Собственные значения собственные векторы матрицы: Собственные числа и собственные векторы матрицы. Пример подробного решения

Содержание

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Собственные числа и собственные векторы матрицы

< Лекция 9 || Лекция 10: 12

Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения

Ключевые слова: поле, матрица, переменная, многочлен, собственный вектор, вектор, размерность, собственное число, свободная переменная, доказательство, ПО, основание, TE

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Пусть K — поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а — собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу .

Условие эквивалентно условию

где — единичная матрица. При фиксированном это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x₁,. ..,x_n,

Матрица этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что . Пусть t — переменная,

многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A ), при этом:

Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K.

Если и , то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа — это все ненулевые решения системы

Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа не образует линейного подпространства в , так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы

Таким образом, если , , то , то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому . Если {X₁,…,X_s} — какая\df либо фундаментальная система решений системы , то все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному числу , — это все нетривиальные линейные комбинации элементов с коэффициентами из поля K.

Пример 9.19.1.

Корни: , , (собственные числа матрицы A ).

Собственные векторы для

ненулевые решения:

Собственные векторы для

ненулевые решения:

Пример 9.19.2.

Имеется лишь одно собственное число: . Собственные векторы относительно задаются системой линейных уравнений

Система уже имеет ступенчатый вид, x₂, x₃ — главные неизвестные, x₁ — свободная переменная, множество собственных векторов относительно

intuit.ru/2010/edi»>Пример 9.19.3. Если

диагональная матрица, то — все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).

Дальше >>

< Лекция 9 || Лекция 10: 12

Российское Хемометрическое Общество

Дополнительная информация

Системы линейных уравнений

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размером $I×J$, а $\mathbf{b}$ — вектор размерности $J$. Рассмотрим уравнение

$$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

относительно вектора $\mathbf{x}$, размерности $I$. По сути — это система из $I$ линейных уравнений с $J$ неизвестными $\mathbf{x}_1, \dots ,\mathbf{x}_J$. Решение существует в том, и только в том случае, когда

$$\mathrm{rank}(\mathbf{A}) = \mathrm{rank}(\mathbf{B}) = R,$$

где $\mathbf{B}$ — это расширенная матрица размерности $I×(J+1)$, состоящая из матрицы $\mathbf{A}$, дополненной столбцом $\mathbf{b}$, $\mathbf{B} = (\mathbf{A} \mathbf{b})$.

{−1/2}\mathbf{A}.$$

Например,

Рис. 21 Полярное разложение

Если матрица $\mathbf{A}$ вырождена, то разложение не единственно — а именно: $\mathbf{S}$ по-прежнему одна, а вот $\mathbf{R}$ может быть много. Полярное разложение представляет матрицу $\mathbf{A}$ как комбинацию сжатия/растяжения $\mathbf{S}$ и поворота $\mathbf{R}$.

Собственные векторы и значения

Пусть $\mathbf{A}$ — это квадратная матрица. Вектор $\mathbf{v}$ называется собственным вектором матрицы $\mathbf{A}$, если

$$\mathbf{Av} = \lambda\mathbf{v},$$

где число $\lambda$ называется собственным значением матрицы $\mathbf{A}$. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица $\mathbf{A}$ над вектором $\mathbf{v}$, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом $\lambda$. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу $\alpha ≠ 0$, т.е. если $\mathbf{v}$ — собственный вектор, то и $\alpha\mathbf{v}$ — тоже собственный вектор.

Собственные значения

У матрицы $\mathbf{A}$ , размерностью ($N×N$) не может быть больше чем $N$ собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

$$\mathrm{det}(\mathbf{A} − \lambda\mathbf{I}) = 0,$$

являющемуся алгебраическим уравнением $N$-го порядка. В частности, для матрицы $2×2$ характеристическое уравнение имеет вид

$$ \mathrm{det}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) = \mathrm{det} \bigg( \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} — \lambda \end{bmatrix} \bigg) = (a_{11} — \lambda)(a_{22} — \lambda) — a_{12}a_{21} = 0 $$

Например,

Рис. 22 Собственные значения

Набор собственных значений $\lambda_1,\dots,\lambda_N$ матрицы $\mathbf{A}$ называется спектром $\mathbf{A}$.

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

$$ \mathrm{det}(\mathbf{A}) = \lambda_1\times\dots\times\lambda_N, \mathrm{Sp}(\mathbf{A}) = \lambda_1+\dots+\lambda_N $$

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ($\mathbf{A}^\mathrm{t} = \mathbf{A}$), то ее собственные значения вещественны.

Собственные векторы

У матрицы $\mathbf{A}$, размерностью ($N×N$) не может быть больше чем $N$ собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора $\mathbf{v}_n$ нужно решить систему однородных уравнений

$$(\mathbf{A} − \lambda_n\mathbf{I})\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$$

Она имеет нетривиальное решение, поскольку $\mathrm{det}(\mathbf{A} − \lambda_n\mathbf{I}) = 0$.

Например,

Рис. 22 Собственные векторы

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ одной размерности $I×J$ эквивалентны, если существуют такие квадратные матрицы $\mathbf{S}$, размерности $I×I$, и $\mathbf{T}$, размерности $J×J$, что:

$$\mathbf{B} = \mathbf{SAT}$$

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ одной размерности $N×N$ подобны, если существует такая невырожденная матрица $\mathbf{T}$, что:

$$\mathbf{B} = \mathbf{T}^{−1}\mathbf{AT}$$

Матрица $\mathbf{T}$ называется преобразованием подобия. \mathrm{t}$$

Пример:

Рис. 28 Проекционное разложение

Линейная алгебра. Часть 6: собственные значения и собственные векторы | Шо Накагоме | sho.jp

Добро пожаловать в эту серию историй о линейной алгебре. Вы можете ознакомиться с предыдущими историями здесь:

Линейная алгебра 101 — Часть 5: Детерминанты

В этой истории мы рассмотрим, возможно, одно из самых важных понятий линейной алгебры — «Детерминанты»!

medium.com

Я слежу за основными структурами и материалами от доктора Гилберта Странга из Массачусетского технологического института, и эта история о « Собственные значения и собственные векторы ”! Вы можете посмотреть его лекцию на YouTube, и я публикую соответствующее видео с его лекций:

Прежде чем углубляться в детали собственных значений и собственных векторов, я бы хотел, чтобы вы посмотрели 20-минутное видео от 3blue1brown. Это видео определенно поможет вам понять концепции и упростить понимание уравнений. Поэтому постарайтесь уделить немного времени просмотру видео.

При этом я думаю, что мы готовы перейти к этой важной концепции линейной алгебры. Давайте начнем!

Собственные значения и собственные векторы
Диагонализация и собственное разложение
Предположение, лежащее в основе диагонализации и собственного разложения вы понимаете их наизусть!
Если вы смотрели видео от 3Blue1Brown, то уже должны знать значение собственных значений и собственных векторов.
В уравнении это записывается так:
В матричной форме это выглядит примерно так:
Напомним, что собственные векторы — это векторы, которые не меняют свою ориентацию, а просто масштабируются в соответствии с соответствующим коэффициентом. собственное значение.
Чтобы найти собственные значения и собственные векторы, выполните следующие действия.
Давайте рассмотрим быстрый пример с использованием матрицы 2 x 2.
Решая определитель = 0, мы получаем собственные значения. Теперь нам просто нужно рассмотреть каждый случай собственных значений отдельно.
Теперь у вас есть один из собственных векторов. Переходим к следующему.
Отлично! Теперь вы решили проблему собственных значений и собственных векторов!
Давайте посмотрим на результаты и убедимся, что то, что говорит видео 3Blue1Brown, имеет смысл.
Как видно выше, какая бы у вас ни была матрица перехода « A », если вам удалось найти ее собственные значения и собственные векторы, переход по матрице « A » по собственным векторам не меняет своего направления , а просто масштабируется с коэффициентом соответствующих собственных значений. Это очень важно, поэтому убедитесь, что вы понимаете это!
Собственные значения и собственные векторы — Википедия
Собственные значения и собственные векторы занимают видное место в анализе линейных преобразований. Префикс взят из…
en.wikipedia.org
Теперь давайте перейдем к одному из очень полезных приложений собственных значений и собственных векторов. Это называется «диагонализация ».
Самое интересное в диагонализации заключается в том, что пока ваша квадратная матрица « A » имеет такое же количество линейно независимых собственных векторов, как и ранг, вы можете превратить ее в диагональную матрицу! С диагональной матрицей очень легко иметь дело, потому что она состоит только из элементов на диагональной линии, а остальные элементы равны нулю.
Давайте посмотрим, почему это возможно.
Отсюда мы можем вывести два уравнения:
- диагонализация
- собственное разложение
Обратите внимание, что в зависимости от того, с какой стороны вы умножаете на обратную «1», вы получаете уравнения « S», диагонализация » и « собственное разложение ».
Собственное разложение — еще одно очень полезное применение собственных значений и собственных векторов. Пока матрица удовлетворяет основному предположению, которое я объясню через минуту, вы можете легко разложить матрицу более удобным способом.
Диагонализуемая матрица — Википедия
В линейной алгебре квадратная матрица A называется диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице, т.
В линейной алгебре собственное разложение, а иногда и спектральное разложение — это разложение матрицы на множители в… В основе этих методов лежат два предположения. Первую мы уже прошли. Матрица «
A ”должен быть квадратной матрицей . Второй — тот, который мы только что просмотрели. Но проверим еще раз.
Таким образом, для того, чтобы матрица « A » была диагонализирована или разложена на собственные, она должна удовлетворять следующим критериям:
Должна быть квадратной матрицей
Должна иметь линейно независимые собственные векторы В этом случае имеется только один собственный вектор.
Следовательно, матрица « S », которую мы использовали, будет сингулярной.
Следует быть осторожным: полный ранг не обязательно гарантирует, что матрица имеет линейно независимые собственные векторы. См. пример ниже.
Хорошо, на сегодня все!
Собственные значения и собственные векторы
Собственные векторы — это векторы, которые не меняют свою ориентацию при умножении на матрицу перехода, а просто масштабируются с коэффициентом соответствующих собственных значений.
Диагонализация и собственное разложение
Несколько применений собственных значений и собственных векторов, которые очень полезны при передаче данных в матричной форме, поскольку вы можете разложить их на матрицы, которыми легко манипулировать.
Предположение, лежащее в основе диагонализации и собственного разложения
Убедитесь, что матрица, которую вы пытаетесь разложить, является квадратной матрицей и имеет линейно независимые собственные векторы (разные собственные значения).
Надеюсь, это поможет! Увидимся в следующий раз!
Свойства собственных значений и собственных векторов
Марко Табога, доктор философии
В этой лекции обсуждаются некоторые свойства собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы.
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕВОДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
.0003
Conjugate pairs
Scalar multiples
Matrix powers
All the eigenvalues of a Hermitian matrix are real
All the eigenvalues of a symmetric real matrix are real
The трасса равна сумме собственных значений
Определитель равен произведению собственных значений
Решенные упражнения
Упражнение 1
Левые собственные векторы
Первое свойство касается собственных значений транспонированной матрицы.
Предложение Позволять быть квадратная матрица. скаляр является собственным значением тогда и только тогда, когда это собственное значение .
Доказательство
Помните, что скаляр является собственным значением тогда и только тогда, когда он решает характеристику уравнениегде обозначает определитель. Мы знаем что транспозиция не изменить определитель. Таким образом, Следовательно, является собственным значением если и только если какой проверяется тогда и только тогда, когда также является собственным значением .
Даже если и имеют одинаковые собственные значения, они не обязательно имеют одинаковые собственные векторы.
Если является собственным вектором транспонирования, это удовлетворяет
Переставляя обе части уравнения, мы получить
Вектор-строка называется левым собственным вектором .
Собственные значения треугольной матрицы
Диагональные элементы треугольной матрицы равны ее собственным значениям.
Предложение Позволять быть треугольная матрица. Затем каждый диагональных элементов является собственным значением .
Доказательство
Пусть быть скаляром. Тенис треугольным, потому что добавление скалярного множителя единичной матрицы к влияет только на диагональные элементы . В частности, если является диагональным входом , затем является диагональным входом . Поскольку определитель a треугольная матрица равна произведению ее диагональных элементов, мы имеем что так как собственные значения удовлетворять характеристике уравнениемы иметь это является собственным значением если одно из условий вышеуказанного произведения равно нулю, т. е. если для некоторых .
Нулевые собственные значения и обратимость
Собственные значения позволяют определить, является ли матрица обратимой.
Предложение Позволять быть матрица. Затем обратима тогда и только тогда, когда она не имеет нулевых собственных значений.
Доказательство
Мы знаем, что является собственным значением тогда и только тогда, когда он удовлетворяет характеристике уравнениеПоэтому не является собственным значением если и только если какой происходит тогда и только тогда, когда обратим (см. раздел о определитель единственного числа матрица).
Собственные значения и собственные векторы обратной матрицы
Собственные значения обратного выражения легко вычислить.
Предложение Позволять быть обратимая матрица. Затем является собственным значением соответствующий собственному вектору если и только если является собственным значением соответствующий тому же собственному вектору .
Доказательство
Скаляр является собственным значением соответствующий собственному вектору если и только если С обратим, и мы можем умножить обе части уравнения на , с тем чтобы получить или какой верно тогда и только тогда, когда является собственным значением связанный с собственным вектором .
Сопряженные пары
Интересен тот факт, что комплексные собственные значения действительных матриц всегда приходят в сопряженных парах.
Предложение Позволять быть матрица с вещественными элементами. Комплексное число является собственным значением соответствующий собственному вектору тогда и только тогда, когда оно комплексно сопряжено является собственным значением, соответствующим сопряженный вектор .
Доказательство
Скаляр является собственным значением соответствующий собственному вектору если и только если От взяв комплексное сопряжение обеих частей уравнения, мы получить с действительно, оно равно своему комплексно-сопряженному. Следовательно, что является, является собственным значением соответствующий собственному вектору .
Скалярные множители
Если мы умножить матрица на скаляр, то все ее собственные значения умножаются на одно и то же скаляр.
Предложение Позволять быть матрица и скаляр. Если является собственным значением соответствующий собственному вектору , затем является собственным значением соответствующий тому же собственному вектору .
Доказательство
Скаляр является собственным значением соответствующий собственному вектору если и только если Если мы умножаем обе части уравнения на скаляр , мы получить который верно тогда и только тогда, когда является собственным значением соответствующий собственному вектору .

Силы матрицы
Позволять быть натуральным числом. -й степень квадратной матрицы
Другими словами, -й сила достигается выполнением матричные умножения сам по себе.
Легко вывести собственные значения от тех, кто .
Предложение Позволять быть матрица. Если является собственным значением соответствующий собственному вектору , затем является собственным значением соответствующий тому же собственному вектору .
Доказательство
Скаляр является собственным значением соответствующий собственному вектору если и только если Если мы предварительно умножаем обе части уравнения на , мы получитьесли мы снова предварительно умножаем обе части на , мы получитьмы можно продолжать таким образом, пока мы получить который верно тогда и только тогда, когда является собственным значением соответствующий собственному вектору .

Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны
Помните, что матрица называется эрмитовой тогда и только тогда, когда она равна сопряженный транспонировать:
Эрмитовы матрицы обладают следующим хорошим свойством.
Предложение Позволять быть матрица. Если эрмитово, то все его собственные значения вещественны (т. е. их комплексные части равны нуль).
Доказательство
Произвольный выбор собственного значения и один из связанных с ним собственных векторов . По определению собственного вектора . Примечание там обозначает норму . Если мы возьмем сопряженное транспонирование обеих частей только что полученного уравнения, мы получитьгде мы воспользовались тем, что норма является действительным числом и, как следствие, комплексное сопряжение не затрагивает его. Более того, мы можем заменить в последнем уравнении с так как является эрмитовым. Таким образом, мы естьино подразумевает, что имеет нулевую комплексную часть.

Все собственные значения симметричной вещественной матрицы вещественны
Если реальная матрица симметричен (т. е. ), то оно также эрмитово (т. е. ) потому что комплексное сопряжение не затрагивает действительные числа. Таким образом, по предыдущего предложения, все собственные значения вещественной симметричной матрицы действительны.
След равен сумме собственных значений
Помните, что след матрица представляет собой сумму ее диагональных элементов.
Предложение Позволять быть матрица и его собственные значения. Затем
Доказательство
Чтобы максимально упростить это доказательство, мы использовать понятия подобия и разложение Шура, которые мы еще не представили. Вы можете пропустить это доказательство сейчас и прочтите его после изучения этих двух понятий. По разложению Шура унитарно подобна верхней треугольной матрице . Когда две матрицы подобны, они имеют одинаковую трассу и одинаковую собственные значения. Более того, поскольку является треугольным, его диагональные элементы являются его собственными значениями. Следовательно,
Определитель равен произведению собственных значений
Следующий важный результат связывает определитель матрицы с ее собственные значения.

Предложение Позволять быть матрица и его собственные значения. Тогда
Доказательство
Как и в предыдущем доказательстве, мы используем понятия подобия и Разложение Шура. Посредством разложение Шура, унитарно подобна верхней треугольной матрице . Две подобные матрицы имеют один и тот же определитель и одни и те же собственные значения. Более того, поскольку является треугольным, его диагональные элементы являются его собственными значениями, а его определитель равен равно произведению его диагональных элементов. Следовательно,
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Определить
Найдите собственные значения
Раствор
С тех пор треугольный, его собственные значения равны его диагональным элементам.
No related posts.