Сочетания без повторений: формула, определение, примеры решения задач из комбинаторики

Конспект урока по теме «Сочетания без повторений» | План-конспект урока по математике (6 класс) на тему:

Слайд 1

Учебно-исследовательский проект ТЕОРИЯ ГРАФОВ Автор: Терехова Анастасия Вячеславовна ученица 6«А» класса Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения города Иркутска средней общеобразовательной школы с углубленным изучением отдельных предметов № 14 Руководитель проекта: Полетаева Лариса Никитична учитель математики высшей категории Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения города Иркутска средней общеобразовательной школы с углубленным изучением отдельных предметов № 14

Слайд 2

Если вы любите решать задачи на смекалку, логические, олимпиадного типа или головоломки, то наверное, не раз составляли таблицы, изображали объекты точками, соединяли их отрезками или стрелками, подмечали закономерности у полученных рисунков, выполняли над точками или отрезками операции, не похожие на арифметические, то есть вам приходилось строить математический аппарат специально для решения задачи. А это значит, что вы открывали для себя начала теории графов. В математике существует класс задач, которые наиболее просто и понятно решаются с применением теории графов. Это замечательные математические объекты, применяя которые можно решать математические и логические задачи, а также упрощать условия задач.

Слайд 3

Объект исследования: Математические графы. Предмет исследования: Графы, как способ решения целого ряда задач практической направленности. Цель моей работы: Выяснить, что такое теория графов, и как применить ее при решении математических задач. Задачи: познакомиться с историей возникновения теории графов; научиться применять теорию графов при решении задач; создать задачи и решить их с помощью теории графов. Основные методы исследования: 1. Теоретический: анализ источников информации. 2. Эмпирический: создать задачи и решить их с помощью теории графов.

Слайд 4

Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от лат. слова «графио» — пишу. Впервые основы теории графов появились в работе члена Петербургской академии наук, выдающегося математика Леонардо Эйлера, где он описывал решение головоломок и математических развлекательных задач. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала Леонарда Эйлера. Он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Среди них знаменитая задача о Кенигсбергских мостах. Философ Иммануил Кант, гуляя по городу Кенигсбергу (сейчас этот город называется Калининград), поставил задачу: можно ли пройти по всем семи мостам и при этом вернуться в исходную точку так, чтобы по каждому мосту пройти только один раз. История возникновения теории графов

Слайд 5

Если, внимательно рассмотреть географическую карту, можно заметить, что есть еще один – граф, состоящий из границ между странами (областями, районами). В 1852 году английский студент Френсис Гутри раскрашивал карту Великобритании. Каждое графство он выделял цветом. Выбор красок у него был невелик, и приходилось их использовать повторно. Гутри старался, чтобы два графства, имеющие общий участок границы, были окрашены в разные цвета. Это заставило его задуматься о том, какого наименьшего числа красок достаточно для раскрашивания любой карты. Гутри считал, что четырех красок всегда хватит, но доказать это не мог. Первые решения данной задачи появились в 1879 году. Доказательство опубликовал Альфред Кемпе- британский математик, а год спустя Питер Тэт — шотландский математик и физик.

Слайд 6

Существует задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Возможно ли провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Эта задача была решена польским математиком Куратовским в 1930 году. В 1859 г. английский математик Уильям Гамильтон выпустил в продажу головоломку. Она представляла собой деревянный додекаэдр(12-гранник), в вершинах которого вбиты гвоздики. Каждая из 20 вершин была помечена названием одного из крупных городов мира – Дели, Брюссель и т.д. Требовалось найти замкнутый путь, проходящий по ребрам додекаэдра и позволяющий побывать в каждой его вершине по одному разу. Путь следовало отмечать с помощью шнура, зацепляя его за гвоздики. В 1975 году преподавателем архитектуры Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов изобрел головоломку Кубик Рубика. Решить все эти задачи или доказать, что они не имеют решений возможно с помощью теории графов!

Слайд 7

Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом Граф – это набор точек, каждые из которых соединены линиями. Точки – называются вершинами, а соединяющие их линии ребрами. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной. Основные понятия теории графов

Слайд 8

Маршрутом в графе называется последовательность рёбер, в которой соседние рёбра имеют общую вершину. Первая вершина называется нача­лом маршрута, последняя — концом. Путём (или цепью) в графе называется маршрут, в котором нет повто­ряющихся рёбер. Если в пути нет повторяющихся вершин, его называют простым путём. Длина маршрута равна количеству рёбер в порядке их про­хождения. Расстоянием между вершинами в графе называют длину крат­чайшего пути от одной вершины до другой. Цикл — это путь, у которого совпадают начало и конец. Если в цик­ле все вершины разные, его называют простым циклом. Если в цикле все рёбра разные, то такой цикл называется эйлеровым. Маршрут, содержа­щий все рёбра или все вершины графа, называется обходом графа. Граф-путь с 6 вершинами Цикл графа 1, 2, 5, 4, 3, 1

Слайд 9

Виды графов Связный граф – это граф, между любой парой которого существует хотя бы один путь. Несвязный граф – это граф, в котором существует хотя бы одна пара вершин, между которыми нет пути. Такие вершины называются несвязными. Например, на показанном графе несвязными вершинами является G и любая другая вершина данного графа. Если в связном графе после удаления ребра граф превратится в несвяз­ный, такое ребро называют мостом. На рисунке граф с 6 мостами выделены красным.

Слайд 10

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них. Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связан и имеет не более двух нечетных вершин.

Слайд 11

Особым видом графа является дерево. Деревом называется любой связный граф, не имеющий циклов. В дереве нельзя вернуться в исходную вершину, двигаясь по рёбрам и проходя по одному ребру не более одного раза. В дереве любые две вершины соединены ровно одним путём. В дереве есть вершина, из которой выходит только одно ребро. Такая вершина называется висячей. При удалении любого ребра из дерева граф становится несвяз­ным. Плоским графом называют такой граф, который можно нарисовать на плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались нигде, кроме вершин. Ориентированный граф — это граф, рёбрам которого присвоено направление, т.е. нанесены стрелочки. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках и просто рёбрами. Неориентированный граф — это граф, в котором все ребра являются неупорядоченными парами вершин, т.е. возможно прохождение из вершины в вершину в обоих направлениях.

Слайд 12

Известные задачи, решаемые с помощью графов Если применить теорию графов к задачам, описанным в начале моей работы, то их решение становится очевидным. Задача о Кенигсбергских мостах Предположим, что мосты – ребра, а части города – вершины графа. В получившемся графе четыре нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Слайд 13

Задача о четырех красках Рассмотрим для произвольной карты следующий граф: его вершины – столицы государств, а ребрами связаны те из них, чьи государства имеют общий участок границы. В каждой области карты берется по точке- вершине графа, дугами соединяются те точки, для которых области имеют общую границу- участок линии, но не точку. Далее, если раскрасить вершины графа так, чтобы соединенные ребром вершины были раскрашены по разному, то, раскрасив соответствующие области карты в цвета этих вершин, мы получим раскраску карты, в которой любые две области, имеющие границы- участки линий, но не точки, окрашены в разные цвета.

Слайд 14

Задача о трех домах и трех колодцах Если проложить 8 тропинок, то 9 никак не проложить, чтобы она не пересеклась. Решая задачу с помощью теоремы Эйлера, получили противоречие, которое показало, что ответ в задаче отрицателен: нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу. Предположим, что эти 9 тропинок можно проложить. Обозначим домики точками Д1, Д2, Д3, колодцы — точками К1, К2, К3. Каждую точку-дом соединим с каждой точкой-колодцем. Как видно, нам удалось провести только восемь тропинок, а девятая должна пересечься хотя бы с одной. Дело в том, что по мере проведения тропинок из двух домиков, будет получаться некоторый замкнутый контур, внутри которого будет стоять один из колодцев, при этом третий домик будет находиться снаружи от этого контура. Для того чтобы соединить этот домик с колодцем, обязательно потребуется пересечь новой тропинкой одну из уже проложенных. Полученное доказывает, что ответ в задаче о 3-х колодцах отрицателен.

Слайд 15

Создание и решение задач с помощью теории графов Графы используются в самых разных областях науки и жизни. Каждому школьнику, решившему связать свою будущую профессию с математикой необходимо овладеть этим методом. Используя дополнительную литературу и интернет ресурсы, мною были придуманы задачи, решаемые с помощью теории графов. Итак, «Решаем задачи с помощью графов»! Задача «Иркутские мосты» В центральной части нашего родного города Иркутск построены плотина ГЭС и 8 мостов: Академический («Новейший») Глазковский («Старый») Иннокентьевский («Новый») Иркутный (мост через реку Иркут) Мост через реку Ушаковка по ул.Урожайной Мост через реку Ушаковка по ул.Рабочая Мост через реку Ушаковка по ул.Фридриха Энгельса Ушаковский мост (предместье Рабочее) Вопросы: Возможно ли пройти по всем 8 мостам, включая плотину ГЭС так, чтобы по каждому мосту и плотине пройти только один раз. Можно ли пройти по всем 8 мостам, включая плотину ГЭС и при этом вернуться в исходную точку так, чтобы по каждому мосту и плотине пройти только один раз.

Слайд 16

A D C Решение: B При решении данной задачи необходимо построить граф, где мосты буду ребра, а части города- вершины графа ( A , B , C , D ). Граф является эйлеровым. В получившемся графе 2 нечётные вершины ( B , C ) и 2 четные вершины ( A , D ). Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. Ответ на вопрос B : Так как в данном графе не все четные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам и вернуться в исходную точку так, чтобы пройти только один раз по каждому мосту и плотине, не проходя ни по одному из них дважды. Ответ на вопрос А: Начиная свой путь из нечетной вершины B графа можно закончить свой путь в нечетной вершине C и наоборот. Следовательно, возможно пройти по всем 8 мостам, включая плотину ГЭС так, чтобы по каждому мосту и плотине пройти только один раз.

Слайд 17

Задача о красках Рассмотрим карту Иркутской области. Иркутская область состоит из 33 районов: Вопрос: Возможно ли раскрасить Иркутскую область по районам, используя только четыре краски ( ), чтобы при этом любые две вершины, которые соединены ребром, были разного цвета.

Слайд 18

Решение: При решении данной задачи необходимо построить на плоскости граф, чтобы его рёбра не пересекались нигде, кроме вершин, т.е. плоский граф. Для построения графа необходимо в каждом районе карты взять по точке- вершине графа и дугами соединить те точки, для которых районы имеют общую границу- участок линии, но не точку.

Слайд 19

После построения графа, раскрасить вершины графа, чтобы соединенные ребром вершины были раскрашены в разные цвета. Раскрасив районы карты в цвета этих вершин, мы получим раскраску карты, в которой любые две области, имеющие границы- участки линий, но не точки, окрашены в разные цвета. Ответ: Да, возможно раскрасить Иркутскую область по районам, используя только четыре краски ( ), чтобы при этом любые две вершины, которые соединены ребром, были разного цвета.

Слайд 20

Лариса Никитична Бояркин Кавзюлина Миша Галя Захаров Лупачев Паша Виталий Кириллов Камека Миша Алена Чернигов Ярыгина Андрей Лера Васюнин Егор Прудников Саша Поберей Дворецкий Алена Андрей Дагбаева Курюмов Юля Сева Казанчикова Цацукевич Катя Данил Терехова Одинец Настя Иван Горюнова Кашенец Диана Лев Рогова Воронько Таня Никита Ващенко Горбунов Наташа Виталий Алексеев Абдуллаев Денис Руслан Елисеева Кузьмин Саша Кирилл Верхотурова Хартуев Элли Костя Воробьева Латышев Даша Егор Граф- дерево Класс 6 А (кабинет № 305) доска Задача «Урок математики» Во время урока математики ученики выполнили контрольную работу. Лариса Никитична попросила всех учеников класса сдать тетради по контрольным работам, не вставая со своих мест. Построить граф передачи тетрадей по контрольным работам. Решение: При решении данной задачи был построен граф дерево, в котором 33 вершины и 32 ребра, т.е. число вершин на одну больше числа ребер.

Слайд 21

Татьяна Александровна Бояркин Кавзюлина Миша Галя Захаров Лупачев Паша Виталий Кириллов Камека Миша Алена Чернигов Ярыгина Андрей Лера Васюнин Егор Прудников Саша Поберей Дворецкий Алена Андрей Дагбаева Курюмов Юля Сева Казанчикова Цацукевич Катя Данил Терехова Одинец Настя Иван Горюнова Кашенец Диана Лев Рогова Воронько Таня Никита Ващенко Горбунов Наташа Виталий Алексеев Абдуллаев Денис Руслан Елисеева Кузьмин Саша Кирилл Верхотурова Хартуев Элли Костя Воробьева Латышев Даша Егор 1 2 4 3 Путь передачи записки- неполный граф доска Путь Татьяны Александровны- ориентированный граф Задача «Урок русского языка» Класс 6 А (кабинет № 209) Во время урока русского языка ученица Воробьева Даша передала записку ученице Камека Алене. Вопрос: Возможно ли составить маршрут (граф), чтобы записка дошла до Камека Алены. При условиях, что нельзя передавать записку по диагонали, и чтобы граф не пересекался с маршрутом (графом) учительницы Татьяны Александровны. Решение: Ответ: Невозможно составить маршрут (граф), чтобы записка дошла до Камека Алены.

Слайд 22

Задача о рукопожатиях друзей Одинец Иван, Бояркин Миша, Захаров Паша, Хартуев Костя и Цацукевич Данил при встрече в школе обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Вопрос: Сколько всего рукопожатий было сделано? Решение : В данном случае применяется построение полного графа. Одинец Иван Бояркин Миша Хартуев Костя Захаров Паша Цацукевич Данил Ответ: Всего 10 рукопожатий было сделано.

Слайд 23

Заключение Цель моей работы достигнута. Задачи, поставленные в работе, выполнены: — изучила научную литературу по теме исследования; — научилась применять теорию графов при решении задач; — создала задачи и решила их с помощью теории графов. В результате работы над проектом «Теория графов» я узнала, что решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. С большим интересом я не только решала задачи различной степени сложности, но и попробовала себя в их составлении. Кроме того, закончив свой проект, я сама научилась собирать кубик Рубика, используя теорию графов и комбинаторику, и могу помочь тем, кто еще не овладел алгоритмом сборки, но очень хочет научиться собирать кубик Рубика. Я думаю мой учебно-исследовательский проект можно считать небольшим пособием для изучения «теории графов» непосредственно на уроках математики, так как в нем затронуты основные понятия «теории графов». К сожалению, объём моей работы не даёт возможность рассмотреть другие задачи применения «теории графов», но еще есть над чем работать и в дальнейшем я продолжу изучение данной темы.

Слайд 24

Список литературы БерезинаЛ.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. –М.: Просвещение, 1979. -143с. С ил. Гуровиц В.М., Ховрина В.В. Графы. –М.: МЦНМО, 2008 Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.3-е, испр. и доп. –М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009 Харари Ф. Теория графов. Перевод с английского В.П.Козырева. Под редакцией Г.П.Гаврилова. –М.: Мир, 1973 Источники информации https://ru.wikipedia.org/wiki/ http://dic.academic.ru/ http://irkipedia.ru/node/2105/talk http://www.turkey-visit.com/map/russia/irkutsk-map.asp

Слайд 25

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Одно из понятий комбинаторики. Формулы комбинаторики Определение слова сочетание в словарях

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по

m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими

способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Первая буква «с»

Вторая буква «о»

Третья буква «ч»

Последняя бука буква «е»

Ответ на вопрос «Одно из понятий комбинаторики «, 9 букв:
сочетание

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова сочетание

математич. термин

Математический термин

Соединение, расположение чего-нибудь, образующее единство, целое

Соединение, образующее единство, целое

Определение слова сочетание в словарях

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова. Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
-я, ср. см. сочетать, -ся. Соединение, расположение чего-н. , образующее единство, целое. С. звуков. Красивое с. цветов. * В сочетании с кем-чем, в знач. предлога с те. п. — вместе, рядом с кем-чем-н. Талант в сочетании с работоспособностью.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

сочетания, ср. только ед. Действие по глаг. сочетать. Благодаря умелому сочетанию подпольной работы с легальной работой большевикам удалось стать серьезной силой в открытых рабочих организациях. История ВКП(б). Сочетание теории с практикой. Сочетание браком…

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова. Значение слова в словаре Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
ср. Процесс действия по знач. несов. глаг.: сочетать, сочетаться (1*). Состояние по знач. несов. глаг.: сочетаться (1*).

Энциклопедический словарь, 1998 г. Значение слова в словаре Энциклопедический словарь, 1998 г.
см. Комбинаторика.

Википедия Значение слова в словаре Википедия
В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений…

Примеры употребления слова сочетание в литературе.

Дело в том, что сочетание авантюрности с острой проблемностью, диалогичностью, исповедью, житием и проповедью вовсе не является чем-то абсолютно новым и никогда раньше не бывшим.

Так мастер написал замечательный автопортрет, находящийся ныне в собрании Фрик в Нью-Йорке и поражающий своеобразным сочетанием иронической усмешки с величавостью торжественного церемониала.

Более того, нельзя ли утверждать, что современный кризис авторитаризма — флуктуация, редкое сочетание политических планет, которое в ближайшие несколько сот лет не повторится?

Гойю, который извлекал из акватинты, часто в сочетании с офортом, выразительные контрасты темных тонов и внезапные удары светлых пятен, и французского художника Л.

Нерон воспел Акту в изящных стихах, и некоторые из них стали популярными, в особенности два стихотворения, где он славил в Акте сочетание ребенка и женщины, целомудрия и страсти.

Комбинации с генератором повторений — онлайн-список

Поиск инструмента

Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:

Просмотр полного списка инструментов dCode

Комбинации с повторениями

Инструмент для создания комбинаций с повторениями. В математике комбинация с повторениями — это комбинации элементов, которые могут повторяться.

Результаты

Комбинации с повторением — dCode

Метки: Комбинаторика

Поделиться

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ?

Запись в dCode !

Комбинации с генератором повторений

Количество элементов k в комбинации
Среди N, Общее количество элементов N=
Использовать цифры (от 1 до N)
Использовать буквы (A,B,C. ..)
Использовать пользовательский список элементов

См. также: Комбинация N Выберите K — Перестановки

Подсчет комбинаций с повторениями

Количество элементов k в комбинации
среди N, общее количество элементов N=

Ответы на вопросы (FAQ)

Как генерировать комбинации с повторением?

Комбинации элементов с повторением заключаются в формировании списка всех возможных комбинаций с элементами, которые могут повторяться.

Пример: A,B,C элементов перемешиваются в 6 пар по 2 элемента: A,A 9k = {n+k-1 \выберите k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $$

Количество комбинаций с повторами $k$ элементов среди $N$ равно количеству комбинаций без повторов $k$ элементов среди $N + k — 1$.

Как снять лимит при расчете комбинаций?

При вычислении комбинаций генерируется экспоненциальное количество значений, и генератор требует больших вычислительных мощностей на серверах, поэтому эти генерации имеют свою стоимость (спросите цену).

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Комбинации с повторением». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Комбинации с повторением», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Комбинации с повторением». Функции повторения» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Комбинаций с повторением» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Цитировать dCode

Копирование и вставка страницы «Комбинации с повторением» или любых ее результатов разрешено, пока вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в виде файла . csv или .txt осуществляется нажатием на значок экспорта 07, https://www.dcode.fr/combinations-with-repetitions

Сводка

• Генератор комбинаций с повторениями
• Подсчет комбинаций с повторениями
• Как генерировать комбинации с повторениями?
• Как считать комбинации с повторением?
• Как убрать лимит при вычислении комбинаций?

Похожие страницы

• Перестановки
• Комбинация N Выберите K
• Перестановки с повторением
• Генератор круговых турниров
• Binomial Coefficient
• K-Permutations
• Combination of Choices
• DCODE’S TOOLS LIST

Support

• Paypal
• Patreon
• More

 

Forum/Help

Keywords

combination,repetition, Repeats,tuple,uple,generator

Ссылки

▲

python — Получить равномерно распределенное подмножество комбинаций без повторения

Вот код Python для создания сбалансированного подмножества из списка опций. Я прокомментировал достаточно, чтобы это объяснило себя. Короче говоря, он перебирает возможные комбинации, оценивая каждый вариант в зависимости от того, насколько хорошо он поддерживает сбалансированность результирующего списка. Комбинации с лучшими результатами попадают в окончательный список выборов.

 импорт itertools
импортировать случайный
allOptions = 'ABCDEFGH'
# allOptions может быть любым списком, например:
# allOptions = ['Мука', 'Сахар', 'Яйца', 'Глазурь', 'Масло', 'Шоколад', 'Ягоды', 'Молоко']
# Размеры подмножества с идеальным распределением: 14, 28, 70
размер подмножества = 14
# Количество букв в комбинациях окончательных результатов (т.е. ABCD)
комборазмер = 4
# 2D-список счетчиков каждой комбинации, индексированный по количеству символов, например:
# count[1] = ["A"=7, "B"=7, "C"=7...] количество раз, когда появляются отдельные символы
# count[2] = ["AB"=3, "AC"=3, "AD"=3...] сколько раз пары встречаются вместе
# count[3] = ["ABC"=1, "ABD"=1, "ABE"=1...] количество раз, когда три буквы встречаются вместе
selectionCount = [dict()] * comboSize
# Инициализируется равным 1, так как счет начинается с 0, индексы состоят из # символов, таких как selectionCount
maxScoreTarget = [1] * размер комбинации
# Инициализируется значением 0, будет использоваться для балансировки списка
overageScore = [0] * comboSize
# Основная функция, которая будет перебирать список комбинаций, выбирая варианты
# которые создают сбалансированное подмножество. 
защита selectCombos():
    глобальный overageScore
    глобальный selectionCount
    # Окончательные результаты отбора
    selections = [] # список объектов [("a", "b", "c", "d"), ("e", "f", "g", "h")]
    
    # Инициализировать selectionCount для отслеживания использования одиночек, пар и троек
    выборкаунт = makeCounts()
    
    # Создайте список, из которого будут выбираться лучшие комбинации
    comboOptions = список (itertools.combinations (allOptions, 4))
    # Перетасуйте список комбинаций, чтобы они не всегда начинались с ABCD
    # Это помогает при тестировании, чтобы увидеть, согласуются ли результаты
    random.shuffle(comboOptions)
    # Используется для удержания текущего выбора комбо
    выбор = ""
    
    # При каждом прохождении этого цикла будет выбираться другая комбинация
    для subsetCount в диапазоне (1, subsetSize):
        # Мы должны с чего-то начать, чтобы первый в списке был выбран первым
        если len(выборки) == 0:
            выбор = comboOptions[0]
            # Переместите выделение из списка comboOptions в список выбора. 
            selections.append(выборка)
            comboOptions.remove (выбор)
            # Обновить количество каждой отдельной буквы, пары и тройки
            настроить счетчики (выбор)
        # Диктовка для хранения очков комбо, например 'ABCD': 5. См. функцию подсчета очков.
        optionScores = дикт ()
        самый низкий балл = 999 # инициализировать что-то, что будет заменено.
        # Превышение оценки
        overageScore = [0] * comboSize
        # Вызов комбинации из 4 букв словом
        для слова в comboOptions:
            # Сделать wordIndex из комбо, превратив ('A', 'B', 'C', 'D') в 'ABCD'.
            wordIndex = "".присоединиться(слово)
            # Оценка слова
            optionScores[wordIndex] = scoreCandidate(word)
            # Если оценка меньше, чем наименьшая оценка, заменить наименьшую оценку и установить выбор
            если optionScores[wordIndex] < наименьшийScore или optionScores[wordIndex] == 0:
                наименьший балл = optionScores[wordIndex]
                выбор = слово
        # Будем называть количество букв категорией, т. е. 2 - это 2 пары букв.
        для категории в диапазоне (1, comboSize):
            # Если каждая комбинация привела к превышению maxScore, пришло время увеличить счет
            если overageScore[категория] >= len(comboOptions)-1:
                maxScoreTarget[категория] += 1
        если выбор:
            # Переносим нашу выборку из списка comboOptions в список выборок
            selections.append(выборка)
            comboOptions.remove (выбор)
            # Обновить количество каждой отдельной буквы, пары и тройки
            настроить счетчики (выбор)
        еще:
            print("НЕ БЫЛО ВЫБОРА")
    
    # Создайте список объединенных комбинаций, чтобы его было легко читать ('ABCD' вместо ('A', 'B', 'C', 'D'))
    легкий список = []
    для слова в подборках:
        easylist.append(''.присоединиться(слово))
    # Отсортируйте их, чтобы было легче сравнивать
    easylist.sort()
    # Выводим полученные выборки
    печать('ВЫБОР')
    для слова в легком списке:
        печать (слово)
    
    # Вывести количество каждой отдельной буквы, пары и тройки
    для catSet в selectionCount:
        Распечатать('----')
        для значения в catSet:
            печать (значение, набор кошек [значение])
# Регулирует количество каждой отдельной буквы, пары и трио на основе выбранного нами выбора
def AdjustCounts (выбор):
    глобальный selectionCount
    # Получить все одиночные игры, пары и трио в выборе
    selectionCombos = получитьWordCombos(выбор)
    для категории в диапазоне (1, comboSize):
        для комбо в selectionCombos[категория]:
            comboIndex = "". Присоединиться (комбо)
            # Увеличиваем счетчик комбо в словаре подсчета выбора
            selectionCount[категория][comboIndex] += 1
# Оценивает комбинацию кандидатов на основе того, как она влияет на количество одиночных букв, пар и троек.
оценка защитыКандидат (слово):
    глобальный overageScore
    глобальный selectionCount
    # слово = ["а","б","с","г"]
    оценка слова = 0
    # Проверка каждой категории, сколько букв еще раз.
    для категории в диапазоне (1, comboSize):
        isOverage = Ложь
        # Получить все комбинации букв [категория] из этой 4-буквенной комбинации
        для элемента в списке (itertools.combinations (слово, категория)):
            индекс = "".присоединиться(элемент)
            # Посмотрим, увеличится ли параметр selectionCount, чтобы он превышал maxScoreTarget
            если selectionCount[категория][индекс] + 1 > maxScoreTarget[категория]:
                разница = selectionCount[категория][индекс] + 1 - maxScoreTarget[категория]
                # Чем больше кандидат превышает maxScoreTarget, тем хуже. 
                # Это отдает предпочтение кандидатам, которые не вызывают большого дисбаланса.
                разница в совпадении:
                    Дело 1:
                        словесная оценка += 1
                    случай 2:
                        оценка слова += 5
                    случай 3:
                        оценка слова += 20
                # Так как увеличение selectionCount для этой опции превышает maxScoreTarget, установите флаг
                isOverage = Истина
        # Когда есть превышение, добавьте к overageScore для категории, чтобы мы знали, если это
        # невозможно оставаться ниже maxScoreTarget с теми параметрами, которые у нас остались.
        если isOverage:
            overageScore[категория] += 1
    вернуть wordScore
# Возвращает список комбинаций ИЗ ВЫБОРКИ
# т. е. ABCD содержит одиночные буквы A, B, C, D, пары AB, AC, AD, BC, BD, CD и т. д.
деф getWordCombos (слово):
    комбо = [0]*комбоРазмер
    для категории в диапазоне (1, comboSize):
        комбо[категория] = список(itertools. combinations(слово, категория))
        # Перетасовка, чтобы убедиться, что мы каждый раз тестируем что-то новое
        random.shuffle (комбо [категория])
    обратные комбинации
# Создает список объектов dict, проиндексированных по количеству букв. Каждый дикт индексируется
# по сочетанию букв.
определение makeCounts():
    счетчики = [dict()] * размер комбинации
    для категории в диапазоне (1, comboSize):
        счетчики[категория] = dict()
        для комбо в списке (itertools.combinations (allOptions, категория)):
            индекс = "".присоединиться (комбо)
            # Инициализировать все счетчики на 0
            счетчики[категория][индекс] = 0
    счетчики возврата
если __name__ == '__main__':
    print("--------- Начало...")
    выберитеКомбо()
    выход(0)
    
 

Результат выполнения скрипта для получения подмножества размером 14 выглядит следующим образом:

 --------- Начало...
ВЫБОР
ABCF
АБДГ
АБЭГ
АКДГ
АЦЭГ
АДЭФ
АФГХ
BCDE
БКГХ
БДФГ
БЭФХ
CDFH
CEFG
DEGH
----
----
А 7
Б 7
С 7
Д 7
Е 7
Ф 7
Г 7
Н 7
----
АВ 3
AC 3
3 г.
No related posts.