Составить уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно прямой онлайн: Уравнение перпендикулярной прямой онлайн

2

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой, уравнение перпендикуляра к прямой

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Определение 1

Если плоскость α проходит через заданную точку М1 перпендикулярно к заданной прямой b, то прямые, лежащие  в этой плоскости, в том числе и проходящая через М1 являются перпендикулярными заданной прямой b.

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат Охуz имеем прямую b, то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M1(x1, y1), а необходимо составить уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 , причем перпендикулярно прямой b.

По условию имеем координаты точки М1. Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a, или координаты нормального вектора прямой a, или угловой коэффициент прямой a.

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b. По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a. Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как kb и ka. Они связаны при помощи соотношения kb·ka=-1.

Получили, что направляющий вектор  прямой b имеет вид b→=(bx, by), отсюда нормальный вектор — na→=(A2, B2), где значения A2=bx, B2=by. Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M1(x1, y1), имеющее нормальный вектор na→=(A2, B2), имеющее вид A2·(x-x1)+B2·(y-y1)=0.

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид nb→=(A1, B1), тогда направляющий вектор прямой a является вектором a→=(ax, ay), где значения ax=A1, ay=B1. Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a, проходящее через точку с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором a→=(ax, ay), имеющее вид x-x1ax=y-y1ay или x=x1+ax·λy=y1+ay·λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента kb прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a. Он будет равен -1kb. Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a, проходящей через M1(x1, y1) с угловым коэффициентом -1kb в виде y-y1=-1kb·(x-x1).

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Пример 1

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M1 (7, -9) и перпендикулярна прямой b, которое задано каноническим уравнением прямой x-23=y+41.

Решение

Из условия имеем, что b→=(3, 1) является направляющим вектором прямой x-23=y+41. Координаты вектора b→=3, 1 являются координатами нормального вектора прямой a, так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем na→=(3, 1). Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M1(7, -9), имеющее нормальный вектор с координатами na→=(3, 1).

Получим уравнение вида: 3·(x-7)+1·(y-(-9))=0 ⇔3x+y-12=0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3x+y-12=0.

Пример 2

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат Охуz, перпендикулярно прямой 2x-y+1=0.

Решение

Имеем, что nb→=(2, -1) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a→=(2, -1) — координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a→=(2, -1). Получим, что x-02=y+0-1⇔x2=y-1.  Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2x-y+1=0.

Ответ: x2=y-1.

Пример 3

Записать уравнение прямой, проходящей через точку  с координатами M1(5, -3) перпендикулярно прямой y=-52x+6.

Решение

Из уравнения y=-52x+6 угловой коэффициент имеет значение -52. Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение -1-52=25. Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M1(5, -3) перпендикулярно прямой y=-52x+6, равна y-(-3)=25·x-5⇔y=25x-5.

Ответ:  y=25x-5.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой

Сделать 4 мин чтения

Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой

Теперь рассмотрим перпендикулярные прямые. Допустим, нам нужно найти прямую, проходящую через определенную точку и перпендикулярную данной прямой. Мы можем использовать тот факт, что перпендикулярные прямые имеют отрицательные обратные наклоны. Мы снова будем использовать уравнение точка-наклон, как мы это делали с параллельными линиями.

На графике показан график \(y=2x-3\). Теперь мы хотим построить линию, перпендикулярную этой линии и проходящую через \(\left(-2,1\right)\).

Мы знаем, что перпендикулярные прямые имеют отрицательные обратные наклоны. Мы будем использовать обозначение \({m}_{\text{⊥}}\) для представления наклона линии, перпендикулярной линии с наклоном \(m\). (Обратите внимание, что нижний индекс ⊥ выглядит как прямые углы, образованные двумя перпендикулярными линиями.)

\(\begin{array}{ccc}\hfill y=2x-3\hfill & & \text{перпендикулярная линия}\hfill \ \ \hfill m=2\hfill & & {m}_{\text{⊥}}=-\frac{1}{2}\hfill \end{массив}\)

Теперь мы знаем, что перпендикуляр проходит через \(\left(-2,1\right)\) с \({m}_{\text{⊥}}=-\frac{1}{2}\ ).

Чтобы построить линию, мы начнем с \(\слева(-2,1\справа)\) и посчитаем подъем \(-1\) и пробег 2. Затем мы нарисуем линию.

Линии кажутся перпендикулярными? Проходит ли вторая строка через \(\left(-2,1\right)\)?

Теперь давайте посмотрим, как это сделать алгебраически. Мы можем использовать либо форму наклона-пересечения, либо форму точки-наклона, чтобы найти уравнение прямой. В этом примере мы знаем одну точку и можем найти наклон, поэтому будем использовать форму точка-наклон.

Пример. Как найти уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной \(y=2x-3\), содержащей точку \(\left(-2,1\) верно)\). Запишите уравнение в форме наклона–отрезка.

Решение

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой.

1. Найдите наклон данной прямой.
2. Найдите наклон перпендикулярной линии.
3. Определите точку.
4. Подставьте значения в форму точка-наклон, \(y-{y}_{1}=m\left(x-{x}_{1}\right)\).
5. Запишите уравнение в форме наклон-отрезок.

Пример

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной \(x=5\), содержащей точку \(\left(3,-2\right)\). Запишите уравнение в форме наклона–отрезка.

Решение

Опять же, поскольку мы знаем одну точку, вариант «точка-наклон» кажется более многообещающим, чем вариант «наклон-пересечение». Нам нужен наклон, чтобы использовать эту форму, и мы знаем, что новая линия будет перпендикулярна \(x=5\). Эта линия вертикальна, поэтому ее перпендикуляр будет горизонтальным. Это говорит нам о \({m}_{\text{⊥}}=0\).

\(\begin{array}{cccc}\text{Определите точку.}\hfill & & & \hfill \phantom{\rule{4em}{0ex}}\left(3,-2\right)\ hfill \\ \text{Определите наклон перпендикулярной линии.}\hfill & & & \hfill \phantom{\rule{4em}{0ex}}{m}_{\text{⊥}}=0\hfill \ \ \text{Подставьте значения в}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}y-{y}_{1}=m\left(x-{x}_{1}\right).

\ hfill & & & \hfill \phantom{\rule{6.2em}{0ex}}y-{y}_{1}=m\left(x-{x}_{1}\right)\hfill \\ & & & \hfill \phantom{\rule{4.7em}{0ex}}y-\left(-2\right)=0\left(x-3\right)\hfill \\ \text{Упрощение.}\hfill & & & \hfill \phantom{\rule{3.6em}{0ex}}y+2=0\hfill \\ & & & \hfill \phantom{\rule{5.6em}{0ex}}y=-2\ hfill \end{массив}\)

Нарисуйте график обеих линий. Они кажутся перпендикулярными?

В приведенном выше примере мы использовали форму точка-наклон, чтобы найти уравнение. Мы могли бы посмотреть на это по-другому.

Нам нужно найти прямую, перпендикулярную \(x=5\), содержащую точку \(\left(3,-2\right)\). На графике показаны линия \(x=5\) и точка \(\left(3,-2\right)\).

Мы знаем, что каждая линия, перпендикулярная вертикальной линии, горизонтальна, поэтому мы нарисуем горизонтальную линию через \(\left(3,-2\right)\).

Линии кажутся перпендикулярными?

Если мы посмотрим на несколько точек на этой горизонтальной линии, мы заметим, что все они имеют y -координаты \(-2\).