Вычислить корень из 3: «Сколько будет корень из 3?» — Яндекс Кью

Архимед и квадратный корень из 3

Один из наиболее часто обсуждаемые вопросы истории математики — это «загадочные» приближение , использованное Архимедом в его расчет с. Вот обзор что говорится в нескольких популярных книгах по этому поводу:

Казалось бы… у [Архимеда] было немного (в настоящее время неизвестно) метод извлечения квадратного корня из чисел примерно.

WW Rouse Ball, Короткий Отчет об истории математики , 1908

…расчет [p] начинается от большего и меньшего предела до значения , который Архимед принимается без замечаний как известное, а именно (265/153) <

Т. Хит, История Греческая математика , 1921

…он же дал методы приближения к квадрату корни, которые показывают, что он предвосхитил изобретение индусами того, что представляют собой периодические цепные дроби.

ET Bell, Мужчины Математика , 1937

Его метод вычисления квадратных корней был похож на которым пользовались вавилоняне.

CB Boyer, История Математика , 1968

Он также получил отличное приближение к , а именно (1351/780) > > (265/153), но не объясняет, как он получил этот результат. Среди многих предположения в исторической литературе о его происхождении следующее очень правдоподобно. Учитывая число A, если кто-то напишет его как ²

М. Клайн, математический Мысль от древности до современности , 1972

Архимед приблизился к немного меньше значение 265/153. .. Как он ухитрился извлекать свои квадратные корни с такими точность… это одна из загадок, которые этот выдающийся человек завещал нам.

П. Бекманн, История р , 1977

Архимед…. на самом деле берет

Сондхеймер и Роджерсон, номеров и Инфинити , 1981

Клайн не указывает первоначальная оценка и не касается распространения значений, производимых предложенный им метод (удвоение числа верхних и нижних границ на каждом шаг). И Бойер, и Зондхеймер ссылаются на «вавилонский метод». извлечения квадратных корней, причем Бойер заявил, что метод Архимеда был похоже, в то время как Зондхеймер предполагает, что из-за примитивной системы счисления использовавшейся греками, у Архимеда возникли бы трудности со сложным дроби, задействованные в вавилонском методе.

Оба автора описывают «Вавилонский метод» (также называемый методом Ньютона) заключается в следующем: найти , возьми ₁ как первое приближение. Затем итеративно вычислить

Однако, похоже, некоторая путаница в обсуждении Бойером приближения для , используемого вавилоняне. Значение, которое он приводит из древневавилонской таблички № 7289 от коллекция Йельского университета интерпретируется как число, выраженное в основе 60, показано ниже:

, который записывается как 1;24,51,10. Бойер говорит, что это значение приблизительно равно 1,414222, что отличается от от истинного по о (8.4)10 ^-6 . проблема в том, что шестидесятеричное значение 1;24;51;10 на самом деле соответствует десятичное число 1,4142129 (как правильно указал Зондхеймер), что отличается от правда по (5,99)10 ^-7 . Бойера десятичное значение 1,414222 на самом деле соответствует 1;24;51;12. Дело в том еще больше сбивает с толку утверждение Бойера о том, что вавилонское значение это ₃ из итерации, основанной на ₁ = 3/2, что не может быть правдой, потому что все итерации «а», начиная с 3/2, будут немного выше , тогда как 1;24,51,10 немного ниже . Стоимость произведенного

В любом случае вроде понятно что какой бы точный метод ни использовался, он был связан с продолжающимся расширение дроби , что конечно тесно связано с уравнением Пелла x ² — 3y ² = 1. (Последнее естественно возникает, если мы ищем рациональное квадрат (х/у) ² чуть больше 3, что означает, что мы хотим целое число x ² должно быть чуть больше, чем целое число 3y

Один из возможных методов, который может использовалась греками, заключается в следующем: квадратный корень из А может быть разбить на целую часть и остаток, т. е. = N + r, где N — наибольшее целое число такое, что N ² меньше, чем A. Значение r может быть аппроксимирован с любой желаемой степенью точности, используя только целое число сложения и умножения на основе рекуррентной формулы

Легко видеть, что значение (A-N ² )(s _n /s _n+1 ) приближается к r, когда n стремится к бесконечности. Это форма так называемого «лестничная арифметика», некоторые примеры которой из древней Вавилонии выжили. Например, чтобы найти , мы имеем A = 3 и N = 1, поэтому рекуррентная формула просто s _n = 2s _{n -1} + 2s _{n -2} . Если мы выберем начальные значения s ₀ = 0 и s ₁ = 1, последующие значения в последовательность

Последовательные термины 18272 и 49920 дают r = 571/780, что дает = 1 + r = 1351/780, Архимеда верхняя граница. Точно так же последовательные члены 896 и 2448 дают меньшую переплет, которым пользовался Архимед. Главное преимущество такого подхода в том, что он опирается только на простые целочисленные операции. Размер целых чисел может были сохранены небольшими за счет устранения аккумулирующих способностей 2 на каждом этап следующим образом

Однако, если бы они использовали это метода, непонятно, почему они не выбрали нижнюю границу 989/571 на основе на 6688 и 18272. Таким образом, хотя этот метод, безусловно, был в их способность, вряд ли она была источником Архимеда. ценности.

На мой взгляд, наиболее правдоподобный источником верхней и нижней границ Архимеда является простая дробно-линейная итерация. Представьте, что их первая оценка квадратного корня из 3 была 5/3, возможно. исходя из того, что 5 ² = 25 близко к 3(3 ² ) = 27. Отсюда нетрудно увидеть, что если x является границей квадратного корня из 3, тогда (5x+9)/(3x+5) является более близкой границей на противоположной стороне. Обозначив через e ошибку x ² — 3 для оценки x, ошибку следующая оценка

Таким образом, ошибка сбрасывается и уменьшается почти в 52 раза на каждом шаге. Начиная с x = 5/3, последовательность итераций x → (5x+9)/(3x+5) равна

что дает архимедову нижняя и верхняя границы по мере 2-й и 3-й итераций.