Сложная производная: Производная сложной функции (u(v(x))’

Содержание

Производная сложной функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Производная сложной функции

Производная функции

Сложная функция. 10 класс

Производная сложной функции

Производная функции

Сложная функция

Обратная функция

1. Производная сложной функции

2. Функция h есть сложная функция, составленная из функций g и f, если h(x)=g(f(x))

f(x) – «внутренняя функция»
g(f) – «внешняя функция»

3. Определим внутреннюю(f) и внешнюю(g) элементарные функции, из которых составлена сложная функция h(x)=g(f(x))

1) h(x) = cos3x
f(x) = 3x
g(f) = cosf
2) h(x) = tg(2x- /4)
f(x)= 2x- /4
g(f) = tgf
3) h(x)=(3-5x)5
f(x) =3-5x
5
f
g(f) =
4) h(x) = sin x
f(x) =sin x
g(f) = f
Определите внутреннюю(f) и внешнюю(g)
элементарные функции, из которых составлена
сложная функция y=g(f(x))
1) y = 9-x2
2) y = sin
x
3
3) y = 2(3×3-6x)7
f(x)= 9-x2,
f(x)=
x
3
,
f(x)= 3×3-6x,
g(f)= f
g(f)=sin f
g(f)=2f 7
Формула производной сложной
функции
.

h΄(x) = g´(f) f ´(x)
h΄(x) = g´(f) • f ´(x)
Алгоритм нахождения производной
сложной функции
1)
Определи внутреннюю и внешнюю элементарные
функции f(x) и g(f)
2)
Найди производную внутренней функции f
3)
Найди производную внешней функции g´(f)
4)
´(x)
Перемножь производные внутренней и внешней
функции и получишь производную сложной
функции
h΄(x) = f ´(x) • g´(f)
Задание 1. Найдите производную функции
h(x) = (2x+3)100
1. Определим внутреннюю(f)и внешнюю(g) функции
f(x)=2x+3
g(f)=f 100
2. Найдем производную внутренней функции
f ´(x)=(2x+3)´=2
3. Найдем производную внешней функции
g´(f)=(f 100)´=100 f 99
4. Перемножим производные внутренней и внешней
функций
h´ (x) = 2 . 100 f 99= 200 f 99 = 200(2x+3) 99
Задание 2. Найдите производную функции
y(x) =4cos 3x
1. Определим внутреннюю(f)и внешнюю(g) функции
f(x)=3x
g(f)=4cosf
2. Найдем производную внутренней функции
f ´(x)=(3x)´=3
3.

Найдем производную внешней функции
g´(f)=(4cosf)´= — 4sin f
4. Перемножим производные внутренней и внешней
функций
y´ (x) = 3 .( — 4sin f) = — 12sin f = — 12sin3x
Задание 3. Найдите производную функции
a) y= 9 х
2
a) f(x)=9-x2, g(f)= f
f ´(x)=(9-x2)´= -2x
g´ (f)=( f )´=
1
х
б) у= 6sin 3
х
б) f(x)=
, g(f)= 6sin f
3
f ´(x)=( х ) ´= 1
3
3
2 f
g´ (f)=(6sin f)´=6cos f
2x
y ´ = -2x
==
2 f
2 f
1
y´ = .6cos f = 2cos f=
3
x
=f
х
= 2cos
3
1
=
x
9 x2
Тест
1 вариант
А
В
С
1.
2.
3
4.
5.
2 вариант
1
2
3
4
5
А
В
С
Домашнее задание
Зарегистрироваться на сайте
01Математика https://www.01math.com/ и
выполнить задания, пройдя по ссылке
https://01math.com/maths/homework?id=9
22&c=4c648a

English Русский Правила

Что такое производная сложной функции?

Оглавление

Время чтения: 3 минуты

360

Перед тем как говорить о производной сложной функции давайте сначала определимся, что собой представляет сложная функция. Как вы увидите чуть позже, не всякую функцию кажущуюся сложной можно действительно так назвать.

Определение + примеры

Сложной функцией называют функцию, аргумент которой тоже является функцией.
Обозначается сложная функция как f(g(x)). Иногда наружные скобки являются квадратными f[g(x)]. g(x) – аргумент f(g(x)), иногда его называют внутренней функцией.
Уровень вложенности может быть абсолютно любым
y = f (g1 (g2 (g3 (. . . (g n (x)))))).

y=sin (x+1) есть сложная функция т. к. её можно представить в виде двух функций, вложенных одна в другую y = sin(u) и u = x + 1.

y=cos (7x³ -4x²) тоже сложная. Внутренней в ней является: u = 7x³ — 4x².

y = 7x³ — 4x² является простой. Аргументом здесь будет только x. Представить его в составе другой функции, кроме данной в примере, не получится.

y=7x³ сложная. Внутренней здесь будет u = 7x³. Обратите внимание, в примере выше функция хоть и имеет более сложный вид, на самом деле таковой не является. {\prime}(x)
\end{aligned}\]

Отсюда легко вывести алгоритм или правило нахождения производной сложной функции

Сначала в сложной функции нужно выделить простые. Затем найти их производные, после этого составить произведение из найденных производных. Оно и будет тем, что нам нужно.

Задачи 1 — 5

Найдите производную y = sin³x.

Решение: Запишем в выражение в виде y = (sinx)³. Отсюда ясно, что g = sin(x). Эту производную найти очень легко. Она следующая (sin(x))’ = cos(x).

Производная внутреннего выражения будет (g³)’ = 3u^3-1= 3u².

Из всего этого получаем

y’ = (sinx³)’ = (u³

)’

Далее нужно лишь воспользоваться приведённой выше формулой, показывающей, как найти производную сложной функции

В результате получим

y’= (u³)’*u’ = 3u^3-1(sinx)’= 3u²cosx = 3sin²xcosx

Ответ: y’ = 3sin²xcosx

Найти производную y = ln(ax² + c)

Решение: Находим внутреннюю функцию. Очевидно, что здесь она g = ax² + c

Производная y’ = (ln(g))’ = 1/g

Производная g’ = a*2x

Из этого по формулам, приведённым выше мы будем иметь

y’ = (1/(ax² + c))*u’ = 2ax/(ax² + c)

Ответ: y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax² + c).

Найти y’ = exp(-x²)

Решение: Внутренней здесь будет g = -x²

y’ = (exp(u))’ = exp(-x²)

Производная –x² = -2x

Из этого имеем

y’ = (exp(-x

2))’= exp(-x²)*(-2x) = -2x*exp(-x²)

Ответ: y’ = -2x*exp(-x²).

Как видите, ничего трудного здесь нет, но требуется быть очень внимательным.

Теперь рассмотрим задачу, где вложено не одно, а несколько выражений.

Найти y’=cos³(3x-12)

Решение: Главное правильно выделить все внутренние составляющие указанного выражения.

Первым очевидно будет g1 = 3x – 12

Вторым будет g2 = cos(g1) = cos(3x – 12)

Сначала найдём производную g1.

Она равняется (g1)’ = (3x-12)’ = 3

Затем находим (g2)’ = (cos(u1))’ = — sin(3x-12)

Далее ищем производную внешней функции. Она равна

(cos(3x — 12)³)’ = 3cos²(3x -12)

В результате вычислений получаем

y’ = (3cos²(3x -12))*( — sin(3x-12))*3 = -9cos²(3x -12))*(sin(3x-12))

Не всегда следует сразу выделять вложенные составляющие выражения, производных которого нам нужно найти.

Чему равна y’ = (3/sin²x) + (cos²x/3)

Решение: Выражение представляет собой сумму двух производных, которые следует найти по отдельности и после этого сложить.

Сначала находим (3/sin²x)’, затем (cos²x/3)’. Решением нашей задачи будет их сумма.

В выражении (3/sin²x) вынесем общий множитель за скобки и уже после этого станем искать производную

3*(sin^-2x)’ = 3*(-2)sin^-3x * (sinx)’ = -6sin^-3x * cosx = -(6cosx)/(sin³x)

Далее находим тоже самое делаем со вторым слагаемым. {\prime}\]

Не забывайте также, что иногда перед поиском производных выражение можно упростить с помощью различных тригонометрических либо логарифмических преобразований. На сложных функциях это часто приводит к нужному результату, а иногда и вовсе позволяет сразу привести их к простому виду.

Оценить статью (77 оценок):

Комплексная ступенчатая аппроксимация производной (реализовано в Python, NumPy, matplotlib) · GitHub

	# кодировка: utf-8

	»’Следующий код воспроизводит пример бумаги:
	‘Аппроксимация производной комплексного шага’
	Хоаким Р. Р. А. МАРТИНС, Питер СТУРДЗА и Хуан Дж. Алонсо, опубликовано в 2003 г.

	Лицензия: MIT
	Автор: FJ Navarro Brull
	»’



	импортировать numpy как np
	импортировать matplotlib.pyplot как plt

	# Определить тестируемую функцию
	по определению F(x):
	возврат np. exp(x)/((np.cos(x))3 + np.sin(x)3)

	# Количество баллов оценки
	Н = 1000

	x = np.linspace(-np.pi/4, np.pi/2, N, конечная точка = Истина)
	у = F(x)

	# Где будет рассчитываться производная
	point_x = np.pi/4
	точка_у = F(точка_х)

	# Посмотрите на анализируемую функцию
	пл. цифра()
	пл.участок(х,у)
	plt.plot(point_x, point_y, ‘o’)
	93}$’,размер шрифта=20)

	пл.участок()
	plt.show()


	# Определение производных

	по определению dF_complex(x,h):
	»’Аппроксимация сложного шага»’
	#x = np. array(x, dtype=’cfloat’)
	возврат np.imag(F(x + 1j*h))/ч

	по определению dF_ff(x,h):
	»’Конечная разностная аппроксимация»’
	возврат (F(x+h) — F(x))/ч

	по определению dF_cf(x,h):
	»’Конечная центрально-разностная аппроксимация»’
	возврат (F(x+h) — F(x-h))/(2*h)

	по определению dF_analytic(x):
	»’Аналитическая производная (для получения точного значения)»’
	возврат ((np. exp(x)(np.cos(3x) + np.sin(3x)/2 + (3np.sin(x))/2))/
	(np.cos(x)3 + np.sin(x)3)**2)


	# Проверка производных как функция размера шага производной

	point_x = np.pi/4
	h_values = np.logspace(-15,-1,15, конечная точка=Истина)

	# Предварительно выделить значения в памяти
	error_complex = np.zeros(h_values. shape)
	error_cf = np.zeros(h_values.shape)
	error_ff = np.zeros(h_values.shape)

	для i, h в перечислении (h_values):
	error_complex[i] = np.abs(dF_complex(point_x, h) — dF_analytic(point_x))/np.abs(dF_analytic(point_x))
	error_ff[i] = np.abs(dF_ff(point_x, h) — dF_analytic(point_x))/np.abs(dF_analytic(point_x))
	error_cf[i] = np.abs(dF_cf(point_x, h) — dF_analytic(point_x))/np.abs(dF_analytic(point_x))

	# Отображение результатов

	пл. цифра()
	plt.loglog(h_values, error_complex, label=’Сложный шаг’)
	plt.loglog(h_values, error_ff, label=’Разница вперед’)
	plt.loglog(h_values, error_cf, label=’Центральная разница’)

	plt.gca().invert_xaxis()
	табл.легенда()
	plt.ylabel(‘Нормализованная ошибка’)
	plt.xlabel(‘Размер шага (h)’)

	plt.show()

Берберин и его более биологически доступное производное, дигидроберберин, ингибируют митохондриальный дыхательный комплекс I: механизм действия берберина для активации АМФ-активируемой протеинкиназы и улучшения действия инсулина

Сохранить цитату в файл

Формат: Резюме (текст)PubMedPMIDAbstract (текст)CSV

Добавить в коллекции

Создать новую коллекцию
Добавить в существующую коллекцию

Назовите свою коллекцию:

Имя должно содержать менее 100 символов

Выберите коллекцию:

Не удалось загрузить вашу коллекцию из-за ошибки
Повторите попытку

Добавить в мою библиографию

Моя библиография

Не удалось загрузить делегатов из-за ошибки
Повторите попытку

Ваш сохраненный поиск

Название сохраненного поиска:

Условия поиска:

Тестовые условия поиска

Эл. адрес: (изменить)

Который день? Первое воскресеньеПервый понедельникПервый вторникПервая средаПервый четвергПервая пятницаПервая субботаПервый деньПервый рабочий день

Который день? воскресеньепонедельниквторниксредачетвергпятницасуббота

Формат отчета: РезюмеРезюме (текст)АбстрактАбстракт (текст)PubMed

Отправить максимум: 1 шт. 5 шт. 10 шт. 20 шт. 50 шт. 100 шт. 200 шт.

Отправить, даже если нет новых результатов

Необязательный текст в электронном письме:

Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированием

. 2008 г., май; 57(5):1414-8.

дои: 10.2337/db07-1552. Epub 2008 19 февраля.

Найджел Тернер ¹, Цзин-Я Ли, Элисон Госби, Сабрина В. К. То, Чжэ Ченг, Хироюки Миёси, Макото М. Такето, Грегори Дж. Куни, Эдвард В. Краеген, Дэвид Э. Джеймс, Ли-Хонг Ху, Цзя Ли, Цзи-Мин Е

Принадлежности

принадлежность

¹ Программа исследований диабета и ожирения, Гарванский институт медицинских исследований, 384 Victoria St., Дарлингхерст, Сидней, Новый Южный Уэльс, 2010 г., Австралия.

PMID: 18285556
DOI: 10.2337/db07-1552

Найджел Тернер и др. Сахарный диабет. 2008 май.

. 2008 г., май; 57(5):1414-8.

дои: 10.2337/db07-1552. Epub 2008 19 февраля.

Авторы

принадлежность

¹ Программа исследований диабета и ожирения, Гарванский институт медицинских исследований, 384 Victoria St., Дарлингхерст, Сидней, Новый Южный Уэльс, 2010 г., Австралия.

PMID: 18285556
DOI: 10. 2337/db07-1552

Абстрактный

Задача: Берберин (BBR) активирует AMP-активированную протеинкиназу (AMPK) и улучшает чувствительность к инсулину в моделях резистентности к инсулину у грызунов. Мы исследовали механизм активации AMPK с помощью BBR и исследовали, может ли дериватизация BBR улучшить его эффективность in vivo.

Дизайн и методы исследования: Фосфорилирование AMPK исследовали в миотрубочках L6 и клетках LKB1(-/-) с ингибитором Ca(2+)/кальмодулин-зависимой протеинкиназы (CAMKK) STO-609 или без него. Потребление кислорода измеряли в мышечных трубках L6 и изолированных митохондриях мышц. Влияние производного BBR, дигидроберберина (dhBBR), на ожирение и метаболизм глюкозы изучали у грызунов, получавших диету с высоким содержанием жиров. РЕЗУЛЬТАТЫ; Мы сделали следующие новые наблюдения: 1) BBR дозозависимо ингибировал дыхание в мышечных трубках L6 и мышечных митохондриях за счет специфического воздействия на дыхательный комплекс I, подобно тому, что наблюдается с метформином и розиглитазоном; 2) активация AMPK с помощью BBR не зависела ни от активности LKB1, ни от CAMKKbeta, что согласуется с основной регуляцией на уровне фосфатазы AMPK; и 3) было идентифицировано новое производное BBR, dhBBR, которое показало повышенную эффективность in vivo с точки зрения противодействия повышенному ожирению, накоплению триглицеридов в тканях и резистентности к инсулину у грызунов с высоким содержанием жира. Этот эффект, вероятно, связан с повышенной пероральной биодоступностью.

Выводы: Комплекс I дыхательной цепи представляет собой основную мишень для соединений, которые улучшают чувствительность всего организма к инсулину за счет повышения активности AMPK. Идентификация нового производного BBR с улучшенной эффективностью in vivo подчеркивает потенциальную важность BBR в качестве новой терапии для лечения диабета 2 типа.

Сложная производная: Производная сложной функции (u(v(x))’

Производная сложной функции — презентация онлайн

1. Производная сложной функции

2. Функция h есть сложная функция, составленная из функций g и f, если h(x)=g(f(x))

3. Определим внутреннюю(f) и внешнюю(g) элементарные функции, из которых составлена сложная функция h(x)=g(f(x))

Что такое производная сложной функции?

Комплексная ступенчатая аппроксимация производной (реализовано в Python, NumPy, matplotlib) · GitHub

Сохранить цитату в файл

Добавить в коллекции

Добавить в мою библиографию

Ваш сохраненный поиск

Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированием

принадлежность

Авторы

принадлежность

Абстрактный

Похожие статьи

Цитируется

Добавить комментарий Отменить ответ