Степень в квадрате как решать: Возведение степени в степень — урок. Алгебра, 7 класс.

Возводить в квадрат легко и просто

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шмакова А.Р. 1

---

1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)

Лаптева Т.П. 1

---

1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение.

Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа.

Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.

Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.

Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.

Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.

Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.

2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.

4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.

Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.

Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.

Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»^[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.

Основная часть

История возникновения квадрата числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень

 как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней^[5].

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский ^[2] описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

П рошло много времени и у Рене Декарта

[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,… Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.

Немецкий ученый Лейбниц^[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и

применял знак а^2[5].

Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

У чись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:

Способности;

Алгоритмы;

Тренировка;

Опыт.

Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат

двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно^[1].

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 · 5 = 1200 + 25 = 1225.

75² = 5600 + 25 = 5625.

85² = 7225.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.

Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.

52² = (5 · 5 + 2) · 100 + 2 · 2 = 2700 + 4 = 2704.

54² = (25 + 4) · 100 + 16 = 2916.

58² = 3300 + 64 = 3364.

51² = 2601.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.

71²; 71→70→70² = 4900; 71² = 4900 + 71 + 70 = 5041.

41² = 1600 + 41 + 40 = 1881.

81² = 6400 + 161 = 6561.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.

59²; 59 → 60→60² =3600; 59² = 3600 – 60 – 59 = 3600 – 119 = 3481.

29² = 900 – 29 – 30 = 841.

79² = 6400 – 159 = 6241.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.

84²; 84→85→85² = 7225; 84² = 7225 – 84 – 85 = 7225 – 169 = 7056.

34² = 1225 – 34 – 35 = 1225 – 69 = 1156.

74² = 5625 – 149 = 5476.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.

56²; 56→55→55² = 3025; 56² = 3025 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

36² = 1225 + 36 + 35 =1296.

76² = 5625 + 151 = 5776.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.

1) 44² = (15 + 4) · 100 + (50 – 44)² = 1900 + 36 = 1936.

2) 43² = 18 · 100 + 7² = 1800 + 49 = 1849.

3) 48² = 2300 + 4 = 2304.

Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.

б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.

1) 37² = (37 – 25) · 100 + (50 – 37)² = 12 · 100 + 13² = 1200 + 169 = 1369.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

2) 28² = 3 · 100 + 22² = 300 + 484 = 784.

3) 46² = 2100 + 16 = 2116.

4) 39² = 1400 + 121 = 1521.

Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.

в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.

1) 57² = (25 +7) · 100 + (57 – 50)² = 32 · 100 + 7² = 3200 + 49 = 3249.

2) 52² = 2700 + 4 = 2704.

3) 59² = 3481.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

1) 58² = (58 – 25) · 100 + (58 – 50)²

= 33 · 100 + 8² = 3300 + 64 = 3364.

2) 71² = 46 · 100 + 21² = 4600 + 441 = 5041.

Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.

Возведение в квадрат числа, близкого к 100.

97² = (97 – 3) · 100 + 3² = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.

94² = (94 – 6) · 100 + 6² = 8800 + 36 = 8836.

98² = 9604.

Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, надо из него вычесть дополнение данного числа до 100, к результату приписать квадрат дополнения.

Если квадрат дополнения является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

а) Метод «пирамидка».

38² = (30 + 8)² = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +

+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3² · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8² = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.

М ожно оформить решение так: 38² = 964 3² = 3 · 3 = 9 и 8² = 8 · 8 = 64 ⇒ 964

24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка

+ 24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка, поэтому

1444 можно под числом 964 записать два

раза число 24, сдвинув его на одну

цифру влево, получилась «пирамидка».

27² = 449 + 280 = 729.

84² = 6416 + 640 = 7056.

б) Метод «перекидки».

42² = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2² = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764

78² = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.

в) Метод «округления».

1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:

47² = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3² = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.

26² = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.

Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:

73² = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3² = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.

82² = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.

г) Метод замены квадрата числа произведением.

29² = (29 – 9) · (29 + 9) + 9² = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.

86² = (86 – 6) · (86 + 6) + 6² = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.

54² = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.

д) Метод понижения числа на единицу.

28² = (28 – 1)² + 28 + (28 – 1) = 27² + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.

56² = 55² + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.

Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.

Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.

Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.

Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.

Напомню: 35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5² = 1200 + 25 = 1225.

Возведём по этому способу в квадрат число 36.

Мы знаем, что 36² = 1296.

3 · (3 + 1) · 100 + 6² = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 < 1296 на 60.

Где же взять число 60? Можно догадаться, что 60 = 30 · 2, то есть удвоенное число десятков. Тогда получаем:

36² = 3 · 4 · 100 + 6² + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.

Рассмотрим другие примеры.

56² = 5 · 6 · 100 + 6² + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.

46² = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.

Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:

Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.

Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:

39² = 3 · 4 · 100 + 9² + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.

240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.

А как возвести в квадрат число, если цифра единиц меньше 5. Например, 73².

Число 73 < 75, значит, применяя приём возведения в квадрат для 75, квадрат числа 73 будет меньше.

73² = 5329;

73² = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 5609.

Решим уравнение: 73² = 5609 – х

5329 = 5609 – x

х = 5609 – 5329

х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.

Эврика! Способ найден!

73² = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.

М ожно оформить решение и так: 73² = 5609 7 · 8 = 56; 3 · 3 = 9 ⇒ 5609

— 28 70 · 2 · 2 = 280; это 28

5329 десятков, поэтому второе

число можно подписать

под первым, сдвинув его влево на одну цифру.

Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 1₄, 2₃, 3₂, 4₁, 5, 6₁, 7₂, 8₃, 9₄ от цифры 5.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.

68² = 6² · 100 + 8² + 60 · 8 + 60 · 8 = 3664 + 480 + 480 = 3664 + 960 = 4624.

68² = 6 · 7 · 100 + 8² + 60 ·2 · 3 = 4264 + 360 = 4624.

Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.

Заключение.

Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:

к сокращению времени на вычисления;

к защите от массы вычислительных ошибок;

к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.

Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.

Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.

Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово^[5]!

Литература

Умножай с умом. Учебно-методическое пособие для учащихся общеобразовательных учреждений /Лаптева Т. П. – М.: Перо, 2017.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофант_Александрийский

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_(Декарт)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм

https://mirurokov.ru/открытый-урок/возведение-в-степень/история-возникновения-степени-числа.html

14

Просмотров работы: 15852

Степень числа: понятие, примеры, квадрат и куб числа

Содержание

1548 1681

На этом уроке мы изучим, что такое «степень числа», как правильно записать число в степени, как решать задачи с числами в степени, а также что такое квадрат и куб числа. {4}$$[[input-1]]»,»widgets»:{«input-1»:{«type»:»input»,»answer»:»27″}},»hints»:[«Сначала посчитай действия в скобках.»,»Затем вычисли степени чисел.»,»Дальше выполни действия второй ступени.»,»Потом посчитай действия первой ступени и запиши ответ.»]}]}

Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени

Содержание

При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать первые, вторые и уравнения третьей степени.

Возможные варианты решений

Во-первых, нам нужно понять, каковы возможные решения для решения уравнений, вот они:

Мы определяем как множество возможных решений уравнения.

1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. е. нет значения переменной, которое могло бы сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:

Мы упрощаем уравнение, умножая через круглые скобки, мы получаем

и вычитая обе части, мы получаем 6 = 10, что неверно, и поэтому мы делаем вывод, что у этого уравнения нет решения. то есть пусто или .

2- Уникальное решение: уравнения могут иметь единственное решение, которое их подтверждает, а это означает, что существует одно и только одно значение переменной, которое делает уравнение верным. Вот несколько примеров:

Пример 1:

вычитая 5 с обеих сторон, мы получаем

и деля на 3 с обеих сторон, мы получаем

Вот это решение, которое мы ищем, и оно единственное. является единственным значением для того, чтобы уравнение было верным, .

Пример 2:

Вычитая из обеих частей, чтобы исключить правую часть уравнения, мы получаем

и, добавляя 14 к обеим частям, мы получаем, разделив на 4, мы получаем, мы получить одно и только одно значение для i.e.

3- Множественные решения: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для проверки уравнения, вот пример этого:

мы можем сделать умножение скобок и получить

Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух скобок должна равняться 0, и для этого у нас есть два случая:

Либо вычитая 5, мы получаем, либо деля на 2, мы получаем ,

или и, добавив 3 для обеих сторон, мы получим .

Итак, у этого уравнения есть два возможных решения.

4- Бесконечные решения: уравнение с бесконечными решениями всегда проверяется независимо от значения , давайте рассмотрим следующий пример:

упрощая обе части, мы получаем

и затем

вычитая с обеих сторон получаем .

Путем упрощения уравнения мы получили, что оно всегда истинно, оно не зависит от значения , поэтому независимо от значения уравнения всегда истинно, и, поскольку имеет бесконечные возможные значения, у нас есть бесконечные решения для этого уравнение.

Теперь, увидев различные варианты числа возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

Решение уравнений первой степени

Определение

Мы называем уравнением первой степени любое уравнение, записанное следующим образом: степень не находится в этой форме, но после упрощения она всегда заканчивается формой выше.

Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная начинается со степени 1, и это самая высокая степень переменной в уравнении, что означает .

Алгебраический метод

Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упростим его, если оно не упрощается, чтобы получить вид, а затем все, что нам нужно, это перевести b в другую сторону и разделить на a, т.е.

и вот оно решение уравнения

Пример:

Упростим уравнение

тогда получим форму

и решение будет т.е.

Геометрический метод

Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение прямой линии, что означает, что левая часть является уравнением прямой, а правая часть — уравнением прямой.

Тогда мы можем провести обе линии в ортометрической плоскости, и мы нарисуем линию и линию, эквивалентную оси x (поскольку ось x — это линия с )

(т. е. ) означает точку, в которой пересекаются две линии, поэтому, рисуя линию и беря точку пересечения с осью x, мы получаем наше решение, и оно совпадает с алгебраическим методом.

Пример:

Давайте решим уравнение

Мы нарисуем линию с помощью уравнения

Мы выберем 2 значения и получим соответствующее значение, а затем нарисуем две точки на плоскости и нарисуем новую линию проходящей через две точки, а координата точки пересечения прямой и оси абсцисс является решением уравнения.

Решение уравнений второй степени

Определение

Уравнением второй степени мы называем каждое уравнение стандартной формы с , действительные числа и отличные от нуля. Оно называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т.е. ).

Разложение на умножение двух уравнений первой степени

Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в виде умножения двух уравнений первой степени и решить путем нахождения решения для двух уравнений первой степени.

Как разложить уравнение второй степени на множители?

Если мы рассмотрим уравнение второй степени, подобное следующему:

Итак, чтобы перейти от правосторонней формы к левосторонней факторизованной форме, нам нужно выяснить значения и знать значение и из правосторонней формы . Давайте попробуем пример:

Нам нужно разделить на 2, чтобы удалить множитель и получить форму

, поэтому мы получаем:

Теперь с этой формой мы знаем, что и .

Итак, нам нужно найти два числа и что их сумма равна 10 и их произведение равно 21.

У нас и 21 можно записать как произведение как или , а так как должно быть равно 10 у нас , значит значения и те, которые делают и .

После этого все, что нам нужно сделать, это записать уравнение в виде .

итак, получаем:

Теперь решение прямое, так как произведение двух первой степени равно нулю, то мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен к нулю, что означает либо или , мы решаем каждый член первой степени левой части, мы получаем:

и поэтому мы имеем два решения уравнения второй степени , .

Мы можем проверить, задав значение или следующим образом:

Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта

Дискриминантом уравнения мы называем выражение , обычно оно обозначается буквой , т. е.

В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение — если оно есть — решений, и возможные случаи следующие:

1- Если дискриминант строго положителен (), то уравнение имеет два различных решения, и решения:

.

Пример:

Определим решения уравнения:

Вычислим:

поэтому имеем

Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие: 90 003

2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, а это означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, то есть одно повторяющееся (или удвоенное) решение. Решение дается следующим образом:

Пример:

Определим решения уравнения:

вычислив получим:

   

Приходим к выводу, что уравнение имеет одно решение, и решение: ; .

Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторным решением, состоит в том, что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же полинома первой степени и, следовательно, одного и того же решения для двух полиномов первой степени.

Если взять предыдущий пример, то имеем:

3-Если дискриминант строго отрицательный (), то уравнение не имеет решений.

Пример:

Решим уравнение

вычислив, что получим: не брать квадратный корень из дельты, так как он отрицательный).

Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств

В этом методе мы используем алгебраическое тождество

,

, где переменная и действительное число.

Чтобы решить уравнение, мы делаем следующие шаги:

1- Делим обе части на , получаем: .

2- Вычитаем с каждой стороны, получаем: .

3- Добавляем значение (т.е. квадрат одной половины ) к обеим сторонам и получаем:

.

4- Теперь у нас левая часть записывается как Расширение алгебраического тождества, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:

.

5- Извлекаем корень из обеих частей и решаем полученное уравнение.

Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:

Сначала делим на 3, получаем: .

Во-вторых, вычитаем по 4 с обеих сторон, получаем: .

В-третьих, прибавляем к обеим сторонам, получаем: .

Упрощаем правую часть:

,

,

.

Далее, запишем левую часть как алгебраическое тождество, получим: .

В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем: .

В-шестых, вычитаем с обеих сторон, получаем: .

Итак, у нас есть два решения уравнения второй степени, решения:

.

Решая геометрически

мы можем построить график функции и найти какие значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.

Построив график функции , мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x. Есть три случая:

• Во-первых, график пересекается с осью x в двух точках, что означает, что уравнения имеют два различных решения (соответствует случаю, когда ).
• Во-вторых, график пересекается с осью x только в одной точке, а это означает, что уравнение имеет одно двойное решение (соответствует случаю, когда ).
• В-третьих, график не пересекается с осью x, то есть уравнение не имеет решений (соответствует случаю, когда ).

На следующем рисунке показаны три возможных случая:

Решение уравнений третьей степени

Определение

Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением каждое уравнение в упрощенном виде имеет следующую стандартную форму:

где , и — действительные числа, отличные от 0.

Это уравнение называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 3 (т.е. ).

Решение уравнения третьей степени

По числу возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение. Алгебраически причина в том, что член с наибольшей степенью , т. е. зарастает остальными членами и стремится к бесконечности в обе стороны в зависимости от знака, а это означает, что при очень малых отрицательных значениях для () стремятся к , а при очень больших положительных значения для () стремятся (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента при члене ), то есть при переходе от одной бесконечности к другой она хотя бы один раз проходила нулем. Возможны три случая: одно, два или три решения.

Чтобы решить уравнение третьей степени, было бы полезно, если бы мы знали одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет по крайней мере одно решение), мы продолжаем разлагать уравнение третьей степени на множители в виде произведения полинома первой степени (используя известное нам решение) на полином второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы узнаем их значение, а затем решаем уравнение второй степени, и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.

Для лучшего понимания давайте попробуем решить это уравнение:

зная, что это решение.

Так как это решение, то левая часть уравнения третьей степени может быть представлена ​​как произведение полинома первой степени на полином второй степени, что означает, что мы можем записать уравнение в виде:

Теперь нам нужно найти значения и , для этого воспользуемся первой развернутой формой полинома третьей степени, т.е.

расширяя левую часть, мы получаем:

Так как обе стороны теперь в стандартной форме, чтобы выяснить значения , и . Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:

• Во-первых, коэффициенты члена равны, т.е.
• Во-вторых, коэффициенты при члене равны, т.е.
• В-третьих, коэффициенты при члене равны, т.е.
• В-четвертых, константы (коэффициенты члена , означающего действительное число без ) равны, т. е.

Теперь определяем значения и :

Итак, имеем

также

имеем , заменив a на 1 находим

Следовательно, имеем значения , , .

, поэтому факторизованная форма теперь выглядит следующим образом:

Теперь осталось решить уравнение второй степени

, используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения

Следовательно, уравнение третьей степени имеет три различных решения, и уравнение может быть записано в факторизованной форме

.

Как мы упоминали ранее, есть три возможных случая количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений используется полином второй степени, и оно выглядит следующим образом:

• Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
• В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени мы имеем всего два решения, то, с которого начали, и то, что из многочлена второй степени.
• Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то всего у нас есть три решения: то, с которого мы начали, и два решения из многочлена второй степени.

Обратите внимание, что в случае, если константа в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет форму

мы знаем, что это решение, поскольку каждый член имеет

, поэтому нам не нужно проходить весь процесс для определения коэффициентов второй степени, мы просто берем в качестве множителя и получаем нашу факторизованную форму следующим образом.

с , а уже известны и определять их нет необходимости, поэтому приступим непосредственно к решению уравнения второй степени.

Пример:

решим уравнение

так как постоянной нет то возьмем множитель

Мы знаем, что это решение, поэтому мы приступаем к решению уравнения второй степени

, используя один из показанных методов, прежде чем получим два решения или .

Мы заключаем, что уравнение имеет три решения, и факторизованная форма .

решая геометрически

Геометрически, причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, состоит в том, что график проходит от к или наоборот (от к ), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.

Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции и найти ее значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.

Решение уравнения эквивалентно определению значения для точки пересечения графика и оси x. Возможны три случая:

1. График пересекается только в одной точке с осью x, поэтому уравнение имеет только одно решение.
2. График имеет две точки пересечения с осью абсцисс, поэтому уравнение имеет два различных решения (одно из них дублируется).
3. График пересекается с осью x в трех точках, поэтому уравнение имеет три различных решения.

На следующем рисунке показаны различные возможные случаи.

Заключение

В заключение знание этих методов решения может сделать процесс решения уравнений первой, второй и третьей степени простым, легким и простым с четкими шагами.

Вы хотите получить больше удовольствия! Проверьте график ниже и посмотрите, как графики меняются в зависимости от значений коэффициентов. Отметьте тип уравнения, которое вы хотите отобразить (одно или несколько), затем проведите пальцем, чтобы изменить значения , и и посмотрите, как динамически меняются графики. Наслаждаться!

Как найти степень многочлена

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Переменные » Полиномы » Полиномиальные операции » Как найти степень многочлена

Укажите степень многочлена.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень отдельного члена многочлена является показателем степени его переменной; показатели членов этого полинома равны, по порядку, 5, 4, 2 и 7.

Степень полинома является наивысшей степенью любого из членов; в данном случае это 7.

Сообщить об ошибке

Какова степень многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень многочлена, вам сначала нужно идентифицировать каждый член [например, термин], поэтому, чтобы найти степень каждого члена, вы добавляете показатели степени.

EX:   — Степень 3

Высшая степень  

Сообщить об ошибке

Какова степень полинома?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень многочлена, сложите показатели каждого члена и выберите наибольшую сумму.

12x ² y ³ : 2 + 3 = 5

6xy ⁴ z: 1 + 4 + 1 = 6

2xz: 1 + 1 = 2

Таким образом, степень равна 6.

Сообщить об ошибке

 

Какова степень полинома?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень — это наивысшее значение показателя степени переменных в полиноме.

Здесь наибольший показатель степени равен x ⁵ , поэтому степень равна 5.

1

2x

5

Ни один из выше

-1

Правильный ответ:

-1

Объяснение:

Данное выражение можно переписать как:

Отмена (2x — 5):

Сообщить об ошибке

Найти степень многочлена:  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Члены полинома могут иметь переменные, возведенные только в положительные целые степени. Не допускаются квадратные корни, дробные степени и переменные в знаменателе.

Правильный ответ:  

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень полинома — это самая высокая степень полинома.

Наивысшая степень данного терма:  

Следовательно, степень многочлена равна .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень многочлена с одной переменной (в нашем случае ), просто найдите наибольший показатель степени этой переменной в выражении. Термин  показывает возведение в седьмую степень, и ни один другой  в этом выражении не возводится во что-либо большее, чем семь. Следовательно, степень этого выражения равна .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Многочлен имеет более одной переменной. Степень полинома — это наибольшая сумма показателей ВСЕХ переменных в термине.

Первый член .

Степень этого члена 

Второй член .

Степень этого термина .

Степень полинома – наибольшее из этих двух значений или .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень многочлена, просто найдите самый высокий показатель степени в выражении.

No related posts.