Способы решения пределов: Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей

Содержание

Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

Похожие презентации:

Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах

Производная. Основные теоремы о производных. Формулы дифференцирования функций. (Лекция 5)

Пределы функций. Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е»

Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов

Основные теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя. (Лекция 11)

Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)

Функции нескольких переменных. (Тема 5)

Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления
пределов функций
Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на

некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой.

Теорема 1 Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций
имеет предел при x a , то предел этой алгебраической суммы при x a существует
и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при
x a , то предел произведения при x aсуществует и равен произведению пределов
сомножителей.
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пусть С – постоянная, тогда lim x a [С g ( x)] lim x a С lim x a g ( x) С lim x a f ( x)
Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при x a , то предел при x a целой
положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть
lim x a [ f ( x)] n [lim x a f ( x)] n
Пример
2
3
10 20 2 30 3
( x 1)( x 2) 2 ( x 30) 3
10
20

30
lim x
lim x 1 1 1 lim x 1 lim x 1 lim x 1 1 1 1 1
x6
x
x
x
x x x
Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при x a, отличный от нуля, то предел
1
обратной ей по величине функции
равен обратной величине предела данной
f ( x)
функции, то есть lim x a
1
1
f ( x) lim x a f ( x)
Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при x a и предел
делителя отличен от нуля, то предел их частного при x a равен частному пределов
делимого и делителя, то есть
lim x a
f ( x) lim x a f ( x)
g ( x) lim x a g ( x)
Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при x a и n f ( x) (n – натуральное)
существует в точке а и в некоторой ее окрестности U a , то
lim x a n f ( x) n lim n a f ( x)
Теорема о промежуточной функции
Пусть в некоторой окрестности U a точки а функции f(x) заключена между двумя
функциями (x ) и (x), имеющими одинаковый предел А при x a , то есть
( x) f ( x) ( x) (1) и lim x a ( x) lim x a ( x) A (2), тогда функция f(x)
имеет тот же предел, то есть lim x a f ( x) A (3).

Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах,
признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно
больших функциях.
Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах.
5x 2
1. Найти lim
x 4 2 x 3
Решение. Так как x 4 , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к
числу 2*4+3=11. Следовательно
5 x 2 22
lim
2
x 4 2 x 3
11
3x 5
x 2 x 7
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и
знаменатель дроби, получим
3x 5
3 5/ x 3
lim
lim
x 2 x 7
x 2 7 / x
2
2. Найти
lim
2
x
9

3. Найти lim
x 3 x 2 3 x
Решение. Числитель и знаменатель при x 3 стремятся к нулю. Принято говорить,
0
x2 9
( x 3)( x 3) x 3
что получается неопределенность 0 . Имеем
.
x( x 3)
x
x 2 3x
2
x
Если x 3, то lim 2 9 lim x 3 .

Но при x 3 дробь x 3 3 3 2 . Итак
x 3 x 3 x
x 3
x
x
3
2
x 9
lim 2
2
x 3 x
3x
x3 x2 x 1
4. Найти lim 3
x 1 x x 2 x 1
0
. Разложим на множители
0
x3 x 2 x 1
( x 1) 2 ( x 1)
x 1 0
lim
lim
0
числитель и знаменатель дроби. lim 3
x 1 x x 2 x 1
x 1 ( x 1)( x 1) 2
x 1 x 1
2
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида
x 3 10001
5. Найти lim 3
x 10 x 20 x 2 100 x
0
. Имеем
0
3
2
x 10001
( x 10)( x 10 x 100)
x 2 10 x 100
lim
lim
lim
, так как
x 10 x 3 20 x 2 100 x
x 10
x 10
x( x 10)
x( x 10) 2
Решение. Имеет место неопределенность вида
числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть
является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь –
бесконечно большая величина.
x 4 2
x
6. Найти lim
x 0
Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть
сумму x 4 2 .

Получим
lim
x 0
x 4 2
( x 4 2)( x 4 2)
x 4 4
1
1
lim
lim
lim
x 0
x 0
x
x( x 4 2)
x( x 4 2) x 0 x 4 2 4
7. Найти lim
x 0
5
(1 x) 3 1
x
Решение. Положим 1 x y 5 ,
3
2
(1 x) 3 1
y
1
y
y 1
3
тогда lim
lim 5
lim 4
x 0
x 0 y 1
x 0 y y 3 y 2 y 1
x
5
3

2
8. Найти lim x 2 x 3x 4
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
5
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и
знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x 3 получим
x 3 2 x 2 3x 4
1 2 / x 3 / x2 4 / x3 1
lim
lim
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
x 4 3 / x 2 / x 2 1 / x 3
4
9. Найти lim
3x 4 2
x
x 8 3x 4
4
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x
получим
3x 4 2
3 2 / x4
3
lim
lim
3
x
x 8 3 x 4 x 1 3 / x 3 4 / x 4 1
10.

Найти lim
x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
Решение. Имеет место неопределенность вида
выражение на сопряженное
x 8 x 3 x 4 x 3 lim
2
lim
x
2
( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3 )( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3)
x
lim
x
4x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3

lim
. Умножим и разделим данное
x 8x 3 x 4 x 3
2
1
1 8 / x 3/ x2 1 4 / x 3/ x2
x
Примеры для самостоятельного решения.
x 2 6x 8
1. lim
x 2 x 2 8 x 12
1 x x2 1 x x2
2. lim
x 0
x2 x
2 x 3x 5 x 6
lim
3. x x 3 3x 2 7 x 1 4.
4
5. lim 3
x 0
2
x
1 x 1
2x 3
7. lim x
x 2 3
5
x
1
9. lim
x 1 x 4 1
6.
2
lim
x 1
4 x x2 2
x 1
lim (3 x 1 3 x )
x
4
8. lim
x 1
x 1
x 1
4
2
2

English Русский Правила

Методы вычисления пределов

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2008

УДК 517

Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост. : Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Предел функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Предел функции». Как правило, освоение этого раздела математического анализа вызывает затруднения у студентов. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «предел функции» и основных правил предельного перехода, причем все определения предела сопровождаются геометрической иллюстрацией. Во второй части указаний рассматриваются методы вычисления некоторых типов пределов.

Данные методические указания, хотя и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Предел функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].

Предел функции

Окрестность точки

Пусть – действительное число. Обозначение:.

Определение.

Окрестностью точкирадиуса(-окрестностью) н

азывается интервал, где.

Если точкапопадает в-окрестность точки, т. е., то выполнено неравенствоили. Последнее двойное неравенство равносильно неравенству,геометрический смысл которого состоит в том, что расстояние между точкамиименьше чем(рис. 1.1).

Окрестность без точки называется проколотой окрестностью. Она задается неравенством, причем.

В дальнейшем рассматривается поведение функций не только в окрестности точки , но и на бесконечности. Символы,используются для обозначения процесса неограниченного удаления точек числовой оси от нуля вправо и влево соответственно. Иногда символ бесконечности употребляют без уточнения знака.

Определение. Окрестностьюназывается бесконечный интервал, а окрестностью– интервал, где.

Если точкапринадлежит окрестности, то выполнено неравенство, если же точкапопадает в окрестность, то для нее справедливо неравенство. Объединение лучейбудем рассматривать как окрестность(об операциях над множествами см. в [1, с. 97]). Совокупность описывающих это множество неравенствможно заменить одним неравенством, означающим, что расстояние от точкидо точкибольше чем(рис. 1.2).

Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки(о функции см. в [1, с. 100]).

Определение предела функции на «языке » см. в [1, с. 112]. Обозначение:. Запишем это определение коротко:

Квантор всеобщностичитается: «для всех». Квантор существованиязаменяет слово «существует». Записьозначает, что «изследует». Ауказывает на эквивалентность высказыванийи, т. е. «изследуети изследует».

Геометрический смыслпредела функции поможет понять рис. 1.3. Для любой-окрестности точки(ось) найдется такая-окрестность точки(ось), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может,, соответствующие значения функциилежат в-окрестности точки. Иначе говоря, точки графика функциилежат внутри полосы шириной, ограниченной прямыми,. Величиназависит от выбора, поэтому пишут.

Пусть функция определена в точкеи в некоторой окрестности этой точки.

Определение.Функцияназывается непрерывной в точке, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е..

Если на рис. 1.3 устранить разрыв функции в точке , положив, то функцияокажется непрерывной в этой точке.

Правило Лопиталя для вычисления пределов, примеры с подробным решением, доказательство

Одной из основных теорем в математическом анализе является правило Лопиталя. Этот закон, предложенный французским учёным, используется для вычисления пределов функций, когда формулы Тейлора применить невозможно. Идейно он достаточно простой, однако его доказательство содержит технические тонкости, на которые следует обратить пристальное внимание.

Содержание

Общие сведения
Доказательство правила
Следствие из утверждения
Решение примеров
Использование онлайн-калькулятора

Общие сведения

Важным понятием в высшей математике является определение бесконечности. Эта неопределённость обозначается символом ∞. Когда её упоминают, то имеют в виду как бесконечно малое число, так и большое. Для записи предела функций используется знак лимита, например, lim 0k (y). В нижней части указывается аргумент со стрелочкой, обозначающей, к чему именно стремится неопределённость. Если предел известный, то он называется конечным, в ином случае — бесконечным.

Когда нельзя установить, является ограничение бесконечным или конечным, то говорят, что предела для рассматриваемой функции не существует. Это возможно, например, когда ограничение тригонометрической функции стремится к бесконечности. Существует несколько способов вычисления пределов: правило Лопиталя, формулы Тейлера, графический метод, подставление неизвестного в функцию.Указанные способы можно применять для нахождения того или иного предела, но для неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, а также вычисления отношений бесконечно малых или больших выражений лучше всего использовать закон Лопиталя. Состоит он из двух правил:

Для бесконечно малых величин. Когда функции k (y) и d (y) можно дифференцировать в некоторой области точки, исключая саму её, при этом в этой окрестности производная выражения неравна нулю, а пределы этих функций равны нулю, то отношение ограничения этих функций будет равно пределу отношения их производных.
Для бесконечно больших значений. Если две функции k (y) и d (y) можно дифференцировать по окрестности взятой точки, но при этом её саму исключить, учитывая, что в рассматриваемой окрестности производная d (y) не равняется нулю, то когда функции в этой точке равны бесконечности, предел отношения этих выражений тождественен отношению их производных.

Другими словами, смысл теоремы Лопиталя заключается в том, что когда нужно найти ограничение для двух функций, отношение которых даёт неопределённость 0/0 или ∞/∞, то можно взять производные этих выражений и найти их отношение. Это действие приведёт к получению искомого ответа. Метод позволяет упростить вычисление сложных показательных степенных функций. Его можно применять и при умножении неопределённостей или их вычитании. Например, 0 * ∞, ∞ — ∞.

Доказательство правила

Лопиталь после знакомства с Бернулли смог систематизировать метод Иоганна и издать в 1696 году книгу «Анализ бесконечно малых», где подробно изложил способы решения задач с неопределённостями. Математически его описание состоит из четырёх пунктов:

lim k (y) = lim d (y) = 0 (∞).
Графики k (y) и d (y) приближаются к линейному виду.
d (y)’ ≠ 0.
lim k (y)’ / d (y)’ = lim k (y) / d (y).

Пусть имеется два дифференцируемых выражения, при этом d (y) во всех точках имеет не нулевую производную. При y, стремящемся к a, d стремится к бесконечности. Если предел отношения производных конечного предела или бесконечного равняется числу L, тогда ограничение отношений производных этих функций также будет тождественно этому числу. То есть lim k (y) / d (y) = L, при y → a. Исходя из определения Гейне и Коши, рассматривать можно только монотонные последовательности, которые стремятся к a.

Взяв произвольный ряд, который может расти yn → a, верно утверждать, что в соответствии со следствием теоремы Дарбу и условием d (y)’ ≠ 0, рассматриваемая функция будет строго монотонной. А это означает, что последовательность d (yn) будет такой же. В тоже время из условия lim d (y) = ∞ следует, что d (yn) → ∞. При этом бесконечность может быть как со знаком минус, так и плюс.

Рассмотрим теорему Штольца, а именно отношение: (k (yn+1) — k (yn)) / (d (yn+1) — d (yn)) = k'(Cn) / d'(Cn) = L. Из неё следует, что k (y) / d (y) → L. То есть всегда найдётся такая точка Cn, которая будет принадлежать множеству (Yn+1,Yn). Так как множество стремится к L, то и точка, принадлежащая ему, тоже будет приближаться к L. Поэтому можно утверждать, что и выражение lim k (y) / d (y) → L.

Аналогичным образом первому доказывается и второй случай, когда lim k (y) = lim d (y) = 0. Если предел отношения производных будет L, то ограничения отношений функций будет также равняться этому числу. Из теоремы Дарбу и монотонности получим, что d (Yn) → 0, кроме того k (Yn) → 0. Используя правило Штольце, можно будет утверждать, что k (y) / d (y) → L.

Но на практике часто для решения примеров правило Лопиталя оказывается недостаточным. Это справедливо для заданий, в которых y стремится не к конечному числу, а к бесконечному. Поэтому для таких задач используется следствие из теоремы. Согласно ему, при k → 0 и d → 0, а y → + ∞. Тогда существует предел lim k'(y) / d'(y) = AЄR и предел отношений lim k (y) / d (y) = A. Этот вспомогательный закон очень важен и то же может быть доказан.

Следствие из утверждения

Перед доказательством следствия нужно условиться, что в выражении a будет всегда больше либо равно единице. Это возможно исходя из того, что если a будет меньше единицы, то доказывать нужно будет правило только от единицы до плюс бесконечности. Кроме этого, необходимо ввести замену вида t = 1/y. Она необходима, так как во многом облегчает сведение доказательства к теореме Лопиталя.

Пусть имеется функция K (t), равная k, и D (t), равная d. При этом аргумент последней будет 1/t. Так как по условию правила функции k и d определены на интервале от a до плюс бесконечности, то можно сказать, что функции K и D известны на интервале от нуля до единицы, делённом на a. Это верно из-за того, что если в исходной функции k и d икс подходил достаточно близко к плюс бесконечности, то в силу сделанной ранее замены t будет приближаться к нулю. Если же икс близок к a, то t будет приближаться к значению 1/a.

Так как a больше либо равняется единице, то интервал от нуля до единицы, делённой на a, будет определён корректно. Чтобы воспользоваться теоремой Лопиталя, нужно доказать, что предел lim K'(t) / D'(t) при t, стремящемся к нулю, равняется A. В силу того, что K (t) = k (1/t) и D (t) = d (1/t), можно написать: lim K'(t) / D'(t) = lim k'(1/t)’ / d'(1/t)’ .

Теперь нужно воспользоваться теоремой о производной композиции, условия которой выполнены. Вначале нужно взять производную внутренней функции, а затем внешней. Должно получиться следующее выражение: lim -1/ t ²k ‘(1/ t) / (-1/ t ²) * d ‘ (1/ t) = lim K ‘(t) / D ‘(t) = lim k ‘(y)/ d (y) = A.

Отсюда можно утверждать, что предел отношений K'(t) / D'(t) будет равняться A. Все условия теоремы Лопиталя выполнены. А это значит, что существует предел отношения функций при t, стремящемся к нулю, равный A. Теперь можно снова применить теорему о пределе композиций и от переменной t перейти обратно к иксу: lim K (t)/D (t) = lim k (y)/(d (y) = A.

Таким образом можно сделать вывод, что требуемое утверждение верно. Использование правила и следствия позволяет выполнить быстрый расчёт неопределённости 0/0 или ∞/∞. При этом другого вида выражение можно свести к этой неопределённости. Это намного упрощает работу, особенно если необходимо логарифмировать или возводить в степень.

Решение примеров

Закрепить правило лучше всего на соответствующих примерах. Существуют типовые задания, чаще всего встречающиеся на контрольных работах. Например, требуется найти предел отношения натурального логарифма от тангенса икс к котангенсу два икс, когда неизвестное стремится к p /4. Помощь в решении окажет правило Лопиталя, которое при сравнении с альтернативными методами окажется на порядок проще.

Для того чтобы понять, какого вида неопределённость в задании, нужно в числитель и знаменатель подставить p/4. Тогда: ln td p /4 = ln 1 = 0 и ctd p /2 = 0. По правилу можно свести нахождение предела функций к вычислению их производных. Искомый предел: A = lim (lntdy ‘) / (ctd 2 y)’ = lim (ctdy * 1/ cos ²y) / 2 (-1/ sin ²2 y) = lim (-sin ²y)(2 * siny * cosy) = (-½) * lim (sin ²2 y / siny * cosy) = — ½ * 1/½ = -1. Таким образом, решение будет равняться минус единице.

Пусть есть выражение вида: lim y^½ (p — 2 arctd √ y) = A. Нужно определить предел при иксе, стремящемся к плюс бесконечности. Чтобы воспользоваться правилом, исходное выражение нужно привести к дробному виду. Для этого выражение можно переписать как lim (p — 2 arctd √ y) / y^½. В этом случае имеет место неопределённость 0/0. Поэтому можно рассматривать отношение производной делимого на делитель: A = lim (2 *(1/1+ y) * ½ * y ^-½) / ½ * y ^-3/2= lim 2y/(1+y) = 2 lin 1 /(1+ 1/ y) = 2.

Замечательным случаем является неопределённость вида ∞/∞. Например, требуется найти предел lim k (y) при иксе, стремящемся к бесконечности, где функция k (y) = y /e^y. По теореме Лопиталя A = lim (y)’ / (e^y)’, а это выражение есть не что иное, как lim 1/e^y, равняющийся нулю. Теперь можно рассмотреть пример сложнее.

Пусть дано выражение нормальной функции со степенью: lim y^y = A, где A = lim k (y). Проэкспоненцируя эту функцию, выражение можно привести к виду: y^y = e^{y *lny}. Если найти, к чему стремится показатель экспоненты, то это и будет решением рассматриваемого примера. Можно записать: lim y * lny = lim lny /1/ y = lim (1/ y)/(-1/ y ²) = 0. Если предел в показателе экспоненты стремится к нулю, то можно написать, что он будет равняться e⁰, то есть единице. А это и будет искомый предел: lim k (y) = 1 при иксе, стремящемся к плюс бесконечности.

Закон Лопиталя является хорошим помощником при вычислении особо экзотических пределов. При этом можно попробовать составить выражение, отвечающее условиям правила и из неявного вида функции. Для этого можно использовать раскрытие скобок, дополнительно умножить или разделить функцию на однородный многочлен.

Использование онлайн-калькулятора

Не всегда задания, попадающиеся на практике, довольно легко привести к условию, отвечающему правилу. Да и нередко сама функция настолько умудрённая, что для определения производной понадобится не только проявить внимание и усидчивость, но и затратить довольно много времени. Поэтому в таких случаях есть резон решать задания на онлайн-калькуляторе с подробным решением. Правило Лопиталя отлично поддаётся автоматизированному вычислению.

Такую услугу предлагают более десятка специализированных на математических расчётах сайтов. Доступ к вычислениям предоставляется полностью бесплатно. От пользователя даже не требуется регистрации и указания персональных данных. Работают они на основе алгоритмов, заложенных в программный код используемого онлайн-приложения. Пользователю нужно лишь только подключение к интернету и любой веб-обозреватель.

Все его действия сводятся к введению в предложенную форму условия примера и нажатия кнопки «Рассчитать». После этого программа автоматически вычислит ответ и выведет его на дисплей. При этом в большинстве случаев вместе с ответом приложение отобразит пошаговый расчёт с комментариями. Это позволит потребителю не просто получить готовый ответ, но и разобраться в решении.

Из наиболее популярных сайтов можно выделить следующую пятёрку:

Math.semestr.
Kontrolnaya-rabota
Planetcalc.
Math34.
Webmath.

Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке. Кроме предоставления услуги онлайн-калькулятора, на их страницах содержится вся необходимая теория, помогающая понять, как происходит нахождение ответа. А также приведены несколько типовых примеров с подробным решением.

Пользоваться такими сайтами сможет даже пользователь, ничего не понимающий в математическом анализе. Но решая различные примеры, со временем он поймёт суть идеи правила и сможет самостоятельно вычислять пределы функций. При этом такие сайты являются отличным подспорьем как инженерам, проводящим сложные вычисления, так и студентам, проверяющим свои навыки.

АлгебраПоказательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

АлгебраДисперсия свойства, формула вычисления дисперсии дискретной случайной величины, виды, правило и примеры расчетов, онлайн-калькулятор

Простейшие способы решения пределов каждой функции (с примерами)

1. Задача I типа (факторизация)

2. Задача II типа (рационализация)

3. Задача III типа (формула)

4
4

Основная формула, чтобы запомнить

Вы можете добавить все предельные значения отдельно

Вы можете умножить каждое предельные значения отдельно

Вы можете разделить каждое предельные значения отдельно

CONSTANT ARE TAKEN OUTSIDE OF LIMIT

DERIVED FORMULA TO REMEMBER

♦

Шаги для расчета лимита

1. Прежде всего сформируйте концепцию лимита. Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с основной концепцией (Основная концепция предела в математике)

2. Remember indeterminant form of limit which are 0/ 0 , ∞/∞ , ∞ — ∞ , 0 ×∞ , 1 ∞ , etc.

3. Проанализируйте типы проблем перед их решением. решает ли он факторизацией, рационализацией или использованием формулы?

4. Решайте каждую задачу шаг за шагом, пока не получите окончательные ответы.

РЕШЕННЫЙ ПРИМЕР

Задача I рода (факторизация)

б) в)

Решения:

Если положить , то заданная функция yield , которая является неопределенной формой.

.0071 x=2 then given function yield which is indeterminant form

Задача II типа (рационализация)

Решение:

B. 0005

Если мы положим x=0 , тогда приведенная выше функция даст неопределенную форму.

Type III problem (formula)

After cancelling (x-2) we get

we Получить

B. Оценить

Поместите x-2 = y , чтобы, когда x → 2 Затем 0071 y → 0

Applying formula we get

Solution:

Применяя формулу получаем

5

2
5
1. каков предел данной функции?
2. Как лучше всего запомнить типы задач, связанных с определением пределов заданных функций?
3. Что такое неопределенные формы? что значит их?
4. Оценка
5. Оценить
6. Выпуск
7. Оцените
8. Оцените
MCQS (Ответ окружен)
1. Ограничительные значения
9000
0
1
5
2
2. Ограничивающее значение
+1/2
4
-1/2
-4
3. Предел
2
6
3
1
4. Предел
1
-4
4
1
5. Предел
3
6
40005
0
6. не является неопределенной формой?
0/ 0 ,
0
0 × ∞
∞ — ∞
Хотите изучить больше темат?
Понятие предела в математике
простейшие способы решения предела алгебраической функции
Теорема о пределах подход к исчислению
Предел тригонометрической функции с примерами
Непрерывность и разрыв функции; объяснение и примеры
Поиск пределов в исчислении – выполните следующие шаги
Если учитель попросил вас найти предел, вы можете использовать различные методы. Это намного проще, чем кажется, и в конце этого руководства у нас есть отличная стратегия, которой вы можете следовать, чтобы всегда знать, какой метод использовать и когда.
Найти ограничения непросто, и многие люди борются с этим. Если это вы, не волнуйтесь, к концу этого руководства вы сможете найти ограничения максимум за несколько минут. Внимательно читайте и старайтесь следовать, но не бойтесь начинать с самого начала, чтобы усовершенствовать свою технику и правильно запомнить каждую из стратегий.
Зачем вам искать ограничения?
Пределы невероятно важны, и без них мы не смогли бы выполнять более сложные формы исчисления. Предел — это предел функции f(x), когда x приближается к c, но никогда не достигает его. Помните, что x может приблизиться к c с любой стороны. Представьте график; он может исходить с любой стороны оси.
Ограничения позволяют узнать, как будет вести себя функция, даже если она не существует при определенном значении x. В результате нахождение ограничений позволит вам получить угол наклона в заданной точке, даже если у вас нет конкретного значения x для каждой точки вдоль линии. Не зная, как найти пределы, у нас было бы мало информации о градиенте между точками.
Если мы возьмем функцию f(x) = x – 1 / x – 1 и представим, что x может быть любым числом.
Мы знаем, что если x = 1, функция будет выглядеть так:
f(1) = 1 – 1 / 1 – 1, что будет равно 0 / 0.
результатом является то, что когда x = 1, сама функция не определена, потому что дробь 0/0 не определена. На графике это будет выглядеть как прямая линия, параллельная оси x, но будет пробел, где x = 1, потому что он просто не определен. Но что, если бы мы захотели узнать, какой будет функция, когда x = 1?
Ну, мы не можем этого сделать. Но что мы можем сделать, так это максимально приблизиться к x = 1, чтобы мы могли примерно знать, каково значение функции в этой точке. Эта идея обязательно является пределом. Идея состоит в том, чтобы подобраться как можно ближе к неопределенной точке, чтобы мы могли аппроксимировать ее с высоким уровнем точности.
Нахождение предела путем подстановки X
Первый метод, который мы рассмотрим, — это подстановка x в функцию, чтобы увидеть предел. В идеальном мире это работало бы постоянно. Поэтому мы всегда начинаем с этой методики, потому что она самая простая и позволяет нам получить больше информации о том, что делать дальше. Идея состоит в том, что вы делаете x равным числу, к которому он приближается.
Итак, если мы пытаемся найти предел по мере приближения к 2, мы делаем x = 2 и затем запускаем функцию.
Когда вы сделаете это, вы получите один из трех результатов:
В первом случае вы, вероятно, нашли асимптоту. Асимптота — это когда линия постоянно приближается к заданному значению, но никогда не достигнет его ни в какой конечной точке.
Во второй ситуации вы, вероятно, нашли правильный предел методом подстановки.
Наконец, в самых сложных вопросах вы столкнетесь с ситуацией, когда функция не определена, и поэтому вам нужно будет попробовать другие методы. Если это так, нам нужно будет перестроить функцию, чтобы мы могли рассматривать предел в идентичной, но по-разному устроенной форме, используя один из следующих трех приемов.
Факторинговый метод
Факторинг — это отличный метод, который можно попробовать, и часто его легче всего освоить, поскольку он опирается на уже отработанные навыки. Если вы уже пытались подставить число, в итоге получилось 0 / 0, вам нужно начать факторинг.
Часто вы увидите, что либо числитель, либо знаменатель более «дружелюбны» к факторингу. Обычно лучше всего начать с x с наибольшей степенью. Рассмотрим следующее уравнение: 92, который может фактор. В этом случае мы можем разложить на:
(x – 4)(x – 2) / (x – 4)
нижний. Довольно просто, правда? Это также будет не так просто, но если вы продолжите учитывать факторы, вы часто можете найти места для упрощения выражения.
Это упрощение оставляет нас с:
f(x) = x – 2, где x приближается к 4.
Если мы сейчас попытаемся подставить 4 в уравнение, вы обнаружите, что f(x) = 2. См. , с помощью факторизации вы показали, что эквивалентная функция имеет определенное значение, и это значение равно 2, когда x приближается к 4.
Если бы вы построили график этой функции, вы все равно увидели бы пробел, где x = 4, потому что исходное уравнение все еще не определено. Однако вы знаете, что при приближении к 4 функция равна 2.
После факторизации вы можете обнаружить, что у вас нет возможности отменить и упростить. В этом случае вам следует попробовать другой метод, чтобы убедиться, что нет предела функции при определенном значении x.
Рационализация числителя
Третий метод требует, чтобы вы рационализировали числитель, чтобы вы могли попробовать подстановку еще раз. Вы поймете, следует ли рационализировать числитель, потому что увидите квадратный корень вверху и полиномиальное выражение внизу. Давайте посмотрим на следующий пример:
f(x) = sqr(x-4) – 3 / x – 13, когда функция приближается к 13.
Мы знаем, что подстановка невозможна, когда вы получаете 0 в знаменателе, поэтому подстановка в этом примере не удастся. Факторинг также потерпит неудачу, потому что в этом примере нет многочлена для факторинга.
Однако если умножить числитель и знаменатель на сопряженную вершину (числитель), то получится сократить и найти предел.
Сопряжение числителя: sqr(x – 4) + 3, поэтому мы можем умножить, чтобы получить:
(sqr(x – 4) – 3)(sqr(x – 4) + 3) / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)
Затем мы можем ПОЛУЧИТЬ числитель, чтобы получить следующее :
(x – 4) + 3sqr(x – 4) – 3sqr(x – 4) – 9
При упрощении приведенное выше выражение станет равным x – 13, потому что средние члены сокращаются, и тогда вы можете комбинировать подобные члены.
Если мы вернемся к полному уравнению, то увидим, что имеем:
(x – 13) / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)
Условия отменяются, и мы имеем :
1 / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)
Отсюда мы можем подставить 13 в функцию, потому что у нас есть все неизвестные на одной стороне дроби. 2(a) 92(a)
Эти уравнения могут показаться запутанными, но на самом деле они очень просты. Каждый из них используется для разных целей, но при нахождении пределов нам нужно знать их только для переписывания уравнений.
Рассмотрим следующий пример:
Sin (x) / Sin (2x), когда x приближается к 0
Мы можем использовать формулу тождеств двойного угла для упрощения до:
Sin (x) / 2Sin(x) Cos(x)
Отсюда Sin(x) можно отменить, и у нас останется:
1 / 2Cos(x)
Если мы подставим 0 вместо x, мы получим ½, потому что cos(0) = 1, и поэтому у вас есть 1/2*1, что равно ½.
Стратегия нахождения пределов в исчислении
Теперь, когда мы рассмотрели все тактики, которые можно использовать для нахождения пределов, давайте обсудим, какие и когда следует использовать. Есть прямое правило. Вы всегда должны сначала делать прямую замену.
Если вы получаете f(a) = b / 0, то у вас есть асимптота.
Если вы получаете f(a) = b, то у вас есть предел.
Если вы получаете f(a) = 0 / 0, тогда вам следует попробовать разложить на множители, рационализировать числитель или триггерные тождества в зависимости от того, что, скорее всего, сработает.
Math Tutor — Функции — Обзор методов
Math Tutor — Функции — Обзор методов — Ограничения
Если вы хотите одновременно следовать другому тексту о пределах функций в отдельное окно, нажмите здесь, чтобы Теория и здесь для решения проблем.
Предел — один из важнейших инструментов исследования функций. Как и любой «хороший» вопрос, найти ответ не всегда легко и часто приходится преодолеть проблемы. Для многих из них у нас есть специальные методы и приемы. Если вы хотите быть опытным в оценке пределов, важно развивать (практикуя) ментальные «коробки» проблем, каждая коробка содержит предельные проблемы определенного типа. Когда вы сталкиваетесь с проблемой, вы находите соответствующую поле и вытащите соответствующий метод решения. Часто человек не получает ответ таким образом, просто предельная задача меняется на другую, поэтому приходится использовать несколько приемов один за другим. Есть также проблемы которые ни в какие рамки не влезают, то надежда только на опыт и интуиция.
Сначала мы кратко рассмотрим, какой ответ можно получить. заданная функция на данная точка может иметь предел, который является действительным числом (собственно лимит ). В этом случае говорят, что функция сходится к (или сходится). сходится ) в этой точке. В противном случае функция расходящаяся там. Мы используем ту же классификацию для «задачи нахождения предела в точке», которую мы для краткости называем «пределом». Таким образом, мы бы сказали, что заданный предел (задача, которую нужно решить) сходится (существует собственный предел — результат) или расходится.
Среди расходящихся пределов (т. е. проблем) некоторые «красивее»: они склонны бесконечности или до минус бесконечности, т. е. имеют неправильный предел . Если существует некоторый предел — конечный для сходящихся пределов или бесконечный — мы говорим что предел существует , так как мы все равно получаем некоторую информацию. Последний случай, когда вообще нет предела, ни конечного, ни бесконечного. В этом случае мы говорят, что предела не существует, что часто сокращается как DNE.
Как найти пределы?
Начнем с определения самой важной ситуации:
Вопрос:
Пусть функция f определена в некоторой редуцированной окрестности точка a по некоторой алгебраической формуле. Найдите его предел в a .
Альтернативные вопросы:
Пусть функция f определена на некотором редуцированном правом окрестности точки a по некоторой алгебраической формуле. Найдите его предел на справа.
Пусть функция f определена на некотором редуцированном левом окрестности точки a по некоторой алгебраической формуле. Найдите его предел на слева.
Эти вопросы решаются таким же образом, см. ниже.
Прежде чем показать, что делать, мы кратко рассмотрим другие ситуации. Что, если функция не задается одной общей формулой на некотором приведенном (одностороннем для односторонние пределы) окрестности a ? Хороший случай, когда функция задается одной формулой справа и другой формулой слева из и , и нам нужен двусторонний лимит. Тогда можно перейти к одностороннему пределы, где мы находимся в ситуации, описанной в Вопросе, поэтому мы используем по алгоритму, изложенному ниже, находим ответы (если повезет) и сравниваем. Если функция настолько странная, что ей даже не задается красивая формула на односторонняя окрестность a , тогда мы должны решить проблему индивидуально опираясь на наше понимание пределов, алгоритма не существует.
Теперь вернемся к Вопросу.
Решение:
Шаг 1. «Подставить» точку a в данное выражение и попробовать найти результат с помощью предельная алгебра . В частности, нужно уметь подставлять бесконечность в элементарные функции. Может возникнуть необходимость работать с односторонними ограничениями и/или односторонние результаты лимитов, см. примечание 1 ниже, это чаще всего бывает когда вы встречаете выражение 1/0 (см. соответствующую рамку ниже).
Иногда помогает упростить выражение перед подстановкой и . Это особенно удобно при замене бесконечности степенями с отрицательным значением. степени, многим они больше нравятся в виде дробей.
Что может случиться?
а) Если предельная алгебра дала определенный ответ (число, бесконечность или минус бесконечность, или что предел ДНЭ см. примечание 2 ниже), то этот ответ тоже ответ на проблему предела, и все готово. Обратите внимание, что алгебра пределы, особенно с некоторыми бесконечностями, не является «настоящей алгеброй», так что, возможно, лучше не писать это как часть «официального решения».
Пример .
б) Другая возможность состоит в том, что предельная алгебра не привела к ответу потому что что-то пошло не так. В этом случае вы должны попробовать какой-то трюк, который то есть вы переходите к шагу 2.
Внимание! Иногда возникает соблазн заменить только «хорошие» детали выражения, а остальное оставьте на потом. Это не работает в Генеральная! Единственный способ сделать ограничения «по частям» — разбить их на дополнительные ограничения см. в этом примечании. За один предел, вы либо подставляете везде, либо не подставляете вообще.
Шаг 2. Если предельная алгебра не удалась, то должно быть какое-то проблема. Для многих видов задач существуют достаточно надежные методы, поэтому один должны также знать кое-что о более популярных проблемах (например, о неопределенных выражениях). «Замена» на на шаге 1, хотя и не удалась, все же должна сработать. очень ценная услуга, а именно она должна определить, какую проблему вы имеют. Это поможет вам поместить вашу проблему в соответствующую «коробку», затем вы просто применяете метод, рекомендованный в этом поле.
Неопределенные выражения являются распространенной причиной неудачи на шаге 1. и к счастью для каждого из них есть специальная коробочка с подходящей метод.
• поле «1/0».
• поле «неопределенный соотношение» , ,
• поле «неопределенный продукт» ∞⋅0,
• коробка «неопределенный разность» ∞ − ∞,
• прямоугольник «неопределенный мощность» 1 ^∞ ,0 ⁰ ,∞ ⁰ .
Однако часто лучше пропустить эти общие поля и вместо этого использовать поле, которое специализируется на определенном выражении, появляющемся в пределе:
• поле «многочлены, суммы и отношения со степенями в бесконечности»,
• поле «полиномы в нужных точках» (отмена),
• поле «Разница корней».
Тогда есть поле, которое не узко ориентировано на определенный тип выражение или проблему, а скорее предлагает более общий метод решения с колебаниями и проблемами, с которыми трудно справиться:
• поле «Сравнение и колебание», которое обычно включает такие ограничения, как предел греха( x ) на бесконечности.
Наконец, есть две коробки с методами, которые ничего не решают путем самих себя, но иногда они могут значительно приблизить нас к этому решению, значительно упрощая данный предел:
• коробка «красивая внешняя функция»,
• поле «замена».
В качестве бонуса добавляем
• коробка «эквивалентные бесконечно малые».
Иногда метод из соответствующего поля даст вам ответ. Но часто вы получаете еще один предел для оценки, а это значит, что вы должны пойти вернитесь к шагу 1 и начните снова и, возможно, снова, пока не получите ответ или пока не сдашься.
Важно следить за упрощениями. В частности, перед применяя приемы из какого-то ящика, следует проверить, нужно ли применять этот трюк ко всему заданному выражению. Иногда проблема вызвана просто часть выражения а остальное «красиво», то обычно очень мудро разбить данный лимит на несколько частей и применить наиболее удобный метод к каждой части. Иногда бывает наоборот, вы вынуждены разделить лимит, так как нужный вам трюк применяется только к части заданного предел. Для более подробного обсуждения разделения лимитов и оценки его части см. это примечание.
Аналогичным образом, если вам нужно вернуться к шагу 1, настоятельно рекомендуется что вы посмотрите на то, что у вас получилось после применения трюков и по возможности упростите.
Обратите внимание, что существуют предельные задачи, которые не подходят ни к одному шаблону, который мы рассмотрели. здесь (то есть они точно не подходят ни к одному ящику ниже). Тогда чем больше опыт и понимание концепции предела у вас есть, тем лучше ваши шансы оценить предел.
Этот план должен иметь больше смысла, если вы посмотрите на некоторые Решенные проблемы — ограничения и сравните, как они решаются с общим описанием решения здесь. Там же вы найдете и другие полезные трюки.
У новичков иногда возникают проблемы с правильное обозначение своих расчетов и результатов.
Примечание 1.
Односторонние результаты пределов часто нужны при подстановке в функции. Эту информацию о результате обычно получают из сам данный предел (когда он дан односторонний), но иногда и следует из характера проблемы.
Пример: Предел e ^x − 1 для x → 0 ⁺ 0 ⁺ .
Действительно, подставляя x = 0 в выражение мы получаем 0, теперь нам нужно выяснить, какой. Если x → 0 ⁺ , тогда x — это число, близкое к 0, что удовлетворяет x > 0. Тогда также e ^x > 1, следовательно e ^x − 1 > 0,
Пример: Предел 1 + 2 90 697 x 90 698 – 90 697 x ² для x →2 ^— 1 ⁺ .
Действительно, подставив x = 2 в выражение, мы получим 1, теперь нам нужно выяснить, какой. Если х → 2 ^—, тогда x — это число, близкое к 2, которое удовлетворяет x < 2. Однако неясно, что происходит с выражение. Есть два способа это узнать.
Математически правильно это: 1 + 2 x − x ² = 1 + x ⋅ (2 − x ). Если x < 2, то (2 − 90 697 x 90 698 ) > 0, а 90 697 x 90 698 – положительное значение при приближении. до 2, поэтому x ⋅(2 − x ) > 0 и 1 + x ⋅ (2 − x ) > 1, что доказывает наше утверждение.
Этот метод был правильным, но специфичным для данного конкретного примера. В целом всегда можно попытаться исследовать монотонность данного выражения вокруг предельная точка, но на практике люди редко удосуживаются тратить время. Обычно используют другой метод, который гораздо удобнее, но имеет небольшой недостаток, заключающийся в том, что он не является математически правильным. Вот это приходит:
Если х → 2 ^—, тогда x — это что-то вроде 2 минус что-то очень-очень маленькое. Сказать, x = 1,9999. Когда мы подставляем это в выражение 1 + 2 x − x ² , получаем 0,99980001 < 1, что предполагает, что приближаемся к предельному результату 1 снизу. Конечно, это не доказывает ничего, для некоторых диких функций этот метод не работает. Однако большинство задачи имеют «разумные» функции, и, учитывая простоту этого метода, большинство людей (включая меня) используют его довольно часто, когда сталкиваются с более сложная проблема «односторонности».
Пример: Ограничение 1 + cos( x ) для x →0 2 ^— .
Действительно, подставив x = 0 в выражение, мы получим 2. Более того, если х — число близкое к 0 (неважно с какой стороны), то cos(x) < 1 (обратите внимание, что «близко к 0» не включает сам 0, поэтому точное неравенство верно). Следовательно 1 + cos(x)< 2, что доказывает утверждение.
Пример: Предел 1 + sin( x ) для x →0 это всего лишь 1.
Действительно, подставив x = 0 в выражение, мы получим 1. Однако мы не можем утверждать, что это будет 1 ⁺ или 1 ^—. В качестве x →0, это иногда отрицательное, а иногда положительное (это двусторонний предел), поэтому также sin( x ) иногда положительный, а иногда отрицательный. Независимо от того насколько малой редуцированной окрестностью 0 мы считаем функцию 1 + sin( x ) одновременно больше и меньше 1 на нем, поэтому односторонний вывод невозможен. возможный.
Еще один хороший пример с односторонностью находится в это примечание.
Примечание 2.
Мы достаточно хорошо знаем, как распознавать случаи, когда предел существует (предельная алгебра) и когда она беспокойный (неопределенный выражения). Менее изученной, но не менее важной является способность определить, каких пределов не существует. Это обычно игнорируется в расчетах курсы, так как в конце концов от нас ждут решения задач в школе.
Тем не менее, для полноты картины мы опустим пару слов об ограничениях, которые не существует. Для начала неплохо вспомнить некоторые «знаменитые» пределы, которые не существует. Наиболее частыми примерами являются пределы синуса и косинуса. при (минус) бесконечности и отношении 1/0, где 0 не является односторонним, следует отметить также пределы котангенса в 0 и его сдвиги и тангенса в π/2 и его сдвиги.
No related posts.