Степени пределы: Как решать пределы со степенями, примеры

3. Основные свойства пределов

1. Последовательность называется постоянной, если все её члены равны постоянному числу , т. е. , при всех . Предел постоянной последовательности равен постоянному числу , т. е. если , то .

2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.

3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.

4. Если последовательность имеет предел, то он один.

5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.

,

Если пределы справа существуют.

Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.

6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.

,

Если пределы справа существуют.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.

е.

.

Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.

Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.

,

Если существует и – конечное число.

Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.

,

Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).

7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.

,

Если пределы справа существуют и .

В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий).

Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.

То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.

Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.

Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .

Доказательство. Пусть задано . Найдём разность

.

По определению предела должно выполняться неравенство

,

Откуда

.

Следовательно, , если . Поэтому .

Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:

.

Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:

.

Пример 8. Найти предел .

Решение. Рассмотрим отдельно три случая:

.

а) Пусть ; тогда

.

б) Пусть ; тогда

.

в) Пусть ; тогда

.

Ответ:

Пример 9. Найти предел .

Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:

.

Пример 10. Найти предел .

Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда

(второй предел равен нулю).

Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.

Ответ: .

Пример 11. Найти предел .

Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.

Ответ: .

Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.

Пример 12. Найти .

Решение. Рассмотрим отдельно три случая:

.

а) Пусть ; тогда

.

б) Пусть ; тогда

.

в) Пусть ; тогда

.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Предел последовательности, лимит функции

Проанализируем ответы из курсовых робот, которые будут полезными для Вас в курсе высшей математики. В этот раз разберем 14 новых заданий с особенностями, раскрытие которых возможно при знании методов раскрытия иррацыональностей, сокращения дробей на доминантный множитель, первого и второго замечательных пределов и их следствий, разложения функций в ряд Тейлора и еще несколько приемов. Перечисление в одном предложении большого количества способов избавиться от неопределенности пределов на одних студентов нагоняет страх и панику, однако следующие ответы докажут, что на практике все гораздо проще, если знать ряд правил. 2 из числителя и знаменателя дроби и упрощаем на них.
В итоге останутся числа и бесконечно малые величины. Лимит последовательности равный доле постоянных (=6).

Попробуйте самостоятельно этот же пример вычислить по правилу Лопиталя.

 

Пример 22 Определить лимит последовательности

Решение: Предел последовательности вычисляем методом умножения на сопряженное выражение. Таким образом получим разность квадратов и избавимся от корней в числителе.
Далее из числителя и знаменателя дроби выносим n и упрощаем на него. После этого оцениваем дробь при предельном переходе.

 

Пример 23 Найти предел функции

Решение: Лимит функции в точке дает неопределенность вида {0/0}. В числителе полином раскладываем на простые множители, в знаменателе избавляемся от иррациональности умножением на сопряженное выражение. Таким образом избавляемся особенности в знаменателе, однако она остается в числителе. В результате предел функции в точке равен нулю.

 

Пример 24 Свести под важные пределы и вычислить

Решение: Предел функции синус логарифма дает особенность {0/0}. Для ее раскрытия следует заданную функцию свести под первый и второй замечательные пределы и их следствия.
Для этого умножуєм и делим на выражения, которых не хватает для применения замечательных пределов. Далее группируем и сводим к произведению пределов, часть из которых равна 1.
Все что останется и составляет предел функции.

 

Пример 25 Чему равен лимит функции?

Решение: Функция имеет особенность – единицу в степени бесконечность. Раскрываем ее методом выделения второго замечательного предела, который равен экспоненте.
Для этого выделяем повсюду выражения (x-2), что вносят особенность, а дальше переходим к новой переменной t=x-2.
В показателе выделяем обратный множитель (-1/2t) до слагаемого при единице в скобках (1-2t).

Таким образом, получим экспоненту в степени — лимит функции, что осталась.

 

Пример 26 Вычислить предел последовательности

Решение: Если переменная стремится к бесконечности , то наибольший вклад вносит переменная в старшем степени. Выделим их в числителе и знаменателе

Далее, если в числителе старший степень, то предел стремится к бесконечности.

 

Пример 27 Найти границу

Решение: Если подставить бесконечность в последовательность получим неопределенность . Чтобы ее раскрыть, разделим и умножим на выражение, чтобы в числителе получить разность квадратов

Граница равна нулю, так как степень знаменателя выше степени числителя (1>0).

 

Пример 28 Вычислить предел последовательности

Решение: Задание следует свести под правило второго замечательного предела. Для этого в показателе создаем число, которое является обратно пропорциональным слагаемому возле единички в скобках.
Постоянный множитель при этом и будет показателем экспоненты в пределе

 

Пример 29 Найти лимит последовательности

Решение: Поскольку оба значения в скобках меньше единицы (особенно важно 5/63<1), а одно из них, что зависит от номера, стремится к нулю, то их сумма в степени (n) также стремится к нулю

 

Пример 30. 2 стремятся к нулю при номере стремящемся к бесконечности, поэтому предел равен

 

Пример 31 Вычислить предел функции

Решение Выделим слагаемое с самым большим показателем и разделим на него

Лимит равен нулю, поскольку степень переменной в знаменателе больше, чем в числителе.

 

Пример 32 Найти лимит функции

Решение При подстановке единицы в дробь получим неопределенность вида {0/0} .
Чтобы раскрыть неопределенность, выделим в числителе и знаменателе множитель, который пропорционален (x-1) .
Для этого разделим полиномы на указанный множитель.
В результате получим

Далее вносим разложение полиномов в предел и упрощаем

 

Пример 33 Найти предел функций

Решение Для раскрытия неопределенности {0/0} воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями.
Для этого запишем по два члена разложения tan(x), sin(x) в ряд Тейлора (одного недостаточно, в числителе получим 0)

Далее подставим разложения в предел

Переменная в кубе упростится и останутся числа, сумма которых и является искомым пределом.

 

Пример 34 Вычислить предел функции

Решение Сведем под правило второго замечательного предела

Задача простая, поэтому здесь не на чем останавливаться.

Больше ответов на пределы ищите на страницах сайта.

Limits — Лимиты в бесконечности

Что самое большое вы когда-либо видели? Самый большой в мире мяч из резинок? Может океан? На самом деле, солнце довольно большое (преуменьшение), и мы видим это каждый день. Но тогда мы могли бы сказать, что небо покрывает почти всю вселенную.

Кажется, это трудно превзойти. Однако даже это ничтожно по сравнению с некоторыми ограничениями, ведь они могут доходить до бесконечности. Мы говорим о x , поскольку оно становится очень, очень большим или очень, очень маленьким. Эта идея известна как конечное поведение функции, и именно это помогут нам описать эти пределы на бесконечности.

По большей части эти ограничения делятся на три категории. Вместо того, чтобы тратить ваше и наше время, мы просто покажем вам каждую из них в примере задачи. После этого мы расскажем о нескольких сложностях и о том, как их исправить, чтобы вы действительно могли удивить своих друзей на вечеринках.

Пример задачи

Оценка .

Еще раз привет. Давно не виделись. Но посмотрите на этот предел; x не приближается к какому-то числу, оно просто будет продолжаться и продолжаться вечно. Есть несколько способов взглянуть на это. Давайте еще раз посмотрим на его график:

Обратите внимание, что происходит, когда x становится все больше и больше. Значения и все ближе и ближе к нулю. Это означает:

Еще один способ подумать об этом — рассмотреть, что происходит, когда мы подставляем действительно большие значения вместо x . Что, если бы мы использовали, например, 1000? В итоге мы получим долю . Это очень мало, то есть близко к нулю. И дальше будет только меньше. Следовательно:

Наши ответы совпадают. Ура. Мы ненавидим, когда наши ответы противоречат друг другу.

Есть третий способ найти пределы на бесконечности, и он еще более полезен. Всякий раз, когда нас просят оценить предел дроби, мы должны посмотреть и сравнить степень числителя и знаменателя. Как судьи на конкурсе помпадур, мы хотим знать, кто из них больше.

Для , больший член стоит в знаменателе. Это означает, что по мере того, как все большие и большие числа подставляются вместо x знаменатель растет быстрее, чем числитель. Хорошо, это плохой пример, потому что числитель постоянен, но вы поняли идею. Функция имеет тяжелое дно, что заставляет ее опускаться до нуля на бесконечности.

Пример задачи

Оценка .

На этот раз мы перейдем сразу к проверке степени (хотя подстановка цифр тоже всегда работает). Если числитель больше (например, x ³ больше, чем x в этом случае), функция устремится к бесконечности как x становится большим. Это означает, что:

Функция будет перемещаться вверх и вправо, вечно достигая звезд. Иди, маленькая функция. Большая мечта.

Этот результат вполне логичен, потому что числитель станет просто огромным, а знаменатель будет довольно большим, но не до смешного. Очень точно, мы знаем.

Пример задачи

Оценка .

Теперь этот предел немного отличается от того, что мы видели в предыдущих разделах. У вас может возникнуть соблазн упростить, разделить и сделать что-то подобное. Боритесь с искушением, не поддавайтесь. Подумайте о чем-нибудь другом, например, о животных, играющих музыку. Вместо этого мы будем умножать вещи, но только немного.

Да, вы правильно прочитали; «Кому какое дело» и «не имеет значения» теперь стали официальным сленгом Shmoop limit. Все, что нам нужно для оценки этого предела, — это члены с наибольшим показателем степени.

На этот раз степень та же, 2. Теперь у нас на руках гонка ноздря в ноздрю. Это будет фотофиниш — э-э, финиш — и все сводится к ведущему коэффициенту.

У нас есть 2 в числителе (от 2 x ² ) и 1 внизу (от x ² ). Переменные по существу компенсируют друг друга. Не буквально, а только с точки зрения того, как функция стремится к бесконечности. Итак, наш лимит будет:

Не верите? Посмотрите график здесь. Прямо на y = 2 есть горизонтальная асимптота, которая идеально согласуется с тем, что мы только что нашли.

Пример задачи

Оценка .

Степень числителя больше степени знаменателя. Ответ: ∞, верно? Проблема: сделано, верно? Не так быстро.

У нас есть предел, поскольку x на этот раз приближается к минус бесконечности. Мы не можем просто бросить эту сумасшедшую восьмерку и двигаться дальше. Вместо этого мы вынуждены учитывать знак нашего окончательного ответа.

Квадрат чего угодно будет положительным, даже такого сверхотрицательного, как -∞, поэтому числитель будет положительным. Знаменатель, однако, будет отрицательным, если вы подставите отрицательные числа для x .

Мы должны следить за знаками наших ответов. Один знак минус может изменить наш ответ от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Это должен быть самый неприятный случай хлыстовой травмы.

Пример задачи

Оценка .

Беглый взгляд может показать, что эта функция имеет x больше x ² , и поэтому предел равен нулю. Извините, но проблема еще более странная, потому что с нашим самым большим сроком происходят странные вещи. Здесь наибольший член в знаменателе имеет квадратный корень. Это означает, что самый большой заказ больше нельзя считать равным 2, на самом деле это:

( х ² ) ^1/2 = х ^2/2 = х

Внезапно числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок, что заставляет нас смотреть на коэффициенты. Просто будьте осторожны с этим квадратным корнем. Края острые.

Да, мы тоже должны извлечь квадратный корень из 9. Это дает нам предел 1, поскольку x приближается к бесконечной пустоте в правой части графика.

Пример задачи

Оценить .

Итак, последняя проблема, а эта проблема триггера. Мы не можем посмотреть на степень функции, поэтому наш предыдущий метод не сработает. Вместо этого попробуйте изобразить график синуса.

Может быть, вы говорите себе: «Как будет работать этот предел? Когда x стремится к бесконечности, синус делает это (вы двигаете рукой волнообразно перед собой) во веки веков».

Это движение руки описывает поведение синуса как x становится бесконечно большим. Он идет назад и к четвертому между 1 и -1 снова, и снова, и снова. Так что на самом деле это не приближается к какой-либо ценности.

Иногда просто нет предела. Функция не приближается к одному значению, но и не увеличивается или уменьшается без конца. Почему ты не можешь просто принять решение, синус?

Резюме

• Если градус в верхней части дроби меньше, чем градус в нижней части, он приближается к нулю.
• Однако, если степень больше вверху, то функция стремится к бесконечности.
• При равенстве степеней сравниваем старшие коэффициенты. Их отношение является горизонтальной асимптотой, к которой приближается функция.

• Обратите внимание на знак вашего ответа, особенно когда используется -∞.
• Превратите любые радикалы в дробные степени, упростите и только потом сравнивайте степени.
• Некоторые функции, например триггерные, не приближаются ни к чему на бесконечности.

Degree объявляет о втором выпуске Breaking Limits NIL команда

Статья написана:Pete Nakos

Pete_Nakos96

Degree

Degree делает свой второй набег на пространство NIL.

Компания по производству дезодорантов объявила о втором выпуске своей команды Breaking Limits NIL, которая гарантирует, что спортсмены колледжей получат возможность получать пользу от своей работы на поле и за его пределами. Восемнадцать студентов-спортсменов были добавлены в команду, присоединившись к списку из 11 спортсменов, которые все еще имеют право на участие в первом классе прошлого года.

Градус также приложил усилия, чтобы изменить мир к лучшему в эпоху NIL. Согласно данным, предоставленным Opendorse , примерно 66% всех компенсаций NIL за май были зачислены спортсменам, занимающимся футболом и баскетболом. Спортсмены, выбранные по степени, принадлежат к разным школам, видам спорта и разного происхождения. У них также есть доступ к Instagram компании, чтобы делиться своими историями с «акцентом на вселении уверенности в преодолении барьеров».

Условия договора не разглашаются.

Компания взяла на себя обязательство подготовить спортсменов к успеху в аспирантуре. Отобранные студенты-спортсмены получат доступ к программе наставничества с руководителями Unilever. И в соответствии с созданием прецедента в NIL, Degree платит избранным мужчинам и женщинам справедливую заработную плату.

Degree — это американская версия компании-антиперспиранта Rexona, принадлежащей британскому конгломерату Unilever. В то время как команда Breaking Limits является партнерством NIL для спортсменов колледжей, это программа обучения и наставничества в других странах, таких как Великобритания и Южная Африка.

18 добавленных студентов-спортсменов, подписавших контракты с Degree, представляют разный пол, расу, ЛГБТКИА+ сообщества, виды спорта, географическое положение и уровни способностей.

Вот список новых имен в команде Degree’s Breaking Limits NIL:

• Эбби Баулек – баскетбол на колясках, Алабама   
• Авраам Монтано – футбол , Штат Фресно
• Кэролайн Дюшарм – женский баскетбол, UConn 
• Чаки Хепберн – мужской баскетбол, Висконсин
• Эдрис Ндиайе – фехтование, штат Огайо  9 0185
• Гриффин Брукс – мужской дайвинг, Принстон  
• Джеймсон Ван – футбол , Корнелл  
• Джейда Коулман – софтбол, Оклахома  
• Джордан Чайлз – женская гимнастика, UCLA  
• Джуниор Колсон – Футбол, Мичиган  
• Кейли Труонг – Женский баскетбол, Гонзага
• Кейлин Тру ong – Женский баскетбол, Гонзага
• Лэнгстон Уилсон – Мужской баскетбол, Вашингтон   
• Лекси Эллис – Легкая атлетика, Орегон   
• Марли Смит – Борьба, Штат Аризона 
• Пейтон Сиппи – Женщины по пересеченной местности, Висконсин  
• Райан Хилински – Футбол, Северо-запад 
• Сидни Блэк – Женщины s Lacrosse, Loyola Marymount  

Еще 11 игроков из прошлогодней команды все еще нынешние студенты-спортсмены и сотрудничают со степенью:

• Адриан Мартинес — Футбол, Штат Канзас
• Асджиа О’Нил – Женский волейбол, Техас  
• Айока Ли – Женский баскетбол, штат Канзас 
• Бейли Муди – Баскетбол на колясках, Алабама
• Шарлотта Титер – женский футбол, Texas Tech
• Чарли Исли – Мужской баскетбол, штат Южная Дакота
• Чейз Гриффин – Футбол, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе
• Чайла Эдвардс – Женский хоккей, Висконсин
• Глория Мутири — женский волейбол, Орегон
• Нимари Бернетт — мужской баскетбол, Алабама
• Сакуан Синглтон — мужской баскетбол, Джордж Мейсон

Список спортсменов этого года еще не завершен.