способами и так далее. Применим теперь правило умножения.

Размещения.

Доказательство. Первый предмет можно выбрать n способами. Второй предмет можно выбрать (n–1) способом и так далее. Применим теперь правило умножения.

Формулу для вычисления числа размещений удобно записывать с помощью понятия факториала. Обозначим через n! (читается «n-факториал») произведение натуральных чисел от 1 до n. Тогда последнюю формулу можно записать так:

Замечание. При n=k данная формула теряет смысл, если ограничиваться обозначением n! только для натуральных n. Чтобы устранить это неудобство, договорились считать 0!=1. Эта договоренность лишена какого-либо глубокого смысла, зато очень удобна.

Перестановки.

.

Доказывать здесь нечего – достаточно рассмотреть формулу для размещений при k=n.

Сочетания.

Доказательство. Множество размещений из n по k разобьем на группы по следующему принципу: к одной группе отнесем те и только те размещения, которые отличаются порядком, но не отличаются составом. То есть размещения, попавшие в одну группу, можно считать перестановками на множестве из k элементов, откуда следует, что таких размещений k! штук. С другой стороны, так как размещения из одной группы не отличаются составом, то они задают одно и то же сочетание, то есть число всех сочетаний равно числу групп. Итак, всего размещений , они разбиты на группы по k! в каждой, то есть на групп, причем число групп равно числу сочетаний. Используя теперь доказанную выше формулу для числа размещений, получим формулу для числа сочетаний.

Алгоритм

— Распределите 14 человек в группы по 4 человека так, чтобы каждый человек встречался как минимум один раз. 4.

Вы хотите быть уверены, что у вас есть все возможные пары C_2_14 14*13/(2*1) = 91 пары.

В каждой группе из 4 у вас есть C_2_4 = 6 пар.

Давайте назначим бит для каждой возможной пары (нам нужно 91-битное целое).
Теперь каждую группу из 4 можно записать как 991-1 (все пары представлены хотя бы один раз).

Поскольку у нас 91 пара, по 6 пар в группе, 6*15 < 91 < 6*16 , это дает нам нижнюю границу: для этого нам нужно как минимум 16 групп по 4 человека, а может и больше.
В лучшем случае у нас будет 5 пар, которые встречаются дважды, в худшем случае, одна пара может встретиться 6 раз.

Для решения задачи нужно выбрать индексацию пар, например:

 (1,2) = 1
(1,3) = 2
...
(1,14) = 13
(2,3) = 14
. ..
(2,14) = 25
...
(13,14) = 91
 

Вот пример кода Squeak Smalltalk для формирования пар

 человек := #(мэри джон клара тим джулия майк ванесса боб джин гарри ким дональд морган рой).
PairMap := Новый словарь: 91.
я := 0.
комбинации людей: 2 atATTimeDo: [:p |
    PairMap at: p copy put: (i := i+1)].
 

Теперь для каждой группы из четырех мы можем связать парную подпись:

 quadMap := Dictionary new: 1001.
iQuadMap := Новый словарь: 1001.
комбинации людей: 4 atATTimeDo: [:q | | дж |
    j := 0.
    q комбинаций: 2 atATTimeDo: [:p| j := j bitAt: (pairMap at: p) put: 1].
    quadMap по адресу: q скопировать поставить: j.
    iQuadMap по адресу: j поставить: q скопировать].
 9г собрать: [:подпись | iQuadMap по адресу: подпись]]]].
 

Как видите, комбинаторика огромна, C_16_1001 = 43 051 823 251 587 106 104 672 087 435 021 150, поэтому цикл, описанный выше, вероятно, не будет выполнен за разумное время, и на данном этапе мы даже не знаем, существует ли решение с 16 группами!

Вместо этого мы можем попробовать какой-нибудь тривиальный жадный алгоритм: выбрать следующую группу как группу, максимально увеличивающую количество битов (минимизируя перекрывающиеся биты) с сигнатурой решения. 9группы собирают: [:qSig | iQuadMap по адресу: qSig]

Запуск этого алгоритма дает мне решение с 18 группами за несколько миллисекунд...
Запуск жадного алгоритма 10000 раз с перетасовкой значений не дал мне более короткого решения (найдены решения между 18 и 20 группами).

Вам решать, можно ли это сделать менее чем в 18 группах.

Перестановки и комбинации – Разделение на группы

Добро пожаловать на следующий урок из серии Перестановки и комбинации. Мы прошли долгий путь, и нам предстоит пройти долгий путь. Надеюсь, вам весело!

На этом занятии будет рассмотрена следующая задача

Сколькими способами можно разделить n различных объектов на r групп, размеры которых известны?

Вот несколько примеров:

Сколькими способами можно разделить 5 различных предметов на две группы размеров 3 и 2?

Сколькими способами можно разделить 10 различных предметов на три группы размеров 3, 2 и 5?

Сколькими способами можно разделить 10 различных предметов на 5 пар?

Обратите внимание, что разделение на группы размера 2 и 3 эквивалентно делению на группы размера 3 и 2. То есть имеют значение только размеры, а не порядок групп. Аналогичным образом деление 10 объектов на три группы размеров 3, 2 и 5 будет считаться тем же, что и их деление на группы размеров 2, 3 и 5 или 5, 2 и 3.

Начнем с первого случая. 5 объектов, которые нужно разделить на две группы размеров 2 и 3.

Вот пять объектов:

А нам нужно вот это:

Или вот это:

Как мы можем найти количество способов сделать это?

Все, что вам нужно сделать, это выбрать 2 объекта из 5 и отложить их в сторону, сформировав группу. И вам не нужно беспокоиться о второй группе, так как откладывание 2 объектов приводит к тому, что остаются 3 объекта, которые образуют другую группу.

И этот выбор можно сделать ⁵ C ₂ способами или \( \large \frac{5!}{2!.3!} \) способами.

Обратите внимание, что мы также могли сначала выбрать три объекта, оставив позади 2. Это можно сделать ⁵ C ₃ способами, что точно так же, как и в предыдущем ответе.

Теперь возьмем второй пример. Сколькими способами можно разделить 10 различных предметов на три группы размеров 3, 2 и 5?

Метод будет таким же, как и ранее. Сначала выберем 3 объекта из 10, сформировав первую группу. Это можно сделать по телефону ¹⁰ C ₃ пути.

Далее из оставшихся 7 объектов выберем 2 объекта и сформируем вторую группу, способами ⁷ C ₂ . А третья группа формируется сама по себе, так как останется 3 предмета.

Количество способов выполнить обе эти задачи будет ¹⁰ C ₃ . ⁷ C ₂ (по принципу умножения), что равно \( \large \frac{10!}{3!.2!.5!}\)

разделить на 4 группы размеров 2,3, 4 и 5?

Вы правильно угадали – ответ будет ¹⁴ C ₂ . ¹² С ₃ . ⁹ C ₄ или \( \large \frac{14!}{2!.3!.4!.5!}\)

Теперь мы можем получить формулу для того же самого. Допустим, у нас есть n различных объектов, и мы должны разделить их на r групп размеров a ₁ , a ₂ , a ₃ , …, a _r .