Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ

ЛСкция β„–1 ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° – это ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вопросы ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, сколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌ условиям, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ². Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, это Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° элСмСнтов ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства ΠΈ размСщСния этих элСмСнтов Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ порядкС, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы. Если ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ А ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ m способами, Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ B – n способами, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Β«Π»ΠΈΠ±ΠΎ A, Π»ΠΈΠ±ΠΎ BΒ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ осущСствлСн m + n способами.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ любого ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. На ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠ΅ Π² ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΌ ΡˆΠΊΠ°Ρ„Ρƒ стоят 25 ΠΊΠ½ΠΈΠ³, срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ: 5 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, 4 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, 6 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ – худоТСствСнная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ с этой ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠΈ?

РСшСниС: Π’Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΈΠ· 5 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ 5 способами, ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ – 4 способами, ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ – 6 способами. Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ суммы ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ с ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 5 + 4 + 6 = 15 способами.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния. Если ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ А ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ m способами ΠΈ послС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этих Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ B ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ n способами, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ А, B ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ осущСствлСн mΓ—n способами.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ любого ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Ρ‚.Π΅. ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ

ΠΊ дСйствий. Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ дСйствиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ n1 способом, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ дСйствиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏ2 способами, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ дСйствиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ n3 способами ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π΄ΠΎ ΠΊ-Π³ΠΎ дСйствия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΊ способами, Ρ‚ΠΎ всС ΠΊ дСйствий вмСстС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹ n1Γ— ΠΏ2Γ— n3Γ—ΠΏΠΊ способами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Бколько Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ 2, 4, 5, Ссли Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π² числС Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ?

РСшСниС: На мСстС сотСн поставим Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ трСмя способами. ПослС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π° мСстС дСсятков ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ (Ρ‚.Π΅. двумя способами), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π² числС Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ. НаконСц, Π½Π° мСстС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ (Ρ‚.Π΅. ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: 3

Γ—2Γ—1 = 6 способов, ΠΈ соотвСтствСнно, ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π‘Ρ€ΠΎΡΠ°ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ кости Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π°. Бколько сущСствуСт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°? КаТдая ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΏΠ°ΡΡ‚ΡŒ нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ способами.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6*6=36.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π£ вСлосипСдистов Π΅ΡΡ‚ΡŒ суСвСриС: Π² Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ 8. Бколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ участвовало Π² сорСвновании, Ссли Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Π°Π½Ρ‹ всС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½Π΅ содСрТащиС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ 8. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: . 9Γ—9Γ—9=729

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Π’ ΡƒΡ€Π½Π΅ 4 красных, 3 Π±Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ 6 синих ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ². Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 3 ΡˆΠ°Ρ€Π° Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Π½ΡƒΡ‚ красный ΡˆΠ°Ρ€, Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ βˆ’ Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ βˆ’ синий? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:4 Γ—3 Γ—6=72.

ГрафичСской ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния являСтся ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ схСма, условно называСмая Β«Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΒ». Для рассмотрСнного ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ схСма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

2

4

5

5

4

245

254

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… «слов» (Ρ‚.Π΅. ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²), состоящих Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ· пяти Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠΊΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π±ΡƒΠΊΠ² слова «рисунок»?

РСшСниС: Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ «рисунок» состоит ΠΈΠ· сСми Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠΊΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ число Ρ€Π°Π·, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт:

N1 = 7 Γ— 6Γ— 5Γ— 4 Γ— 3 = 2520 «слов» ΠΈΠ· пяти Π±ΡƒΠΊΠ² (Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΈΠ· Π±ΡƒΠΊΠ² слова «рисунок»), N2 = 7 Γ— 6Γ— 5Γ— 4Γ— 3Γ— 2 = 5040 «слов» ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ², N3 = 7Γ— 6 Γ— 5Γ— 4 Γ— 3Γ— 2Γ— 1 = 5040 «слов» ΠΈΠ· сСми Π±ΡƒΠΊΠ². Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ суммы, сущСствуСт N = N1 + N2 + N3 = 2520 + 5040 + 5040 = 12 600 «слов», состоящих Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ· пяти Π±ΡƒΠΊΠ² слова «рисунок».

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ: пСрСстановки, размСщСния, сочСтания.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

А. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ (n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²).

УпорядочСнныС мноТСства ΠΈΠ· n элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ

пСрСстановками ΠΈΠ· n элСмСнтов. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, пСрСстановки ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ порядком слСдования элСмСнтов.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· n элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ упорядочСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, состоящСго ΠΈΠ· n элСмСнтов.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, состоящиС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ n-Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ порядком располоТСния.

Pn = n! = 1 Γ— 2Γ— 3 ×…× n

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ n Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Β«n-Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»Β».

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» нуля Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅: 0!=1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 6 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠ΅?

РСшСниС: ИскомоС число способов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ P6 = 6! = 1 Γ— 2Γ— 3 Γ—4Γ— 5 Γ— 6 = 720. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ способами, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ — ΠΏΡΡ‚ΡŒΡŽ способами ΠΈ Ρ‚.Π΄., послСднюю — ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ умноТСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число способов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 6- 5-4β€’ 3β€’ 2-1 = 720.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠ΅ 10 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10! .

B. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ c повторСниями.

Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрСставляСмыС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ число пСрСстановок Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ имССтся k Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ имССтся n1 элСмСнтов 1-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, n2 элСмСнтов 2-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, …, nkэлСмСнтов k-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°. ΠŸΡ€ΠΈ этом n1+ n2 +… + nk =n.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ n-пСрСстановками с повторСниями ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ P(n1, n2 ,…, nk).

P(n1, n2 ,…, nk)= n!/ (n1! Γ—n2! ×…×nk!)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΏ элСмСнтов, срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… k1элСмСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, k2элСмСнтов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, …, km элСмСнтов m-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (k1 + k2 + … + km = ΠΏ), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ элСмСнты Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, называСтся пСрСстановкой с повторСниями ΠΏ элСмСнтов, срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… k1 элСмСнтов ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, k2 элСмСнтов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, …, km элСмСнтов m-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, пСрСставляя Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Π² словС «криминалистика».

РСшСниС: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² словС «криминалистика» 14 Π±ΡƒΠΊΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΏ = 14. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Β«ΠΊΒ») 2 ΡˆΡ‚ΡƒΠΊΠΈ (k1 = 2). Π”Π°Π»Π΅Π΅: k2 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«Ρ€Β»), k3 = 4 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«ΠΈΒ»), k4 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«ΠΌΒ»), k5 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«Π½Β»), k6 = 2 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«Π°Β»), k7 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«Π»Β»), k8 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° «с»), k9 = 1 (Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«Ρ‚Β»). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, количСство всСх слов: Π (2, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 1) = 14! /(2!4!2!)=

РазмСщСния

А. РазмСщСния Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ

РазмСщСниями Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, составлСнныС ΠΈΠ· n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ m элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ составом элСмСнтов, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡ… порядком слСдования.

УпорядочСнныС подмноТСства ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ размСщСниями ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ: размСщСниями ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, размСщСния ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ составом элСмСнтов, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡ… порядком.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ мноТСство, состоящСС ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов ΠΏΠΎ ΠΊ (ΠΊ < ΠΏ) элСмСнтов называСтся упорядочСнноС подмноТСство, содСрТащСС ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства ВсС эти подмноТСства ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΈΠ»ΠΈ составом элСмСнтов, ΠΈΠ»ΠΈ порядком ΠΈΡ… распрСдСлСния. Но число элСмСнтов Π²ΠΎ всСх этих подмноТСствах Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊ.

РазмСщСниями ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ m Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ всСвозмоТныС упорядочСнныС подмноТСства, содСрТащиС

m элСмСнтов ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… n. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10. Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, содСрТащих Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ· 5 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€.

РСшСниС: Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число – это упорядочСнная ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с размСщСниями Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ: А54=5!/(5-4)!=5!/1!=5οƒ—4οƒ—3οƒ—2=120.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11. Π’ классС 10 ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ 5 Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² Π² дСнь. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ составлСно расписаниС Π½Π° 1 дСнь?

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 3 ΠΈΠ· 10 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ²?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: А103=720.

B. РазмСщСния с повторСниями

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с повторСниями ΠΈΠ· m элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ упорядочСнноС мноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ содСрТит k элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ элСмСнт ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² это мноТСство нСсколько Ρ€Π°Π· (ΠΎΡ‚ нуля Π΄ΠΎ k). Число всСх Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ с повторСниями ΠΈΠ· m ΠΏΠΎ k Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ mk , Ρ‚.Π΅. Δ€km = mk

РазмСщСниями с повторСниями ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ упорядочСнныС мноТСства, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… содСрТит k Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства n элСмСнтов. Число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ с повторСниями вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пятизначных чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ 1, 2, 3?

РСшСниС. Богласно ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, искомоС число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Δ€53 =35=243

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 14. ΠšΠΎΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π° дискС 12 Π±ΡƒΠΊΠ². Π‘Π΅ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ слово состоит ΠΈΠ· 5 Π±ΡƒΠΊΠ². Бколько Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Δ€512 =125=248832. Число Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΊ 248832-1=248831.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 15. Π’ стСну здания Π²ΠΌΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ 8 Π³Π½Π΅Π·Π΄ для Ρ„Π»Π°ΠΆΠΊΠΎΠ². Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π³Π½Π΅Π·Π΄ΠΎ вставляСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π³ΠΎΠ»ΡƒΠ±ΠΎΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ красный Ρ„Π»Π°ΠΆΠΎΠΊ. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… случаСв распрСдСлСния Ρ„Π»Π°ΠΆΠΊΠΎΠ² Π½Π° Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ порядок располоТСния элСмСнтов Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΈ Π½Π΅ всС элСмСнты ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ соСдинСнии, Ρ‚ΠΎ это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всСго 8 Π³Π½Π΅Π·Π΄, Π° Ρ„Π»Π°ΠΆΠΊΠΎΠ² 2 Π²ΠΈΠ΄Π° (Π³ΠΎΠ»ΡƒΠ±ΠΎΠΉ ΠΈ красный), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚.Π΅. это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

БочСтания

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сочСтаниями ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ: сочСтания ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сочСтания ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ составом элСмСнтов. Число сочСтаний ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k обозначаСтся: Ckn.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ мноТСство, состоящСС ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов ΠΏΠΎ ΠΊ (0 < ΠΊ < ΠΏ) элСмСнтов называСтся любоС подмноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ содСрТит ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ подмноТСствами ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ составом элСмСнтов. ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° лишь порядком слСдования элСмСнтов, Π½Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Число всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сочСтаний ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов ΠΏΠΎ ΠΊ обозначаСтся Ckn. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ число пСрСстановок ΠΈΠ· ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ k!, Ρ‚ΠΎ число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΏ элСмСнтов ΠΏΠΎ ΠΊ β€” Аkn Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊ! Ρ€Π°Π· большС, Ρ‡Π΅ΠΌ число сочСтаний ΠΈΠ· ΠΏ

элСмСнтов ΠΏΠΎ ΠΊ — Π‘kn , Ρ‚.Π΅. Аkn =n! Γ— Ckn.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°: Ckn= Аkn /k!= n!/(nk)! Γ—k!

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов. k- сочСтаниями Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ k-расстановки, составлСнныС ΠΈΠ· этих элСмСнтов, ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° составом, Π½ΠΎ Π½Π΅ порядком элСмСнтов. Число k-сочСтаний Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов обозначаСтся Π‘kn.

БочСтаниями ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ m Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ всСвозмоТныС подмноТСства Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… n элСмСнтов, состоящиС ΠΈΠ· m элСмСнтов. Для подсчСта ΠΈΡ… числа ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, составлСнныС ΠΈΠ· n –различных элСмСнтов ΠΏΠΎ m элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ составом элСмСнтов ΠΈ Π½Π΅ зависят ΠΎΡ‚ порядка слСдования.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 16. Π’ Π±Ρ€ΠΈΠ³Π°Π΄Π΅ ΠΈΠ· 25 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ участкС. Бколькими способами это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ?

РСшСниС: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ порядок Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, Ρ‚ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ C425 способами: C425 = 25!/(25-4)! Γ—4!=12650

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 17. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ Π² спортлото 6 ΠΈΠ· 49 Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: C649=69919080

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 18. Π’ кондитСрской ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ 4 Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…: Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΎΠ½Ρ‹, эклСры, пСсочныС, слоСныС. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ 7 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: C47=

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с повторСниями ΠΈΠ· m элСмСнтов ΠΏΠΎ k элСмСнтов (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅: сочСтаниСм с повторСниями ΠΈΠ· m ΠΏΠΎ k) называСтся мноТСство, содСрТащСС k элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· m Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ². Число всСх Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… сочСтаний с повторСниями ΠΈΠ· m ΠΏΠΎ k обозначаСтся Ĉkm (ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ обозначСния числа сочСтаний ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k – Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π° свСрху).Число сочСтаний с повторСниями ΠΈΠ· Ρ‚ ΠΏΠΎ k Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ имССтся n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ². Бколько k-расстановок ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° составом, Π½ΠΎ Π½Π΅ порядком входящих элСмСнтов? Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ k -расстановки Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ k-сочСтаниями с повторСниями ΠΈΠ· n Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ². Число k -сочСтаний с повторСниями ΠΈΠ· n Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² обозначаСтся Ĉkm.

БочСтания ΠΈΠ· n элСмСнтов, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ m элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ элСмСнт ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ сочСтании любоС число Ρ€Π°Π·, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ m, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сочСтаниями с повторСниями. Число сочСтаний с повторСниями вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 19. На ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ 10 сортов. Бколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² сущСствуСт для ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΠΈ 12 ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния элСмСнтов Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это сочСтаниС. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚ΠΎ это сочСтаниС с повторСниями.

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠ· 10 ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΈΠ·12 ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ 293930 способами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 20.Число Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… бросаний Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 21. НапишСм всС сочСтания с повторСниями ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов А, Π’, Π‘ ΠΏΠΎ 3. Бколько ΠΈΡ…?

Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΈ: ААА Π’Π’Π’ Π‘Π‘Π‘, АВВ Π’Π‘Π‘, АББ Π’Π’Π‘, ААВ, ААБ, АБВ. Π˜Ρ… 10 ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ, Ρ‚.Π΅.Ĉ33.=10.

Бвойства сочСтаний

1) Π‘kn = Π‘nkn

2) Π‘kn = Π‘k-1n-1+ Π‘kn-1

3) Π‘0n + Π‘1n + Π‘2n + …+ Π‘nn = 2n

4) Π‘kn * Π‘mknk= Π‘km+ Π‘mn

ВсС сочСтания Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ссли Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Паскаля ):

1 Π‘ΠΎΒ°

1 1 C10 Π‘11

1 2 1 Π‘20 Π‘21 Π‘22

1 3 3 1 Π‘30Π‘31 Π‘32Π‘33

1 4 6 4 1 Π‘40 Π‘41Π‘42Π‘43Π‘44

1 5 10 10 5 1 Π‘50Π‘51Π‘52Π‘53Π‘54Π‘55

На основании Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ свойств сочСтаний.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ схСмой:

ΠšΠžΠœΠ‘Π˜ΠΠΠ’ΠžΠ ΠΠ«Π• Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ количСство ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‡Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Π»ΠΈΠ³Π΅ Ρ„ΡƒΡ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½Π° страны Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ 160 Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Бколько (максимально) ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² состав Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Π»ΠΈΠ³ΠΈ.

РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ количСство ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· n, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° число сыгранных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‡Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ C2n . По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ C2n ≀ 160. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ C2n = 160, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

n!/(n-2)!* 2!=160. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° n=18,4;-17,4.

Число ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, поэтому n = 18.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. 18 ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ 4 сорта чая, 5 сортов ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚ ΠΈ 6 сортов ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΡ. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π°Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΠΈΠ΅-Π΄Π΅Π³ΡƒΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‡Π°ΡˆΠΊΡƒ чая ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сорта с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΠ΅ΠΌ?

РСшСниС. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, подсчитаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

1) число способов Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ сорта чая для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСгустаторов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 43;

2) число способов Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сорта для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСгустаторов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 53;

3) число способов Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСгустаторов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 63.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число способов ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ‡Π°Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΠΈΠ΅-Π΄Π΅Π³ΡƒΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 43* 53* 63= 1 728Β 000.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Π’ сорСвнованиях ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ участиС 16 ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ Бколькими способами ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… мСста, Ρ‚ Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число всСх подмноТСств, состоящих ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ составом (Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄) ΠΈΠ»ΠΈ порядком ΠΈΡ… размСщСния (подмноТСства β„– 1, β„– 2, β„– 3 ΠΈ β„– 2, β„– 1, β„– 3 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° искомоС число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ A316=3360

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 10 солдат. НСобходимо ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ наряд ΠΈΠ· 4-Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. Бколько сущСствуСт способов составлСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ наряда?

РСшСниС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ порядок, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ участников наряда, Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с сочСтаниями ΠΈΡ… 10 ΠΏΠΎ 4. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, C410=210

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5. Бколько сущСствуСт Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, состоящих ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€?

РСшСниС. Ноль Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ 9 возмоТностСй Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любая упорядочСнная Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, Π° для этого Π΅ΡΡ‚ΡŒ A39 способов. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 9* A39=4536

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 6. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ ΠΈΠ· 4 столбцов Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ столбСц Π±Ρ‹Π» ΠΎΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния элСмСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ 4 столбца, Π° Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ чСтырСхцвСтная, Ρ‚. Π΅. всС элСмСнты ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² соСдинСнии, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это соСдинСниС – пСрСстановка. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ окраска столбцов Π½Π΅ повторяСтся (Π² условии сказано, Ρ‡Ρ‚ΠΎ столбцы ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π°), Ρ‚ΠΎ это пСрСстановка Π±Π΅Π· повторСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Pn= n! = 4! = 1οƒ—2οƒ—3οƒ—4 = 24 ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: столбцы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΡ€Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒ 24 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ 5 ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΊΠΎΠ²: 3 Π±Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ 2 Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ…. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ·ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, располагая ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΊΠΈ Π² ряд.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния элСмСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π² ΡƒΠ·ΠΎΡ€Π΅ 5 ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΊΠΎΠ², Ρ‚.Π΅. всС элСмСнты ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² соСдинСнии, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это соСдинСниС – пСрСстановка. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ окраска ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΊΠΎΠ² повторяСтся (Π² условии сказано, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 Π±Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ 2 Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ…), Ρ‚ΠΎ это пСрСстановка с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡƒΠ·ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 10 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8. Бколько словарСй Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ нСпосрСдствСнно Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ с любого ΠΈΠ· 5 языков Π½Π° любой ΠΈΠ· 5 языков.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ русско-английский ΠΈ Π°Π½Π³Π»ΠΎ-русский словари Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹) ΠΈ Π½Π΅ всС элСмСнты ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² соСдинСнии (Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ 2 ΠΈΠ· 5), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ языки Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· повторСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 20 словарСй.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9. На ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·Π½ΠΎΠ΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ станции имССтся 5 свСтофоров. Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΡ… сигналов, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ свСтофор ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 3 состояния.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ всС элСмСнты ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² соСдинСнии, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ 243 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 10. 12 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π»ΠΈ Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ. Бколькими способами ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ ΠΏΠΎ 4 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ.

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это сочСтаниС. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ (всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ люди), Ρ‚ΠΎ это сочСтаниС Π±Π΅Π· повторСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ ΠΏΠΎ 4 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ 495 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11. Π’ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ 6 Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ². Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠΊΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· 10 Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ (Π±ΡƒΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ лишь располоТСниСм Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ).

РСшСниС: ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π² Π±ΡƒΠΊΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это сочСтаниС. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ это сочСтаниС с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π±ΡƒΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 3003 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 12. Π’ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ 25 студСнтов, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… 5 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², 11 Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅Ρ‡Π½ΠΈΠΊΠΈ. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ для выполнСния Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, состоящСй ΠΈΠ· 3 Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡΡ‚ΠΎΠ², 1 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ 1 Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅Ρ‡Π½ΠΈΠΊΠ°.

РСшСниС: Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 3 Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡΡ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· 11 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния студСнтов Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, это сочСтаниС. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ люди Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ это соСдинСниС – сочСтаниС Π±Π΅Π· повторСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами. Аналогично рассуТдая, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅Ρ‡Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π° для выполнСния Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ выбираСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚.Π΅. 5 Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡΡ‚ΠΎΠ², Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ 1 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΊ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ 1 Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅Ρ‡Π½ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: способами. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ для выполнСния Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 3300 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 13: Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ 4 Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠΈ, 5 Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Ρ†, 6 Π»ΠΎΠΆΠ΅ΠΊ (всС Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠΈ, Π±Π»ΡŽΠ΄Ρ†Π°, Π»ΠΎΠΆΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹). Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ стол ΠΊ Ρ‡Π°ΡŽ Π½Π° 3 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ 1 Ρ‡Π°ΡˆΠΊΡƒ, 1 Π±Π»ΡŽΠ΄Ρ†Π΅ ΠΈ 1 Π»ΠΎΠΆΠΊΡƒ.

РСшСниС: Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ для 3 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠΈ ΠΈΠ· 4 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ располоТСния элСмСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π½Π΅ всС элСмСнты входят Π² соСдинСниС, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Но Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· повторСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈΠ· 4 Ρ‡Π°ΡˆΠ΅ΠΊ 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами. Аналогично рассуТдая, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· 5 Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Ρ† 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами, Π° ΠΈΠ· 6 Π»ΠΎΠΆΠ΅ΠΊ 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ способами. Π’Π°ΠΊ Π±Π»ΡŽΠ΄Ρ†Π΅, Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠΊΠ° входят Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ стол ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ способами. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: стол ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ 172800 способами.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 14. Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ ΠΈΠ· 20 студСнтов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ 2 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π·Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΡ… размСщСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния.

РСшСниС. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 15. Найти количСство Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл с Π½Π΅ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†ΠΈΡ„Ρ€: 1, 2, 3, 4, 5.

РСшСниС. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ (3) ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 16. Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ ΠΈΠ· 20 студСнтов слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ 2 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π·Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΡ… размСщСния Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² сочСтаний.

РСшСниС. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² сочСтаний вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ 4):

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 17. Π€Π»Π°Π³ государства ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… полос Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ число ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ· пяти Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, выбирая ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈ полосы Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π°.

РСшСниС. Если ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ порядок Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ число Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

Если ΠΆΠ΅ порядок Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, Ρ‚ΠΎ количСство Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° Π² Excel

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° Π² Excel

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° β€” Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ дискрСтныС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, мноТСства (сочСтания, пСрСстановки, размСщСния элСмСнтов) ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½ΠΈΡ…. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° Π±Ρ‹Π» Π²Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½ Π² матСматичСский ΠΎΠ±ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² 1666 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» свой Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ «РассуТдСния ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ искусствС». Excel ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ряд Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, слСдуСт ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ряд вопросов:

  1. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ мноТСство содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ?
  2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ выполняСтся со всСми элСмСнтами мноТСства, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…?
  3. Π’Π°ΠΆΠ΅Π½ Π»ΠΈ порядок элСмСнтов Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅?
  4. ПослС Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° элСмСнта ΠΌΡ‹ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Π°Π΄?

Рис. 1. Π”Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΡƒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Word ΠΈΠ»ΠΈ pdf, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Excel

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ нСсколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов (ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²) ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… всСвозмоТными способами, оставляя Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΡ… число ΠΈ мСняя Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ… порядок (рис. 2). КаТдая ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ пСрСстановки. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· n элСмСнтов называСтся упорядочСнноС мноТСство, составлСнноС ΠΈΠ· всСх элСмСнтов мноТСства.

Рис. 2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ (ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° взята здСсь)

Если всС n элСмСнты Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ число пСрСстановок обозначаСтся Pn ΠΎΡ‚ perturbation.

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ n ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл называСтся n-Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» ΠΈ обозначаСтся n!

НапримСр

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ: 1! = 1; 0! = 1.

Ѐункция Π² Excel =ЀАКВР(n). Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» растСт ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ быстро. БущСствСнно быстрСС экспонСнты (рис. 3).

Рис. 3. РасчСт числа пСрСстановок Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»Π°

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ с повторСниями

Если Π² основном n мноТСствС Π½Π΅ всС элСмСнты Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ число пСрСстановок Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС n! НапримСр, Ссли нашС мноТСство состоит ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… яблок ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΡˆΠΈ, Ρ‚ΠΎ всСго Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ 4 пСрСстановки (рис. 4). Π“Ρ€ΡƒΡˆΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, Π° яблоки Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΡ‹).

Рис. 4. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ с повторСниями (ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° здСсь)

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ n, составлСнная ΠΈΠ· k Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… символов, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… повторяСтся n1 Ρ€Π°Π·, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ – n2 Ρ€Π°Π·, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ – n3 Ρ€Π°Π·, …, k-ΠΉ – nk Ρ€Π°Π· (Π³Π΄Π΅ n1 + n2 + … + nk = n) называСтся пСрСстановкой с повторСниями ΠΈΠ· n элСмСнтов.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пятибуквСнных слов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π±ΡƒΠΊΠ² слова Β«ΠΌΠ°Π½Π½Π°Β»?

РСшСниС. Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Π° ΠΈ Π½ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ 2 Ρ€Π°Π·Π°, Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Π° ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·.

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· n элСмСнтов ΠΏΠΎ m называСтся упорядочСнный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΈΠ· m Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· n-элСмСнтного мноТСства (всС элСмСнты мноТСства ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹; ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ элСмСнтов Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹). Число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ обозначаСтся  ΠΎΡ‚ arrangement.

НапримСр, Π΄Π²Π° элСмСнта ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ способами (рис. 4):

Рис. 5. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ)

Если m = n количСство элСмСнтов совпадаСт с количСством ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ мСст для размСщСния. Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (4) прСвращаСтся Π² 0! = 1. ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ n! А это – изучСнная Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ пСрСстановка Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ; см. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1).

НазваниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Excel нСсколько обСскураТиваСт. Но… Ρ‡Ρ‚ΠΎ подСлаСшь: =ΠŸΠ•Π Π•Π‘Π’(n;m)

Рис. 6. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ ссылки, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π½Π° всю Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями ΠΏΠΎ смыслу отличаСтся ΠΎΡ‚ пСрСстановок с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ – это опСрация Π½Π°Π΄ мноТСством, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ состоит ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² элСмСнтов, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ прСдставлСн нСсколькими ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ элСмСнтами. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями – Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ ΠΈΠ· мноТСства с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

НапримСр, Ссли Ρƒ вас мноТСство, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π³Ρ€ΡƒΡˆΡƒ, яблоко ΠΈ Π»ΠΈΠΌΠΎΠ½, ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° элСмСнта, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ (рис. 7).

Рис. 7. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ° с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ – это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²Β» Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Β«ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Β» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ нСсколько Ρ€Π°Π·. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ умноТСния количСство Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ с повторСниями ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k:

Π’ Excel ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ функция ΠŸΠ•Π Π•Π‘Π’Π(n;k).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°?

Подсказка. Π’ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ 12 Π±ΡƒΠΊΠ² Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ Π² латинском Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ (А, Π’, Π•, К, М, Н, О, Π , Π‘, Π’, Π£, Π₯).

Рис. 8. НомСр автомобиля

РСшСниС. МоТно Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для размСщСния с повторСниями:

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 10 способами, Π° всСго Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ 3, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΈ ΠΈΡ… порядок Π²Π°ΠΆΠ΅Π½. ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 12 способами, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΈ ΠΈΡ… порядок Π²Π°ΠΆΠ΅Π½.

БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ

БочСтаниями ΠΈΠ· n мноТСства ΠΏΠΎ m элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, составлСнныС ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… n элСмСнтов ΠΏΠΎ m элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом (Π² сочСтаниях Π½Π΅ учитываСтся порядок элСмСнтов).

НапримСр, Π΄Π²Π° элСмСнта ΠΈΠ· 4 ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ 6 способами (порядок слСдования Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½):

Рис. 9. БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 4 ΠΏΠΎ 2

БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля (рис. 10). Π’ этом Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠΊΠ°ΠΌ стоят Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. КаТдоС число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС Π΄Π²ΡƒΡ… располоТСнных Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ чисСл. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси. Числа Π² строках, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сочСтаниями

Π³Π΄Π΅ n – Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ строки, m – Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ элСмСнта Π² строкС, начиная с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ. НапримСр, Π² строкС 7:

Рис. 10. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля; Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅

Π’ Excel ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ функция =Π§Π˜Π‘Π›ΠšΠžΠœΠ‘(n;m).

БочСтания с повторСниями

БочСтания с повторСниями ΠΏΠΎ смыслу ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ с повторСниями – это Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ ΠΈΠ· мноТСства с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ этом порядок Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½.

НапримСр, Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 10 способами, Ссли послС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ возвращаСтся Π½Π°Π·Π°Π΄ (рис. 11).

Рис. 11. БочСтания с повторСниями

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, число сочСтаний с повторСниями:

Для нашСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° с Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ

Π’ Excel для подсчСта числа сочСтаний с повторСниями ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ функция =Π§Π˜Π‘Π›ΠšΠžΠœΠ‘Π(n;m). Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ =Π§Π˜Π‘Π›ΠšΠžΠœΠ‘Π(4;2) = 10.

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Π±Π΅Π· повторСния Python с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ΄Π°

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Π±Π΅Π· повторСния Python с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ΄Π°

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ Python Β«ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Π±Π΅Π· повторСния».

 ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ itertools ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
список (it.combinations ([1,2,3,4,5], 4))
#[(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5) )]
 

РСшСниС Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ упомянутой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Π±Π΅Π· повторСния Python Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ΄Π°.

 >>> ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ itertools ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
>>> список(it.combinations([1,2,3,4,5], 4))
[(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5) ]
 

ΠœΡ‹ прСдставили мноТСство наглядных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ Python Β«ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Π±Π΅Π· повторСния», Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ объяснили, ΠΊΠ°ΠΊ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

Как ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ?

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия:

  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 чисСл; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, наши Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ r = 4,
  • Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сочСтаний Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния: C ( n , r ) = n !
  • Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΎ! Π’Π°ΠΊ Π²Ρ‹ подсчитываСтС количСство ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Как ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Python?

Как ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… списков Π² Python

  • список1 = [«Π°», «Π±», «Π²»]
  • список2 = [1, 2]
  • всС_ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ = []
  • list1_permutations = itertools. пСрСстановки (список1, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° (список2))
  • для each_permutation Π² list1_permutations:
  • Π·Π°Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ = Π·Π°Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ (каТдая_пСрСстановка, список2)
  • всС_ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ.
  • ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (всС_ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ)

Как ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ списка Π² Python Π±Π΅Π· Itertools?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· использования itertools, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ список ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, зафиксируйтС ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ элСмСнт списка ΠΈ создайтС ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΌΡΡ списком. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ со всСми элСмСнтами списка ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ рСкурсии ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ списка. 21 июня 2022 Π³.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Permute Π² Python?

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСмая «порядковым Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΒ» ΠΈΠ»ΠΈ «порядком», прСдставляСт собой пСрСстановку элСмСнтов упорядочСнного списка S Π²ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС с самим S. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ n содСрТит n! пСрСстановка. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: Π’Π²ΠΎΠ΄: str = ‘ABC’ Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: ABC ACB BAC BCA CAB CBA.11-Jul-2022

Бколько ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 4 ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 4 чисСл Π±Π΅Π· повторСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 15. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ для расчСта количСства ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n элСмСнтов, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ, Ρ€Π°Π²Π½Π° 2n — 1.

Как Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ n! / (r! (n — r)!), Π³Π΄Π΅ n β€” ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство возмоТностСй Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Π° r β€” количСство сдСланных Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ 52 ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, n = 52,24 апрСля 2017 Π³.

Как ΡΠ³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ списка?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π° листС Excel, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ;

  • Π¨Π°Π³ 1: ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ лист. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ лист с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ.
  • Π¨Π°Π³ 2: Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ячСйку для Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.
  • Π¨Π°Π³ 3: ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ячСйки.

Как ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ всС ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Python?

product() вызываСтся для поиска всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ элСмСнтов. И zip() ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для объСдинСния всСх этих ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ, прСобразования ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π² список ΠΈ добавлСния ΠΈΡ… Π² Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ список ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ. 16 июня 2021 Π³.

Как вывСсти всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ строки Π² Python?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ пСрСстановки Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ строки, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ itertools, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ permutations(iterable[ r]). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ пСрСстановки элСмСнтов Π² ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ΠΉ. 30 сСнтября 2019Β Π³.

Как вывСсти всС ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ строки?

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ поиска с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти всС пСрСстановки Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ строки. Поиск с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ β€” это Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ поиска всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ изучСния всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΉ. 11 января 2022 Π³.

python — Ѐункция для поиска всСх ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· повторСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² суммС ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ число

спросил

ИзмСнСно 1 Π³ΠΎΠ΄, 2 мСсяца Π½Π°Π·Π°Π΄

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 399 Ρ€Π°Π·

Π― ΠΈΡ‰Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ всС ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· списка, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² суммС Π΄Π°Π΅Ρ‚ число. Π― Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ всС пСрСстановки списка, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ списки Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° врСмя ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сущСствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

the_list = [7,6,5,5,4,3,2,1] stop_sum = 11

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° комбинация (7, 3, 1), я Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ (1, 3, 7) Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π°.

Π’ настоящСС врСмя я дСлаю это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ рСкурсивной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, Π½ΠΎ этого нСдостаточно, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° списки содСрТат Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 300 Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². (всС Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа).

 the_list = [7,6,5,5,4,3,2,1]
стоп_сумма = 11
ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅_ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΎ = []
def combo_find(C, S, B=[]):
    для i, a Π² пСрСчислСнии (C):
        Ссли а > S:
            ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ
        B.append(a) # B+[a] всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ списком
        if a == S: # НайдСна Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
            ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ = отсортировано (ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆ (B))
            Ссли ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π² unique_combos:
                unique_combos.append (ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
        combo_find(C[i + 1:], S - a, B)
        B.pop() # ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ [a] ΠΈΠ· списка Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…
the_list.sort()
combo_find(the_list, stop_sum)
ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅_ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΎ)
 

Π£ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΡƒΠΌΠ½Π΅Π΅/быстрСС?

  • python
  • функция
  • рСкурсия
  • ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ
  • пСрСстановка

3

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ использовании Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡˆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:

 from functools import lru_cache
ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ combo_find (C, S):
    Π‘. ΡΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ()
    @lru_cache(НСт)
    запись Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Ρ‹ (ΠΏΡƒΠ», с):
        Ссли нС с:
            Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ [[]]
        Ссли с < 0:
            Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ []
        я, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ = 0, []
        Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ я < len (бассСйн):
            crnt = ΠΏΡƒΠ»[i]
            для комбо в rec(pool[i+1:], s-crnt):
                Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.append([crnt] + ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΎ)
            # ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… равСнств ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…!
            # это позволяСт ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄ΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΠ², Π½ΠΎ позволяСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС вхоТдСния Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ принадлСТности
            Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ я < len(pool) ΠΈ pool[i] == crnt:
                я += 1
        Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚
    return rec(tuple(C), S) # tuplify, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ…ΡΡˆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ
>>> combo_find([7,6,5,5,4,3,2,1], 11)
[[1, 2, 3, 5], [1, 3, 7], [1, 4, 6], [1, 5, 5], [2, 3, 6], [2, 4, 5] , [4, 7], [5, 6]]
 

2

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π°Π΄ вашими числами, n ΠΈ суммой запроса, q . Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ сортировки n ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½, Ссли Π²Ρ‹ сдСлаСтС сортировку ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Алгоритм написан с использованиСм ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… рассуТдСний —

  1. Если сумма запроса q Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Ρ‹Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ пустоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ {} ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ.
  2. (индуктивная) q Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Если q ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ n Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ чисСл для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достигнуто. Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.
  3. (ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ) q ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ n , Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ уступитС. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ запрос q , пропустив ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ n .
 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (n, q):
 # 1. Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ, Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ пустой Π½Π°Π±ΠΎΡ€
 Ссли q == 0: Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ (Π½Π°Π±ΠΎΡ€ доходности())
 # 2.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *