возведение в комплексную степень комплексного числа
Вы искали возведение в комплексную степень комплексного числа? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и возведение в степень комплексного числа, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «возведение в комплексную степень комплексного числа».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как возведение в комплексную степень комплексного числа,возведение в степень комплексного числа,возведение в степень комплексного числа в алгебраической форме,возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме,возведение в степень комплексные числа,возведение в степень комплексных чисел,возведение комплексного числа в комплексную степень,возведение комплексного числа в степень,возведение комплексного числа в степень в алгебраической форме,возведение комплексного числа в степень в тригонометрической форме,возведение комплексного числа в степень комплексного числа,возведение комплексных чисел в степень,возвести в степень комплексное число,возвести комплексное число в степень,как возвести в квадрат комплексное число,как возвести в степень комплексное число,как возвести комплексное число в квадрат,как возвести комплексное число в степень,как возводить в степень комплексные числа,как возводить комплексные числа в степень,как комплексное число возвести в квадрат,как комплексное число возвести в степень,как комплексные числа возводить в степень,комплексное число в степени,комплексное число возвести в степень,комплексные числа в степени,комплексные числа в степени i,комплексные числа возведение в степень,комплексные числа как возводить в степень,комплексных чисел возведение в степень,степени комплексных чисел,степень комплексного числа.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же возведение в комплексную степень комплексного числа Онлайн?
Решить задачу возведение в комплексную степень комплексного числа вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2.  Абсолютная величина действительного числа§ 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11. Сравнение бесконечно малых Упражнения к главе II ГЛАВА III.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  § 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
1Комплексные числа: степени и корни
Комплексные числа: степени и корни Степени комплексных чисел — это просто частные случаи произведений, когда мощность — целое положительное число. Мы уже изучили мощности воображаемой единицы и и обнаружили, что они совершают цикл в периоде длины 4.
и так далее. Причины заключались в том, что (1) абсолютное значение | и | число i было единицей, поэтому все его степени также имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, лежат на единичной окружности, и (2) аргумент arg( i ) числа i было равно 90°, поэтому его n -я степень будет иметь аргумент n 90°, и эти углы будут повторяться в периоде длины 4, поскольку 4 · 90° = 360°, полный круг.
В более общем случае вы можете найти z n как комплексное число (1), абсолютное значение которого равно | г | n , n th степень абсолютного значения z , и (2) чей аргумент равен n аргумента z.
На рисунке вы видите комплексное число z , абсолютное значение которого составляет корень шестой степени из 1/2, то есть | г | = 0,89, а аргумент равен 30°. Здесь единичный круг закрашен черным, а за пределами единичного круга — серым, поэтому z находится в черной области.
Поскольку | г | меньше единицы, его квадрат находится на 60° и ближе к 0. Каждая высшая степень дальше на 30° и даже ближе к 0. Первые шесть степеней отображаются, как вы можете видеть, в виде точек на спирали. Эта спираль называется геометрический или экспоненциальный спиральный.
Корни.
Обратите внимание, что в последнем примере z 6 находится на отрицательной действительной оси примерно на -1/2. Это означает, что z примерно равно одному из корней шестой степени из -1/2.На самом деле существует шесть корней шестой степени любого комплексного числа. Пусть z — комплексное число, а z — любой его корень шестой степени. С по 6 = w, следует, что
- абсолютное значение w , | с | есть | г | 6 , так что | г | = | с | 1/6 и
- 6 arg( z ) равно arg( w ), поэтому arg( z )=arg( w )/6.
Например, возьмем w как -1/2, зеленую точку на рисунке справа. Затем | с | равно 1/2, а arg( w ) равно 180°. Пусть z — корень шестой степени из w. Затем (1) | г | есть | с | 1/6 , что составляет около 0,89. Кроме того, (2) аргументом w является arg( w ) = 180°. Но один и тот же угол мог быть назван любым из
Если мы возьмем 1/6 каждого из этих углов, то у нас будут возможные аргументы для z :
Так как каждый из углов для z отличается на 360°, то каждый из возможных углов для z будет отличаться на 60°.
Эти шесть шестых корней из -1/2 показаны на рисунке синими точками.
Больше корней единства.
Напомним, что « n -й корень из единицы» — это просто другое название для n -го корня из единицы. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Мы также видели, что восемь восьмых корней из единицы, когда мы смотрели на умножение, были ± 1, ± i, и ± √ 2/2 ± i √ 2/2. Рассмотрим теперь шестые корни из единицы. Они будут размещены по кругу с интервалом в 60°. Два из них, конечно, ±1. Пусть w — с аргументом 60°. Треугольник с вершинами 0, 1 и w является равносторонним треугольником, поэтому легко определить координаты w. Координата x равна 1/2, а координата y равна √3/2. Следовательно, w равно (1 + i √3)/2. Остальные корни шестой степени являются отражением w в действительной и мнимой осях. Таким образом, шесть шестых корней из единицы равны ± 1 и (± 1 ± i √3)/2 (где + и можно брать в любом порядке).
Теперь некоторые из этих шестых корней также являются нижними корнями из единицы. Число 1 представляет собой квадратный корень из единицы, (1 ± i √3)/2 являются кубическими корнями из единицы, а сама 1 считается кубическим корнем, квадратным корнем и «первым» корнем (любым является первым корнем самого себя). Но оставшиеся два корня шестой степени, а именно (1 ± i √3)/2, являются корнями шестой степени, а не нижними корнями из единицы. Такие корни называются примитивными, , поэтому (1 ± i √3)/2 — это два примитивных корня шестой степени из единицы.
Приятно находить корни единства, но мы уже нашли большинство самых простых.
4.5.7: Степени и корни комплексных чисел
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы 9019{5}\) или \(\ \sqrt[4]{(3-2 i)}\) в нынешней (прямоугольной) форме было бы в лучшем случае очень интенсивным процессом.
К счастью, в этом уроке вы узнаете, что есть альтернатива: Теорема де Муавра . Теорема де Муавра действительно является единственным практическим методом нахождения степеней или корней комплексного числа , но есть одна загвоздка…
Что нужно сделать с комплексным числом, прежде чем можно будет использовать теорему Муавра?
Степени и корни комплексных чисел 9{3} \text { цис } 3 \тета\)
Прописью: Поднимите r -значение в ту же степень, что и комплексное число, а затем умножьте это на цис угла умножается на номер степени.
Reflecting on the example above, we can identify De Moivre’s Theorem :
Let z = r ( cos θ + i sin θ ) be a complex number in rcisθ form.
If n is a positive integer, z n is z n = r n (cos( nθ ) + i sin( nθ )) Должно быть ясно, что полярная форма дает гораздо более быстрый результат для возведения комплексного числа в степень, чем решение задачи в прямоугольной форме.
Корни комплексных чисел
Вы, наверное, давно заметили, что когда в математике представляется новая операция, за ней часто следует обратная операция. Как правило, это связано с тем, что обратная операция часто процедурно похожа, и имеет смысл изучать обе одновременно.
9{1 / n} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right)\)
If n is a positive integer, z n is z n = r n (cos( nθ ) + i sin( nθ )) 
9{1 / n} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right)\)Примеры
Пример 1
Ранее вас спрашивали, что нужно сделать с комплексным числом, прежде чем вы сможете применить к нему теорему Муавра.
Решение
Операция с комплексными числами, записанная в прямоугольной форме, например: (13−4i) 3 , должна быть преобразована в полярную форму перед использованием теоремы Муавра.
Пример 2 9039{1 / 2}\) Используя теорему де Муавра:
\(\ z_{1}=\left[1 \times \operatorname{cis} \frac{\pi}{4}\right] \text { or } z_{2}=\left[1 \times \operatorname{cis} \frac{5 \pi}{4}\right]\)
\(\ z_{1}=1\left(\cos \frac{ \pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \text { or } z_{2}=1\left(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\right)\)
\(\ z_{1}=0,707+0,707 i \text { или } z_{2}=-0,707-0,707 i\)
Проверить z 1 решение: \(\ (0,707+0,707 i)^{2}=i ?\) 9{6}\)
Обзор (ответы)
Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 4.
10.
Словарь
| Срок | Определение |
|---|---|
| комплексный номер | Комплексное число — это сумма действительного и мнимого чисел, записанная в виде a+bi. |
| Теорема де Муавра | Теорема де Муавра — единственный практический ручной метод определения степеней или корней комплексных чисел. Теорема утверждает, что если z=r(cosθ+isinθ) — комплексное число в форме rcisθ, а n — натуральное число, то z n = r n (cos(nθ)+isin(nθ)). |
Эта страница под названием 4.5.7: Полномочия и корни комплексных чисел распространяется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.