Степень уравнение: Определи степень уравнения а)х+4ху=5 — ответ на Uchi.ru

Содержание

биквадратные и рациональные 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 7.

Уравнения с одной переменной.

Уравнения, приводимые к квадратным, биквадратные и дробные рациональные.

Сегодня мы поговорим об уравнениях с одной переменной, научимся решать биквадратные и дробные рациональные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.

Итак, целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Например, уравнение: x2-2×2+x5=x3-2x+1 и если мы раскроем скобки и все перенесем в левую часть, получим:

x4-4×3+4×2+x5=x3-2x-2

x4-4×3+4×2+x5-x3+2x+2=0

x5+x4-5×3+4×2+2x+2=0

Или уравнение: x3+12-x2-13=x2 так же целое. Выполним аналогичные преобразования, умножим обе части уравнения на 6, таким образом знаменатель первой и второй дроби исчезнет. Получим:

3×3+3-2×2+2=6×2, перенесем все в левую часть и получим уравнение

3×3-8×2+5=0, которое равносильно данному.

То есть в каждом примере мы выполнили преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате мы получили уравнения вида P(x)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. И мы можем любое целое уравнение привести к такому виду, причем степень уравнения – это степень многочлена Р(х). Напомню, что степень многочлена – это наибольшая степень входящих в него одночленов. Значит, наше первое уравнение – пятой степени, а второе – третьей.

Уравнение первой степени можно привести к виду: ax + b = 0, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, где a ≠ 0. Из этого уравнения находим, что x=-ba. Число -ba – корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

Уравнение второй степени можно привести к виду ax²

+ bx + c = 0, где х – переменная, а а, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Ты, конечно, помнишь, что число корней этого уравнения зависит от дискриминанта, если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то один корень, если D

Уравнения третьей и четвертой степеней имеют формулы для нахождения корней, но они очень неудобны для практического применения. А для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул для нахождения корней не существует, поэтому их решают другими способами. НО! Иногда удается решить эти уравнения, применяя какой-либо специальный прием, например, с помощью разложения многочлена на множители, или ввода новой переменной.

Давай решим уравнение: 4×3-8×2-x+2=0

Разложим левую часть этого уравнения на множители, для этого воспользуемся способом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. У первого и второго вынесем общий множитель 4

x² за скобки, а у третьего и четвертого – вынесем минус 1. Получим: 4x2x-2-1x-2=0, теперь вынесем общий множитель x-2: получим: x-24×2-1=0, заметим, что вторую скобку еще можно разложить на множители, применяя формулу разности квадратов двух выражений.

Итоговое разложение получится: x-22x-12x+1=0. Итак, мы имеем произведение трех множителей, которое равно 0. А произведение двух или нескольких множителей равно 0, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, приравниваем каждый множитель к 0 и получим три корня: x₁ = 2 , x₂ = 0 , 5 , x₃ = -0 , 5

Рассмотрим еще один пример, решим уравнение:

2×2+x-12×2+x-4=-2. Если это уравнение мы начнем решать с помощью преобразований, то мы получим уравнение 4-ой степени, которое будет достаточно сложно решить. Давай подумаем, что можно здесь сделать. Заметим, что в двух скобках есть одинаковое выражение 2×2+x. Давай введем новую переменную t =2×2+x, тогда получим:

(t — 1)(t — 4) = -2, далее раскроем скобки, перенесем -2 в левую часть и получим: t² — 5t + 6 = 0, а это квадратное уравнения, находим его корни. Итак, t₁ = 2, t₂ = 3. Возвращаемся к переменной х:

2x² + x = 2

2x² + x = 3

Решая первое уравнение, получим, что D = 17, значит, корни равны

x1 , 2=-1±174.

Решая второе уравнение, получим, что D = 25, значит, корни равны

x₁ = 1 и x₂ = -1,5. То есть уравнение имеет 4 корня.

Этот метод введения новой переменной применим и для уравнения 4-ой степени вида: ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Такие уравнения называются биквадратными. Обрати внимание, что переменная x в биквадратном уравнении только в 4-ой и во 2-ой степени, и нет третьей и первой.

Решим уравнение: x⁴ — 6x² + 8 = 0, для этого введем новую переменную

t = x², получим квадратное уравнение: t² — 6t + 8 = 0, дискриминант которого равен 4, а корни 1 и 4, то есть t₁ = 2, t₂ = 4.

. Возвращаемся к нашей замене переменной, получим: x² = 2, откуда x=±2 или x² = 4, откуда

x = ± 2.

Далее вспомним дробные рациональные уравнения, с которыми ты познакомился в 8 классе.

Итак, дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением. То есть переменная должна быть в знаменателе.

Решим уравнение: 3x-2x-1-2x+3x+3=12x+4×2+2x-3

Если разложить на множители знаменатель третьей дроби, то мы получим:

x² + 2x — 3 = (x — 1)(x + 3), а значит, общий знаменатель и будет знаменатель третьей дроби, умножим обе части этого уравнения на произведение (x — 1)(x + 3) ≠ 0, получим:

(3x — 2)(x + 3) – (2x

+ 3)(x –1) = 12x + 4, раскроем скобки, все перенесем в левую часть, приведем подобные слагаемые, получим:

x² — 6x — 7 = 0, откуда корни равны -1 и 7. Каждое из этих чисел не обращает в ноль наш знаменатель. Следовательно, исходное уравнение имеет 2 корня.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на этот знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.

Барсуков А. Н. Уравнения первой степени в средней школе. — 1948 // Библиотека Mathedu.Ru

Барсуков А. Н. Уравнения первой степени в средней школе. — 1948

Обложка

Подготовка
текста

Обложка

Обложка123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276[1]

Содержание

Загрузка
структуры

Информация

Загрузка
описаний

Справка

Загрузка
справки

Поиск

Страниц найдено: 1

Список

Карта

Если строка в кавычках «. ..», то найдутся страницы со словосочетанием в точно такой форме.

Если слова указаны через пробел или оператор «&», то найдутся страницы, содержащие все введенные слова в одном предложении.

Если указано несколько слов через оператор «|», то найдутся страницы, содержащие любое из введенных слов.

Если указано два слова через оператор «~», то найдутся страницы, содержащие первое, но не содержащие второе слово в одном предложении.

По вашему запросу ничего не найдено.

Убедитесь, что слова написаны без ошибок или попробуйте выбрать другие значения.

null

Подождите,
пожалуйста…

Печать

Подготовка [0%]…

Отмена

Идёт
загрузка

{«root»:»text»,»url»:»barsukov_uravneniya_pervoy_stepeni_v_sredney_shkole_1948″,»surl-package»:»\/text\/%PACKAGE%\/?query=%QUERY%»,»surl-page»:»\/text\/%PACKAGE%\/p%PAGE%\/?query=%QUERY%»,»query»:»\»\»»,»section»:»library»,»mode-gfx»:true,»mode-html»:true,»mode-prefer»:»gfx»,»layout-prefer»:»1×1″,»zoom»:{«1×1»:{«level»:100,»_w»:false,»_h»:true},»2×1″:{«level»:100,»_w»:true,»_h»:false},»html»:{«level»:100}},»textsize-prefer»:»2″,»textfont-prefer»:»a»,»tree-type»:»ajax»,»tree-state»:»visible»,»printbox-state»:»hidden»,»print-allowed»:»1″,»searchbox-state»:»hidden»,»searchbox-type»:»inline»,»goto-pageno»:null,»goto-page»:-1,»defw»:»1000″,»defh»:»1619″,»minh»:1619,»maxh»:1619,»fixeven»:null,»package»:»left»,»sitemode»:»live»,»user»:{«uuid»:»»}}

уравнений.

Уравнение первой степени — Линейные уравнения

Уравнение первой степени

Что такое уравнение?

Уравнение в математике — это утверждение, которое связывает 2 выражения с помощью символа равенства.
Одним из основных типов уравнений являются уравнения первой степени, которые можно назвать «линейными уравнениями».

Линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение — это уравнение, представляющее прямую в квадратичной системе.
Общая форма этого уравнения: ax + b = 0 , где a и b — целые числа, а x — переменная. Этот тип уравнения имеет только одно решение и представляет собой прямую, параллельную оси y.

Как решать линейные уравнения с одной переменной?

Во-первых, давайте напишем основные аксиомы, которые мы применяем при решении уравнения:

1. Аксиома сложения: Когда две равные величины добавляются к обеим частям уравнения, уравнение все равно остается равным.

2. Аксиома вычитания: когда две равные величины вычитаются с обеих сторон уравнения, уравнение остается равным.

3. Аксиома умножения: когда мы умножаем обе части уравнения на одно и то же значение, уравнение все равно остается равным.

4. Аксиома деления: когда мы делим обе части уравнения на одно и то же значение (≠0), уравнение все равно остается равным.

5. Аксиома распределения: a(b+c) = ab + ac.

Этапы решения линейного уравнения с одной переменной: ax+b=0

Нам нужно выяснить, как изолировать переменную x, и в этом нам помогут приведенные выше аксиомы. В результате мы будем использовать аксиомы в зависимости от уравнения, которое у нас есть.

1) Во-первых, мы должны увидеть, какую переменную нам нужно изолировать.

2) Затем различайте переменные и константы.

3) Сгруппируйте переменные слева и константы справа.

4) Используя перечисленные выше аксиомы, мы выполняем алгебраические операции, чтобы получить значение переменной.

Пример 1: Решите 6x + 8 = 12

Решение: Наша цель — изолировать переменную x.

Шаг 1. Вычтите 8 из обеих сторон.

6x + 8 – 8 = 12 – 8

6x = 4

Шаг 2. Разделите обе части на 6

$\displaystyle \frac{6x}{6}=\frac{4}{6}$

$\displaystyle x=\frac{2}{3}$

Шаг 3. Итак, мы изолировали переменную $\displaystyle x=\frac{2}{3}$

Пример 2: Решение 3(x+8) – 2 = 3(9-x)

Решение: Во-первых, нам нужно применить диструбутивную аксиому или, проще говоря, убрать скобки.

3(x+8) – 2 = 3(9-x)

3x + 24 – 2 = 27 – 3x (вычислите одинаковые члены для обеих сторон, если они есть)

3x + 22 = 27 – 3x

Во-вторых, мы должны Объединить похожие термины.

Нам нужно поместить «x» на той же стороне (предпочтительно слева), а константы — на другой стороне, справа.

После этого мы прибавляем 3x к обеим сторонам и вычитаем 22 из обеих сторон.

3x + 22 + 3x = 27 – 3x + 3x

6x + 22 = 27

6x + 22 – 22 = 27 – 22

6x = 5

6, чтобы мы могли изолировать ‘x’.

$\displaystyle \frac{6x}{6}=\frac{5}{6}$

$\displaystyle x=\frac{5}{6}$

Как решить уравнение первой степени с дробями.

Уравнения первой степени с дроби — это уравнения, которые решить немного сложнее.

Так что вам нужно тщательно выполнить некоторые шаги, чтобы избежать ошибок.

1. Сначала нам нужно удалить знаменатель.

2. Затем удалите скобки.

3. Переместите члены, где переменные, в левую часть, а числа в правую часть уравнения.

4. Упрощайте, выполняя математические операции.

5. Найдите значение x.

Но как убрать знаменатель в уравнении первой степени?

Первый метод

Сначала мы должны получить общий знаменатель всех знаменателей уравнения, чтобы сложить и вычесть дробей .
После нахождения общего знаменателя умножаем числитель на соответствующее ему число, чтобы получить его эквиваленты дробей .
Это число получается путем деления общего знаменателя на знаменатель исходной дроби .
После этого мы можем исключить знаменатель с обеих сторон, а затем выполнить шаги, описанные выше.

Пример 3. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{{6x+2}}{3}-1=3x$

Шаг 1: $\displaystyle \frac{?}{3}-\frac{ 3}{3}=\frac{?}{3}$

$\displaystyle \frac{{(6x+2)}}{3}-\frac{3}{3}=\frac{{3\ cdot 3x}}{3}$

$\displaystyle (6x+2)-3=9x$

Шаг 2: $\displaystyle 6x+2-3=9x$

Шаг 3: $\displaystyle 6x-9x=+3-2$

Шаг 4: $\displaystyle -3x=1$

Шаг 5: $\displaystyle x=-\frac{1}{3}$

Пример 4. Решите уравнение: $\displaystyle 2x+1-\frac{{ x+1}}{4}=\frac{x}{3}$

1. $\displaystyle \frac{?}{{12}}+\frac{?}{{12}}-\frac{ ?}{{12}}=\frac{?}{{12}}$

$\displaystyle \frac{{12(2x)}}{{12}}+\frac{{12}}{{12 }}-\frac{{3(x+1)}}{{12}}=\frac{{4x}}{{12}}$

$\displaystyle 12(2x)+12-3(x+1)=4x$

2. $\displaystyle 24x+12+-3x-3=4x$

3. $\displaystyle 24x-3x- 4x=3-12$

4. $\displaystyle 17x=-9$

5. $\displaystyle x=-\frac{9}{{17}}$

Второй метод

Сначала нам нужно найти общий знаменатель всех дробей в уравнении.

Во-вторых, умножьте обе части наших уравнений на ЖК-дисплей, чтобы очистить дробь .

Пример 5: Решите уравнение$ \displaystyle \frac{{x+2}}{2}+\frac{{7x}}{4}=\frac{x}{3}+2$

Шаг 1: Очистка дробей путем умножения обеих частей уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в нашем уравнении.

Наименьший общий знаменатель всех дробей в нашем уравнении:

LCD(1,2,3,4)=12

Умножьте обе части уравнения на LCD мы нашли 12 чтобы очистить дробь .

$\displaystyle \frac{{x+2}}{2}+\frac{{7x}}{4}=\frac{x}{3}+2$

$\displaystyle 12(\frac{ {x+2}}{2})+12(\frac{{7x}}{4})=12(\frac{x}{3})+12\cdot 2$

$ \displaystyle 6(x +2)+21x=4x+24$

Шаг 2: $ \displaystyle 6x+12+21x=4x+24$

Шаг 3: $ \displaystyle 6x+21x-4x=24-12$

Шаг 4: $ \displaystyle 23x=12$

Шаг 5: $\displaystyle x=\frac{{12}}{{23}}$

Решение задач с использованием уравнений первой степени с одной переменной

Шаг 1: Сначала мы подчеркиваем ключевые данные проблемы.

Шаг 2. Затем мы определяем переменную, которая всегда вызывает проблему.

Шаг 3. Установите связь между переменной и другими данными задачи.

Шаг 4: Затем мы запишем нашу задачу в виде уравнения.

Шаг 5: Мы решаем это на основе шагов, описанных выше.

Шаг 6: Доказательство

Задача 1: Книга в обложке стоит 24 доллара. Только обложка стоит 20% от стоимости книги без обложки. Сколько стоит книга без обложки?

Решение: Книга с обложкой стоит 24 доллара.
Стоимость обложки составляет 20% от стоимости книги без обложки

Отметить переменную
Проблема заключается в том, чтобы узнать, сколько стоит книга без обложки, поэтому мы отмечаем это как нашу переменную.
X = сколько стоит книга без обложки.

Теперь мы установим связь между переменной и ключевыми данными.
Книга без обложки: X
Обложка: 20% от X

Запишем нашу задачу в виде уравнения.
$\displaystyle x+\frac{20}{100}x=24$

$\displaystyle x+\frac{1}{5}x=24$

Мы используем второй метод, чтобы удалить дробь , затем мы следуйте инструкциям выше.

$\displaystyle 5x+5\frac{1}{5}x=24$

$\displaystyle 5x+5\frac{1}{5}x=5\cdot 24$

$\displaystyle 5x+ x=120$

$\displaystyle 6x=120$

$\displaystyle x=\frac{120}{6}$
x = 20

Ответ: Книга без обложки стоит 20 долларов.

Доказательство:
Покрытие стоит 20% от 20 долларов = 4 доллара.
20 долларов + 4 доллара = 24 доллара, что стоит книга.

4.8: Общее уравнение второй степени в трех измерениях

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Это может быть плоскость или пара плоскостей (которые, если они не параллельны, определяют прямую линию), или эллипсоид, параболоид, гиперболоид, цилиндр или конус. Уравнение можно было бы, если удобно, разделить на $d$ (или любую другую константу), а на самом деле существует только девять независимых констант. Поэтому девяти точек в пространстве достаточно, чтобы определить поверхность второй степени, на которой они лежат.

Если $d$ равно нулю, поверхность содержит начало координат. Если $u$, $v$ и $w$ равны нулю, а поверхность представляет собой эллипсоид, гиперболический параболоид или гиперболоид, начало координат находится в центре фигуры. Если фигура представляет собой эллиптический параболоид, начало координат находится в вершине. Если $u$, $v$, $w$ и $d$ равны нулю, поверхность является конусом с оговоркой, упомянутой в разделе 4.7. Если $a$, $b$, $c$, $f$, $g$, $h$ равны нулю, поверхность является плоскостью.

Рассмотрим конкретный пример: 92 + 8yz — 2zx + 4xy + 14x — 10y — 4z + 5 = 0 \label{4.8.2} \tag{4.8.2}\]

Что это за поверхность?

Нам нужно сделать две вещи. Сначала нам нужно повернуть оси координат так, чтобы они были параллельны осям фигуры. Уравнение, относящееся к осям фигуры, не будет иметь членов в $yz$, $zx$ или $xy$. Затем нам нужно перевести оси так, чтобы начало координат было в центре фигуры (или в вершине, если это эллиптический параболоид).

Математически нам нужно найти собственные векторы матрицы

\[\begin{vmatrix}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -1 \\
2 & -4 & 4 \\
-1 & 4 & 6 \\
\end{vmatrix}
\label{4.8.3} \tag{4.8.3}\]

Некоторые читатели уже знают, как это сделать. Другие могут не знать и даже не совсем уверены, что такое собственный вектор. Раздел 4.9 может быть интересен любой группе читателей. В любом случае собственные векторы равны

\[\pmatrix{l_{11} \\ l_{12} \\ l_{13}} = \pmatrix{-0,069 \ 5481 \\ +0,318 \ 8310 \\ +0,945 \ 2565} \quad \pmatrix{l_ {12} \\ l_{22} \\ l_{32}} = \pmatrix{-0,240 \ 6405 \\ +0,914 \ 2071 \\ -0,326 \ 0635} \quad \pmatrix{l_{13} \\ l_{ 23} \\ l_{33}} = \pmatrix{-0,968 \ 1194 \\ -0,2501441 \\ +0,013 \ 1423}\]

с соответствующими собственными значениями $7,422 \ 7590, \ 5,953 \ 0969, \ 3,530 \ 3380 $.

Элементами собственных векторов являются направляющие косинусы текущей оси координат относительно осей фигуры. Чтобы выразить Уравнение поверхности относительно осей координат, параллельных осям фигуры, заменим 92 — 7,9430994x — 11,206 7840 y — 11,1047998z + 5 = 0. \label{4.8.4} \tag{4.8.4}\]

Обратите внимание, что в $yz$, $zx$ и $xy$ нет терминов.

Теперь нам нужно перенести начало координат в центр фигуры (или в вершину, если это эллиптический параболоид). Легко видеть, что это можно сделать, заменив

\[x — α \quad \text{for} x\]

\[y — β \quad \text{for} y\]

\[z — γ \quad \text{для } z\]

не является одной из квадратичных поверхностей. Если квадратный корень выделить и возвести в квадрат, результирующее уравнение будет содержать члены четвертой степени. Поверхность довольно знакома, и читатель должен попытаться представить, что это такое. В противном случае, если ваши навыки работы с компьютером позволяют, вы можете попытаться нарисовать поверхность в трехмерном пространстве.