Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
- x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
- Ищется производная f»(x) ;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
- Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где — произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная
степень где —
произвольное целое
число.
Периоди́ческая
фу́нкция ― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (
3) Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого функция
положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций
если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода .
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та — прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной
Нахождение
локального экстремума. Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
— локальные минимумы.
Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,… 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . |
Преобразование графиков.
Словесное описание функции.
Графический способ.
Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.
Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.
Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?
Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.
Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.
Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.
Попытаемся ответить на вопрос: «А существуют ли другие способы задания функции?»
Такой способ есть.
Функцию можно вполне однозначно задать словами.
Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.
Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.
Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.
Способ словесного описания — достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.
Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.
е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является четной. Проверим это.
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.
Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является нечетной. Проверим это.
Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.
Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.
Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?
Чётность функции. Определение чётной функции. Является ли чётной функция. Свойства функции.mp4
12+
7 месяцев назад
Математика от Баканчиковой300 подписчиков
Алгебра 7-11 класс. Что такое чётная функция? Как доказать чётность функции? Сегодня, продолжая говорить о свойствах функции, мы ответим на эти вопросы. Если Вы не видели наши предыдущие уроки по теме «Свойства функции», то обязательно посмотрите их, тогда это урок будет Вам очень понятен. А чтобы урок был Вам понятен, сначала мы напомним Вам, что такое функция, и как найти область определения функций, заданных целым и дробным выражениями. Затем объясним Вам определение двенадцатого свойства функции — чётности функции, которое дано в учебнике А.Г.Мордковича. Особо остановимся на том, как понимать y(-x) = y(x). Затем предложим Вашему вниманию определение чётной функции Любовь Николаевны, которое позволит Вам понять это свойство и легко решать упражнения на эту тему.
На примере четырёх упражнений мы покажем Вам, как доказать, что функция является или не является чётной. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео.
00:00 Начало видео.
00:30 Вспомним, что такое функция.
01:58 Перепишем определение чётной функции.
03:27 Как понимать y(-x) = y(x)?
05:07 Определение чётной функции Любовь Николаевны.
05:55 Пример чётной функции.
06:55 Упражнение 1.
10:11 Упражнение 2.
12:52 Упражнение 3.
15:06 Упражнение 4.
Если Вы впервые на нашем канале и у Вас остались вопросы или Вы хотите освежить в памяти некоторые термины и определения, рекомендуем Вам посмотреть следующие видео:
Что такое определение. Отличие определения от рассказа. https://rutube.ru/video/f187c6071dfe512aaa2204e3229097e1/
Что такое компоненты. Рассказ о Пете и Диме или зачем нужны компоненты. https://rutube.ru/video/2a05adba43e67d1ea1b5cab6d8e6d18a/
Функция. Определение. Пример, на котором функцию понимают ВСЕ. https://rutube.ru/video/e39b203540be6b34b1c6728b8a73a8c4/
Компоненты функции: аргумент, значение функции, область определения функции, область значений функции https://rutube.
ru/video/b244f058080abfb736bb53076b8ad8cc/
Способы задания функции. Примеры. https://rutube.ru/video/be19beb2a973ffbad226194f7e36e0f8/
Координатная плоскость. Компоненты координатной плоскости. https://rutube.ru/video/37a4ebf9c234063e743767e8a50b45c0/
Графический способ задания функции. График функции. Определение. https://rutube.ru/video/f80ef74eb301c96a0159afedd02e6383/
Область определения функции. Как найти, если функция задана графиком, таблицей, рисунком, символом. https://rutube.ru/video/e3fda1d9390c06e95e6481060c7f7745/
Область определения функций, заданных формулой, целым выражением. Виды выражений в формулах функций. Область допустимых значений выражений. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/ad4dcae792272214637e31be0091ec7e/
Область определения функции, заданной формулой, дробным выражением. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/25a7399e239a12b0bd82b5e3f516ce8a/
Область определения функции, заданной формулой корня четной степени. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.
ru/video/9ab883e3b9a1bf78e16f47d5722ee0a2/
Свойства функции. Нули функции. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/6e56bd59444a9af812beeed15d1d2993/
#СвойстваФункции #ЧётныеФункции #ЧётностьФункции #ЯвляетсяЛиЧётной #четнаялифункция #являетсяфункциячетнойилинечетной #определениечетнойфункции #выяснитьявляетсяфункциячетнойилинечетной #являетсяличетнойилинечетнойфункция #ничетнаянинечетнаяфункция #чётнаяфункция #найдитечетнуюфункцию #какаяфункцияявляетсячетной #областьопределениячетнойфункции #четнаяфункциясимметрична #четныефункциипримеры #докажитечтофункцияявляетсячетной #МатематикаОтБаканчиковой
чётность функции, четная ли функция, является функция четной или нечетной, определение четной функции, выяснить является функция четной или нечетной, является ли четной или нечетной функция , ни четная ни нечетная функция , чётная функция, найдите четную функцию, какая функция является четной, область определения четной функции, четная функция симметрична, четные функции примеры, докажите что функция является четной
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Я подготовил восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процедуру или шаги, как определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной из них.
Математика, связанная с вычислением, проста, если вы внимательны на каждом этапе своего решения.
Чтобы проникнуть в «сердце» этой темы, изучите иллюстрацию ниже.
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Давайте поговорим о каждом случае.
СЛУЧАЙ 1: Четная функция
Дана некоторая «начальная» функция f\left( x \right):
- и снова получить исходную или «начальную» функцию, это означает, что f\left( x \right) является четной функцией .
СЛУЧАЙ 2. Нечетная функция
Дана некоторая «начальная» функция f\left( x \right):
- \right) и получить отрицательную или противоположную «начальной» функции, это означает, что f\left( x \right) является нечетная функция .
СЛУЧАЙ 3: ни четная, ни нечетная функция x \right) и мы не получаем ни случая 1, ни случая 2, из которого следует, что f\left( x \right) не является ни четным, ни нечетным .
Другими словами, оно не подпадает под классификацию четных или нечетных. Примеры алгебраического определения, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них 92} — 3, подставьте значение \color{red}-x и затем упростите. Что я могу получить? Давайте решим это алгебраически.
Так как f\left( { {\color{red}- x}} \right) = f\left( x \right), это означает, что f\left( x \right) является четной функцией !
График четной функции симметричен относительно оси y или относительно вертикальной линии x = 0. Обратите внимание, что график функции разрезается равномерно по оси y, и каждая половина является точным зеркалом другой. Другой способ описать это состоит в том, что каждая половина функции является отражением по оси Y. 93} + 2x, а затем упростите.
Как определить нечетную функцию
Важные советы:
- Если вы когда-нибудь придете к другой функции после вычисления \color{red}–x в данном f\left( x \right), немедленно попробуйте вынесите из него -1 и посмотрите, появится ли исходная функция.
Если это так, то у нас есть нечетная функция .
Если это так, то у нас есть нечетная функция .- Эффект вынесения на множитель -1 приводит к переключению знаков членов в скобках. Это ключевой шаг для определения нечетной функции.
Теперь, поскольку f\left( { {\color{red}- x}} \right) = — f\left( x \right), это означает, что исходная функция f\left( x \right) равна нечетная функция !
График нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат или в точке \left( {0,0} \right). Это означает, что мы разрезаем его график по оси y, а затем отражаем его четную половину сначала по оси x, а затем по оси y.
См. анимированную иллюстрацию.
90}}, который имеет четную степень нуля.
Эта характеристика функции, содержащей только четные степени, может привести к четной функции. Однако мы должны показать это алгебраически. Итак, вот оно.
Вычисляя \color{red}-x в f\left( x \right), мы получаем следующий расчет.
3} + 6x
В отличие от примера 3, где у функции четные степени, в этом примере нечетные степени: 7, 5, 3 и 1. Надеюсь, вы уже видите закономерность. Скорее всего, это странная функция, но мы проверим.
Подставляя \color{red}-x в данное f\left( x \right) и упрощая, мы получаем:
После вынесения на множитель -1 многочлен в скобках равен начальной функции. Это показывает, что это нечетная функция !
Пример 5 : Определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:
На этот раз я покажу вам пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной. Вы готовы?
- Сначала проверьте, четно ли оно. Имеем ли мы случай f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = f\left( x \right)?
Определенно не является четной функцией , поскольку f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right).
- Во-вторых, проверьте, является ли оно нечетным, показав f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = — f\left( x \right).
Даже после вынесения −1 я все еще не получаю исходную функцию.
Это не нечетная функция , так как f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne — f\left( x \right).
- Вывод: Поскольку мы достигли случая, когда f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right) и f\left( {\color{red} { — x}} \right) \ne — f\left( x \right), эта функция ни четная, ни нечетная !
Пример 6 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция g\left( x \right) является нечетной функцией !
Пример 7 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция h\left( x \right) не равна и не !
Пример 8 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция k\left( x \right) равна даже функция !
Как определить, является ли функция четной или нечетной? [Решено]
Функция определяется как изменение выходного значения по отношению к входному, где выходная переменная зависит от входной переменной.
Ответ: Для четной функции f(-x) = f(x) для всех x, для нечетной функции f(-x) = -f(x) для всех x. Если f(x) ≠ f(-x) и -f(x) ≠ f(-x) для некоторых значений x, то f не является ни четным, ни нечетным.
Давайте разберемся с решением.
Объяснение:
(а) Давайте разберемся с четными функциями.
Если заданная функция симметрична относительно оси Y, она называется четной функцией.
Функция четная, если f(x) = f(−x) для всех значений x
Для четной функции f(x), если мы подставим −x вместо x, тогда значение f( −x) равно значению f(x).
Таким образом, формула для проверки четности функции выглядит следующим образом:
f(x) = f(−x)
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять четные функции.
Пример: f(x) = x 2
f(-x) = (-x) 2 = x 2
Таким образом, мы видим, что f(x) = f(-x)
Следовательно, заданная функция f(x) = x 2 является четной функцией.
Проверим графически.
Мы видим, что график y = x 2 симметричен относительно оси y и, следовательно, является четной функцией.
(b) Рассмотрим нечетные функции:
Функция, в которой одна сторона оси X инвертирована по знаку по отношению к другой стороне или графически симметрична относительно начала координат, называется нечетной функцией.
Функция является нечетной, если f(-x) = — f(x) для всех значений x
Для нечетной функции f(x), если мы подставим −x вместо x, тогда значение f (−x) равно значению — f(x).
Таким образом, формула для проверки нечетности функции имеет следующий вид:
f(-x) = — f(x)
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять нечетные функции.
Пример: f(x) = x 3
f(-x) = (-x) 3 = — x 3
Кроме того, — f(x) = — x 3
Таким образом, f(x) = x 3 является нечетной функцией, поскольку f(-x) = — f(x).
Проверим графически.
График выглядит симметричным относительно начала координат, поэтому это нечетная функция.
(c) Давайте разберемся с функцией, которая не является ни четной, ни нечетной
Функция f(x), в которой f(x) ≠ f(−x) и −f(x) ≠ f(−x) для любого значение x не является ни четной, ни нечетной функцией.
Графически эти функции не симметричны ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это.
Пример: f(x) = 2x 5 + 3x 2 + 1
f(-x) = — 2x 5 + 3x 2 + 1 900 03
— f(x) = — 2x 5 — 3x 2 — 1
Таким образом, мы видим, что f(x) ≠ f(−x) и −f(x) ≠ f(−x) для заданной функции. Следовательно, это ни четная, ни нечетная функция.
Посмотрим на график этой функции.
Мы видим, что график не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Y. Таким образом, это не четная и не нечетная функция.