Сложение модулей: Сложение чисел с разными знаками — урок. Математика, 6 класс.

Цели:

1. Научиться вычитать отрицательные числа.
2. Закрепить навык вычитания.

Указания учителя:

Внимательно прочитайте данные ниже пояснения и выполните задания.

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому.

Например: 8 + 3 = 11, и потому 11 – 8 = 3. Но 11 + (– 8) = 3.

Правило вычитания отрицательных чисел:

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а – b = а + (– b).

Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.

Например:

1. – 18 – 14 = – 18 + (– 14) = – (18 + 14) = – 3
2. – 8 + 6 – k = – 8 + 6 + (– k)

Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю.

Например:

1. 25 – 32 = 25 + (– 32 ) = – ( 32 – 25 ) = – 7
2. – 5,5 – 2,8 = – 5,5 + (– 2,8) = – (5,5 + 2,8) = – 8,3
3. 48 – (– 15) = 48 + 15 = 63
4. – ³/₄ – (– ^5/₆) = – ³/₄ + (– (– ⁵/₆)) = – ⁹/₁₂ + ¹⁰/₁₂ = ¹⁰/₁₂ – ⁹/₁₂ = ¹/₁₂

Задача: Чему равна длина отрезка АВ, если А (– 5) и В (9)?

Решение: Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к числу – 5, чтобы получилось число 9. Поэтому если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то – 5 + х = 9.

х = 9 – (– 5)

х = 9 + 5

х = 14, значит, длина отрезка АВ равна 14 единичным отрезкам.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Задания для самостоятельной работы.

1 вариант	2 вариант
1. Выполните вычитание.
а) 10 – (– 3) (1 балл)	а) 21 – (– 19) (1 балл)
б) 12 – (– 14) (1 балл)	б) 9 – (– 9) (1 балл)
в) – 1,4 – 1,4 (2 балла)	в) – 2,5 – 8,5 (2 балла)
г) – 5,6 – (– 3,1) (2 балла)	г) 0 – (– 40,6) (2 балла)
д) 5/12 – (– 1/12) (3 балла)	д) – 7/15 – (– 2/15) (3 балла)
е) – 4/9 – 2/3 (3 балла)	е) – 1 3/8 – 1/4 (3 балла)
ж) 1 5/11 – 2 3/22 (4 балла)	ж) – 7 8/9 – (– 9 1/6) (4 балла)
2. Найдите расстояние между точками А (а) и В (b), если:
а) а = 2; b =8 (2 балла)	а) а = – 3; b = – 5 (2 балла)
б) а = – 1; b = 6 (2 балла)	б) а = 5; b = – 4 (2 балла)
в) а = 8,1; b = – 2,5 (3 балла)	в) а = 3,2; b = – 4,7 (3 балла)

Указания учителя:

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Поставьте баллы в оценочные листы. Если набрали 21 балл, то можно переходить к следующему учебному элементу. Если набрано менее 21 балла, то нужно решить соответствующие задания из другого варианта.

Ответы к Учебному элементу № 4.

1 вариант: 1а) 13; б) 26; в)– 2,8; г) – 2,5; д) ¹/₂; е) – 1 ¹/₉; ж) – ¹⁵/₂₂. 2а) 6; б) 7; в) 5,6
2 вариант: 1а) 40; б) 18; в) – 11; г) 40,6; д) – ¹/₃; е) – 1 ⁵/₈; ж) 1 ⁵/₁₈. 2а) – 2; б) – 9; в) – 7,9

Учебный элемент №5

“Самостоятельный выбор решения”

Указания учителя:

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придётся выбрать способ решения того или иного задания. Вспомните все правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Указания учителя:

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Поставьте баллы в оценочные листы. Если набрано 15 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем заданиям, в которых была допущена ошибка.

Ответы к Учебному элементу № 5.

1 вариант: 1а) < ; 2а) – 6,2; 3а) – 8; б) 14; 4 а) х = 6,3; б) х = 3,3; в) х = – 2 ¹/₁₅
2 вариант: 1а) <; 2а) – 32,5; 3а) 20; б) – 13; 4а) у = – 14,1; б) у = 6 ²/₃; в) у = – 1 ¹/₁₈

Учебный элемент № 6

“Применение знаний в сложной ситуации”

Указание учителя:

МОЛОДЦЫ! Вы освоили решение заданий второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Задания для самостоятельной работы.

Указание учителя:

В случае затруднения воспользуйтесь учебником или консультацией учителя.

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть; подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочные листы. Оцените свои работы.

Ответы к Учебному элементу № 6.

1а) –8 ¹/₉; б) –4; в) –  ⁷/₂₀; г) – ⁴/₅; д) –6; е) 17; ж) –8; з) 3,4; и) – 15; к) –1,5; л) –2 ⁴/₇; м) 3 ⁹/₄₀
2а) х = – 1,5; б) у = – 5,85; в) х = – 8 ⁹/₁₂

Z190: модуль сложения и вычитания с гальванической развязкой Seneca.

Главная ПЛК, HMI, ввод-вывод Seneca Преобразователи / разветвители сигналов Z190

Документация и ПО

7 файлов, 23 MB

Процесс выпаривания сиропа при изготовлении сахара происходит под вакуумом. Чтобы знать уровень сиропа в емкости, необходимо учитывать уровень вакуума. Датчики давления имеют разные пределы измерения: -1…0 бар и -1…1 бар. Модуль Z190 не только вычисляет разницу сигналов, но и автоматически учитывает шкалу каждого датчика.

• Трехканальная гальваническая развязка ~1500 В AC (питание / вход / выход)
• Каждый вход имеет индивидуальные настройки: тип сигнала (ток и напряжение), верхний предел измерений
• Программируемый DIP-переключателями выход по току 0…20, 4…20 мА (активный или пассивный),
  или по напряжению 0…5, 1…5, 0…10, 2…10 В
• Два программируемый DIP-переключателями независимых входа по току 0…20, 4…20 мА (активный или пассивный),
  или по напряжению 0…5, 1…5, 0…10, 2…10 В

Для электрических соединений мы рекомендуем использовать экранированные провода. Экран должен быть заземлен с использованием кабеля, специально выделенного для модуля. Кроме этого, избегайте прокладки проводов рядом с силовыми линиями таких устройств, как инверторы, двигатели, индукционные печи и т.п.

Источник питания

Напряжение источника питания должно быть в диапазоне =19…40 В (любой полярности) или ~19…28 В. Напряжение не должно превышать диапазон, это может привести к серьезным повреждениям модуля. Модуль должен быть защищен от источника питания 2-3 подходящим предохранителем.

Вход 1: подключение и настройка DIP-переключателей

Вход 2: подключение и настройка DIP-переключателей

Выход: подключение и настройка DIP-переключателей

Используя этот веб-сайт, Вы даете согласие на обработку файлов cookie, пользовательских данных в целях корректного функционирования сайта и проведения статических исследований.

абстрактная алгебра — определение прямой суммы модулей?

спросил 8 лет, 5 месяцев назад

Изменено 8 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Я только начал изучать модули и пытаюсь понять определение прямой суммы модулей, но у меня возникли проблемы, так как разные источники дают разные определения, например:

MIT говорит:

Прямая сумма Mλ есть подмножество ограниченных векторов:

$\bigoplus$ $M_{λ}$ := {($m_{λ}$) | $m_{λ}$ = 0 почти для всех λ}

Wolfram MathWorld говорит:

Прямая сумма модулей A и B равна модулю

A $\bigoplus$ B={a$\oplus$b |a $\in$ A,b $\in$ B},

, где все алгебраические операции определены покомпонентно.

[Что такое $\oplus$?]

В моих конспектах лекций написано:

Определить прямую сумму модулей как заданное теоретическое произведение с естественное сложение и умножение на элементы A.

Единственный, который имеет для меня смысл, это последний, но он, кажется, не согласуется с двумя другими сумма

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Пусть $A,B$ — $R$-модули. Прямая сумма $A\oplus B= \{(a,b) | a\in A, b\in B \}$ — это модуль относительно покомпонентных операций: $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ и $r(a,b )=(ra,rb)$.

Это продолжается до прямой суммы конечного числа $R$-модулей. Однако для прямой суммы бесконечного числа $R$-модулей существует дополнительное требование, чтобы элементы имели все компоненты, кроме конечного, равные $0$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Для конечного числа слагаемых все совпадает. Тогда $A\oplus B$ — это то, что вы написали, и это верно точно так же для конечного числа слагаемых. Для бесконечного числа слагаемых существуют различия, и нам нужно различать $\oplus M_i$ и $\prod M_i$. Это объясняется в книгах по кольцам и модулям. Хорошим примером является свободный $\mathbb{Z}$-модуль $\oplus_i \mathbb{Z}$, тогда как модуль $\prod_i \mathbb{Z}$ , а не свободен, следовательно, не проективен.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Во втором определении $\oplus$ в наборе — это просто символ, а $a\oplus b$ — это просто другой способ записи пары $(a,b)$, который должен объяснить вам, почему это определение то же самое, что и в ваших конспектах лекций. Первое определение немного отличается, потому что оно говорит вам, как определить прямую сумму любого (возможно, бесконечного) набора модулей. Если $\lambda\in\{1,2\}$, то условие в определении пусто, и у вас есть набор пар $(m_1,m_2)$ с $m_i\in M_i$, как и в двух других определения. (Это первое определение не обсуждает операции, но опять же они являются «естественными»).

Вы можете определить прямую сумму любого конечного набора модулей индуктивно, используя определения 2 и 3, но первое из них — единственное, которое говорит вам, что делать, если у вас есть бесконечное множество модулей.

$\endgroup$

теория колец — Каково определение прямой суммы подмодулей?

$\begingroup$

Для данного кольца $R$ и $M_1,\ldots,M_n$ $R$-подмодулей $R$-модуля $M$ каково определение этого множества? 9n M_i$$

Откуда я читаю, кажется, что это: $M_1 + \cdots + M_n$ с взаимно непересекающимися $M_i$. Но я во многих местах читал, что это прямое произведение $M_1\times\cdots\times M_n$.

Так что же это? Спасибо за вашу помощь.

• кольцевая
• модули

$\endgroup$

5

$\begingroup$

(«внешняя») прямая сумма модулей $M_i$ — это , определяемый как подмножество декартова произведения $M_i$.

Теперь есть еще одна вещь, называемая «внутренней» прямой суммой подмодулей модуля. Обычно это определяется как подмодули, суммирующиеся со всем модулем и обладающие тем свойством, что каждый компонент тривиально пересекает сумму других. Это означает, что каждый элемент имеет уникальное представление в виде суммы элементов из каждого подмодуля.

Они связаны следующим образом: если вы разложите $M$ как внутреннюю прямую сумму подмодулей $M_i$, внутренняя прямая сумма будет изоморфна «внешней» прямой сумме через отображение $m_1+m_2+\ldots \mapsto (m_1,m_2,\ldots)$.

И наоборот, всякое разложение модуля как прямой суммы других модулей соответствует внутреннему разложению. Вы просто смотрите на изображения компонентов декомпозиции внутри вашего модуля, и они образуют семейство подмодулей, определяющих внутреннюю декомпозицию.

Итак, вы видите, что они в основном одинаковы, просто в одном упор делается на работу с кортежами элементов в декартовом произведении, а другой работает с суммами элементов внутри модуля.

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Конечная прямая сумма эквивалентна аналогичному декартовому произведению. Это перестает быть верным для бесконечных сумм/произведений.

Например, $(1,1,1,1,1,\dots) \in \Bbb{Z} \times \Bbb{Z} \times \cdots$, но $(1,1,1, 1,1,\dots) \not\in \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z} \oplus \cdots$, так как элементы в прямой сумме имеют только конечное число ненулевых элементов.

Топология продукта и топология коробки также отражают это различие.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

$M_1 + … + M_n$, где $M_i$ взаимно не пересекаются, а $n$ — конечное положительное целое число точно $M_1 \times … \times M_n$ как множество. Если считать их «оснащенными» поточечными операциями (сложение и умножение с элементами $R$), то они изоморфны как модули $R$.